Bài tập lớn môn phương pháp tính chủ đề số 2

lOMoARcPSD|15963670 Đ¾I HàC QC GIA THÀNH PHà Hâ CHÍ MINH TR¯ỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TÀP LâN MƠN HàC PH¯¡NG PHÁP TÍNH CHĀ ĐÀ LâP: L04 – NHĨM: 14 – HK 212 GVHD: TS NGUN ĐÌNH D¯¡NG SINH VIÊN THỰC HIỆN STT MSSV HỌ TÊN 2011845 Lê Hoàng Phúc 1811508 Lê Thái BÁo 1711328 Nguyán Ngác HiÁn 1911535 Nguyán Tấn Lác 2014538 Nguyán Đức ThÃng Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) ĐIỂM lOMoARcPSD|15963670 B¾NG PHÂN CƠNG NHIỆM VĀ VÀ THEO DếI TIắN ị LM VIC NHểM STT MSSV H V TÊN NHIỆM VĀ ĐIỂM KÝ TÊN 2011845 Lê Hoàng Phúc Bài + thuy¿t trình 1+ slide + thuy¿t trình 1+ tổng hợp 1811508 Lê Thái BÁo - 1711328 Nguyán Ngác HiÁn Bài 3a + thuy¿t trình 3a + slide 3a HIÀN 1911535 Nguyán Tấn Lác Bài 3b + thuy¿t trình 3b + slide 3b LàC 2014538 Nguyán Đức ThÃng Bài + thuy¿t trình 2+ slide + thuy¿t trình THÂNG Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) PHÚC BÀO lOMoARcPSD|15963670 MĀC LĀC PROBLEM 1.1 Lý thuy¿t 1.1.1 Phương trình phi tuyến 1.1.2 Phương trình vi phân 1.2 1.3 1.4 Nßi dung k¿t qu¿ có đ°ÿc 1.2.1 Nội dung 1.2.2 Kết Bài tốn mở rßng 11 1.3.1 Nội dung 11 1.3.2 Kết 11 K¿t luận 14 PROBLEM 15 2.1 Lý thuy¿t 15 2.2 Nßi dung k¿t qu¿ có đ°ÿc 18 2.2.1 Nội dung 18 2.2.2 Kết 19 2.3 K¿t luận 21 PROBLEM 22 3.1 Lý thuy¿t 22 3.1.1 Phương pháp Euler cải tiến cho hệ phương trình vi phân 22 3.1.2 Spline bậc ba tự nhiên 22 3.2 Nßi dung k¿t qu¿ có đ°ÿc 23 3.2.1 Nội dung 23 3.2.2 Kết 24 3.3 K¿t luận 33 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 PROBLEM 1.1 Lý thuy¿t Cho ÿ(ý) hàm sá liên tÿc đo¿n [a,b] thßa mãn ÿ (ÿ)ÿ(Ā) < Khi đó, tãn t¿i mát giá trß �㕝 nằm a b cho ÿ (�㕝) = GiÁ sử giá trß �㕝 ta goi [a,b] khoÁng cách ly nghiệm cāa ph°¢ng trình ÿ(ý) = Gái ý ∗ nghiệm gần cāa nghiệm p [ a, b ] ta có cơng thức đánh giá sai sá tổng quát: ÿ ′ (ý ∗ ) ý �㕝 f ÿ = ÿ ′ (ý) > ý ∈[ÿ,Ā] ÿ ∗ 1.1.1 Ph°¢ng trình phi tuy¿n 1.1.1.1 Phương pháp chia đơi Nái dung: Kißm tra giá trß cāa hàm t¿i đißm khng ā = ÿ+Ā N¿u ÿ (ā )ÿ (ÿ) < chÃc chÃn nghiệm cāa ph°¢ng trình nằm [a, c] có đá dài mát nửa đo¿n [a, b] ban đầu Ng°ợc l¿i, n¿u ÿ (ā )ÿ (Ā) < ta có điÁu t°¢ng tự đái vãi đo¿n [c, b] Lặp l¿i b°ãc giỳp ònh vò ngy cng chớnh xỏc hÂn vò trớ nghiệm cāa ph°¢ng trình Đây gái ph°¢ng pháp chia đôi (the bisection method) Công thức đánh giá sai sá: GiÁ sử sau n lần chia đơi, ta tìm đ°ợc đo¿n [ÿă , Āă ]có đá dài đißm khng ýă = ÿĀ +ĀĀ ta có cơng thức đánh giá sai sá: 1.1.1.2 Phương pháp cát tuyến Ā2ÿ 2Ā Chán nghiệm gần gần vãi giá trß nghiệm xác nhất, ýă �㕝 < Ā2ÿ 2ă+1 ph°¢ng pháp Newton (Newton’s method hay Newton-Raphson method), từ đißm có hồnh đá ýă21 ó thò ca òng cong ỵ = (ý) ta k ti¿p tuy¿n vãi đ°ßng cong Hồnh đá giao đißm cāa ti¿p tuy¿n vãi trÿc hoành ýă Ta dá dng vit phÂng trỡnh tip tuyn: ỵ = (ýă21 )(ý ýă21 ) + ÿ (ýă21 ) Downloaded by ng?c trõm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Cho ỵ = 0, ý = ýă ta thu đ°ợc cơng thức xác đßnh ýă , cơng thức lặp cāa ph°¢ng pháp