Luận án tiến sĩ Toán học: Một vài lớp đại số Lie giải được đặc biệt và hình học các K-quỹ đạo của nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng

Kết quả liên quan đến tính chất hình học các K-quỹ đạo chiều cực đạicủa nhóm Lie giải được: - Mô tả bức tranh các quỹ đạo đối phụ hợp K-quỹ đạo chiều cực đại của tất cả các nhóm Lie liên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ MONG TUYỂN

MOT VAI LỚP DAI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC ĐẶC BIET

VÀ HÌNH HỌC CÁC K-QUY ĐẠO CỦA NHÓM LIE

LIÊN THONG, DON LIÊN TƯƠNG UNG

LUẬN AN TIEN SĨ

TP Hồ Chí Minh - 2023

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH

UNIVERSITY OF SCIENCE

NGUYEN THI MONG TUYEN

SOME CLASSES OF SPECIAL SOLVABLE LIE ALGEBRAS

AND GEOMETRY OF K-ORBITS OF CORRESPONDED

CONNECTED, SIMPLY CONNECTED LIE GROUPS

DOCTORAL THESIS

Ho Chi Minh City — 2023

DẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ MONG TUYỂN

MOT VAI LỚP DAI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC ĐẶC BIỆT

VÀ HÌNH HOC CÁC K-QUY DAO CUA NHÓM LIE

LIEN THONG, DON LIEN TUGNG UNG

Phản biện độc lập 1: PGS.TS Trần Giang Nam

Phản biện độc lập 2: TS Định Văn Hoàng

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS TS Lê Anh Vũ

2 TS Trịnh Thanh Đèo

TP Hồ Chí Minh - 2023

Lời cam đoan

Tôi cam đoan Luận án tiến sĩ ngành Đại số và Lý thuyết số, với đề

tài “Một vài lớp đại số Lie giải được đặc biệt và hình học các K-quỹ đạo

của nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng” là công trình khoa học do

Tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ và TS Trịnh

Thanh Đào.

Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác

và không trùng lắp với các công trình đã công bố trong và ngoài nước.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Mộng Tuyền

Lời cam ơn

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ

và TS Trịnh Thanh Déo Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc nhất đến

những người Thầy hướng dẫn của mình Trong thời gian dài nghiên cứu

và học tập, hai Thay đã từng bước dan dắt tác giả tiếp cận và thực hiện nghiên cứu các vấn đề được trình bày trong luận án này Dưới sự hướng dẫn của hai Thầy, tác giả không những được tích lũy thêm kiến thức, kinh

nghiệm trong nghiên cứu khoa học mà còn được truyền cẩm hứng và được

động viên khích lệ để tác giả vượt qua những khó khăn trong chuyên môn

và trong cuộc song Làm việc với hai Thay, tác giả còn học được một tinh

thần trách nhiệm trong công việc, niềm say mê nghiên cứu và một phong

cách làm việc khoa học, trung thực, nghiêm túc.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Lãnh dao Dai học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau Dại học, Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Dại số đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến GS Bùi Xuân Hải, TS Nguyễn Viết Dong và TS Trần Ngọc Hội, những người Thầy đã giảng dạy cho tác giả những kiến thức chuyên ngành

bo ích và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án Tác giả

cũng chân thành cảm ơn PGS.TS Mai Hoàng Biên đã nhắc nhở, đôn đốc

tác giả trong các giai đoạn hoc tập và nghiên cứu giúp cho tác giả hoàn

thành tốt được các kế hoạch học tập của cơ sở đào tạo.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS My Vinh Quang và TS Nguyễn Viết Đông đã dành nhiều thời gian đọc bản thảo

luận án khi bảo vệ cấp đơn vị chuyên môn và đã có những ý kiến bổ ích

giúp tác giả cập nhật và cải thiện chất lượng luận án Xin gửi lời cám

ơn chân thành đến PGS.TS Trần Giang Nam, TS Dinh Văn Hoàng đã

dành nhiều thời gian đọc phản biện độc lập cho luận án này và cho nhiều

lời khen ngợi động viên tác giả Xin cám ơn Cô Trần Thị Phượng Giang

(Phòng Đào tạo Sau đại học) đã luôn nhiệt tình giúp đỡ tác giả về các thủ

3

tục học tập và bảo vệ trong suốt khóa học.

Tác giả xin chân thành cám ơn Lãnh đạo Trường Đại học Đồng Tháp, Lãnh đạo Khoa Sư phạm Toán - Tin đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho

tác giả tập trung học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án của mình.

Đặc biệt, tác giả xin cám ơn các thành viên của Bộ môn Sư phạm Toán

học đã luôn giúp đỡ động viên, đảm nhận thay nhiều việc, giúp tác giả an

tâm học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án của mình.

Xin cam ơn các thành viên nhóm nghiên cứu DAHITO, đặc biệt là

TS Nguyễn Anh Tuan va TS Võ Ngọc Thiệu đã trực tiếp giúp đỡ va động viên tác giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập.

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn Viện nghiên cứu Dữ liệu

lớn, Quỹ đổi mới sáng tạo Vingroup đã xét chọn và trao học bổng cho tác giả trong Chương trình học bổng đào tạo thạc sĩ, tiến sĩ trong nước năm 2020 và 2021 Học bổng đã hỗ trợ nguồn kinh phí tốt

cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và nhờ đó mà tác giả đã

hoàn thành các mục tiêu đề ra trong suốt thời gian làm Nghiên cứu sinh.

Mục lục

HT ent be bebe es 3

TRANG THONG TIN LUAN AN

THESIS INFORMATION

Danh mục chữ viết tắt và ki hiệu

Chương 1 |Mở đâu|

1.1 [Ly do chọn đề tài| ¿ 13

1.3 [Phuong pháp nghiên cứu|

© 2.2 [Muc tiêu nghiên

cứu| -2.3 [Bồ cục và nội dung luận án| - 25

Chương 3 jKiễn thức cơ sổi c 26 3.1 pháp quỹ đạo của Kirillov

| -. 3.1.1 [Biểu diễn đối phụ hợp| - 26

3.1.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo| 30

3.2 [T6p6 phân lá| - 32

3.2.1 3.2.2

Lee eee 32

Phan lá đo được

Chương 4 |Một vài lớp đại số Lie thực giải được đặc biệt| 36

4.1 |Phân loại đại số Lie thực giải được ø-chiều có ideal

dẫn xuất 2-chiéu

Chương 6 |Kết luận| - 114

Tài liệu tham khảo| - «<< Ÿ<- 116

TRANG THONG TIN LUẬN ÁN

Tên đề tài luận án: Một vài lớp đại số Lie giải được đặc biệt và hình

học các K-quỹ đạo của nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng

Ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số ngành: 9460104

Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Thị Mộng Tuyền

Khóa đào tạo: 2018

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Lê Anh Vũ

2 TS Trịnh Thanh Déo

Co sở đào tạo: Trường Dai học Khoa học Tu nhiên, DHQG.HCM.

1 TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN

Luận án nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thực giải được

n-chiều không lũy linh bậc hai với ideal dẫn xuất 2-chiều và phân loại các đại số Lie thực giải được bất khả phân 7-chiều với căn lũy linh 5-chiều

là g;› và g54 (theo kí hiệu của Dixmier [I§|) Từ kết quả đó, mô tả bức

tranh các quỹ đạo trong biểu diễn đối phụ hợp (K-quỹ đạo) chiều cực đại

của tất cả các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với các đại số Lie 7-chiéu đang xét Sau đó, chứng minh mỗi họ các K-quỹ đạo chiều cực đại

ở vị trí tổng quát (K-quỹ đạo tổng quát) đang xét hình thành một phân

lá đo được theo nghĩa của Connes và đưa ra phân loại tôpô của tất cả các phan lá thu được, đồng thời, mô tả C*-dai số Connes của chúng.

2 NHỮNG KET QUA MỚI CUA LUẬN AN

a Kết quả liên quan đến bài toán phân loại các đại số Lie giải được:

- Phân loại các đại số Lie thực giải được n-chiéu (n > 3) không lũy

linh bậc 2 với ideal dẫn xuất 2-chiều.

- Phân loại các đại số Lie thực giải được bất khả phân 7-chiều với căn

lũy linh 5-chiều là 95,2 = span{X1, Xa, X3, X4, X5: [X1, Xa] = X4,

[X1, X3] = X5} và gs 4 = span{X1, Xa, Xã, X4, X5: [X1, X2] = X3,

[X1, X3] = Xa, [X1, X4] = X5} (theo kí hiệu của Dixmier).

7

b Kết quả liên quan đến tính chất hình học các K-quỹ đạo chiều cực đại

của nhóm Lie giải được:

- Mô tả bức tranh các quỹ đạo đối phụ hợp (K-quỹ đạo) chiều cực

đại của tất cả các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với các

đại số Lie giải được 7-chiều đã được phân loại.

- Đối với mỗi nhóm Lie được xét, chứng minh được rằng mỗi họ

K-quỹ đạo tổng quát tạo thành một phân lá đo được (theo nghĩa của

Connes), đồng thời, phân loại tôpô của tất cả các phân lá thu được

và mô tả không gian lá của chúng Cuối cùng, mô tả C*-đại số

Connes của các kiểu phân lá nhận được.

