LỜI CAM ĐOANTôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Đại số và Lý thuyết số, với đề tài Phân loại các đại số Lie giải được uới đại số dẫn xuất, căn lũy linh thấp chiều va một vai biểu diễn của
Các ký hiệu và kiến thức chuẩn bị
Các ký hiệu Chương này có sử dụng các ký hiệu:
1 G ký hiệu một đại số Lie, G1 là đại số dẫn xuất của G va Der (đ) là đại số các đạo hàm trên G.
2 Lie(n,) là lớp tất cả các đại số Lie thực giải được n-chiều có đại số dẫn xuất k-chiều.
3 ax = adxlg: là hạn chế của toán tử adx trên Ớ!.
4 Ag = span{ax: X € G} là đại số Lie con của Der (đ!) được sinh bởi ax với moi X € G.
5 Ag(H) là đại số Lie con của G' được sinh bởi |J ax(H), 6 đây # là đại
XEG số Lie con của G!.
19 Định nghĩa 3.1 Cho A, B € Mat„(K) Khi đó, A và được gọi là đồng dang ty lệ, ký hiệu bởi A ~„ B, nếu ton tại c € K \ {0} và C € GL„(K) sao cho eA = C~!BC.
Mệnh đề 3.2 (Dinh lý Schur-Jacobson [23, 46]) Néu A là đại số con giao hoán của đại số Lie Mat,(K) thì dim A < [| +1, ở đây {x] là phan nguyên của z eR.
Mệnh đề 3.3 (Dinh ly Lie [27, Theorem 1.25]) Cho K va k là các trường con của trường các số phúc C uới k C K Giả sử rằng G là một đại số Lie giải được trên kk va p: G > EndwV là một biểu dién của G trong không gian vecto hữu hạn chiều V # {0} trên K Nếu K đóng dai số thi tồn tại một vecto riêng v €V chung cho tat cả các phần tử của p(G).
Phân loại một lớp con của lớp Lie(n,2)
Trước hết, chúng tôi chỉ ra điều kiện cần và đủ để xác định một đại số Lie
G thuộc Lie (n, 2) là lũy linh bậc 2 và cho một chặn trên của dim Ag.
Mệnh đề 3.4 Cho G € Lie(n,2) Ta có các khẳng định dưới day.
2 Ag giao hoán va dim Ag < 2. ở Ở là lay lính bậc 2 khi va chỉ khi Ag = 0.
Chứng minh 1 Vì G? là lũy linh 2-chiéu nên nó phải giao hoán.
2 Đồng nhất thức Jacobi đối với bộ ba (X,Y, Z), 6 đây X,Y € đ và Z eG, chứng tổ ay o ay = ay oax, tức là Ag giao hoán Vì là đại số con của End đ! = Mats(R), nên từ Mệnh đề 3.2 kéo theo dim Ag < 2.
3 Khang định này là rõ ràng bởi vì đ; = [đ.đ!| = Ag (đ)).
Hệ qua 3.5 Giá sử Ở thuộc Lie(n,2) Khi đó, G không lũu lính bậc 2 khi va chỉ khí dim Ag € {1,2}.
Chú ý 3.6 Như đã biết, năm 2003, Eberlein [10] đã nghiên cứu về các đại số Lie lũy linh bậc 2 Kết quả của Eberlein đề cập đến sự phân loại lớp Lie (n, 2) ứng với Ag = 0 Vì vậy, chúng tôi chỉ quan tâm đến các trường hợp dim Ag € {1,2}.
Riêng ở đây, chúng tôi chỉ xét trường hợp dim Ag = 1 và phân loại triệt để lớp đại số Lie này.
Kết quả chính sẽ được thiết lập thông qua hai định lý 3.8 và 3.9 Tuy nhiên, trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh bổ đề 3.7, khẳng định rằng ta có thể chọn cơ sở để triệt tiêu một số móc Lie trong cấu trúc của đại số Lie G € Lie (n, 2) mà dim Ag = 1.
Bo đề 3.7 Cho G là một dai số Lie thực giải được n-chiều thoả mãn G' 2-chiều va Ag 1-chiéu Khi đó, chúng ta có thể chọn một cơ sở thích hợp
(X1, Xo, ,Xn) của Ở sao cho G! = span{X,, Xa} = R2, Ag = span{ax,} va ax, = 90 vdi mọi ¿ > 4.
