dự trữ V = 5.4M (đơn vị: m3 ) nước cho một căn nhà, người ta dùng 1 bể nước hình cầu. Lượng nước V chứa trong bể nước cho bởi công thức 2 3.14h (3M h) V 3 − = , trong đó V: thể tích nước (đơn vị: m3 ), h: chiều cao (đơn vị: m), M: bán kính bể nước (đơn vị: m). Dùng phương pháp Newton với giả thiết giá trị mực nước xuất phát ban đầu h0 = 2 (đơn vị: m). Tìm sai số của h2 (sau 2 lần lặp) theo sai số tổng quát khi xét trong khoảng cách ly nghiệm 0.5; 2.0 (đơn vị: m). (Đáp số với 4 số lẻ) Giải: Lượng nước V: V = 3.14h 2(7.8066−h)dự trữ V = 5.4M (đơn vị: m3 ) nước cho một căn nhà, người ta dùng 1 bể nước hình cầu. Lượng nước V chứa trong bể nước cho bởi công thức 2 3.14h (3M h) V 3 − = , trong đó V: thể tích nước (đơn vị: m3 ), h: chiều cao (đơn vị: m), M: bán kính bể nước (đơn vị: m). Dùng phương pháp Newton với giả thiết giá trị mực nước xuất phát ban đầu h0 = 2 (đơn vị: m). Tìm sai số của h2 (sau 2 lần lặp) theo sai số tổng quát khi xét trong khoảng cách ly nghiệm 0.5; 2.0 (đơn vị: m). (Đáp số với 4 số lẻ) Giải: Lượng nước V: V = 3.14h 2(7.8066−h)dự trữ V = 5.4M (đơn vị: m3 ) nước cho một căn nhà, người ta dùng 1 bể nước hình cầu. Lượng nước V chứa trong bể nước cho bởi công thức 2 3.14h (3M h) V 3 − = , trong đó V: thể tích nước (đơn vị: m3 ), h: chiều cao (đơn vị: m), M: bán kính bể nước (đơn vị: m). Dùng phương pháp Newton với giả thiết giá trị mực nước xuất phát ban đầu h0 = 2 (đơn vị: m). Tìm sai số của h2 (sau 2 lần lặp) theo sai số tổng quát khi xét trong khoảng cách ly nghiệm 0.5; 2.0 (đơn vị: m). (Đáp số với 4 số lẻ) Giải: Lượng nước V: V = 3.14h 2(7.8066−h)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH Họ tên: Lê Minh Thiên MSSV: 2014565 Nhóm: 11 Lớp: L09 Tổ: Mã số M (các câu 1,2,3,4): 2.6022 Câu 1: Để dự trữ V = 5.4M (đơn vị: m3) nước cho nhà, người ta dùng bể nước 3.14h (3M − h) hình cầu Lượng nước V chứa bể nước cho cơng thức V = , V: thể tích nước (đơn vị: m3), h: chiều cao (đơn vị: m), M: bán kính bể nước (đơn vị: m) Dùng phương pháp Newton với giả thiết giá trị mực nước xuất phát ban đầu h0 = (đơn vị: m) Tìm sai số h2 (sau lần lặp) theo sai số tổng quát xét khoảng cách ly nghiệm [0.5; 2.0] (đơn vị: m) (Đáp số với số lẻ) Giải: Lượng nước V: V = Theo đề ta có: f(h) = 3.14ℎ2 (7.8066−ℎ) 3.14ℎ (7.8066−ℎ) Công thức Newton :ℎ𝑛 = ℎ𝑛−1 − ; lượng nước dự trữ ban đầu V = 14.05188 m3 − 14.05188 𝑓(ℎ𝑛−1 ) ; 𝑓 ′ (ℎ𝑛−1 ) Đạo hàm cấp V: V’ = 16.341816h – 3.14ℎ2 Sai số tổng quát theo V: Xét : Min|𝑉 ′ (ℎ)| = Min|16.341816h – 3.14ℎ2 | = 7.385908; ∀ℎ ∈ [0.5; 2.0] 3.14ℎ2 (7.8066−ℎ) ̅ − ℎ𝑛 |≤ Vậy công thức sai số tổng quát: |ℎ | −14.05188| 7.385908 Ta có bảng kết sau: N ℎ𝑛 ∆ℎ𝑛 1.4902 0.0854 1.4540 0.0007 Vậy sai số lần lặp thứ ∆ℎ𝑛 = 0.0007 Câu 2: Cho công thức lặp theo phương pháp Gauss – Seidel hệ phương trình ẩn là: M 0.125 x(k +1) = ax(k) + b (0) M (1) (2) ;x = M Biết x = ; x = (k +1) 0.5 = cx1(k +1) + d x 0.75 10 Tính giá trị a, b, c, d (Đáp án với số lẻ) Giải: Với M = 2.6022 ta có: 2.6022 