3 CÁC UNG DUNG/KHA NANG UNG DUNG TRONG THUC TIEN

HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC NGHIEN CUU

- Mô ta bức tranh các K-quỹ dao chiều cực dai của tat cả các nhóm

Lie giải được 7-chiều còn lại Xét xem họ các K-quỹ đạo này có hình

thành nên một phân lá đo được theo nghĩa của Connes hay không?

- Các kết quả và cách tiếp cận trong luận án có thể được sử dụng vào

nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thuộc lớp Lie(n, k),k > 3.

THESIS INFORMATION

Thesis title: Some classes of special solvable Lie algebras and geometry

of K-orbits of corresponded connected, simply connected Lie groups

Speciality: Algebra and Number theory

2 Dr Trinh Thanh Deo

At: VNUHCM - University of Science.

1 SUMMARY

In this thesis, we study the problem of classifying n-dimensional real

solvable Lie algebras that are not 2-step nilpotent and have 2-dimensional derived ideals, and the problem of classifying 7-dimensional indecompos- able real solvable Lie algebras having 5-dimensional nilradicals that are g; 5

and g;¿ (in Dixmier’s notation [18]) From these results, we descript the

picture of the maximal-dimensional orbits of the coadjoint representation

(K-orbits) of all considered Lie groups Afterward, we prove that, for each

considered group, the family of the generic K-orbits forms a measurable

foliation in the sense of Connes [15] and the topological classification of allthese foliations, at the same time, their Connes’ C*-algebras are described

2 NOVELTY OF THESIS

a The results relating to the problem of classifying solvable Lie algebras:

- Classifying n-dimensional (n > 3) real solvable Lie algebras that

are not 2-step nilpotent and have 2-dimensional derived ideals.

- Classifying 7-dimensional indecomposable real solvable Lie algebras

having 5-dimensional nilradicals g; » = span {X,, Xo, X3, X4, X35:

[X1, Xa] = X4, [X4, 3] = X;} and 95,4 = span {X, Xo, X3, Xa, Xs: [X1, X9| = X3, [X1, Xa] = X4, [X1, Xi => X;}, respectively.

9

b The results relating to the geometry of maximal-dimensional orbits of

solvable Lie groups:

- Describe the picture of maximal-dimensional K-orbits of all

con-nected, simply connected Lie groups corresponding to the ered 7-dimensional real solvable Lie algebras above.

consid Prove that, for each considered group, the family of the generic Kconsid

K-orbits forms a measurable foliation in the sense of Connes, at the

same time, the topological classification of all these foliations is also

provided Finally, their Connes’ C*-algebras are described

3 APPLICATIONS AND PERSPECTINE

- Describe the picture of the maximal-dimensional K-orbits Lie group

corresponding to the remaining 7-dimensional real solvable Lie bras Consider whether this family of K-orbits forms a measurable foliation in the sense of Connes.

alge The approaches and the results obtained in this thesis can be emalge

em-ployed to study the problem of classifying Lie algebras belonging to

Lie(n, k),k > 3

10

Danh mục chữ viết tắt và kí hiệu

G Dai số Lie thực giải được n-chiéu G = Lie(G)

G! Ideal dan xuất thứ nhất của G

g số Lie lũy linh ð-chiều

DI Đại số Lie lũy linh 5-chiéu theo ký hiệu của Dixmier [18]

1( Đại số Lie con của G!

Z(G) = {X €0:|X,Y]=0,VY c0} là tam của ở

Der(G) Dai số Lie các đạo ham trên G

Endp V Tập hợp các tự đồng cấu R-tuyén tính của V

Autp (đ) Tập hợp các tự đẳng cấu R-tuyén tính của G

Mat,,(R) Tập hợp các n-ma trận thực

GL,,(R) Nhóm nhân của các n-ma trận thực khả nghịch

Lie(n, k) Lớp các đại số Lie giải được n-chiéu có ideal dẫn xuất

k-chiều

ax := adx |g: thu hep của toán tử phụ hợp adx trên G!

Ag := span{ay : X € G} là đại số Lie con của Der(G!)

sinh bởi ax với mọi X € G

Ag(H) Dai số Lie con của G! sinh bởi LU ax(H)

XEG

aff(R) := span{ X,Y} là đại số Lie affine thực với [X,Y] = Y

aff (C) := span{X,Y,Z,T} là đại số Lie affine phức với các móc

Lie không tầm thường [Z, X] = —Y, [Z,Y] = X, [T,X]

=X,ÍT.Y]=Y

Hom+1 := span{X;,Y;,7Z:i=1, ,m} là đại số Lie Heisenberg

11

thực (2m + 1)-chiều (m > 1) với các móc Lie không tầm

thường [X;, Y;| = Z với mọi i = 1, ,m

Căn lũy linh của G

Mặt xuyến

Đường tròn đơn vị

Ánh xạ mũ của G

Ánh xạ mũ của nhóm Lie Autg (đ)

K-quỹ đạo tổng quát của nhóm G

Trường ?ø-vectơ trơn

C*-đại số của phân lá F

Các hàm giá trị phức liên tục xác định trên R triệt tiêu

tại vô cùng

C*-đại số các toán tử compact trên không gian Hilbert

tách được vô hạn chiều

12

được gọi là Ly thuyết Lie.

Ngày nay, Lý thuyết Lie, được hiểu là lý thuyết liên quan đến nhóm Lie và đại số Lie, đã phát triển vượt bậc, ứng dụng mạnh mẽ không chỉ trong Toán

học mà cả trong Vật Lý hiện đại (đặc biệt là Thuyết tương đối) và đã được

chứng minh là “chia khóa” để giải quyết nhiều vấn đề liên quan đến Hình học và

Phương trình Vi phân, kết nối Toán hoc lý thuyết với thế giới hiện thực [8| Mở

dau] Mặc dù ra đời từ khoảng sau của thé kỷ XIX và phát triển mạnh mẽ trong

thế kỷ trước, Lý thuyết Lie vẫn còn có sức hấp dẫn giới toán học cho đến tận

ngày nay, cũng như do phạm vi ứng dụng của nó ngày càng được mở rộng trong

nhiều lĩnh vực khác nhau như Xác suất & Thống kê, Phân tích định lượng trongkinh tế, Toán tài chính {6} 50] [31], lượng tử, Chính vì tầm ảnh hưởng mạnh

mẽ đó, Lý thuyết Lie đã được quan tâm đặc biệt bởi cộng đồng toán học Tuynhiên, bài toán cơ bản của Lý thuyết Lie là phân loại nhóm Lie va dai số Lie

chính xác đến dang cấu, là bài toán khó va cho đến nay vẫn còn là bài toán mở.

Kết quả cơ bản trong Lý thuyết Lie cho thấy khi hạn chế xét lớp các nhóm

Lie liên thông đơn liên, chúng ta có sự tương ứng 1-1 giữa tập các nhóm Lie liên thông đơn liên và tập các đại số Lie Bởi vậy, mỗi phép phân loại trên một

lớp nào đó các nhóm Lie liên thông đơn liên (tương ứng, đại số Lie) đều có thể

“phiên dịch” thành một phép phân loại trên lớp các đại số Lie (tương ứng, nhóm

Lie liên thông đơn liên) Sau bài toán phân loại các đại số Lie, bài toán mà các

nhà toán học đặc biệt quan tâm là nghiên cứu biểu diễn đối phụ hợp của các

nhóm Lie tương ứng với các đại số Lie đã được phân loại

Năm 1962, A A Kirillov đã dua ra phương pháp quỹ dao và nó nhanh chóng

13

trở thành phương pháp quan trọng nhất trong lý thuyết biểu diễn của nhóm Lie

và đại số Lie (xem [37], Mục 15) Chia khóa của phương pháp quỹ đạo Kirillov

là quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (viết tắt là K-quỹ đạo) của nhóm Lie Do

đó, việc mô tả hình học các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie là rất quan trong cần

được nghiên cứu Đồng thời, nghiên cứu các phan lá tạo thành từ các quỹ đạo

đối phụ hợp đó ở vị trí tổng quát Việc nghiên cứu các phân lá trên đa tạp đã

có lịch sử lâu đời trong toán học Từ các công trình của C Ehresmann và G.

Reeb vào năm 1944, của C Ehresmann vào năm 1951 và của G Reeb

vào năm 1952, các phân lá trên đa tạp đã được phát triển nhanh chóng Giờ đây, chúng trở thành tâm điểm của rất nhiều hoạt động nghiên cứu (xem

[41] của H B Lawson, Jr.) Một vấn đề toàn cục đáng chú ý của một phan lá

là xét không gian các lá của chúng Nhìn chung, không gian lá của một phân lá

với tôpô thương là một không gian tôpô khá khó nghiên cứu Để cải thiện thiếu

sót đó, A Connes [I5] đã đề xuất khái niệm về phân lá đo được vào năm 1982

và liên kết mỗi phân lá như vậy với một C*-dai số Trong vài thập kỷ gần day,

những khái niệm này của A Connes đã trở thành công cụ quan trong của hình

học vi phân không giao hoán và thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà

toán học trên thế giới

Vì vậy, đề tài của luận án có xuất phát điểm từ hai hướng nghiên cứu lớn.