Newton: ýă = ýă21 Ą(ýĀ−1 ) Ą′(ýĀ−1 ) , Ā = 1,2,3, & (1.3) Đây mát công thức ti¿ng đ°ợc sử dÿng ráng rãi việc giÁi quy¿t vấn đÁ tìm nghiệm Tuy nhiên, có mát đißm y¿u, phÁi bi¿t đ°ợc giá trß đ¿o hàm cāa ÿ mßi lần xấp xỉ Đơi khi, việc tìm ÿ ′ (ý) khó khăn khơng thn tiện cần nhiÁu kỹ tht tính tốn Vãi tr°ßng hợp này, ta có thß tính gần đ¿o hàm cơng thức: ÿ ′ (ýă ) = ÿ(ýă ) ÿ(ýă21 ) ýă ýă21 đó, ph°¢ng trình (1.3) có thß đ°ợc vi¿t l¿i thành cơng thức lặp nh° sau: ýă = ýă21 ÿ (ýă21 )(ýă21 ýă22 ) , ÿ (ýă21 ) ÿ (ýă22 ) Ā = 2,3,4, & Kỹ thuÁt đ°ợc gái ph°¢ng pháp cát tuy¿n (the secant method) (xem Hình 1.1) Xuất phát từ hai giá trß gần ban đầu �㕝0, �㕝1 , giá trß �㕝2 giao đißm cāa trÿc x vãi đ°ßng thẳng qua hai đißm (�㕝0 , ÿ (�㕝0 )) (�㕝1 , ÿ(�㕝1 )) Giá trß cāa �㕝3 giao đißm cāa trÿc x vãi đ°ßng thẳng qua hai đißm (�㕝1 , ÿ (�㕝1 )) (�㕝2 , ÿ (�㕝2 )) t°¢ng tự vãi giá trß xấp xỉ ti¿p theo Hình 1.1 Minh háa đ°ßng cát tuy¿n Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Khi muán đánh giá sai sá nghiệm gần tìm đ°ợc, ta dùng công thức °ãc l°ợng sai sá tổng qt (1.1) 1.1.2 Ph°¢ng trình vi phân Cho tốn Cauchy: ỵ (ý) = (ý, ỵ(ý)), { ỵ(ý0 ) = ỵ0 ý g ý0 , Vói ỵ = ỵ(ý) l hm cn tỡm, kh vi trờn on [a,b], ỵ0 l giỏ trò ban u cho tróc ca ỵ(ý) ti ý = ý0 , (ý, ỵ) l hm hai bin liên tÿc vãi đ¿o hàm riêng cāa Đß tìm nghiệm gần cho tốn Cauchy trên, ta chia đo¿n [a,b] thành n đo¿n nhß Ā2ÿ Khi đó, đißm chia sẻ ý0 = ÿ; ýĀ = ý0 + vãi b°ãc chia ℎ = ă �㕘ℎ; �㕘 = 0,1,2,3, & , Ā; ýă = 1.1.2.1 Phng phỏp Euler ci tin Gi s ỵ(ý) nghiệm cāa Cauchy trênm có đ¿o hàm cấp hai liên tÿc [a,b] Ta xây dựng c cụng thc Euler (Eulers method) nh sau: ỵ(ý+1 ) j ỵ+1 = ỵ + (ý ỵ ), = 0,1,2, & , Ā (1.6) N¿u thấy (ý , ỵ ) cụng thc (1.6) bỏi (ý , ỵ ) + (ý+1 , ỵ+1 ) ta đ°ợc công thức Euler cÁi ti¿n (modified Euler’s method): þ(ýĀ+1 ) j þĀ+1 = þĀ + ℎ ÿ (ýĀ , ỵ ) + (ý+1 , ỵ+1 ) , �㕘 = 0,1,2, & , Ā Đß Ân gin, ta thay ỵ+1 ỏ v phi bỏi ỵ21 + (ý21 , ỵ21 ), ú: ỵ(ý+1 ) j ỵ+1 = ỵ + (ý , ỵ ) + (ý+1 , ỵ + (ý , ỵ )) , �㕘 = 0,1,2, & , Ā 2 Vi¿t l¿i công thức Euler cÁi ti¿n: Downloaded by ng?c trõm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 = (ý , ỵ ) { = (ý + , ỵ + ) + ỵ(ý+1 ) j ỵ+! = þĀ + (1.7) 1.1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta bc bn ỵ+1 = ỵ(ý + ) j ỵ + =1 ý = (ý , ỵ ) = (ý + , ỵ + 21 ) = (ý + , ỵ + 31 + �㗽32 �㔾2Ā ) ỵ Ā Ā {�㔾ă = ℎÿ(ýĀ + , ỵ + 1 + 2 + ï + �㗽ă,ă21 �㔾ă21 (1.8) Ta cần xác đßnh hệ sá ý1 , ý2 , & ýă ; ÿ2 ÿ3 , & , ÿă ; �㗽21 , �㗽22 , & ,21 Khai triòn Taylor nghim ỵ(ý) ti ýĀ đ¿n bÁc ÿ rãi thay ý = ýĀ+1 , ta c: ỵ(ý+1 ) = ỵ(ý + ) j ỵ(ý ) + ỵ (ý ) + ỵ (ý ) + ỵ (3) (ý ) + ù + ỵ () (ý ) 3! ! 