Toán kinh tế thầy lê anh vũ bài tập nhóm số 2 toán kinh tế một công ty sản xuất và Độc quyền tiêu thụ một loại sản phẩm với hàm cầu q

CâuV.5: Một công ty sản xuất và độc quyền tiêu thụ một loại sản phẩm với hàm cầu Q tính bằng số lượng sản phẩm và chi phí bình quân AC tính bằng USD được cho như dưới đây.. Xác định hà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT

KHOA KINH TẾ LỚP K24401A

TOÁN KINH TẾ- THẦY LÊ ANH VŨ

BÀI TẬP NHÓM SỐ 2 TOÁN KINH TẾ

NHÓM TRÀN BỘ NHỚ

STT STT(DS) HỌ VÀ TÊN MSSV NHIỆM VỤ Đánh giá

(%)

vào file chung.

100%

Lời nhận xét của giảng viên :

………

………

………

………

………

………

………

………

………

CâuV.5: Một công ty sản xuất và độc quyền tiêu thụ một loại sản phẩm với hàm cầu Q

(tính bằng số lượng sản phẩm) và chi phí bình quân AC (tính bằng USD) được cho

như dưới đây Xác định hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận rồi tính giá trị cận biên,

hệ số co giãn theo sản lượng của các hàm đó ứng với sản Q đã chỉ ra

a) Q = 60 – 2P; AC = 0,5Q2 – 15Q + 10 tại Q = 30

b) Q = 300 – 10P; AC = 2,5Q2 – 75Q + 100 tại Q = 150.

Giải:

a/ Xem giá P là hàm của sản lượng cầu Q ta có

Q = 60 - 2P  P = 30 - 0,5Q ; 0 < Q < 60

Với Q=30 ta có:

Giá trị cận biên của các hàm trên ứng với sản lượng Q đã chỉ ra là:

Doanh thu cận biên MR = R’ = 30 – Q = 0

Lợi nhuận cận biên π ' Q= ¿-1,5Q2 + 29Q + 20 = - 460

Hệ số co giãn theo sản lượng của các hàm đó ứng với sản lượng Q đã chỉ ra là:

ε c = MC . Q

C=¿ 460.30030 =46

ε R = MR Q R = 0.45030 = 0

ϵ π = π ' Q . Q

π=¿-460 15030 = -90

b/ Xem giá P là hàm của sản lượng cầu Q ta có

Q = 300 – 10P  P = 30 – 0,1Q ; 0 < Q <300

Với Q = 150 ta có :

Chi phí là C = AC.Q = (2,5Q2 – 75Q + 100)Q = 2,5Q3 - 75Q2 + 100Q = 6765000

Giá trị cận biên của các hàm trên ứng với sản lượng Q đã chỉ ra là:

Doanh thu cận biên MR = R’ = 30 – 0,2Q = 0

Vậy hệ số co giãn theo sản lượng của các hàm đó ứng với sản lượng Q đã chỉ ra là:

ε c = MC . Q

C=¿ 146350.6765000150 = ¿ 2927

902

ε R = MR Q R = 0.2250150 = 0

ϵ π = π ' Q . Q

π=¿-146350 −6762750150 = - 3,25

Câu V.6 Cho hàm sản lượng cầu Q = 60P+ ln(65 – P 3 ) theo giá P (đơn vị: USD)

a) Xác định doanh thu, doanh thu cận biên và hệ số co giãn của cầu theo giá khi

P = 4 Giải thích ý nghĩa của các giá trị tính được

b) Nếu P = 4 giá giảm đi 2% thì doanh thu thay đổi bao nhiêu phần trăm? Giải :

a, Ta có: Q = 60P+ ¿ (65−P3)

Doanh thu R = PQ = P.( 60P + ¿(65−P3)) = 60 + P.¿(65−P3) = 60

Doanh thu cận biên MR = R’ = ¿(65−P3)+ P −3 P2

Hệ số co giãn: ϵ D=Q ' P Q P = (−60

P2 - 3 P2

65−P3¿

P

60

P +¿(65−P

3

) = -13,8 (%) Điều này có nghĩa là ở mức giá P=4, ta có:

- Nếu tăng P thêm 1 đơn vị thì doanh thu giảm 192 (USD)