- Hướng lớn thứ nhất là phân loại các nhóm Lie, đại số Lie giải được hữu hạn

chiều trên trường thực hay phức Hướng này tất nhiên là quá rộng và rất

khó, trong trường hợp tổng quát, bài toán phân loại các nhóm Lie và đại số Lie giải được với số chiều lớn hơn 6 vẫn chưa được giải quyết triệt để Bởi

thế, người ta thường thu hẹp hơn việc phân loại trên những lớp nhóm Lie

và đại số Lie giải được khi ấn định một số chiều n (n > 7) nào đó cùng với

một hay vài cấu trúc bổ sung chang hạn như đại số dẫn xuất có số chiều

hoặc đối chiều nhỏ, căn lũy linh đã biết,

- Hướng lớn thứ hai là nghiên cứu biểu diễn đối phụ hợp — một biểu diễn được

xem là quan trọng nhất của nhóm Lie và đại số Lie, đồng thời nghiên cứu

các phân lá tạo thành từ các quỹ đạo đối phụ hợp ở vị trí tổng quát.

Cả hai hướng nghiên cứu trên là một bộ phận giao thoa giữa các lĩnh vực

của Dại số, Lý thuyết số và Hình học-Tôpô đồng thời được rất nhiều nhà toán

học trên thế giới quan tâm nghiên cứu Bởi thế, có thể khẳng định rằng đề tài

luận án là thiết thực, có tính thời sự và có ý nghĩa khoa học Những kết quả đạtđược là những đóng góp tích cực cho các lĩnh vực Đại số, Lý thuyết số và Hình

học- Tôpô.

14

1.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu của luận án bao gồm:

- Lớp đại số Lie thực giải được 7-chiều có căn lũy linh ð-chiều và lớp Lie(n, 2)các đại số Lie giải được n-chiéu có ideal dẫn xuất 2-chiều

- Lớp MD-phân lá tổng quát (hay GMD-phan lá) liên kết với các nhóm Lie

liên thông đơn liên tương ứng với các đại số Lie thực giải được bất khả phân7-chiều và lớp các C*-đại số Connes liên kết với các GMD-phan lá

1.3 Phương pháp nghiên cứu

Luận án được thực hiện bằng các phương pháp như sau:

- Tương tự hóa và cải tiến một số kỹ thuật trong một số nghiên cứu trước

đó để phân loại một vài lớp đại số Lie giải được đặc biệt.

- Sử dụng công cụ đại số máy tính, thuật toán phân tích tam giác (Triangular

decomposition), để kiểm tra đẳng cấu giữa các đại số Lie thu được.

- Dựa theo Phương pháp quỹ đạo Kirillov [87], đặc biệt là phương pháp mô

tả các K-quỹ đạo của Vu [§I].

- Phương pháp của Topo phân lá kết hợp với Hình học giải tích

- Viết bài báo khoa học, tham gia báo cáo tại hội nghị khoa học hoặc xê-mi-na

để nhận góp ý, phản biện, đánh giá từ các chuyên gia về kết quả nghiên cứu.

1.4 Y nghĩa khoa hoc của van dé nghiên cứu

Việc thực hiện thành công đề tài này có ý nghĩa khoa học như sau:

- Kết quả về phân loại các đại số Lie thực giải được n-chiéu không lũy linh bậchai và có ideal dan xuất 2-chiều kết hợp với các kết quả trước đó của Eberlein20] đã cho một phân loại đầy đủ toàn bộ lớp Lie(»,2) các đại số Lie thực giải

được với đại số dẫn xuất 2 chiều Đồng thời, kết quả tổng quát trên lớp Lie(n, 2)

bổ sung thêm một kết quả trong bài toán phân loại các đại số Lie thực, giải

được theo hướng tiếp cận bằng cấu trúc

- Kết quả về phân loại lớp các đại số Lie thực giải được 7-chiều có căn lũy

linh 5-chiều là g; ¿,g;„ góp phần giải quyết triệt để bài toán phân loại các đại

số Lie giải được 7-chiều có căn lũy linh 5-chiều Đồng thời, các kết quả này cùngvới kết quả trong bài báo và các kết quả có trước của Gong [29], Parry [53],

Hindeleh và Thompson [32], Ndgomo và Winternitz [51], Rubin và Winternitz [59], Snobl va Karasek [68], Snobl va Winternitz {69} [70], Wang [79] cho ta sự

phân loại đầy đủ lớp các đại số Lie giải được bất khả phân 7-chiéu Kết quả này

15

cũng bổ sung thêm một kết quả phân loại các đại số Lie thực, giải được theo

hướng tiếp cận bằng cấu trúc và số chiều

- Mô tả bức tranh các quỹ đạo đối phụ hợp (K-quỹ đạo) chiều cực đại củatất cả các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với các đại số Lie thực giảiđược 7-chiều đã được phân loại Tiếp tục, chỉ ra rằng đối với mỗi nhóm Lie được

xét, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại ở vị trí tổng quát tạo thành một phân lá

đo được (theo nghĩa của Connes), đồng thời phân loại tôpô tất cả các phân lá

này cũng như mô tả C*-đại số Connes của chúng Các kết quả này được tổng

quát hóa từ những kết quả của Thầy hướng dẫn và nhiều cộng sự về lớp nhómLie MD đã công bố trước đây [83] [84], đồng thời, cũng cho chúng tacác ví dụ đầu tiên về lớp các phân lá hình thành bởi các K-quỹ đạo chiều cực

đại ở vị trí tổng quát của các nhóm Lie giải được không phải là MD-nhóm.

16

Chương 2

Tổng quan về bài toán phân loại

các đại sô Lie giải được và hình hoc

các K-quy đạo của nhóm Lie liên

thông, đơn liên tương ứng

2.1 Tổng quan về bài toán phân loại các đại số Lie

giải được và hình học các K-quỹ đạo tổng quát

của nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng

Theo Dinh lý Levi [43] năm 1905 và Malcev [44] năm 1945, mọi đại số Lie

hữu han chiều trên một trường có đặc số 0 đều phân tích được thành tổng nửa

trực tiếp của một đại số Lie con nửa đơn và một ideal giải được tối đại của nó

Do đó, bài toán phân loại các đại số Lie tổng quát được quy về bài toán phân

loại các đại số Lie nửa đơn và đại số Lie giải được Trong đó, bài toán phân loại

các đại số Lie nửa đơn đã được giải quyết triệt để bởi Cartan [13] năm 1894

(trên C) và bởi Gantmacher [26] năm 1939 (trên R) Bởi vậy, chúng ta chỉ còn

phải xét bài toán phân loại các đại số Lie giải được

Đối với lớp các đại số Lie giải được, mặc dù có một vài phép phân loại trong

trường hợp thấp chiều nhưng việc phân loại trong trường hợp số chiều tùy ý vẫn

còn là một bài toán mở Cho đến nay, có ít nhất ba cách tiếp cận bài toán này:

- Hướng thứ nhất: Phân loại theo số chiéu, cỗ định số chiều của dai số Lie

rồi tiến hành phân loại

- Hướng thứ hai: Phân loại theo cấu trúc, mở rộng nội hàm (tính chất) thi

17

ngoại điên (lớp các đại số Lie) hep đi rồi tiến hành phân loại Theo đó, ta

bổ sung thêm tính chất cho đại số Lie rồi phân loại các lớp con của chúng.

- Hướng thứ ba: Tổ hợp của hai cách tiếp cận phân loại ở trên.

Hướng phân loại theo số chiều là phân loại các đại số Lie giải được có cùngmột số chiều cố định nào đó Những kết quả quan trọng theo hướng này là

- Năm 1893, Lie và Engel [42] phân loại các đại số Lie phức giải được

thấp chiều

- Đại số Lie giải được 3-chiều, 4-chiều và 5-chiéu lần lượt được phân loại bởi

Bianchi [7] năm 1903, Kruchkovich [40] năm 1954 và Mubarakzyanov [46]

năm 1963.

- Năm 1990, kết hợp với kết quả của Mubarakzyanov năm 1963, Turkowski

phân loại các đại số Lie giải được 6-chiều Cũng trong năm này, Patera

và Zassenhaus phân loại các đại số Lie giải được 4-chiều trên trường

hoàn thiện.

- Một vài phân loại không đầy đủ các đại số Lie lũy linh 7-chiéu và 8-chiéu

lần lượt được đưa ra bởi Gong năm 1998 va Tsagas [76] năm 1999,

Dường như tiếp cận bài toán phan loại các đại số Lie giải được theo hướng

thứ nhất chỉ có thể phân loại hoàn chỉnh đến các đại số Lie giải được đến 6-chiều Tuy nhiên, chúng ta có thể tiếp cận bài toán chỉ theo cấu trúc, tức là phân loại các đại số Lie giải được với một hay một vài tính chất bổ sung nào đó Những công trình tiêu biểu theo hướng này có thể kể đến

- Năm 1973, Gauger [27] dua ra một phân loại triệt để các đại số Lie

meta-abel không quá 7-chiéu và gần như đạt được kết quả triệt để đối với 8-chiéu.

- Năm 1995, Arnal, Cahen va Ludwig [4] liệt kê các đại số Lie (không nhất

thiết giải được) mà các K-quỹ đạo của các nhóm Lie liên thông tương ứng

có số chiều là 0 hoặc 2 Bảng liệt kê này sau đó được bổ sung đầy đủ bởi

Shashkov năm 2012 (trên C) và Konyaev [39] năm 2014 (trên R).