2! Trong tr°ßng hợp ÿ = Ā = , ta có công thức Runge-Kutta bÁc bán (Fourth - Order Runge-Kutta method RK4): ỵ+1 = ỵ(ý + ) j ỵ + (�㔾1Ā + 2�㔾2Ā + 2�㔾3Ā + �㔾4Ā ) �㔾1Ā = (ý , ỵ ) 2 = (ý + , ỵ { = (ý + , ỵ 2 ) (1.9) ) = (ý + , ỵ + ) 1.2 Nßi dung k¿t qu¿ có đ°ÿc 1.2.1 Nái dung A bungee jumper jumps from a mountain with the downward vertical velocity v Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 described by the mathematical model: Ăă Ăā =Ā2 mass of jumper and āĂ is called drag coefficient ā�㕑 Ă ă (see the picture), where m is the a) Suppose that the jumper is initial at rest, find analytically the expression of ă Ă Āą b) Let Ā = 9.8 ( 2) , ÿ = 68.1 (�㕘Ā), āĂ = 0.25 ( ) and the jumper is initial at rest, Ā Ă establish the table to compute the velocity of the jumper for the first 10 seconds with step size h =1 (s) by using modified Euler’s and Runge-Kutta method Compare the results to the exact values found in a) c) Using the result of a) and the bisection method, the secant method to determine the drag coefficient for a jumper with the weight of 95 (kg) and the velocity v = 46 (m/s) after 10 seconds of fall until the relative error is less than 5% (Guess the isolated interval containing root) T¿m dßch: Mát vÁn đáng viên bungee nhÁy từ mát ngán núi vãi vÁn tác v thẳng đứng h°ãng xng (xem hình), đ°ợc mơ tÁ bái mơ hình toán hác m khái l°ợng cāa vdv, āĂ hệ sá cÁn Ăă Ăā =Ā2 ā�㕑 Ă ă (1.10), a) GiÁ sử ban đầu vÁn đáng viên tr¿ng thái nghỉ, tìm bißu thức mơ tÁ v b) Bi¿t g = 9.8m/Ā , m = 68.1(kg), āĂ =0.25(kg/m) vÁn đáng viên bÃt đầu nhÁy từ tr¿ng thái nghỉ LÁp bÁng đß tính vÁn tác cāa vÁn đáng viên 10 giây kß từ lúc rßi ngán núi vãi b°ãc chia h =1(s) ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n ph°¢ng pháp Runge-Kutta So sánh k¿t q vãi giá trß xác tìm đ°ợc từ câu a) c) Sử dÿng k¿t q câu a) ph°¢ng pháp chia đơi, ph°¢ng pháp cát tuy¿n đß tìm hệ sá cÁn đái vãi vÁn đáng viên có khái l°ợng 95 (kg), vÁn tác v = 46 (m/s) sau 10 giây kß từ lúc bt u rÂi n sai sỏ tÂng ỏi nhò h¢n 5% (dự đốn khng cách ly nghiệm) 1.2.2 K¿t q a) Nhân hai v¿ cāa ph°¢ng trình (1.10) vãi ąĂ Ă ā�㕑 , ta đ°ợc ÿ Ăă Āÿ = ă āĂ āĂ Ăā Đặt ÿ = : , ph°¢ng trình trá thành ā�㕑 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Ă Ăă ā�㕑 Ăā = ÿ2 ă  ∫ Ăă ÿ2 2ă Ăă ÿ2 2ă =∫ Ă Ăā ā�㕑 Ă Ăā  ÿÿāÿĀℎ( ) = ā�㕑 ā+ÿ  ă = atanh (ÿ ā�㕑 ā) ÿ ă ā�㕑 = ÿ Ă Do lúc đầu, vÁn đáng viên tr¿ng thái nghỉ nên v(0) = 0, suy C = ąĂ Ă ąā ă= : (: �㕑 ā) ā Ă �㕑 (1.11) b) Giá trß vÁn tác xác exact v đ°ợc tính bißu thức (1.11), vãi Ā = 9.8, āĂ = 0.25, ÿ = 68.1, k¿t quÁ đ°ợc thß cát cāa BÁng 1.1 Vãi ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n, từ công thức (1.7): Khi t = �㔾10 = ( 9.8 0.25 (0 + 9.8)2 ) j 9.4474303 68.1 9.8 + 9.4474303 j0+ j 9.6237151 �㔾20 = ( 9.8 ăĂ.�㔸Ăāăÿ1 0.25 ) = 9.8 68.1 |ăĂ.�㔸Ăāăÿ1 ăăýÿāā1 | j 0.0604286 Khi t = 0.25 9.62371512 ) j 9.400004 68.1 0.25 �㔾21 = ( 9.8 (9.6237151 + 9.400004)2 ) j 8.4630389 68.1 �㔾21 = ( 9.8 ăĂ.�㔸Ăāăÿ2 j 9.6237151 + 9.400004 + 8.4630389 j 18.5852348 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 |ăĂ.�㔸Ăāăÿ2 ăăýÿāā2 | j 0.1257200 Thao tác t°¢ng tự đái vãi giá trß t ti¿p theo, ta thu đ°ợc k¿t quÁ cát cát cāa BÁng 1.1 Trong đó, ăĂ.