- Nếu tăng P thêm 1% thì cầu giảm 13,8%

b,

Vậy khi giá giảm đi 2% thì doanh thu tăng 12,8%

Câu V.7 Giả sử một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu cho bởi P = 2800 - 15Q (đơn vị tính USD) với Q = Q d là lượng cầu (tính bằng số lượng sản phẩm) Cho biết chi phí bình quân là

AC = 2Q2 - 12Q + 280 + 1500Q−1; Q > 0.

a) Xác định doanh thu và lợi nhuận.

b) Tìm mức sản lượng tối ưu hóa lợi nhuận và xác định giá tương ứng.

Giải:

a) Chi phí là:

Doanh thu là:

Lợi nhuận:

π = R - C = (2800Q - 15Q2) - (2Q3 - 12Q2 + 280Q + 1500)

Hay lợi nhuận là :

π = - 2Q3 - 3Q2 + 2520Q - 1500; Q > 0

Ta có Mπ = π' = - 6Q2- 6Q + 2520 = - 6(Q2 + Q - 420)

π¿

= - 12Q - 6 = - 6(2Q + 1) < 0; ∀ Q > 0

⇔ [Q = 20 (nhận) hoặc Q = - 21 (loại)]

Tại Q = 20 ta có:

P = 2800 - 15x20 = 2500;

π(20) = - 2x20 3 - 3x20 2 + 2520x20 - 1500 = 31700.

Vì π¿(Q) < 0 trên khoảng (0, + ∞) nên π đạt cực đại tại Q = 20 với π max = 31700

giá trị cực đại π max = 31700 cũng là lợi nhuận lớn nhất

Kết luận: Với sản lượng cầu Q = 20, giá tương ứng P = 2500 (USD) thì lợi nhuận

Câu V.10 Giả sử một loại sản phẩm có hàm cầu là P = 42 - 4Q và chi phí bình quân là AC = 2 + 80Q−1 với P là giá sản phẩm và Q là lượng cầu của sản phẩm

đó Tìm mức giá P để tối ưu hóa lợi nhuận và xác định lợi nhuận lúc đó.

Giải:

Chi phí là:

Doanh thu là:

Lợi nhuận:

π = R - C = (42Q - 4Q2) - (2Q + 80) = - 4Q2 + 40Q - 80; Q > 0

π’’ = - 8

⇔ Q = 5 (nhận)

Ta thấy π’’< 0 => Lợi nhuận của sản phẩm đạt giá trị cực đại khi Q = 5 (đơn vị sản phẩm)

Khi Q = 5 ta có

P = 42 – 4x5 = 22 (đơn vị tiền tệ)

π max = π(5) = - 4x52 + 40x5 - 80 = 20 (đơn vị tiền tệ)

Kết luận: Với giá bán P = 22 (đơn vị tiền tệ) và sản lượng cầu Q = 5 (đơn vị sản phẩm)

thì lợi nhuận đạt được là lớn nhất π max = 20 (đơn vị tiền tệ)

Câu V.12 Hàm cầu và chi phí bình quân của một loại sản phẩm độc quyền được cho bởi P=600-2Q, AC=0,2Q+28+200Q−1 (Q là sản lượng cầu, P là giá bán một sản phẩm).

a) Tìm sản lượng Q để tối ưu hóa lợi nhuận (trước thuế) Tìm giá P và lợi nhuận lúc đó

b) Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm này là 22 (USD) Tìm sản lượng

để tối ưu hóa lợi nhuận sau thuế và xác định mức giá và lợi nhuận (sau thuế) lúc đó

Giải:

a)

Ta có: Mπ = π ' = -4,4Q + 572

Tại Q = 130 ta có:

P = 600 – 2Q = 600 – 2.130 = 340 (USD)

b)

Gọi C2 là chi phí sau thuế

C2 = C + 22Q = 0,2Q2 + 50Q + 200

Doanh thu: R = P.Q = 600Q - Q2

Lợi nhuận sau thuế:

π2 = R – C = -2,2Q2 + 550Q – 200

Để tối ưu hóa lợi nhuận sau thuế, ta có:

π2' = 0 ⟹ Q2 = 125

Lợi nhuận cực đạiπ 2max = -2,2.(125) 2 + 550.125 – 200 = 34175

cực đại

Câu V.15 Một xí nghiệp độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm Giả sử hàm cầu của loại sản phẩm này là Q = 48 – P và hàm chi tổng phí sản xuất ứng là C(Q) = 20 + 6Q + Q2 , trong đó Q là số lượng sản phẩm được sản xuất và P là mức giá của mỗi sản phẩm được bán ra Hãy tính mức lợi nhuận tối đa mà xí nghiệp có thể thu được biết rằng mỗi sản phẩm bán ra, xí nghiệp phải chịu thêm mức thuế là 2$.