Trước hết, tồn tại hai tập hợp con X1, X2 thỏa mãn G1 = span{X1, X2} = R2 Chọn thêm X3 thuộc đ, đ1 sao cho A3 = span{a3x3} Khi đó, X1, X2, X3 độc lập tuyến tính và có thể mở rộng thành cơ sở (X1, X2, X3,Y1, , Yn) của G Tồn tại các vô hướng ai (i > 4) sao cho aiYi = aiX3 do các phần tử trong {Yi} đều thuộc A3 Thực hiện phép biến đổi, sẽ thu được cơ sở (X1, X2, X3,Y1, , Yn) với các phần tử thuộc đ.
X; = Y; — a;X3 (¡ > 4) ta thu được cơ sở (X1, Xo, , Xn), trong đó ax, = 0 với mỌi ? > 4. Đến đây, để mô tả day đủ cấu trúc Lie của G, ta cần xác định toán tử ax, cũng như các móc Lie [X;, X;| và [X3, Ä;| với i,j = 4, ,n Công việc này được chúng tôi tiến hành bằng cách khảo sát hai trường hợp của toán tử ax;: trường hợp không suy biến được thể hiện qua Dịnh lý 3.8, còn trường hợp suy biến được đề cập trong Dinh lý 3.9 Ký hiệu ổ;;(A) có trong các Định lý 3.8 và
3.9 thể hiện một đại số Lie thực giải được i-chiéu thứ 7 (dĩ nhiên đại số dẫn xuất của nó 2-chiều), còn A (nếu có) là tham số mà đại số Lie này phụ thuộc.
Dinh lý 3.8 Cho G là một đại số Lie thực giải được n-chiéu thoả mãn Ở}
2-chiều, Ag 1-chiéu va (X\, Äa, , Xu) là cơ sở của Ở như trong Bo đề 3.7, tức là G' = span{X,, Xạ} © R? va Ag = span{ax,} Giả sử ax, không suy biến Khi đó, ta có các khẳng định dưới đây.
1 Nếu n = 3 thỡ ệ bat kha phan, cụ thể, G=G,
2 Nếu n > 3 thiG khả phân, cụ thể, ở@>đ@œR"3, ở đâu, G là một trong các đại số Lie:
(a) đ3¡(à).0 < JA] 0: [X:, Xy] = AX — Xq vd [X3, Xo] = Xi + AX2.
Chứng minh Trước hết, giả sử n > 3 Ta đặt
Bay giờ, 4p dung đồng nhất thức Jacobi cho các bộ ba (X3, Xi, X;), ta được
Vì không suy biến nên ax, là một dang cấu Khi đó, ax,(X1) và ax,(X2) độc lập tuyến tính, kéo theo tất cả y;; = 2; = 0, tức là [X;, X;] =O với 4 4), ta có thể loại bỏ tất cả yp. Mặt khác, G! = span{X,, X:} kéo theo tất cả z¡; và z¿ không đồng thời bằng 0 Vì vậy, có đúng hai trường hợp con phủ định lan nhau dưới đây.
A Trường hợp con thứ nhất của 1: Tat cả z, =0, k > 4.
Trong trường hợp con này, ta có n > 5 và G là khả phân bởi vì G = span{ X¡, X3} ® span{ Xa, X4, X;, , X„} Hon nữa, e span{X1, X3} với [X3, X1] = An, tức là span{.X1, X3} = aff(R). se span{ Xo, Xạ, X;, , X„} với [X;, Xj] = z¡Xa(4 0)} Khi đó, G có một co sở
(Xị, , Xa) (n là một số chan lớn hơn hoặc bang 4) với các móc Lie không
[X3,Xi} = X13 [X3+2i, Xarai] = Xo, (0 Sis ) nA
Hon nữa, tam của G là Z(đ) = span{Xa}.
Kết quả đầu tiên trong chương này là xây dựng biểu diễn trung thành bậc thấp cho một họ vô hạn các đại số Lie không lũy linh thuộc Lie (n, 2) Qua đó, ta thu được một chặn trên cho /(đ) với mỗi đ bất khả phân được liệt kê trong Mệnh đề 4.17. Định lý 4.19 Cho G bat kha phân thuộc lớp Lie(n,2) không lay linh bậc 2.
Tu có các khẳng định dưới day.