�㔸Ăāăÿ10 j 49.2271057, |ăĂ�㔸Ăāăÿ10 ă| j 0.1647634 Vãi ph°¢ng pháp Runge-Kutta bÁc bán (RK4), áp dÿng công thức (1.9): Vãi t = 0: �㔾10 = ( 9.8 �㔾20 0.25 ) = 9.8 68.1 9.8 0.25 (0 + ) ) j 9.7118576 = ( 9.8 2 68.1 9.7118576 0.25 (0 + ) ) j 9.7134360 68.1 0.25 �㔾40 = ( 9.8 (0 + 9.7134360)2 ) j 9.453613 68.1 �㔾30 = ( 9.8 ă�㕅�㔾41 j + (9.8 + ∗ 9.7118576 + ∗ 9.7134360 + 9.4536313 j 9.6840364, |ă�㕅�㔾41 ăăýÿāā1 | j 0.0001073 Vãi t =1 0.25 9.68403642 ) j 9.4557248 68.1 0.25 9.4557248 �㔾21 = ( 9.8 (9.6840364 + ) ) j 9.0375080 68.1 �㔾11 = ( 9.8 �㔾31 = ( 9.8 �㔾41 = ( 9.8 0.25 9.0375080 (9.6840364 + ) ) j 9.0594741 68.1 0.25 (0 + 9.0594741)2 ) j 8.5102820 68.1 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 2.2.2 K¿t qu¿ a) Ta có Đặt X = v= vm S ks2 + S ks2 1  = = + 2 2 ks + S v vm S vm S vm ks2 1 Y = B = , , ,A= S v vm vm Đưa phương trình dạng tuyến tính: Y = A + BX Bảng số liệu thay thế: S2 v 100/169 25/81 1/9 4/81 1/36 1/64 1/81 100/7 100/13 50/11 40/11 200/67 20/7 25/9 Ta có n = 7, õ X i = 1.1166,õYi = 38.7798, õ X 2i = 0.4613, õ X iYi = 11.6737 Áp dụng cơng thức bình phương nhỏ cho trường hợp f (x)= A + Bx : n ü ö n ö nA x B yk + = õ ÿ ÷õ k ÷ ü7 A + 1.1166 B = 38.7798 ü A = 2.4488 k =1 ÿ ø k =1 ứ ý ý ý n n n ỵ1.1166 A + 0.4613B = 11.6737 ỵ B = 19.3786 x A + ö x ö B = x y õ õ õ k ÷ k ÷ k k ÷ ữ ỵứ k =1 ứ k =1 ứ k =1 ø A=1/vm => vm=0.4084 K s = B vm = 19.3786 0.4084 = 2.8132 b) Sử dụng bảng số liệu từ đề áp dụng phương pháp bình phương cực tiểu cho trường hợp f (x)= A+ Bx+ Cx2 Ta co n = 7, õ Sk = 33.6,õ Sk2 = 215.18, õ vk = 215.18, õS k = 1583.154,õ Sk vk = 10.2725, õ Sk4 = 12457.4162,õ Sk2vk = 71.7083 19 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 n ü ö n ö ö n 2ö + + = nc S b S a vk õ ÿ ÷õ k ÷ ÷õ k ÷ 1 = k = k = k ø ø ø ø ÿ n ÿÿ ö n ö ö n 2ö ö n 3ö + + = S c S b S a S k vk ý÷ õ k ÷ ÷ õ k ÷ ÷ õ k ÷ õ 1 1 = = = = k k k k ø ø ø ø ø ø ÿ n ÿö n ö ö n ö ö n ö ÿ÷ õ S k2 ÷ c + ÷ õ S k3 ÷ b + ÷ õ S k4 ữ a = S k2vk ỵứ k =1 ø ø k =1 ø ø k =1 ø k =1 ü7c + 33.6b + 215.18a = 1.74 üc = −0.0352 ÿ ÿ  ýb = 0.0987 ý33.6c + 215.18b + 1583.154a = 10.2725 ÿ215.18c + 1583.154b + 12457.4162a = 71.7083 a = 0.0062 ỵ ỵ Vy phng trỡnh vận tốc : v = − 0.0062S2 + 0.0987S - 0.0352 Ta đánh giá hai mơ hình dựa vào sai số trường hợp: n E = õ [ f ( xk ) − yk ]2 k =1 Trường hợp mơ hình tuyến tính: k2 1 = s + với Ks = 2.8132 Vm = v( S ) vm S vm 0.4084 S v v(S) v(S)-v 1.3 0.0700 0.0719 0.0019 1.8 0.1300 0.2200 0.1186 0.2173 -0.0114 -0.0027 4.5 0.2750 0.2936 0.0186 0.3350 0.3348 -0.0002 0.3500 0.3635 0.0135 0.3600 0.3720 0.0120 E = õ [v( S k ) − vk ]2 = 0.00081311 k =1 Trường hợp mơ hình parabol: V(S) = − 0.0352 + 0.0987S – 0.0062S2 S v v(S) v(S)-v 1.3 0.0700 0.0826 0.0126 1.8 0.1300 0.2200 0.1224 0.2051 -0.0076 -0.0149 4.5 0.2750 0.2834 0.0084 0.3350 0.3338 -0.0012 0.3500 0.3576 0.0076 0.3600 0.3509 -0.0091 E = õ [v( S k ) − vk ]2 = 0.0006511 k =1 20 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 Vì sai số mơ hình tuyến tính lớn sai số mơ hình parabol nên mơ hình parabol cho giá trị xấp xỉ tốt 2.3 K¿t luận Phương pháp bình phương cực tiểu xây dựng hàm đơn giản cho thể tốt giáng điệu tập hợp điểm Chính