- Năm 1999, Galitski và Timashev phân loại các đại số Lie meta-abel

9-chiều

- Năm 2000, Tsagas, Kobotis và Koukouvinos [77] phân loại các đại số Lie

lũy linh 9-chiều với ideal giao hoán cực đại 7-chiều.

18

- Năm 2007, Campoamor-Stursberg phân loại các đại số Lie 9-chiều với

sự phân tích Levi không tầm thường, Kath [36] phân loại lớp các đại số Lie

toàn phương lũy linh 10-chiều và Parry [53] phân loại các đại số Lie thực,giải được, bất khả phân có căn lũy linh đối chiều 1

- Năm 2010, Šnobl và Karasek [66i [68] phân loại lớp các đại số Lie với một

số điều kiện nào đó của căn lũy linh cho trước.

- Năm 2012, Duong, Pinczon và Ushirobira [19] phân loại các đại số Lie toàn

phương kỳ dị giải được và Chen [14] phân loại lớp các đại số Lie giải được

với sự phân tích tam giác.

Cho đến hiện nay, hướng tiếp cận chỉ theo số chiều hoặc chỉ theo cấu trúc thì

cũng chỉ phân loại triệt để các đại số Lie giải được đến 6-chiều và một vài trường

hợp riêng đối với các đại số Lie giải được 7-chiéu, 8-chiéu, 9-chiều, 10-chiều và

trường hợp tổng quát ø-chiều Luận án tiếp cận việc phân loại các đại số Lie giải

được theo hai hướng: chỉ theo cấu trúc, kết hợp theo số chiều và theo cấu trúc

Cụ thể hơn, tác giả xét bài toán phân loại các đại số Lie giải được bằng cách

bổ sung tính chất về số chiều của ideal dẫn xuất thứ nhất Nếu G là một dai số

Lie giải được không giao hoán n-chiều thì ideal dan xuất của G là k-chiéu vớik€{1, ,nT— 1}, kí hiệu Lie(n, k) lớp tất cả các đại số Lie thực giải được n-chiéu

có ideal dẫn xuất k-chiều Để giải bài toán phân loại các đại số Lie giải được n-chiều tổng quát, việc hạn chế bài toán này là một điều tự nhiên Cụ thể hơn, bài toán được hạn chế trên mỗi lớp con Lie(n,k) với 1 < k < ø — 1 Trong sự nổ lực để giải quyết bài toán phân loại này, một số nhà toán học đã phân loại lớp con Lie(n, k) với k € {1,2,3} trong những thập kỷ gần day Cu thể, Lớp Lie(n, 1)

đã được phân loại triệt để bởi Schöbel gồm đại số Lie affine thực, đại số

Lie Heisenberg thực và mở rộng tầm thường của chúng bởi các đại số Lie giao

hoán Tuy nhiên, cho đến hiện nay, chưa có một kết quả nào đối với Lie(n, 3).

Trong khi đã có một vài kết quả với Lie(n,2) như sau:

- Năm 1993, Schöbel đã đưa ra một kết quả phân loại của lớp Lie(n, 2)

dựa vào tinh chất nếu đ thuộc lớp Lie(n,2) thì đ có một đại số con 4-chiều

S mà [S, S] là 2-chiéu

- Năm 2003, Eberlein đã đưa ra một sự phân loại hình thức của các đại

số Lie lũy linh bậc 2 Phân loại này chứa một trường hợp đặc biệt của

Lie(n,2) khi đại số được xét có đại số dẫn xuất nằm trong tâm của nó

- Năm 2010, Janisse xét ma trận cấu trúc mà các phần tử của nó là các

hằng số cau trúc af, và cũng dua ra một sự phân loại riêng của lớp Lie(n, 2)

19

Ngoài những kết quả này, từ năm 2010 đến nay không có thêm kết quả nào

đối với lớp Lie(n,2) Diều này đã thúc day chúng tôi một lần nữa xét lại lớp

Lie(n,2) trong luận án Nói một cách đơn giản, chúng tôi giới thiệu một cách

tiếp cận mới để phân loại các đại số Lie không lũy linh bac 2 trong lớp Lie(n, 2) Kết quả của chúng tôi sẽ bổ sung các họ còn thiếu vào (Schobel) cũng như

(Janisse), kết hợp với kết quả trước đó của (Eberlein), và do đó, toàn

bộ lớp Lie(n,2) sẽ được phân loại day đủ Cu thé hơn, chúng tôi sử dụng công

thức nổi tiếng về số chiều cực đại của các đại số con giao hoán chứa trong đại số

Lie Mat„;(K) Năm 1905, Schur là nha toán hoc đầu tiên thiết lập công thứcnày trên một trường đóng đại số, kết quả của ông sau đó đã được Jacobson [34]

mở rộng sang một trường tùy ý vào năm 1944 Trong thực tế, nếu đ thuộc lớp

Lie(n, 2) thì đại số dẫn xuất của G là giao hoán Nhu một hệ quả của khẳng định

này, một đại số con thích hợp của Der(G) = Mat„(R) cũng có tính giao hoán

Hy vọng rằng sự kết hợp cơ học giữa kết quả của Schur và Jacobson với các kỹ

thuật cơ bản của Đại số tuyến tính cũng như Lý thuyết Lie có thể đưa ra một

sự phân loại triệt để của lớp Lie(n, 2) như mong muốn.

Nhu đã biết, chỉ có các dai số Lie giải được đến 6-chiéu là được phân loại

đầy đủ Để phân loại đầy đủ tất cả các đại số Lie giải được có số chiều cố

định lớn hơn 6, luận án tiếp tục xét bài toán phân loại các đại số Lie giảiđược 7-chiều Phương pháp phân loại của chúng tôi là xem đại số Lie giải được

G đã biết như là mở rộng của căn lũy linh N(G) của G, tức là ideal lũy linhcực đại của G Do đó, chúng tôi bắt đầu với một dai số Lie lũy linh 5-chiều g

và phân loại tất cả các đại số Lie giải được 7-chiều nhận g làm căn lũy linh

Phương pháp nay được Mubarakzyanov khởi xướng năm 1963 qua một loạt các

công trình của ông |4] |47) [48] khi phân loại các đại số Lie giải được 4-chiều

và 5-chiều trên trường có đặc số 0 Hơn nữa, khi sử dụng phương pháp tương

tự, Mubarakzyanov [48] và Turkowski [78] đã nhận được kết quả phân loại đầy

đủ cho tất cả các đại số Lie giải được 6-chiều Bên cạnh đó, các kết quả trong

[B1I (59) (63) (64) (67, (68) |69| [70| [7 1| [79] chứng tỏ phương pháp này là hiệu quả.

Theo Mubarakzyanov [46], nếu G là một đại số Lie giải được n-chiều va N(G)

là căn lity linh của G thi 5 < dim(N(G)) <n.

Như vậy, nếu chúng ta xét G là đại số Lie giải được 7-chiều thì 4 < dim(N(G)) < 7.Một số kết quả đáng chú ý đối với bài toán phân loại đại số Lie giải được 7-chiều:

- Năm 1993, Rubin và Winternitz [59] đã đưa ra liệt kê day đủ các đại số Lie

giải được 7-chiều có căn lũy linh là đại số Lie Heisenberg 5-chiều

- Năm 1994, Ndogmo và Winternitz đã phân loại hoàn chỉnh các đại số

20

Lie giải được 7-chiều có ideal dẫn xuất giao hoán 5-chiéu.

- Năm 1998, Gong [29| đã đưa ra liệt kê đầy đủ các đại số Lie lũy lĩnh 7-chiều

- Năm 2007, Parry đã đưa ra liệt kê đầy đủ các đại số Lie giải được

7-chiều có căn lũy linh đối chiều 1

- Năm 2008, Hindeleh và Thompson đã đưa ra liệt kê đầy đủ các đại số

Lie giải được 7-chiều có căn lũy linh đối chiều 3

Từ năm 2008 đến nay chưa có thêm một kết quả nào cho lớp các đại số Lie

giải được 7-chiều Điều này chính là động lực để chúng tôi tiếp tục xét bài toán

phân loại các đại số Lie thực giải được 7-chiều có căn lũy linh 5-chiều Theocác kết quả trên thì các đại số Lie 7-chiéu có căn lũy linh lần lượt là 4-chiéu,

6-chiéu và 7-chiều đã được phân loại day đủ Khi dim(N(G)) = 5, có chín trường

hợp được liệt kê trong Bảng |2.1| bên dưới (theo Dixmier [I§]) Trong bang này,

N(đ) được sinh bởi {X1, Xo, Xz, X4, Xo}.