1 Nếu Ở có tâm tam thường thà n(đ) 0)}, sẽ chứng minh G có biểu diễn trung thành bậc.
Lúc này, G có một cơ sở (X\, , Xn) (n = 21,1 > 2) với các móc Lie không tầm thường được cho trong Chú ý 4.18 Đại số Lie Heisenberg b„_¡, với chiều lan — 1 = 2(1—1) + 1, có một cơ sở (z¡,;,z) với các móc Lie không tầm thường là
Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính ¿ : G > b„_¡ bởi y(X1) =0, y(X2) = 2,
Kiểm tra được y là một đồng cấu đại số Lie Chú ý rằng Z(đ) = span{Xa} và
@(X›) = z # 0 Do đó, hạn chế của trên tâm Z(G) là đơn cấu Từ [5], ta được (Đ„_¡) = (L— 1) +2 = ÿn + 1 Hơn nữa, 0„_¡ có một biểu diễn trung thành z bậc DU + 1 mà trong cơ sở chính tắc của R2"+! được cho bởi
Khi đó, to ¿ là một biểu diễn bậc $n +1 của G mà trung thành trên Z(G) Theo Chú ý 4.2, (7 oy) @ ad là biểu diễn trung thành bậc an + 1 của G.
Chú ý 4.20 Ta chỉ rõ kết quả chặt hơn đối với các đại số Lie thấp chiều.
1 Dau tiên, từ [13] kết luận được quan hệ " $n. e Ta chứng minh v ¢ 6, tức là dimV > dinb+ 1> $n + 1:
Sự thật là X, € a trong trường hợp dima có trị lớn nhất Hơn nữa, a là một đại số con cực đại không chứa X2 sao cho [X,Y] = aX; (œ € R) với mọi X,Y €a Giả sử rằng v € b, khi đó tồn tại một phần tử X không thuộc a sao cho p(X)u = v Lúc này, phải có Y € a sao cho [X,Y] = aX và YX – p(X)Y = v – u.
(Ngược lại, [X,Y] = aX; với mọi Y € a và do tính cực đại của a mà
40 span{X, a} =a, mâu thuẫn giả thiết X không thuộc a) Ta có
0(X.Y])u = p(aX, + BX2)v â+ /(X)ứ(Y)u— ứ(Y)ứ(X)u = ap(Xi)u + Bp(X2)v.
Sử dụng /ứ(XĂ)u = p(Y)u =0, ứ(X)u = 0 và 8 #0, ta thu được p(X2)v = 0. Day là một mâu thuẫn Do đó v £ b.
Với trường hợp khả phân, nếu G là tổng trực tiếp của hai đại số Lie G, và
Gy thì u(G) < (G1) + w(G2) Do đó, ta dé dàng thu được một chặn trên cho u(G) với mỗi G khả phan được liệt kê trong Mệnh đề 4.17.
4.2.2 Bức tranh các K-quy đạo
Cho G bất kha phân thuộc lớp Lie (n,2) được liệt kê trong Mệnh đề 4.17. Nhắc lại rằng, tồn tại duy nhất nhóm Lie đơn liên G tương ứng với G Ta sẽ ký hiệu các nhóm Lie này bởi Œ với cùng chỉ số dưới như đại số Lie của chúng, chăng hạn như G3 1(à) là nhóm Lie đơn liên tương ứng với Ớs 1(A).
Ký hiệu (Xi, , X„) là cơ sở của G và (X7, , X}) là cơ sở đối ngẫu tương ứng Khi đó, ta có thể đồng nhất không gian đối ngẫu G* với R" Với mỗi X € G, toán tử ady được đồng nhất với ma trận của nó trong cơ sở (X, , Xn).
Trước khi đi sâu vào định lý mô tả bức tranh các K-quỹ đạo, cần lưu ý đến nhóm Lie exponential, tiến hành một số phép tính cần thiết để chuẩn bị cho chứng minh định lý.
Mệnh đề 4.22 Tat cả các nhóm Lie đơn liên tương ứng uới các đại số Lie bat kha phân thuộc lớp Lie(n,2) không lay lính bậc 2, ngoại trừ G33(,=0) va Gaya, đều là nhóm exponential.