vậy, cần xây dựng hàm đơn giản cho thích hợp với sai số nhỏ 21 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 PROBLEM 3.1 Lý thuy¿t 3.1.1 Phương pháp Euler cải tiến cho hệ phương trình vi phân Xét hệ ph°¢ng trình vi phân: E Chia đo¿n [t0, t0 + H] thành n đo¿n có đá dài h = H/n " Các đißm chia tk = t0 + kh, k = 0, 1, …, n " Giá trß gần cāa x(t), y(t) t¿i tk lần l°ợt xk ≈ x(tk), yk ≈ y(tk), Công thư뀁c Euler c¿i ti¿n �㔾1ý = ( , ý ( ), ỵ( )) 1ỵ = ( , ý ( ), ỵ( )) " 2ý = ( , ý ( ) + 1ý , ỵ( ) + 1ỵ ) 2ỵ = ( , ý( ) + 1ý , ỵ( ) + 1ỵ ) 1ý + 2ý ý (+1 ) j ý+1 = ý + 1ỵ + 2ỵ ỵ(+1 ) j ỵ+1 = ỵ + = 0,1, & , Ā 3.1.2 Spline bậc ba tự nhiên Định nghĩa: Cho hàm y=f(x) xác đßnh đo¿n [a,b] bÁng sá Mát spline bÁc nái suy hàm f(x) hàm g(x) thßa điÁu kiện sau : i) g(x) có đ¿o hàm đ¿n cấp liên tÿc [a,b] ii) Ā(ý) = ĀĀ (ý) đa thức bÁc [ýĀ , ýĀ+1 ], k=0,1, ,n-1 iii) (ý ) = ỵ , k=0,1, …, n Cách xây dựng spline bậc 3: Đặt ℎĀ = ýĀ+1 ýĀ ĀĀ (ý) đa thức bÁc nên có thß vi¿t d°ãi d¿ng: ĀĀ (ý) = ÿĀ + ĀĀ (ý ýĀ ) + āĀ (ý ýĀ )2 + ĂĀ (ý ýĀ )3 Các hệ sá ÿĀ , ĀĀ , ĂĀ đ°ợc xác đßnh theo công thức : Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) 22 lOMoARcPSD|15963670 = ỵ (1) ỵ+1 ỵ (āĀ+1 + 2āĀ )(2) ĀĀ = ℎĀ āĀ+1 āĀ ĂĀ = (3) { 3ℎĀ Hệ sá ck đ°ợc tính theo cơng thức: Ph°¢ng trình (4) hệ pt tuy¿n tính gãm n-1 pt dùng đß xác đßnh hệ sá āĀ Ph°¢ng trình (4) có sá ẩn = n+1 > sá ph°¢ng trình = n-1 (thi¿u phÂng trỡnh) nờn cha gii c, ò gii c ta cần bổ sung thêm sá điÁu kiện Spline tự nhiên spline vãi điÁu kiện: g ”(a) = g”(b) = GiÁi thuÁt xác đßnh spline tự nhiên: ĐiÁu kiện g”(a)=g”(b) = suy āĄ = āă = B1 Tính ℎĀ = ýĀ+1 ýĀ , �㕘 = 0,1, & , Ā 1; ÿĀ = ỵ , = 0, & , B2 GiÁi hệ Ac = b tìm ā = (āĄ , ā1 , & , āă )�㕇 B3 Tính hệ sá ĀĀ , ĂĀ 3.2 Nßi dung k¿t qu¿ có đ°ÿc 3.2.1 Nội dung In biology, the predator-prey model is used to observe the species interaction One model is proposed by Lotka-Volterra as: 23 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 ý = ý ýỵ ỵ = 2ỵ + ýỵ where x, y are the number of preys and predators, respectively, a = the prey growth rate, c = the predator death rate, b and d = the rates characterizing the effect of the predator prey interactions on the prey death and the predator growth, respectively t is time measured in month a) Given the following data ÿ = 1.2, Ā = 0.6, ā = 0.8, Ă = 0.3 with initial conditions of ý = and I ỵ = Find the number of prey and predators after 10 months with modified Euler’s method with step size ℎ = 0.625 b) With the found data, construct the natural cubic spline for x and y Plot in one figure the graphs of ý ( ), ỵ() Tm dịch: Trong sinh hác, mơ hình kẻ săn – mói c dựng ò quan sỏt s tÂng tỏc lồi Mơ hình đ°ợc đÁ xuất bái Lotka-Volterra l ý = ý ýỵ ỵ = 2ỵ + ýỵ ú x, y ln lt l sá l°ợng cāa đáng vÁt săn mãi, a tác đá tăng tr°áng sá l°ợng lồi bß săn, c tác đá ch¿t cāa loài săn, b d theo thứ tự tỷ lệ đặc tr°ng cho Ánh h°áng cāa t°¢ng tác kẻ săn – lên ch¿t cāa tăng tr°áng cāa loài săn mãi, t thßi gian tính tháng a) Cho