Giải:

Biểu diễn giá theo sản lượng:

Chi phí sau thuế: C2 = 20 + 6Q + Q2 + 2Q = Q2 + 8Q + 20

Lợi nhuận sau thuế: π = R – C = 48Q − ¿ Q2

−Q2 – 8Q – 20 = -2Q2 + 40Q – 20

Tại Q = 10 ta có:

P = 48 – Q = 48 – 10 = 38 (USD)

π(10) = -2Q2 + 40Q – 20 = -2.10 2 + 40.10 – 20 = 180 (USD)

Ta có: π ' ' = -4 < 0 Vì π ' ' < 0 nên π đạt cực đại và π max = 180 (USD)

Vậy lợi nhuận tối đa của xí nghiệp là 180 (USD)

Câu VI.10 Xét một doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) là ,

C0=200,thuê một đơn vị vốn là w K=1 (triệu đồng) và giá thuê một đơn vị lao động là w L=0,2 (triệu đồng) Giả sử doanh nghiệp đó có hàm sản xuất

a, Xác định các hàm chi phí, doanh thu và lợi nhuận của doanh nghiệp đó.

b, Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K=100 , L=20.

c, Tính hệ số co giãn của chi phí, doanh thu và lợi nhuận theo lượng vốn và theo lượng lao động tại K=100 , L=20

Giải:

a,

b,

Chi phí cận biên: C ' K=1 (triệu đồng)

C ' L=0,2 (triệu đồng)

R ' L=0,5 K =0.5 100=50 (triệu đồng)

π ' L=0,5 K −0,2=0,5.100−0,2=49,8 (triệu đồng)

c,

Hệ số co giãn của chi phí: ε C , K=C ' K . K

100

304=0,33

ε C , L=C ' L . L

C=0,2.

20

304=0,013

Hệ số co giãn của doanh thu: ε R , K=R ' K . K

R=0,5.(L+10).

K

R=15.

100

1500=1

ε R , L=R ' L . L

R=0,5 K

L

R=50.

20

1500=0,67

Hệ số co giãn của lợi nhuận:

ε π ,L=π ' L . L

π=(0,5 K −0,2).

L

π=49,8.

20

1196=0,88

Câu VI.12 Xét hai loại hàng hóa X,Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X,Y lần lượt là 50USD và 200USD Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U=(x+30)y; x≥ 0; y≥ 0 (x,y là lượng hàng hóa X,Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x,y) để tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng

là 1850USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X,Y.

Giải :

Mỗi túi hàng (x,y) đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 50x+200y=1850 USD

Do đó vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại điều kiện của hàm lợi

Đặt φ (x , y )=x+ 2 y −37 và xét hàm Lagrange

L = L(x,y) = U + λφ(x , y) = (x +30) y +λ (x+ 4 y −37); x ≥0, y ≥0

L ' x=y+ λ , L' y=x +30+4 λ ; L' ' xx=L' ' yy=0, L ' 'xy=1 ; x ≥ 0, y ≥ 0

φ ' x=1, φ 'y=4 ;x ≥ 0, y ≥ 0

Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ:

{ L ' x=0

L' y= 0

φ(x , y)=0

⇔ {x+30+ 4 λ=0 y +λ=0

x+4 y−37=0

⇔{λ=−8,375 x=3,5

y =8,375

y=8,375

𝜀𝜋 ,𝐾= 𝜋′𝐾.𝐾

H=|L' ' xx L' ' xy φ ' x

L' ' xy L' ' yy φ' y

φ ' x φ ' y 0 |=|0 1 11 0 4

1 4 0|= 8>0

Vậy U= (x+30)y đạt duy nhất 1 cực đại điều kiện tại x=3,5 và y=8,375 với điều kiện x +4 y−37=0, giá trị sản lượng cực đại là :