Chúng minh Với mỗi đại số Lie Ở đang xét, ta tìm tất cả các giá trị riêng của adx với mọi X € G Kết quả được chỉ ra trong Bảng 4.1 Theo đó, tất cả các adx đều không có giá trị riêng thuần ảo, ngoại trừ đối với hai đại số Lie Ởz3(4=oy và Gua Vay theo Mệnh đề 4.8, ta được điều cần chứng minh.
Các ký hiệu và kiến thức chuẩn bị
Các ký hiệu Chương này có sử dụng các ký hiệu:
1 (4;;)„x„ ký hiệu ma trận vuông cấp n với phan tử ở vị trí hàng ¿ cột 7 là aij, còn (A);; ký hiệu phan tử ở vị trí hàng i cột 7 của ma trận A A! là ma trận chuyển vị của A.
2 V ký hiệu một không gian vectơ và V* là không gian đối ngẫu của V Nếu
(1i,#a, ,#„) là cơ sở của V thi (z†, , +?) là cơ sở đối ngẫu trong V*.
3 [ƒ], là ma trận của ánh xạ tuyến tính ƒ : V > V ứng với cơ sở b :(zi, ,#„) của V Nếu := (z¿, ,z„) là không gian con của V sinh bởi {zz, ,#„} và nếu g: -> U là một ánh xạ tuyến tính thì ma trận của g ứng với cơ sở (#x, ,#„) của U được ký hiệu là [g]p.
4 Trong các phép đổi cơ sở, x > có nghĩa là thay x bởi y, còn # © y có nghĩa là đổi vai trò 2 và y cho nhau.
5 Với mỗi phần tử x thuộc đại số Lie G, ad; và ad? lần lượt là hạn chế của toán tử ad, trên G! và G? Vì G! và G? là các ideal của G, nên ad, và ad? lần lượt là các tự đồng cấu trên G! và đ”.
6 J là ma trận đơn vị cấp 2, J là ma trận ot
Số chiều của các K-quỹ đạo được xác định qua mệnh đề dưới đây Nhắc lại rằng, Qr là K-quỹ dao qua F của nhóm Lie G trong không gian đối ngẫu G* của Lie(G) = G.
Mệnh đề 5.1 ([25]) Cho F € G* Giả sử (a1, %2, ,2%n) là một cơ sở của Ở.
Khi đó dim Óp = rank (F(([2;, #;])) nxn®
Số chiều của mỗi K-quỹ đạo giao với không gian F luôn luôn chẵn với mọi F thuộc đ* Hơn nữa, dim Ễ„ > 0 khi và chỉ khi #|ứ:i # 0 Một MD-nhóm là một nhóm Lie đơn liên giải được hữu hạn chiều mà tất cả các K-quỹ đạo không tầm thường của nó có cùng số chiều MD-đại số là đại số Lie của một MD-nhóm MD-đại số G được gọi là MD;,(n)-đại số nếu dimG = n và số chiều của các K-quỹ đạo không tầm thường là k Đại số Lie G được gọi là giải được bậc i nếu G' = [đ'~!,đ?~1] giao hoán nhưng không tầm thường.
Bậc giải được là một trong các đặc trưng quan trọng của lớp các MD-dai số. Vương Mạnh Son và Hồ Hữu Việt [55] đã chứng minh một kết quả quan trọng về bậc giải được của các MD-đại số thể hiện qua mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 5.5 ([55]) Nếu G là một MD-dai số thà bậc giải được của Ở lớn nhất bằng 2, tức là đ3 = {0}.
Do đó, bài toán phân loại các MD-đại số được quy về hai trường hợp:
1 Phân loại các MD-đại số giải được bậc 1;
2 Phân loại các MD-đại số giải được bậc 2.
Tuy nhiên, nếu G là MD-đại số giải được bậc 2 thì G/G? là MD-đại số giải được bậc 1 [18, Theorem 3.5] Vì vậy, trước tiên ta sẽ tìm hiểu một vài tính chất của các MD-đại số giải được bậc 1.
Mệnh đề 5.6 ([IS]) Cho G là đại số Lie n-chiều giải được bac 1 sao cho tat cả các K-quy đạo không tầm thường đều có đối chiều k NéudimG! > n— k+1 thiG đẳng cấu uới tong nửa trực tiếp L @„đ!, ở day L là một đại số con giao hoán của Ở va p được xác định bởi
Hơn nữa, nếu G giải được bậc 1 thi [[z, gÌ,z] = 0 với moi z, € G,z € G!.