0.52044 0.125 ] ; 𝑥 (1) = [ ] ; 𝑥 (2) = [ ] 𝑥 (0) = [ 0.5 0.75 0.26022 Ta có: (1) { { (0) 𝑥1 = 𝑎𝑥2 + 𝑏 (1) 𝑥2 (2) 𝑥1 (2) 𝑥2 = = (1) 𝑐𝑥1 + 𝑑 (1) 𝑎𝑥2 + 𝑏 (2) 𝑐𝑥1 + 𝑑 { 0.52044 = 0.5𝑎 + 𝑏 (1) 0.75 = 0.52044𝑐 + 𝑑 { 0.125 = 0.75𝑎 + 𝑏 (2) 0.26022 = 0.125𝑐 + 𝑑 = Từ (1) (2), ta suy hệ số: 𝑎 = −1.5818 𝑏 { = 1.3113 𝑐 = 1.2386 𝑑 = 0.1054 Câu 3: Hàm cầu hàm thể phụ thuộc số lượng sản phẩm bán theo giá sản phẩm Một hàng bán bánh có số liệu sau Với M = 2.6022 x (giá) 4500 5000 5400 6000 6600 7000 8000 y 3980 3650 3500 3360 3150 3000 1040.88 (sản phẩm) Bằng phương pháp bình phương cực tiểu, xây dựng hàm cầu y=a+bx hàm tuyến tính Hãy ước lượng số sản phẩm bánh bán bán với giá 5800 đồng ước lượng giá bánh muốn bán 3000 (sản phẩm bánh làm tròn đến hàng đơn vị, giá sản phẩm làm tròn đến đơn vị trăm đồng) Giải: Ta có : n = ∑nk=1 xk = 42500, ∑nk=1 yk = 21680.88, ∑nk=1 xk2 = 266970000, n ∑ xk yk = 125337040 k=1 Hệ phương trình để xác định A, B có dạng: { A = 7376.404439 7A + 42500B = 21680.88 →{ 42500A + 266970000B = 125337040 B = -0.7047988487 → y = 7376.404439 − 0.7047988487x Số lượng sản phẩm bánh bán với giá 5800 đồng 3289 sản phẩm, giá để bán 3000 6200 đồng Câu 4: Tọa độ hai hàm f(x) g(x) mặt phẳng cho bảng sau: Tham số M = 2.6022 x 1.2 f(x) 0.8 g(x) 2.7 1.4 1.6 1.8 2.2 2.34198 1.0 1.15 1.05 1.2 1.3011 3.9 5.1 4.7 3.5 3.2 4.2 Dùng cơng thức Simpson tính diện tích miền phẳng giới hạn hai đồ thị hai đường thẳng x=1, x=2.2 (Đáp số với số lẻ) Giải: Công thức simpson: b ∫ y(x)dx ≈ a h (y + ycuối + ∑ ylẻ + ∑ ychẳn ) đầu 2.2 Đặt I1 = ∫1 f(x)dx ≈ = h (f + f6 + 4(f1 + f3 + f5 ) + 2(f2 + f4 )) 0.2 (0.8 + 1.3011 + 4(2.34198 + 1.15 + 1.2) + 2(1 + 1.05) ) = 1.664601333 2.2 Đặt I2 = ∫1 g(x)dx h (g + g + 4(g1 + g + g ) + 2(g + g )) 0.2 (2.7 + 3.2 + 4(3.9 + 5.1 + 3.5) + 2(4.2 + 4.7)) = 737 = 150 ≈ Diện tích miền phẳng giới hạn đồ thị đường thẳng x = 1, x = 2.2 là: S = 2.2 ∫1 |g(x) − f(x)|dx 2.2 S = ∫1 g(x) − f(x) dx 2.2 2.2 S = ∫1 g(x)dx − ∫1 f(x)dx S= 737 150 − 1.664601333 = 3.248732 Vậy diện tích giới hạn hai đờ thị f(x) g(x) đường thẳng x=1, x=2.2 S = 3.25 Câu 5: Cho A ma trận kích thước 2x2 X ma trận 2x1 Chứng minh rằng: ‖𝐴𝑋 ‖1 ≤ ‖𝐴‖1.‖𝑋 ‖1 Tìm X cho xảy dấu = Giải: 𝑎11 Gọi A = (𝑎 21 𝑎12 𝑥11 ) ( X= 𝑎22 𝑥21 ) ∀ 𝑎11 , 𝑎12 , 𝑎21 , 𝑎22 , 𝑥11 , 𝑥21 ≥ 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 AX= ( 𝑎11 𝑥11 + 𝑎 12𝑥 21 ) 21 11 22 21 ‖𝐴𝑋 ‖1 = 𝑎11 𝑥11 + 𝑎12 𝑥21 + 𝑎21 𝑥11 + 𝑎22 𝑥21 Giả sử a11 + a21 > a12 + a22 ‖𝐴‖1 = a11+a21 Từ ma trận X: ‖𝑋 ‖1 = 𝑥11 + 𝑥21 Ta có: ‖𝐴𝑋 ‖1 − ‖𝐴‖1 ‖𝑋 ‖1 = (𝑎11 𝑥11 + 𝑎21 𝑥11 ) − ( 𝑎11 + 𝑎21 ) (𝑥11 + 𝑥21 ) = 𝑎11 𝑥11 + 𝑎12 𝑥21 + 𝑎21 𝑥11 + 𝑎22 𝑥21 − 𝑎11 𝑥11 − 𝑎11 𝑥21 −𝑎21 𝑥11 − 𝑎21 𝑥21 = 𝑎12 𝑥21 + 𝑎22 𝑥21 − 𝑎11 𝑥21 − 𝑎21 𝑥21 = 𝑥21 (𝑎12 + 𝑎22 ) − 𝑥21 (𝑎11 + 𝑎21 ) ≤ (do a11 + a21 > a12 + a22) Hay ‖𝐴𝑋 ‖1 − ‖𝐴‖1 ‖𝑋 ‖1 ≤ ‖𝐴𝑋 ‖1 ≤ ‖𝐴‖1 ‖𝑋 ‖1 Xét trường hợp a11+a21 < a12+a22 chứng minh được: ‖𝐴𝑋 ‖1 ≤ ‖𝐴‖1 ‖𝑋 ‖1 Dấu “=” xảy khi: 𝑥21 (𝑎12 + 𝑎22 ) − 𝑥21 (𝑎11 + 𝑎21 ) = Hay 𝑥21 = Vậy với ma trận X có dạng X=(𝑥0)