U max=(3,5+30 ).8,375=280,5625

Kết luận về vấn đề kinh tế: Túi hàng (x=3,5 và y=8,375) làm tối ưu hóa lợi ích

U max=280,5625(USD ) trong điều kiện ngân sách Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng chính là ´x=3,5 ; ´y=8,375

Câu VI.14 Xét hai loại hàng hóa X, Y trên thị trường với giá của mỗi đơn vị hàng hóa X,

Y lần lượt là 500 và 400 (đơn vị tính: nghìn đồng) Giả sử hàm lợi ích được cho bởi U= (x + 4)(y + 5); x ≥0, y≥ 0 Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích trong điềukiện ngân sách dành cho tiêu dùng là 4 (triệu đồng) Xác định lượng cầu Marshall tương ứng của X, Y.

Giải:

Gọi x,y lần lượt là hàng hóa X,Y người đó cần mua nên với mỗi túi hàng

hóa (x,y) đều phải thỏa mãn điều kiện ngân sách

(nghìn đồng) Do đó, vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy về bài toán tìm cực đại

điều kiện của hàm lợi ích

; x≥0, y≥0 Các đạo hàm riêng của L và

Lập hệ phương trình xác định điểm dừng và giải hệ ta được:

⇔ ⇔

Vậy hàm lợi ích đạt duy nhất một cực đại điều kiện tại M(4;5) với Umax = 80 Kết luận: Túi hàng (x = 4, y = 5) làm tối ưu hóa lợi ích Umax =

80(nghìn đồng) trong điều kiện ngân sách Lượng cầu Marshall tương

ứng chính là = 4, = 5

Câu VI.15 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x (x≥ 0, y≥ 0) trên hai loại hàng hóa X, Y Đơn giá của từng loại hàng là P 1 = 4 USD, P 2 = 9 USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U 0 = 10800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí và xác định lượng cầu Hick tương ứng.

Giải:

U = 12xy + 8x; x ≥ 0, y≥ 0; P1= 4USD, P2 = 9USD; U0 = 900

Tìm x,y để C m∈¿ ¿

đề kinh tế trở thành bài toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x, y) để C= 4x

Phương pháp Lagrange, ta có:

Hàm điều kiện: j = 12xy + 8x - 10800

Hàm Lagrange: L = 4x + 9y + l(12xy + 8x - 10800)

Các đạo hàm riêng của L và j

L’x = 4 + l(12y + 8), L’y = 9 + 12lx; x≥0, y ≥ 0

L’’xx = 0 = L’’yy, L’’xy = 12l; x ≥ 0, y ≥ 0.

j’x = 12y + 8, j’y = 12x; x ≥ 0, y ≥ 0

Điểm dừng

Như vậy có duy nhất một điểm dừng M(45,5813 ) ứng với nhân tử l =−16 0

Kiểm điều kiện cực trị tại điểm M( 45 ,5813 ) và l =−16 0

L’’xx = L’’yy = 0, L’’xy = – 0,2, j’x = 240, j’y = 540;

Do đó, M(45,5813 ) là điểm cực tiểu với điều kiện C m∈¿ ¿ = 354

Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu, lượng cầu Hick tương ứng là x =

Câu VI.21 Một công ty sản xuất hai loại hàng tiêu dùng Cho biết lượng cầu đối với hailoại hàng đó lần lượt là Q 1 = 65 – 2P 1 , Q 2 = 50 – P 1 – P 2 ; Pi là giá mỗi đơn vị hàng hóa thứ i (i = 1, 2) Hãy xác định mức sản lượng Q 1 , Q 2 để tối ưu hóa lợi nhuận cực đạibiết rằng hàm chi phí kết hợp C=2Q 1 + Q 1 Q 2 + Q 2

Giải:

Sản lượng hai loại hàng tiêu dùng của công ty lần lượt là Q1, Q2

Ta có: { Q1=65 – 2 P1

Q2=50 – P1−P2⇔{ P1=65−Q1

2

P2=50−Q2−65−Q1

2

R=¿ P1Q1+P2Q2=65−Q1

2 Q1 + ¿(50−Q2−65−Q1

2 ¿ Q2

= 32,5Q1 – 0,5Q12 + 17,5Q2 – Q22 + 0,5Q1Q2.