Bảng 2.1: Dai số Lie lũy linh 5-chiéu

Trường hợp

Xo, X3] = X5

Dai số Móc Lie khác không

1 (g,)° Dai số Lie giao hoán 5-chiéu

Các mở rộng giải được thực và phức bat khả phan hữu han chiều của các

đại số Lie lũy linh ở trường hợp 1, 4, 6, 8 và 9 đã được phan loại bởi Ndogmo

và Winternitz JðI|, Rubin và Winternitz |ð9|, Snobl và Karásek [68], Snobl và

Winternitz [69] [70| Bên cạnh, mở rộng giải được thực và phức bất khả phân

hữu hạn chiều của g; ® g, được xét bởi Wang [79], nhưng kết qua này vẫn còn

21

thiếu sót Trong luận án này, tác giả tiếp tục xét mở rộng giải được thực và

phức bất khả phân 7-chiều với căn lũy linh lần lượt là trường hợp 5 và 7 trong

Bảng |2.1| Khi đó, chúng tôi kết hợp các kết qua đạt được trong luận ấn và các

kết quả trong [51] [59] [68] (69) [70] để đạt được kết quả phân loại đầy đủ cho lớp

các đại số Lie giải được bất khả phân 7-chiều có căn lũy linh 5-chiều Hơn nữa,cùng với các kết quả trước đó của Gong [29], Parry [53], Hindeleh và Thompson[32], chúng ta nhận được kết quả phân loại đầy đủ cho tất cả các đại số Lie giảiđược bất khả phân 7-chiều

Một vấn đề khác mà tác giả quan tâm nghiên cứu trong luận án là tính chấthình học của các quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie liên thông đơn liêntương ứng với các đại số Lie giải được đã phân loại ở trên Đặc biệt là lớp cácnhóm Lie tương ứng với đại số Lie giải được 7-chiều Ý tưởng nghiên cứu nàyđược gợi ý từ phương pháp quỹ đạo của Kirillov [37] năm 1962 Cho đến nay,phương pháp quỹ đạo vẫn là một trong những phương pháp quan trọng nhất

trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie và dai số Lie.

Hai ví dụ cụ thể đáng chú ý là họ các K-quỹ đạo của nhóm Lie Heisenberg

(2m + 1)-chiều Hz„¡ và nhóm Lie Kim cương thực 4-chiều R.H3, về số chiều,

đều chỉ có hai tầng: tầng 0-chiéu hoặc tang có chiều cực đại Từ đó, Diep đã

đề nghị việc khảo sát lớp các nhóm Lie giải được có tính chất tương tự mà được

gọi là các MD-nhóm Cụ thể hơn, một MDn-nhóm là một nhóm Lie thực, giải

được, n-chiéu mà các K-quỹ đạo chỉ hoặc là 0-chiều hoặc có số chiều cực dai

Điều đáng chú ý, trên các K-quỹ đạo có cấu trúc symplectic tự nhiên và đóngmột vai trò quan trọng trong lý thuyết của các hệ khả tích bởi vì nhiều hệ cơ

học quan trọng có thể được biểu diễn trên các quỹ đạo như vậy [23] Một điểm

đặc biệt đáng chú ý khác đó là: từ sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo(tầng 0-chiều hoặc tầng có chiều cực đại), nếu bỏ đi các K-quỹ đạo 0-chiều thìcác K-quỹ đạo chiều cực đại của một MD-nhóm chính là một họ những đa tạp

con liên thông, đôi một rời nhau; hơn nữa, họ này tạo thành một phân lá Tw

việc nghiên cứu các phân lá symplectic đã thúc day Arnal, Cahen va Ludwig [4]

quan tâm nghiên cứu lớp các nhóm Lie mà các K-quỹ đạo chỉ có số chiều 0 hoặc

2 mà sau đó được hoàn thiện bởi Shashkov [65] và Konyaev [39].

Về mặt lịch sử, Lý thuyết phân lá bắt đầu xuất hiện trong công trình của

Reeb năm 1952 và nhanh chóng phát triển thành Topo phân lá — một

chuyên ngành thuộc lĩnh vực Hình học và Tôpô Ngày nay, lý thuyết phân lá

đã trở thành một công cụ kết nối lý thuyết phương trình vi phân thông thường

và Topo vi phân [B0| M6 đầu] Chính vì vậy, phân lá trở thành một đối tượng

nghiên cứu cực kỳ thú vị trong Hình học hiện đại.

22

Trong trường hợp tổng quát, tập các nghiệm của một hệ phương trình vi

phân lập thành một phân lá xác định bởi một phân bố khả tích sinh bởi các

trường vector mà tổ hợp của các trường vectơ đó là các phương trình trong hệ

phương trình vi phân cần tìm nghiệm Lý thuyết phân lá, do đó, nhanh chóngnhận được nhiều sự quan tâm của cộng đồng toán học Tóm lại, K-quỹ đạo là

“chiếc cầu nối” giữa lớp MD và lớp phân lá Bởi vậy, bài toán nghiên cứu lớp

MD là có ý nghĩa khoa học: thứ nhất, nghiên cứu lớp MD là một bộ phận của

việc nghiên cứu giải quyết bài toán phân loại các đại số Lie theo cấu trúc khixét thêm tính chất đặc biệt về số chiều K-quỹ đạo; thứ hai, rõ ràng việc nghiêncứu lớp MD chính là một sự kết hợp thật sự đáng quan tâm giữa lý thuyết biểudiễn nhóm Lie, đại số Lie với lý thuyết topo phan lá

Trong lý thuyết tôpô phân lá, một trong những điều đáng quan tâm là tínhchất hình học của các lá trong mỗi phan lá (V,.Z), bởi vi mỗi lá của Z chính làmột họ nghiệm của một hệ phương trình vi phân thích hợp nào đó nên tính chất

hình học của các lá cũng chính là đặc trưng tôpô của các họ nghiệm Đặc biệt,

nếu trên đa tạp phân lá V có một cấu trúc Riemann thì tính chất hình học của

các lá càng trở nên phong phú Cụ thể hơn, những lớp phân lá với các tính chất

hình học đặc biệt, chang hạn như phân lá trắc địa hoàn toàn, phân 14 Riemann

hay phan lá eliptic, hyperbolic và parabolic có nhiều ý nghĩa và được nhiều nhà

toán học quan tâm khảo sát.

Một cách tiếp cận khác trong nghiên cứu tôpô phân lá là kết hợp lý thuyết

phân lá và đại số toán tử Cụ thể hơn, chúng ta thu mỗi lá của Z về một điểm

nhờ quan hệ tương đương thuộc cùng một lá và nhận được một không gian tôpô

V/Z mà gọi là không gian lá của phân lá (V,F) Sau đó, sử dụng K-lý thuyết

hình học, tức là thay việc khảo sát V/F bằng việc khảo sát cấu trúc C*-đại số

Co(V/F) các hàm giá trị phức, liên tục trên V/F và triệt tiêu ở vô cùng Tuy

nhiên, K-lý thuyết hình học thường chỉ thích hợp với các không gian compact

địa phương, Hausdorff Trong khi đó, cho dù V là đa tạp trơn thì không gian

lá V/F (với tôpô thương của V) thường khong Hausdorff, thậm chi không nửa

tách Do đó, Co(V/F) không cung cấp thông tin đủ cần thiết về V/Z Đây là

một trở ngại trong nghiên cứu tôpô phân lá.

Năm 1982, Connes đã khắc phục thiếu sót đó bằng cách liên kết mỗi

phan lá (V,F) với một C*-đại số ký hiệu là C*(V,F) và đề ra ý tưởng là khảo

sát Œ*(V,Z) thay vì Co(V/F) Bởi vậy, đối với mỗi phan lá (V,F) cho trước, baitoán mô ta cấu trúc C*-dai số Connes Œ*(V,.Z) của (V,F) trở thành một trongnhững vấn đề quan tâm hàng đầu của lý thuyết tôpô phân lá

Người ta nhận thấy rằng, đối với mỗi MD-nhóm G (chiều tùy ý), họ các

23

K-quỹ đạo có chiều cực đại hình thành một phân lá đo được theo nghĩa của A.Connes [T5] Phân lá này được gọi là MD-phãn lá liên kết với G.

Trong những thập kỷ gần đây, Lê Anh Vũ và các đồng nghiệp của ông đãkết hợp phương pháp quỹ đạo Kirillov và phương pháp của Connes trong việc

nghiên cứu hình học các K-quỹ đạo cũng như MD-phân lá liên quan đến một số

MD-nhóm có chiều thấp Từ năm 1987 đến năm 1993, đã giải quyết hoàn toànvan đề này cho lớp các MD4-nhóm và MD4-phân lá trong [3} [S0] [81] [82] Tronggiai đoạn 2008-2014, các kết quả tương tự đã được đề xuất cho các MD5-nhóm

và MD5-phan lá trong [1] Z| {83} S4] Mac dù một số kết quả riêng đã được nghiên

cứu, các tính chất tổng quát của MD-lớp va phân loại hoàn chỉnh MD-dai số và

MD-phân lá vẫn còn mở.

Đương nhiên, một vấn đề nảy sinh như sau: Cho một nhóm Lie giải được Gkhông là MD-nhóm, ho các K-quỹ đạo chiều cực dai của G có tính chất giốngnhư các tính chất của các K-quỹ đạo chiều cực đại của MD-nhóm hay không?Chúng tôi hy vọng rằng câu trả lời là khẳng định Cụ thể, kết hợp ý tưởng

phương pháp quỹ đạo của Kirillov và phương pháp phân lá của Connes, chúng

tôi hy vọng rằng một số tính chất đẹp của MD-nhóm có thể được tổng quát

hóa cho một lớp rộng hơn các nhóm Lie giải được, bao gồm tất cả các nhómLie tương ứng với đại số Lie giải được bất khả phân 7-chiều đã được phân loại

Chính xác hơn, chúng tôi muốn nghiên cứu các thuộc tính tương tự như của

MD-nhóm đối với nhóm Lie tương ứng với đại số Lie giải được bất khả phân7-chiều Trong số các nhóm Lie này, các nhóm Lie tương ứng với các đại số Lie

giải được bất khả phân 7-chiều có căn lũy linh g;„ được chọn để nghiên cứu

trong luận án này vì chúng không tầm thường và cũng không quá phức tạp

2.2 Mục tiêu nghiên cứu

Từ những đề cập như trên, chúng tôi xác định mục tiêu chính của luận án là:

- Phân loại lớp Lie(n, 2) các đại số Lie thực giải được n-chiéu (n > 3) đ không

lũy linh bậc 2 với ideal dẫn xuất đ! := [G,G] 2-chiều va dim Ag = 2.