Sử dụng đồng nhất thức Jacobi ta có adsad,, = adjad), với mọi #,/ EG.
Bổ đề 5.7 Nếu Ở giải được bậc 1 thi {ad}, : x € G} là một họ các tự đồng cấu giao hoán.
Định lý: Với một tập tùy ý các ma trận giao hoán trên trường số thực, tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho ma trận $PAP^{-1}$ thành ma trận tam giác trên.
Mệnh đề 5.8 Cho S là một tập các ma trận thực giao hoán cùng chiều Khi đó S có thể đồng thời được đưa vé dạng tam giác khối, trong đó kích thước lớn nhất của mỗi khối là 2 Nói cách khác, ton tại mmột ma trận thực không suy
TST |= *2x2 ở đâu mỗi khối *a„s có dang ' vdia,b € R (b không nhất thiết khác 0).
Bổ đề dưới đây được suy ra từ các Mệnh dé 5.6, 5.8 và Bo đề 5.7.
Bổ đề 5.9 Cho G là một MD,,-2(n)-dai số giải được bậc 1 uới mm = dimG! > 2.
Khi đó, tồn tại một cơ sở b = (#1, ,#„) của Ở sao cho
0G! = (Tạ mx1, ,2n) giao hoán, ® |1;,2;| =0 vdi moil 5 Khi đó G dang cấu uới một trong các đại số Lie
1 Mỏ rộng tầm thường của đại số Lie affine phúc aff(C), túc là R @ aff(C).
2 Dai số Lie Heisenberg thực Đa.
3 Dai số Lie $5.45 :—= (21, £2, Y1, Y2, z), vdi các móc Lie không tam thường là
Mệnh đề 5.12 (|55]) Cho G là một MD,,(n)-dai số Khi đó G dang cấu tới một trong các đại số Lie
1 Dai số Lie affine thực aff(R).
2 Dai số Lie affine phúc aff(C).
Chú ý 5.13 Chú ý rằng, chiều của một K-quỹ dao bất kỳ luôn chan Do đó, nếu G là một MD,,_2(n)-dai số thì n phải là số chan Trường hợp n = 2 là tầm thường Trường hợp n = 4 đã được giải quyết trong [60] Cụ thể, lớp
MD,(4)-dai số có đúng 5 đại số Lie kha phân và 8 đại số Lie bất khả phân (sai khác một đẳng cấu) được liệt kê dưới đây
(ii) 53 @R với $3 € {na, $3.1, 532, 533}, tức là ứ là một đại số Lie giải được không giao hoán 3-chiều theo ký hiệu của [54].
(2) Trường hợp bất khả phân: N41, 54,1, 54,2; 54,3; 54,4, 54,5, 54,6, 54,7 theo ky hiệu của [54].
Do đó, ta sẽ xét bài toán phân loại lớp MD„_a(n)-đại số với n chan và lớn hơn hoặc bằng 6.
5.2_ Phân loại lớp MD,,_2(n)-dai số
Theo Mệnh đề 5.5 và Bo đề 5.9, bài toán phân loại lớp MD,_a(n)-đại số được quy về ba bài toán: e Bài toán phân loại các MD,,_2(n)-dai số giải được bậc 1 mà đại số dẫn xuất có chiều ít nhất là 3 (Bài toán một). e Bai toán phân loại các MD„_a(n)-đại số giải được bậc 1 mà đại số dẫn xuất có chiều nhiều nhất là 2 (Bài toán hai). e Bài toán phân loại các MD,,_2(n)-dai số giải được bậc 2 (Bài toán ba).
Các bài toán này lần lượt được xét qua các mục dưới đây.
Dinh ly 5.14 Cho G là một MD„_s(n)-đại số giải được bậc 1 có chiều n > 6 va dim đ! > 3 Khi đó, n phải bằng 6 va G đẳng cấu tới một trong các dai số Lie: 56,211; 56,225; 56,226; 56,228 được liệt kê trong tai liệu [54].