ÿ = 1.2, Ā = 0.6, ā = 0.8, Ă = 0.3 vãi điÁu kiện ban đầu ý = þ = Tìm sá l°ợng cāa lồi bß săn lồi săn sau 10 tháng ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n vãi b°ãc chia ℎ = 0.625 b) Vãi liệu tìm đ°ợc, xây dựng spline bÁc ba tự nhiên cho x y Vẽ thß ca ý ( ), ỵ() cựng mỏt h tỏa đá 3.2.2 K¿t quÁ a) Ta có: āĄ = 0; ý = 2; ỵ = 1; = 0.625; = 1.2; Ā = 0.6; ā = 0.8; Ă = 0.3; 10 10 Ā= = = 16 ℎ 0.625 Ăý = ý ýỵ = 1.2ý 0.6ýỵ = (ý, þ, ā) Ăā Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) 24 lOMoARcPSD|15963670 ỵ = 2ỵ + ýỵ = 20.8ỵ + 0.3ýỵ = (ý; ỵ; ) Bt u tớnh toỏn 1ý = (ý , ỵ , ) = (1.2ý 0.6ýỵ) = 0.625 ì (1.2 ì 2 0.6 ì ì 1) = 0.75 1ỵ = (ý , ỵ , ) = (20.8ỵ + 0.3ýỵ) = 0.625 ì (20.8 × + 0.3 × × 1) = 20.125 �㔾2ý = ℎÿ(āĄ + ℎ; ýĄ + �㔾1ý ; þĄ + �㔾1þ ) = ℎ(1.2(ýĄ + �㔾1ý ) 0.6(ý + 1ý )(ỵ + 1ỵ )) = 0.625(1.2 ì (2 + 0.75) 0.6 × (2 + 0.75)(1 0.125)) = 1.1602 2ỵ = ( + ; ý + 1ý ; ỵ + 1ỵ ) = (20.8(ỵ + 1ỵ ) + 0.3(ý + 1ý )(ỵ + 1ỵ )) = 0.625(20.8 × (1 0.125) + 0.3 × (2 + 0.75)(1 0.125)) = 0.0137 1 ý1 = ýĄ + (�㔾1ý + �㔾2ý ) = + (0.75 + 1.1602) = 2.955 2 1 ỵ1 = ỵ + (1ỵ + 2ỵ ) = + (20.125 + 0.0137) = 0.9443 2 Làm t°¢ng tự vãi giá trß x, y cịn l¿i, ta tổng hợp đ°ợc bÁng: k t x y 0 2.0000 1.0000 0.625 2.9551 0.9443 1.25 4.3170 1.1060 1.875 5.6371 1.6976 2.5 5.1999 3.0648 3.125 2.6855 3.9863 3.75 1.4284 3.2502 4.375 1.0230 2.4265 0.9930 1.7682 5.625 1.1954 1.3102 10 6.25 1.6465 1.0261 11 6.875 2.4404 0.8954 12 7.5 3.6852 0.9395 13 8.125 5.2690 1.2898 14 8.75 6.0719 2.3251 15 9.375 3.8927 4.0192 16 10 1.8974 3.6834 Sá l°ợng cāa lồi bß săn 1.8974 loài săn 3.6834 sau 10 tháng b) Ta tính làm spline cāa ý(ā) ℎĀ = +1 ; ỵ = [ ; +1 ]; = 2( + +1 ); = 3(ỵ þĀ21 ) Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) 25 lOMoARcPSD|15963670 k 10 11 12 13 14 15 16 t 0.0000 0.6250 1.2500 1.8750 2.5000 3.1250 3.7500 4.3750 5.0000 5.6250 6.2500 6.8750 7.5000 8.1250 8.7500 9.3750 10.000 x 2.0000 2.9551 4.3170 5.6371 5.1999 2.6855 1.4284 1.023 0.993 1.1954 1.6465 2.4404 3.6852 5.269 6.0719 3.8927 1.8974 h 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 B 1.5282 2.179 2.1122 – 0.6995 – 4.0230 – 2.0114 –0.6486 –0.0480 0.3238 0.7218 1.2702 1.9917 2.5341 1.2846 – 3.4867 – 3.1925 u v’ 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 1.9526 – 0.2006 – 8.4350 – 9.9706 6.0350 4.0882 1.8019 1.1155 1.1938 1.6454 2.1643 1.6272 – 3.7483 – 14.3141 0.8827 Áp dÿng cơng thức slides đß lÁp ma trÁn vng cấp 17 Thay sá ta đ°ợc 26 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 GiÁi đ°ợc āĀ k 10 11 12 13 14 15 16 Ta áp dÿng công thức k �㖄�㖌 0.6964 0.3484 -2.409 -4.209 3.2930 0.6907 0.4861 0.2471 0.3103 0.4224 0.6319 0.5135 -0.083 -6.0179 1.8978 = ỵ ỵ+1 ỵ (āĀ+1 + 2āĀ ) ĀĀ = ℎĀ āĀ+1 āĀ ĂĀ = { 3ℎĀ ý�㖌 2.9551 4.3170 5.6371 þ�㖌 1.3831 1.8163 2.4689 1.1811 ÿ�㖌 0.6964 0.3484 -2.4090 Ā�㖌 0.3714 -0.1856 -1.4706 -0.960 27 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 10 11 12 13 14 15 16 5.1999 2.6855 1.4284 1.0230 0.9930 1.1954 1.6465 2.4404 3.6852 5.2690 