- Phân loại lớp các đại số Lie thực giải được 7-chiều có căn lũy linh 5-chiều

là 95,2 Và Os

4 Dưa ra tính chất hình học các K4 quỹ đạo chiều cực đại của các nhóm Lie

liên thông, đơn liên tương ứng với các đại số Lie giải được 7-chiều đang xét.

24

2.3 Bo cục và nội dung luận án

Bồ cục của luận án được trình bày như sau: Mục lục, Danh mục chữ viết tắt

và ký hiệu, Chương 1: Mé đầu, Chương 2: Tổng quan về bài toán phân loại các

đại số Lie giải được và hình học các K-quỹ đạo của nhóm Lie liên thông đơn liên

tương ứng, Chương 3: Kiến thức cơ sở, Chương 4: Một vài lớp đại số Lie thực

giải được đặc biệt, Chương 5: Phân lá hình thành bởi các K-quỹ đạo tổng quát

của một lớp các nhóm Lie giải được 7-chiều, Chương 6: Kết luận, Tài liệu thamkhảo, Danh mục công trình của tác giả liên quan trực tiếp đến luận án Trong

đó, nội dung chính của luận án gồm 3 chương:

- Chương 3 Kiến thức cơ sở

- Chương 4 Một vài lớp đại số Lie thực giải được đặc biệt

- Chương 5 Phân lá hình thành bởi các K-quỹ dao tổng quát của một lớp

các nhóm Lie giải được 7-chiều

Chương 3 trình bày lại một số khái niệm và kết quả đã biết trong đại số Lie,

ý tưởng cơ bản của phương pháp K-quỹ đạo được dua ra bởi Kirillov [37], một

số van đề cơ ban của lý thuyết topo phân lá Day là những kiến thức cơ sở để

nghiên cứu các nội dung trong Chương 4 và Chương 5.

Chương 4 được chia thành hai phần Phần đầu trình bày một tiếp cận mới,

cụ thể, sử dụng công thức nổi tiếng về số chiều cực đại của các đại số con giao hoán chứa trong đại số Lie Mat,,(K) để phân loại các đại số Lie không lũy linh bậc 2 trong lớp Lie(n,2) và đưa ra một danh sách đầy đủ các dạng chuẩn cho

các đại số Lie đang xét Phần sau trình bày phương pháp mở rộng giải được bấtkhả phân 7-chiều của các đại số Lie lũy linh 5-chiều và việc áp dụng đại số máy

tính kiểm tra tính đẳng cấu giữa các đại số Lie Từ đó, áp dụng cho bài toán

phân loại các đại số Lie giải được bất khả phân thực và phức 7-chiều có căn lũylinh lần lượt là các đại số lũy linh 5-chiều g; va gs, (đến đẳng cấu)

Chương 5 mô tả bức tranh các K-quỹ đạo chiều cực đại của nhóm Lie liênthông đơn liên tương ứng với các đại số Lie giải được 7-chiều đã được phân loại

trong Chương 4 và đặc trưng hình học của chúng Sau đó, chứng minh được mỗi

họ các K-quỹ đạo chiều tổng quát của các nhóm Lie đang xét hình thành một

phân lá đo được theo nghĩa của Connes [15] Từ đó đưa ra phân loại tôpô của

tất cả các phân lá thu được và mô tả C*-dai số Connes của chúng

25

Chương 3

Kién thức cơ sở

3.1 Biểu diễn đối phụ hợp của một nhóm Lie và

phương pháp quỹ đạo của Kirillov

Mục này trình bày lại một vài khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhóm Lie, biểudiễn đối phụ hợp của nhóm Lie và ý tưởng cơ bản của phương pháp K-quỹ đạo

đề xuất bởi Kirillov [37] Trường cơ sở được xét trong suốt mục này là trường

số thực

3.1.1 Biểu diễn đối phụ hợp

Định nghĩa 3.1.1 1 Cho F là một trường Một dai số Lie trên trường F

là một -không gian vecto G, cùng với một ánh xạ song tuyến tính (gọi là

móc Lie)

[,|j:Œxđ—60, (X,Y) [X,Y]

thỏa mãn các tinh chất sau:

i) Phản xứng: [X, X] = 0 với mọi X € G.

ii) Đồng nhất thức Jacobi: [[X, Y], Z]+[[Y, Z], X]+|[Z.X].Y]=0, VX,Y,Z €

Nếu [-,-] = 0 thì G được gọi là dai số Lie giao hoán

2 Đại số Lie con của G là một không gian vectơ con H của G sao cho [X,Y] €

H với mọi X,Y EH.

3 Ideal của một đại số Lie G là một không gian vectơ con Z của G sao cho

[X,Y]€7 với mọi X €G,Y €7.

26

Một ideal luôn là một đại số con, ngược lại, một đại số con có thể không

là một ideal {0} là một ideal của G và G cũng là một ideal của G, chúng

được gọi là các ideal tầm thường của đ

4 Tam của đại số Lie G là tập hợp Z(G) := {Z € G: [Z,X] =0,VX e đ} Tâm

Z(G) là một ideal của G.

5 Một đại số Lie đ được gọi là bat khá phân nếu không thể phân tích đ thành

tổng trực tiếp của hai đại số con thực sự Ngược lại, đ được gọi là khá phân Cho G là đại số Lie n-chiéu (n < 00) Cấu trúc đại số Lie trên đ có thể được

cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở {et,es, ,e„} đã chọn trước

trên đ như sau:

n

[e¿, ej] = ».- <i<j<n.

k=1

Cac hé sé ck <i<j<n được gọi là các hang số cấu trúc của đại số Lie G

Ví dụ 3.1.2 1 (R”,[.,.]= 0) là đại số Lie thực giao hoán n-chiéu

2 Không gian R với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3-chiều.

3 Cho V là một không gian vectơ n-chiéu trên trường F (n > 0) g1(V) là tập tất

cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào V gl(V) là một không gian vectơ n?-chiéu

trên F (được biết như là một đại số tuyến tính tổng quát) gl(V) trở thành

đại số Lie nếu chúng ta xác định móc Lie [.,.| bởi [ƒ,ø] = fog—go ƒ; với mọi

J,øc g1(V).

4 Không gian vectơ Mat(n,F) tất cả các ma trận cấp n trên trường F với móc

Lie được định nghĩa bởi [X,Y]:= XY -YX là một đại số Lie, với XY là tích

thông thường của hai ma trận X và Y.

Định nghĩa 3.1.3 Cho G là một đại số Lie Chúng ta nhắc lại ba dãy đặc

trưng của đ như sau

ii) Day tâm dưới (LS):

Go := Ở Đ Ới := [0,0] Đ - Úy := [đ,0y_1] Đ

Dai số Lie đ được gọi là dai số Lie lữy linh nêu LS dừng, tức là

ke N*:G, =0

Hon nữa, nếu đy_¡ #0 = Gy thì G được gọi là dai số Lie lity lính bac k

iii) Day tâm trên (US):

0 := Co(G) C C1(G) = Z(đ)C Cy(0) C

ở đó Œ;+1(đ) = {X €đ: [X,0| C Œ,(đ)} Day (dimC1(G), ,dimC;,(G), .)

được gọi là chiéu day tâm trên của G

Nhận xét 3.1.4 [G,G] := {[X,Y]: X,Y © G} được gọi là ideal dan xuất thứnhất hoặc đại số dẫn xuất của đại số Lie G

Định nghĩa 3.1.5 Cho đi và Go là hai đại số Lie trên trường F Tổng trực tiếp

G, © Gz của hai không gian tuyến tính đi và Gz trở thành một đại số Lie nếu

móc Lie [.,.] trên nó được xác định bởi

IXi,42), (V1, W2)]| = (Ấn, Vilas, [X2, Yala.)

với moi X1, Yị € Gi; Xa, Y2 € đa Dai số Lie nay được gọi là tổng trực tiếp của hai

đại số Lie đi và Go

Định nghĩa 3.1.6 Nhóm G được gọi là nhém Lie n-chiéu nêu G là đa tạp khả

vi n-chiều sao cho phép toán (z,y) 4 xy! khả vi Nhóm Lie G được gọi là giaohoán nêu phép toán nhóm giao hoán

Nhận xét 3.1.7 Theo kết quả cơ bản trong lý thuyết Lie, mỗi nhóm Lie G

sẽ xác định duy nhất một đại số Lie đ = Lie(G) mà được gọi là dai số Lie củanhóm Lie G Ngược lại, với mỗi đại số Lie G cho trước, luôn tồn tại duy nhất

nhóm Lie liên thông, đơn liên G sao cho Lie(G) = G.