Chú ý 5.15 Nếu G là một MD,(6)-dai số khả phan thì G là mở rộng tam thường của một MD,(5)-dai số bất khả phân hoặc một MD,(4)-dai số bất khả phân [18, Theorem 3.1] Các MD-đại số bất khả phan này được phan loại trong [55, 65, 64] Theo phân loại này, có đúng một MD,(4)-dai số bất kha phân aff(C) và có đúng một MD4(5)-dai số bất khả phân s; 4; trong Mệnh đề
5.11 Do đó, nếu G là một MD,(6)-dai số khả phân thi đ hoặc dang cấu với R? @ aff(C) hoặc đẳng cấu với R @ s;„z. Để chứng minh Định lý 5.14, ta cần bổ đề dưới đây.
Bồ đề 5.16 Cho ƒ,g là hai ánh xạ tuyến tính trên R* sao cho fog=gof.
Giả sử các ma trận của f va g ứng tới cơ sở b lần lượt là
6 đâu Ai, 4a, Bị, By là các ma trận vudng cấp 2 Nếu det(B? + 1) # 0 hoặc det(A; — I) £0 thà tồn tại một cơ sở 6’ của R* sao cho
Chứng minh Ký hiệu các vectơ trong b là {0\, yo, y3, 04}. e Nếu det(B? + 7) 4 0 thì trước tiên ta khang định rằng có a, 6, +, ổ € R để
Thật vậy, phương trình trên tương đương với
Sự tồn tại của a, ỉ, +, ð là do tớnh khụng suy biến của B? + I.
Lay 6! := (y}, yb, 3, 4) là một cơ sở của R* xác định bởi
Us = 1s + ay + Bye Y= 14 + Vy + Syp.
Khi đó, ma trận của ƒ va g ứng với bf được xác định như sau với Aj là một ma trận vuông cấp 2 Hơn nữa,
(4;)1a (45)1 fog=gof Ss AxXI=B x AS (Ad) 22 (Ay) A
(A5)a1 0 và từ det(B? + I) # 0 kéo theo 45 = 0. e Theo cách tương tự, nếu det(4¡ — J) # 0 thì tồn tại a, đ,+,ổ € R để
Một cách tương đương, ma trận của f ứng với cơ sở 6’ := (11, yo, ys Fay +
BYy2, ya + Vy + ôya) là r Một lan nữa, sự giao hoán của f và g kéo
0 7 theo ma trận của g ứng với b’ bằng Bồ đề được chứng minh.
Bảng liệt kê kết quả phân loại
Tóm lai, lớp các MD„_a(n)-đại số đã được phân loại với kết quả như sau: e Có đúng 14 MD„_¿(n)-đại số khác nhau (sai khác một đẳng cấu) với chiều n < 5 được liệt kê trong Bảng 5.1; e Các MD,,-2(n)-dai số không lũy linh bậc 2 với n > 6 cũng được phân loại đầy đủ (sai khác một đẳng cấu) và được liệt kê trong Bảng 5.2; e Bảng 5.3 cho thấy các MD,,_2(n)-dai số lũy linh bac 2 khả phân với n > 6 luôn đẳng cấu với đại số Lie ham+1 © R:; e Còn lại, các MD„_a(n)-đại số lũy linh bậc 2 bất khả phân với n > 6 được phân loại bởi các dạng chuẩn tắc của các pencil liên kết, trong đó các đại số có chiều n < 10 được liệt kê trong Bang 5.4.
Trong các bang dưới day, (zi,za, ,#„) ký hiệu một cơ sở của MD„_a(n)- đại số G
Bang 5.1: Các MD„_a(n)-đại số với n < 5 n Daisd Các móc Lie không tầm thường Ghi chú
Bang 5.2: Các MD„_ s(n)-đại số không lũy linh bậc 2 với > 6 dimG' Dai số Các móc Lie không tầm thường Ghi chú
1 Không tồn tai MD„_az(n)-đại số
56,526 (À, #1; ¢) #1 À#3 À#a #5 | #6 aa | pas — Ca | Crs tpn, | ao | 2s nếu ¢ = 1 thi |À| 0, > 0 v2 | H#3— #4 | #3 + puta | —%6 | #5 st #1 %2 %3
Bảng 5.3: Các MD„_ s(n)-đại số lũy linh bậc 2 khả phan với n > 6 n Dai số Các móc Lie không tầm thường Ghi chú
2m + 2,1m >2 Đzm+¡ OR [¿; Um+i] = #2m+l Vi =1, ,m dim gt =1
Bang 5.4: Các MD,,_2(n)-dai số lũy linh bậc 2 bất khả phân với 6 < n < 10
86 n Đại số Các móc Lie không tầm thường Ghi chú
8 Không tồn tai MD¿(8)-đại số
Một lớp các đại số Lie 7-chiều với căn lũy linh 5-chiều
Chương này trình bày chi tiết kết quả nghiên cứu về vấn đề thứ tư của luận án, đó là nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie giải được vdi căn lũy lánh thấp chiều cho trước.