6.0719 3.8927 -2.9553 -3.5273 -1.0377 -0.3020 0.1562 0.5045 0.9626 1.6214 2.3374 2.5730 -1.3746 -3.9832 -4.2090 3.2930 0.6907 0.4861 0.2471 0.3103 0.4224 0.6319 0.5135 -0.0830 -6.0179 1.8978 4.0011 -1.3879 -0.1091 -0.1275 0.0337 0.0598 0.1117 -0.0632 -0.3181 -3.1653 4.2217 -1.0122 Thay �㕘; ā; ÿ; Ā; ā; Ă vào hàm bên d°ãi ýĀ (ā ) = ÿĀ + ĀĀ (ā āĀ ) + āĀ (ā āĀ )2 + Ă (ā āĀ )3 ý0 (ā ) = 2.0000 + 1.3831(ā 0.0000) + 0.0000(ā 0.0000)2 + 0.3714(ā 0.0000)3 ā�㔖[0.0000; 0.6250] ý1 (ā ) = 2.9551 + 1.8163 (ā 0.6250 ) + 0.9640 (ā 0.6250 )2 0.1856 (ā 0.6250)3 ā�㔖[0.6250; 1.2500] ý2 (ā ) = 4.3170 + 2.4689(ā 1.2500) + 0.3484(ā 1.2500)2 1.4706(ā 1.2500)3 ā�㔖[1.2500; 1.8750] ý3 (ā ) = 5.6371 + 1.1811(ā 1.8750) 2.4090(ā 1.8750)2 0.96(ā 1.8750)3 ā�㔖[1.8750; 2.5000] ý4 (ā ) = 5.1999 2.9553(ā 2.5000) 4.2090(ā 2.5000)2 + 4.0011(ā 2.5000)3 ā�㔖[2.5000; 3.1250] ý5 (ā ) = 2.6855 3.5273(ā 3.1250) + 3.2930(ā 3.1250)2 1.3879(ā 3.1250)3 ā�㔖[3.1250; 3.7500] ý6 (ā ) = 1.4284 1.0377(ā 3.7500) + 0.6907(ā 3.7500)2 0.1091(ā 3.7500)3 ā�㔖[3.7500; 4.3750] ý7 (ā ) = 1.0230 0.302(ā 4.3750 ) + 0.4861(ā 4.3750)2 0.1275(ā 4.3750)3 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) 28 lOMoARcPSD|15963670 ā�㔖[4.3750; 5.0000] ý8 (ā ) = 0.9930 + 0.1562(ā 5.0000) + 0.2471(ā 5.0000)2 + 0.0337(ā 5.0000)3 ā�㔖[5.0000; 5.6250] ý9 (ā ) = 1.1954 + 0.5045(ā 5.6250) + 0.3103(ā 5.6250)2 + 0.0598(ā 5.6250)3 ā�㔖[5.6250; 6.2500] ý10 (ā ) = 1.6465 + 0.9626(ā 6.2500) + 0.4224(ā 6.2500)2 + 0.1117(ā 6.2500)3 ā�㔖[6.2500; 6.8750] ý11 (ā ) = 2.4404 + 1.6214(ā 6.8750) + 1.6214(ā 6.8750)2 0.0632(ā 6.8750)3 ā�㔖[6.8750; 7.5000] ý12 (ā ) = 3.6852 + 2.3374(ā 7.5000) + 0.5135(ā 7.5000)2 0.3181(ā 7.5000)3 ā�㔖[7.5000; 8.1250] ý13 (ā ) = 5.2690 + 2.5730(ā 8.1250) 0.0830(ā 8.1250)2 3.1653(ā 8.1250)3 ā�㔖[8.1250; 8.7500] ý14 (ā ) = 6.0719 1.3746(ā 8.1250) 6.0179(ā 8.1250)2 + 4.2217(ā 8.1250)3 ā�㔖[8.7500; 9.3750] ý15 (ā ) = 3.8927 3.9832(ā 9.3750) + 1.8978(ā 9.3750)2 1.0122(ā 9.3750)3 ā�㔖[9.3750; 10.0000] Ta giÁi t°¢ng t vói hm ỵ() = +1 ; þĀ = ÿ[āĀ ; āĀ+1 ]; ĂĀ = 2(ℎĀ + +1 ); = 3(ỵ ỵ21 ) k 10 t 0.0000 0.6250 1.2500 1.8750 2.5000 3.1250 3.7500 4.3750 5.0000 5.6250 6.2500 x 0.9443 1.106 1.6976 3.0648 3.9863 3.2502 2.4265 1.7682 1.3102 1.0261 h 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 B -0.0891 0.2587 0.9466 2.1875 1.4744 -1.1778 -1.3179 -1.0533 -0.7328 -0.4546 -0.2091 u v’ 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 1.0435 2.0635 3.7229 -2.1394 -7.9565 -0.4205 0.7939 0.9614 0.8347 0.7363 29 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 11 12 13 14 15 16 6.8750 7.5000 8.1250 8.7500 9.3750 10.0000 0.8954 0.9395 1.2898 2.3251 4.0192 3.6834 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.6250 0.0706 0.5605 1.6565 2.7106 -0.5373 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 0.8390 1.4698 3.2880 3.1622 -9.7435 Áp dÿng công thức slides đß lÁp ma trÁn vng cấp 17 Thay sá Ta đ°ợc āĀ k 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 �㖄�㖌 0.0000 0.3250 