Có thể xem GL„(IR) là nhóm Lie (dim V)?-chiéu Aut(V) các tự đẳng cấu của

không gian vectơ V với phép hợp thành ánh xa và đại số Lie (dim V)?-chiéuLie(Aut(V)) = End(V) các tự đồng cấu của V với móc Lie [ƒ,g] = ƒog— go ƒ

Định nghĩa 3.1.9 Ánh xạ tuyến tính (tương ứng, đẳng cấu tuyến tính)

giữa hai đại số Lie được gọi là đồng cấu đại số Lie (tương ứng, đẳng cấu đại số

Lie) nêu ƒ([X,Y]g,) = [f(X), fg, với moi X,Y € đi Đồng cấu nhóm (tương

ứng, đẳng cấu nhóm) ƒ : Gị > Gạ giữa các nhóm Lie được gọi là đồng cấu nhóm Lie (tương ứng, đẳng cấu nhóm Lie) nêu ƒ khả vi.

Định nghĩa 3.1.10 Cho V là một không gian tuyến tính n-chiéu trên trường

F Mỗi đồng cấu ø: đ > gl(V) được gọi là một biểu điễn tuyến tính n-chiều của

G trong V.

Dinh nghĩa 3.1.11 Cho dai số Lie đ, một ánh xạ tuyến tính D : G > G

thỏa mãn

D([X,Y]) = [D(X), Y] + [X, D(Y)]; voi mọi X,Y €G

được gọi là đạo ham của G.

Der đ tập tất cả các đạo hàm của G là một đại số Lie con của gl(G) và đượcgọi là đại số Lie các dao ham của G

Định nghĩa 3.1.12 ([37|) Cho nhóm Lie Œ và G = Lie(G) Đồng cấu nhóm

Ad:G — Aut(đ), g++ Ad(g) = (Lgo Ry-1), € Aut(G),

trong đó L, (tương ứng, R,-1) là phép tinh tiến trái bởi g (tương ứng, tịnh tiến

phải bởi ø~!) và (Ly ° Ry), là đạo ham của Lgo R,-1, được gọi la biểu diễn phụ

hợp của G trong G.

Ánh xạ tiếp xúc ad := Ad, của Ad được gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong

chính nó Hơn nữa, ad: G > gl(đ), X + adx là đồng cấu được xác định như sau

adx(Y):=[|X,Y]; với mọi Y € G (3.1)

Chú ý rằng, ady € Derđ với mọi X € G và ad(đ) C DerG C gl(đ) Với mỗi

D € ad(G) được gọi là đạo hàm trong, với mỗi D € DerG \ ad(đ) được gọi là dao

ham ngoài của G.

29

Định nghĩa 3.1.13 ([ð7|) Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của G Dong cấu

nhóm K :G — Aut(G*), g> K(g) xác định bởi:

(K(g)Ƒ.Y) = (F,Ad(g !)Y), FEGY eG

trong đó ký hiệu (F,Y) để chỉ giá trị của F € đ* tại Y € đ, được gọi là biểu dién

đối phụ hợp hay K-biéu diễn của G trong G*.

Định nghĩa 3.1.14 ([37]) Mỗi quỹ dao ứng với K-biểu diễn được gọi là K-quy

đạo hay quỹ đạo đối phụ hợp của G (trong đ*) K-quỹ đạo của G qua F € G* ký

hiệu là

Op = {K(g)P':g €G}.

Đặc biệt, số chiều của mỗi K-quỹ đạo của một nhóm Lie G luôn luôn là chan

Để xác định số chiều của các K-quỹ dao Op, chúng ta xét dạng song tuyến tính,

phản xứng Kirillov Bp trên đ tương ứng với F như sau:

Bp(X,Y):= (F,[X,Y]): với moi X,Y €0 (3.2)

Mệnh đề 3.1.15 ([37) Mục 15.1]) dimQp = rank Bp

Trong việc nghiên cứu các nhóm Lie thì nhóm con 1-tham số x(t)(t € R)

tương ứng với mỗi X € G (xem §6]) đóng vai trò rất quan trọng Chúng ta

có định nghĩa sau

Định nghĩa 3.1.16 ([B7|) Ánh xạ expg : đ > G được xác định bởi expg(X) :=

x(1) với mọi X € G được gọi là ánh xạ ma Một nhóm Lie G được gọi là nhóm

exponential khi và chỉ khi ánh xạ expe : G+ G là một vi phôi.

3.1.2 Phuong pháp mô tả K-quy dao

Đối với mỗi nhóm Lie G, chúng ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-quỹđạo Or của G, với mỗi F € G* Vì khi nghiên cứu về nhóm Lie thì thường thôngtin chúng ta thu được rất ít do luật nhóm của G chưa được cho một cách tường

minh Lý thuyết biểu diễn cho phép ta chuyển từ nghiên cứu nhóm Lie sang

nghiên cứu đại số Lie thông qua một công cụ là ánh xạ mũ exp

Nhớ lại rằng, nhóm Aut(đ) (tất cả các tự đẳng cấu của đ) cũng là một nhóm

Lie và đại số Lie tương ứng với Aut(đ) là End(G) (tất cả các tự đồng cấu của G)

Cho expg : đ > G là ánh xạ mũ của G va exp: Endep (đ) > Autg (đ) là ánh xạ

30

mũ của nhóm Lie Autg (đ) các tự dang cấu R-tuyén tính của G Tinh tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán sau:

GAS Autp (đ) (3.3)

€XDĐœ | Joo

g 4 Enda (G)

tức là Ado expg = exp o ad.

Bay giờ, với mỗi U € G, mỗi F € G*, ta xác định phan tử Fy € đ* như sau:

(Fy, X) = (F, (expoady)(X)); với moi X EG (3.4)

và ký hiệu Oz(đ) = {Fy :U €G} Giả sử {Xị, , X„} va {XF, , XZ} lần lượt là

cơ sở của G và G* Gọi (Cig); jt là ma trận của exp (ady) trong cơ sở {X;} Công

thức (3.4) cho thấy nếu (œi, ,a„) là tọa độ của F € G* thi tọa độ (z†, , zŸ)

của Fy € đ* được cho bởi công thức:

+j = (Fy, Xj) = (Œ,exp(adu) Xj) = 3) aieiy, j = 1,n (3.5)

1=1

Khi đó, nhờ biểu đồ giao hoán (3.3), chúng ta có kết quả:

Mệnh đề 3.1.17 ([S0| [SI|) Nếu Op là K-quỹ dao của G qua F thà ta luôn có

bao hàm thúc:

hơn nữa, nếu expg là toàn ánh thi Or = Op(G)

Chúng ta cần tìm điều kiện để expg là toàn ánh Vì expg luôn là vi phôi địa phương nên nếu expg là vi phôi toàn cục thì hiển nhiên có đẳng thức trong (3.6).

Dưới đây là một phần của Dinh lý Dixmier [7| & Saito trong phép phân

loại nhóm exponential.

Mệnh dé 3.1.18 (|60|) Gia sử G là nhóm Lie thực giải được liên thông đơn

liên hữu hạn chiều Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

i) G là nhóm exponential.

it) Với moi X €G = Lie(G), adx không có giá trị riêng thuần áo khác không

Thực ra, điều kiện trên rất mạnh, trong nhiều trường hợp, một điều kiện yếu

hơn tính toàn ánh của expg cũng đủ để có đẳng thức Or = Oz(đ) Cụ thể là:

BÀI

Mệnh dé 3.1.19 Giá sử rằng nhóm Lie G liên thông Hơn nữa họ các Qp(đ), F €

G* lập thành phân hoạch của G* va mọi O,(G), F" € Or đều cùng mé hoặc cùngđóng (tương đối) trong Or, F € G* Khi đó, Or = ©p(đ), uới mọi F € G*

3.2 Tôpô phân lá

Mục này trình bày lại một số van đề cơ bản của lý thuyết tôpô phan lá Van

đề chi tiết hơn, xin xem trong [DỊ ñ| [9] [101 [11] (24) (411 [74] Trong suốt mục này,

V luôn là một đa tạp (thực) trơn n-chiéu (0 < n € Ñ) với X(V) là tập các trườngvectơ trơn trên V, TV là phân thé tiếp xúc của V, T,V là không gian tiếp xúc

của V tại ze€ V.

3.2.1 Phân lá

Định nghĩa 3.2.1 ([74i Chương IV]) Phép phân hoạch = {La}aca của V bởi

các đa tạp con liên thông được gọi là một C”-phân lá nếu với moi x € V, tồn tạimột C’-ban đồ (hệ tọa độ địa phương) ¿ = (91, ~2) : U > R’ x R” ? xác địnhtrên một lân cận mở U của x sao cho mỗi thành phần liên thông của UN La

được mô tả bởi phương trình y2 = const V gọi là da tap phân lá, mỗi phần tử

của V gọi là một /á và mỗi thành phần liên thông của UN La gọi là một tam

Số p = dim} (tương ứng, n — p = codim) được gọi là số chiều (tương ứng, sốđối chiều) của V

Định nghĩa 3.2.2 Một phan bố p-chiéu F trên V là một ánh xạ kết hợp mỗi

điểm x € V với một không gian vectơ con p-chiéu Fy của không gian tiếp xúc

T,V Số đối chiều của F là codim F = n — p Phan bỗ F được gọi là tron nêu với

mỗi x € V, tồn tại lan cận U của x và p trường vectơ trơn Xị, , X„ trên U sao

cho hệ vectơ {X¡(0) , Xp()} là cơ sở của Fy với mọi y € U Trường vector X

được gọi là thuộc uào phân bó F nêu Xz € Fy với mọi x € V

Định nghĩa 3.2.3 (|I5]) Da tạp con dim W C V được gọi là da tap con tích

phân của F nếu T,W = F, với moi x € W Phân bố F được gọi là khả fích nếu

qua mọi điểm của V đều tồn tại một đa tạp con tích phân của Z.