Cụ thể, kết hợp các kỹ thuật cơ bản trong lý thuyết Lie và một công cụ tính toán được gọi là triangular decomposition, chúng tôi phan loại triệt để các đại số Lie giải được bất khả phân 7-chiều (trên cả trường thực và phức) có căn lũy linh 5-chiéu lần lượt là các đại số Lie (gị)2© g3 và gi @ ga Ở đây, (gi)? @ g3 và
91 ® g¿ là hai trong chín đại số Lie lũy linh 5-chiéu được phân loại bởi Dixmier [9] với các móc Lie không tầm thường tương ứng được cho trong Bảng 2.1.
Kết quả chính của chương này đã được công bố trong công trình (5), gồm e Kết quả phân loại trường hợp căn lũy linh là đại số Lie (gi)? © g3 được liệt kê chỉ tiết trong [Table A.1, page: 18-20] của công trình (5). e Kết qua phân loại trường hợp căn lũy linh là đại số Lie g¡ ® gy được liệt kê chỉ tiết trong [Table A.2, page: 20] của công trình (5).
6.1 Các ký hiệu và khái niệm
Các ký hiệu Chương này có sử dụng các ký hiệu:
2 L ký hiệu một đại số Lie và N(Z) là căn lũy linh của L.
3 Trong các phép đổi cơ sở, X + Y có nghĩa là thay X bởi Y, còn X ‹> Y có nghĩa là đổi vai trò X và Y cho nhau. Định nghĩa 6.1 Tập các phần tử X\, , X„ của đại số Lie L được gọi là độc lập tuyến tính lũy linh nêu không có tổ hợp tuyến tính không tầm thường nào của chúng lũy linh trong L. Định nghĩa 6.2 Tập các ma trận 4ị, , 4„ trong Mat„(F) được gọi là độc lập tuyến tính lũy linh nếu không có tổ hợp tuyến tính không tầm thường nào của chúng là ma trận lũy linh, tức là
Sau đây, chúng tôi sé giải quyết triệt để bài toán phan loại các đại số Lie giải được bất khả phân 7-chiều (trên cả trường thực và phức) có căn lũy linh lần lượt là các đại số Lie lũy linh 5-chiéu (gi)? © g3 va gi ® ga Chính xác là, chúng tôi phân loại tất cả các mở rộng giải được bất khả phân 7-chiều, trên cả trường thực và phức, của (gi)? @ g3 và gi ® ga.
6.2 Phân loại các mở rộng giải được 7-chiều của (g¡)® g3 và g¡ ® ga
Bài toán được thực hiện qua hai giai đoạn O giai đoạn 1, chúng tôi mở rộng căn lũy linh N(L) € {(gi)? ® g3, 91 © ga} để thu được tất cả các đại số Lie giải được bất khả phân 7-chiều L Ở giai đoạn 2, chúng tôi kiểm tra sự đẳng cấu giữa các đại số Lie vừa được xây dựng, nhằm làm tỉnh gọn kết quả, tránh trường hợp tồn tại sự đẳng cấu giữa chúng Khi đó, kết quả phân loại sẽ là triệt để và đầy đủ nhất.
Giai đoạn 1 Xây dựng các đại số Lie
Giả sử N(L) được khởi tạo với cơ sở (X1, , X5) như Bảng 2.1 Để mở rộng N(L) thành đại số Lie giải được bất khả phân L, ta thêm 2 phần tử độc lập tuyến tính X và Y vào cơ sở, tạo thành (X1, , X5, X, Y) Tiếp theo, ta xác định các móc Lie [X, Y], [X, Xi] và [Y, Xi] với i = 1, ,5 Do đại số dẫn xuất của đại số Lie giải được nằm trong căn lũy linh của nó nên ta có thể biểu diễn các móc Lie này theo dạng hiệu quả.
[X,Y] = 310/4; [X, Xi] = Vo ag Xj, [Y,Xi|= 3 by XG 1