0.3688 1.5027 -0.4236 -3.2312 0.6182 0.0851 0.3115 0.2075 30 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 Ta áp dÿng công thức k 10 11 12 13 14 15 16 0.1941 0.1941 0.3719 0.6699 2.2098 -4.4498 0.0000 ÿĀ = ỵ ỵ+1 ỵ (+1 + ) ĀĀ = ℎĀ āĀ+1 āĀ ĂĀ = { 3ℎĀ ý�㖌 1.0000 0.9443 1.1060 1.6976 3.0648 3.9863 3.2502 2.4265 1.7682 1.3102 1.0261 0.8954 0.9395 1.2898 2.3251 4.0192 3.6834 þ�㖌 –0.1568 0.0465 0.4798 1.6496 2.3241 0.0398 –1.5932 –1.1536 –0.9058 –0.5815 –0.3304 –0.0878 0.2660 0.9170 2.7169 1.3168 ÿ�㖌 0.0000 0.3250 0.3688 1.5027 –0.4236 –3.2312 0.6182 0.0851 0.3115 0.2075 0.1941 0.1941 0.3719 0.6699 2.2098 –4.4498 0.0000 Ā�㖌 0.1733 0.0234 0.6047 –1.0274 –1.4974 2.0530 –0.2843 0.1207 –0.0555 –0.0071 0.0000 0.0948 0.1589 0.8213 –3.5518 2.3732 Thay �㕘; ā; ÿ; Ā; ā; Ă vào hm bờn dói ỵ ( ) = + (ā āĀ ) + āĀ (ā āĀ )2 + ( )3 ỵ0 ( ) = 1.00003 0.1568(ā 0.0000) + 0.0000(ā 0.0000)2 + 0.1733(ā 0.0000)3 ā�㔖[0.0000; 0.6250] Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) 31 lOMoARcPSD|15963670 ỵ1 ( ) = 0.9443 + 0.0465( 0.6250) + 0.3250(ā 0.6250)2 + 0.0234(ā 0.6250)3 ā�㔖[0.6250; 1.2500] þ2 (ā ) = 1.1060 + 0.4798(ā 1.2500) + 0.3688( 1.2500)2 + 0.6047( 1.2500)3 [1.2500; 1.8750] ỵ3 (ā ) = 1.6976 + 1.6496(ā 1.8750) + 1.5027(ā 1.8750)2 1.0274(ā 1.8750)3 ā�㔖[1.8750; 2.5000] ( ) þ4 ā = 3.0648 + 2.3241(ā 2.5000) 0.4236(ā 2.5000)2 1.4974( 2.5000)3 [2.5000; 3.1250] ỵ5 ( ) = 3.9863 + 0.0398(ā 3.1250) 3.2312(ā 3.1250)2 + 2.0530( 3.1250)3 [3.1250; 3.7500] ỵ6 ( ) = 3.25023 1.5932(ā 3.7500) + 0.6182(ā 3.7500)2 0.2843( 3.7500)3 [3.7500; 4.3750] ( ) ỵ7 = 2.42653 1.1536(ā 4.3750) + 0.0851(ā 4.3750)2 + 0.1207(ā 4.3750)3 [4.3750; 5.0000] ỵ8 ( ) = 1.76823 0.9058( 5.0000) + 0.3115(ā 5.0000)2 0.0555(ā 5.0000)3 [5.0000; 5.6250] ỵ9 ( ) = 1.31023 0.5815( 5.6250) + 0.2075(ā 5.6250)2 0.0071(ā 5.6250)3 ā�㔖[5.6250; 6.2500] ( ) ỵ10 = 1.02613 0.3304( 6.2500) + 0.1941( 6.2500)2 + 0.0000( 6.2500)3 [6.2500; 6.8750] ỵ11 (ā ) = 0.89543 0.0878(ā 6.8750) + 0.1941(ā 6.8750)2 + 0.0948( 6.8750)3 [6.8750; 7.5000] ỵ12 ( ) = 0.9395 + 0.2660(ā 7.5000) + 0.3719(ā 7.5000)2 + 0.1589( 7.5000)3 [7.5000; 8.1250] ỵ13 ( ) = 1.2898 + 0.9170(ā 8.1250) + 0.6699(ā 8.1250)2 + 0.8213(ā 8.1250)3 ā�㔖[8.1250; 8.7500] 32 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com) lOMoARcPSD|15963670 ỵ14 ( ) = 2.3251 + 2.7169( 8.7500) + 2.2098(ā 8.7500)2 3.5518(ā 8.7500)3 ā�㔖[8.7500; 9.3750] ỵ15 ( ) = 4.0192 + 1.3168( 9.3750) 4.4498(ā 9.3750)2 + 2.3732(ā 9.3750)3 ā�㔖[9.3750; 10.0000] Từ hàm x y tìm đ°ợc ta vẽ thß x(t) (đ°ßng màu đß) y(t) (đ°ßng màu xanh) 3.3 K¿t luận Việc sử dÿng ph°¢ng pháp Euler cÁi ti¿n giúp ta tính đ°ợc xấp xỉ ẩn cần tìm cāa chúng cách xác h¢n Hàm Euler cÁi ti¿n sai sá n¿u có giá trß đß ta sử dÿng Dựa vào sá liệu có sẵn ta có thß sử dÿng hàm spline tự nhiên đß vẽ thß đ°ßng vãi sá liệu có mát cách xác hÂn so vói v òng thng nỏi cỏc iòm C thò húa nú bng cỏc phÂng trỡnh nỏi cỏc iòm Càng nhiÁu sá liệu việc vẽ hình xác h¢n 33 Downloaded by ng?c trâm (ngoctram201217@gmail.com)