π=¿ R−C=32,5Q1– 0,5 Q12+17,5Q 2– Q22+0,5 Q 1Q2 −2Q 12−Q1Q2 −Q22−20

¿32,5 Q1– 2,5Q12+17,5 Q2– 2Q22−0,5Q1Q2 −20

Đạo hàm cấp 1, 2 của hàm lợi nhuận:

π ' Q1=32,5−5Q 1 −0,5 Q 2 ; π ' Q2=17,5−4 Q 2 −0,5Q 1

π ' ' Q1=−5 ; π' '

Q2=−4

π ' '

Q1Q2=−0,5

Nghiệm của hệ phương trình hàm lợi nhuận của hai loại hàng tiêu dùng là sản lượngQ1và Q2:

{π ' Q1=0

π ' Q2=0⇔{π ' Q1=32,5−5Q1−0,5 Q2=0

π ' Q2=17,5−4 Q2−0,5 Q1=0⇔{Q1= 485

79

Q2= 285 79

Tại điểm dừng duy nhất M(x0; y0¿ , ta tính được: A = − ¿5, B= − ¿0,5, C= − ¿4, Δ

=AC - B2 = 19,75 > 0

Do đó π đạt cực đại duy nhất tại M với giá trị cực đại π max = 128,26

Kết luận: Khi tiêu thụ Q1=48579 sản phẩm, Q2=28579 doanh nghiệp đó sẽ đạt lợi nhuận tối đa π max = 128,26

Câu VII.6 Áp dụng tích phân bất định giải quyết các vấn đề kinh tế dưới đây

a) Tìm hàm tổng chi phí theo sản lương Q biết chi phí cố định là 100 (triệu đồng) và hàm

chi phí cận biên MC =3 Q2 +4 Q (đơn vị tính: triệu đồng)

b) Tìm quỹ vốn theo thời gian t biết vốn ban đầu là 5 và lượng đầu tư I = 4t 3 + 3t 2 + 2t (đơn vị tính: tỉ đồng).

Giải :

a,

TC = TC(Q) = ∫MCdQ = ∫(3Q2+4 Q)dQ

= Q3 + 2Q2 + C

Chi phí cố định là chi phí mà doanh nghiệp phải chi tiêu ngay cả khi không sản xuất, tức là khi Q = 0 Nói cách khác, nghĩa là:

FC = TC(0) ⇔ TC(0) = 100 ⇔ C = 100

b, Quỹ vốn xác định bởi :

K(t) = ∫I (t) dt=∫¿ ¿t3 + 3t2 + 2t)dt = t4 + t3 + t2 + C ; t ≥0

Vì vốn ban đầu là K(0) = C = 5 nên K(t) = t4 + t3 + t2 + 5 ; t ≥0

Câu VII.7 Áp dụng tích phân bất định giải quyết các vấn đề kinh tế dưới đây a) Giả sử lượng đầu tư tại thời điểm t được xác định bởi hàm số I= 140t 0,75 Cho biết thêm rằng quỹ vốn tại thời điểm xuất phát là K(0) = 150 Xác định quỹ vốn theo thời gian t (đơn vị tính: triệu đồng)

b) Giả sử ở mức sản lượng Q, chi phí cận biên là MC = 25 – 30Q +9Q 2 và chi phí cố định FC=55 Xác định hàm tổng chi phí (đơn vị tính: triệu đồng).

Giải :

a) Quỹ vốn theo t là:

K(t)=∫I (t)dt = ∫140 t0,75dt = 140∫t0,75dt = 140.t1,75

1,75 +C = 80t1,75 + C ; t ≥ 0

K(0) = K0 <=> 80.0 1,75 + C = 150

<=> 0+C = 150 <=> C = 150

Vậy quỹ vốn theo thời gian của doanh nghiệp đó là

K(t) = 80t1,75

+150 ;t ≥ 0

Chi phí cố định là chi phí mà doanh nghiệp phải chi tiêu ngay cả khi không sản xuất, tức

là Q = 0 Nói cách khác,

FC = TC(0) <=> TC (0) = 55 <=> C = 55

Câu VII.10 Áp dụng tích phân xác định giải quyết các vấn đề kinh tế dưới

đây

a) Cho biết hàm cầu và hàm cung đối với một loại hàng hóa nào đó là

Qd =√113−P ; Qs =√P -1(P là giá thì trường của hàng hóa đó)

Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng đối với

loại hàng hóa đó.

Giải:

Tìm P theo Qs và Qd ta được các hàm cung, cầu ngược như sau

Qs = √P - 1 ⇔ P = S(Qs) = (Qs + 1)2

Qd = √113−P ⇔ P = D(Qd) = 113 – Qd 2

Ta tìm điểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Qs = Qd Ta được

Qs = Qd⇔ √P - 1 =√113−P (điều kiện 1 ≤ P ≤ 113)

⇔ P0 = 64 ⇔ Qs = Qd = Q0 = 7

Thặng dư của người tiêu dùng là:

Q0

D(Q d)d Q d - P0Q0 = ∫

7

(113−Qd2)d Q d - 64.7 = 6863

Thặng dư của nhà sản xuất là:

PS = P0Q0 - ∫

0

Q0

S (Q s)d Q s= 64.7 - ∫

0

7

(Q s+1)2d Q s = 8333

*Bài tập bổ sung chương V :Giả sử hàm cầu Q = Q(P) biểu thị quan hệ giữa sản lượng cầu Q với giá P của đơn vị sản phẩm là một hàm bậc nhất Biết rằng nếu giá là P = 400$ thì Q = 30 (đơn vị sảnphẩm) Nếu giảm giá 15$ thì Q tăng lên 2 (đơn vị sản phẩm) Biết rằng chi phí bình quân là 205$.

Tính giá P để tối ưu hóa lợi nhuận.

Giải:

Cho P=400$, Q=30 (dvsp), AC=205$

Khi giảm giá 15$ => P=400-15=385

Khi Q tăng 2 => Q=30+2=32

Thay vào hàm cầu có dạng Q=a+bP ta được hệ phương trình:

{a+400 b=30 a+385b=32 ⇔ {a=250

3

15

15P

Chi phí: C=Q.AC=205Q

15 P¿=-152 P2+ 250

3 P

Lợi nhuận: π=R-C=-152 P2

+ 250

Thay hàm Q vào ta được: π=-152 P2

+ 250

3 P-205(2503 − 2

15 P¿= -152 P2

+ 250

3

P-51250

3 +

82

3 P

=−215 P2

+ 332

3 P-512503

Ta có: Mπ=π ' =-154 P+332

3

π=−415<0 => π ' đạt cực đại

Để tối ưu hóa lợi nhuận thì: Mπ=π ' =-154 P+332

Vậy P=415$ thì lợi nhuận được tối ưu hóa

*Bài tập bổ sung chương VI : Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại hàng hóa Giả sử ứng với các mức sản lượng Q1, Q2(đơn vị sản phẩm) của từng loại hàng hóa, doanh nghiệp có hàm chỉ phí (đơn vị tính là triệu VNĐ) như sau:

C=C (Q1, Q2)=(Q1−4) ⁴+(Q2−1)³−3(Q1−4 )(Q2−1)²+50

Tìm mức sản lượng Q1 > 0, Q2 > 0 để tối ưu hóa chi phí của doanh nghiệp đó.

Giải:

Hàm chi phí:

C (Q1, Q2)=(Q1−4) ⁴+(Q2−1)³−3(Q1−4 )(Q2−1)²+50

Để tìm điểm tối ưu, ta cần tính đạo hàm riêng của hàm chi phí theo:

Đạo hàm theo Q1:

C Q

1

'

= ∂C

∂ Q1=4 (Q1 −4 ) 3 −3(Q2−1)²

Đạo hàm theo Q2:

C Q '2

= ∂C

∂ Q2=3(Q2 −1) 2 −6(Q1−4)(Q2−1)

Giải hệ phương trình sau:

* C Q ' 1=0

⟺ 4 (Q1− 4)3−3 (Q2−1)²=0⟺ 4 (Q1−4)3=3(Q2−1)²(1)

* C Q ' 2=0