Mệnh dé 3.2.4 ( [73| Chương 3, Dinh lý 5.1]) Phân bố F khá tích khi va chỉ

khi F đối hợp; túc là uới moi X,Y € X(V) thuộc uào F thi [X,Y] cũng thuộc 7

Nếu Z là phân bố khả tích p-chiều trên V thì ho tất cả các đa tạp con tíchphân tối dai của F lập thành một phân lá p-chiều trên V Chương 1] Ñgược

32

lại, nếu V là phân lá p-chiéu trên V thì trường các không gian tiếp xúc của tất

cả các lá của lập thành phân bố đối hợp p-chiều TV trên V [fð| Chương 3],gọi là phân bó tiếp xúc của V Nhờ Mệnh dé chúng ta có một định nghĩakhác về phân lá như sau:

Định nghĩa 3.2.5 ([[5]) Một phan lá (V,F) được xác định bởi một da tạp

trơn V va một phân bố khả tích F của TV Khi đó, V được gọi là da tap phân

lá và F được gọi là phân bó xác định phân lá Số chiều của F cũng gọi là chiềucủa phan lá (V,F) và n — dim Z được gọi là đối chiều của phan lá (V,F) trên V

Mỗi một đa tạp con tích phân liên thông tối đại L của V được gọi là một Id của phân lá (V, 7).

Vi dụ 3.2.6 Phân hoạch R*\{O} thành các đường tròn đồng tâm O (tương

ứng, các tia xuất phát từ O) thi chúng ta có phân lá đường tròn (tương ứng,

phân lá tia) trên R?\{O} như Hình 8.1] Phân bố xác định phan lá đường tròn

al

re

Hình 3.1: Phan lá đường tròn và phan lá tia trên R? \{O}

va phan lá tia lần lượt là Vị = (-y2 +22) và Ve = (a2 + y~phan lá tia lần lượt là VY; = Yon + Tạy va Ìạ = Tủ, + Vay)

Dinh nghĩa 3.2.7 Cho phan lá (V, F).

i) Nếu có phan thé trơn p: V + B sao cho mỗi thé là một lá của F thì ta bảo

F được cho bởi phân thé p: V —> B.

ii) Nếu có nhóm Lie G tác động trơn, tu do hoặc tự do dia phương lên V sao

cho mỗi G-quy dao là một lá của F thì ta bảo F được cho bởi tác động

của G.

33

Ví dụ 3.2.8 Trên R?, xét phân bố I-chiều = (£+af) với a € R Các

đường cong tích phân của V là những đường thang {(a + tb + ta) : t € R} có

cùng hệ số góc œ và tạo thành phân lá 1-chiều F trên R* Xét tác động ø của

2? lên R? xác định bởi (m:n) (%9) := (#—1m; +n) VỚI (mịn) € 2? và (z;) € RẺ.

Vì ø bảo toàn các lá của Z nên Z cảm sinh một phân lá Z trên mặt xuyến

TỶ =Rˆ/Z? gọi là phân lá tuyến tính Về mặt hình học, phân lá F có được bằng

cách uốn các đường thẳng có hệ số góc a ở trên vòng quanh mặt xuyến TỶ Nếu

a € Q thi các lá của F là các đường cong đóng, vi phôi với §† và chính là §† nếu

a = 0 Ngược lại, nếu a ¢ Q thi các lá của F không compact, vi phôi với R và

trù mật trong TẺ.

Các phân lá cùng chiều trên V đều có cùng cấu trúc địa phương vi phân

hoạch W thành các tấm rời nhau, mỗi tam vi phôi với một p-phẳng trong R”.

Tuy nhiên, Ví dụ |3.2.8| ở trên cho thấy trên toàn cục thì có thể rất khác nhau.

Do đó, vấn đề của Topo phân lá là nghiên cứu trên quan điểm topo về các vấn

đề toàn cục của phân lá mà một trong những vấn đề toàn cục đáng chú ý là xét

không gian lá của một phân lá.

Định nghĩa 3.2.9 Trên V, xét quan hệ tương đương như sau: z ~ y khi và chỉ khi z, thuộc cùng một lá Tập thương V/~ ký hiệu là V/F va trang bị với tôpô thương Không gian tôpô V/F được gọi là không giøn lá của phan lá (V,.Z) Nói

cách khác, không gian lá của phân lá (V, F) là không gian thương của V khi thu

mỗi lá của F về một điềm.

Nhìn chung, tôpô trên V/Z thường không có nhiều “tính chất tốt”: có thểkhong Hausdorff và nhiều khi chỉ là topo thô Tuy nhiên, nếu (V,F) được cho

bởi phân thé p: V > thì không gian lá V/F chính là đáy B, còn khi (V, F) được

cho bởi tác động của nhóm Lie G thì V/F lại là không gian V/G các G-quy dao.

Trên lớp phan lá có nhiều loại quan hệ tương đương khác nhau (xem [đTj Mục

5] hoặc [24 Mục 1.3]) Luận án này chỉ xét dạng tương đương vi phôi như sau:

Định nghĩa 3.2.10 ([B]) Hai phan lá cùng chiều F; và Fy trên V được gọi là

tương đương topo hay cùng kiểu tôpô nếu có vì phôi h : V + V sao mỗi lá L của

Z¡, h(L) cũng là một lá của Fy Theo quan điểm của topo phân lá, hai phân lá

tương đương được đồng nhất cả về mặt địa phương lẫn toàn cục

Ví dụ 3.2.11 Trên R? \{O}, phan lá đường tròn không tương đương với phan

lá tia vì phân lá đường tròn có lá compact trong khi phân lá tia có lá không

compact.

34

3.2.2 Phân lá do được

Vi du [3.2.8] cho thấy: mặc dù đa tap phan lá là compact nhưng các lá có thể

không compact Đối với lá L không compact, chúng ta khó có thể nói gì về các

tính chất toàn cục của lá L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân

bồ xác định phan lá đó Trong khi đó, nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình

học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương của phân thớ tiếp xúc sang

các bất biến toàn cục của L M6 đầu] Vì vậy, một trong những van đề đượcquan tâm khi nghiên cứu tôpô phân lá là đếm số lượng các lá compact, không

compact Dé làm được điều này cần phải trang bị cho không gian lá một độ đo

thích hợp Năm 1982, Connes đã đưa ra khái niệm độ đo hoành đặc biệt

thích hợp với không gian lá của phân lá.

Định nghĩa 3.2.12 ([I5]) Giả sử F là một phân lá trên V Da tạp con N CV

được gọi là hoành nếu T,V = T,N @ Fy với moi x € N, ở đó Fy = 7„L là khônggian tiếp xúc tai x của lá L chứa z

Định nghĩa 3.2.13 ([[5]) Tập con Borel B của đa tap phân lá V được gọi là

tập hoành Borel nêu BOL đếm được, với mỗi lá L của phân lá

Định nghĩa 3.2.14 ([I5]) Một độ đo hoành A đối với phân lá (V,Z) là một

ánh xạ ø-cộng tính B+ A(B) từ họ các tập con hoành Borel của V đến |0, +00]

sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn:

i) Tính đẳng biến Borel: nếu ý : By > Bo là song ánh Borel và (a) thuộc lá

chứa z với moi x € B,; thi A (Pị) = A (Bo).

ii) A(K) < +œ nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành

Phan lá (V,ZZ) da trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá do được.

Định nghĩa 3.2.15 ({15|) Độ đo ¿ được gọi là X-bat biến néu px và # là tỷ

lệ đối với mọi bản đồ phan lá (U,w) Hai cặp (X,p) và (Y,v) (u là X-bất biến,

v là Y-bất biến) được gọi là tương đương nêu có ham trơn ¿ € C®*(VW) sao cho

Y =ựX va p= pv.

39

Chương 4

° 2 ©

Một vài lớp đại số Lie thực giải

được đặc biệt

4.1 Phân loại đại sé Lie thực giải được n-chiéu có

ideal dẫn xuất 2-chiều

Trước tiên, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm, kết quả nổi tiếng về đại số Lie ma trận Mat„(K) Các kết quả này sẽ được sử dụng để chứng minh các mệnh đề và định lý chính của mục này Cuối cùng, chúng tôi phát biểu và

chứng minh kết quả chính đã đạt được dưới dạng một định lý

Định nghĩa 4.1.1 Hai ma trận A,B € Mat„(K) được gọi là đồng dang tỉ lệ,được kí hiệu là A ~, B, nếu tồn tại c € K \ {0} và ma trận C € GL„(K) sao chocA=C!BC

Nhận xét 4.1.2 Nhu vậy, bài toán phân loại các ma trận Mat„(K) theo quan

hệ đồng dạng tỉ lệ được quy về bài toán phân loại các dạng chuẩn tắc Jordan

của các ma trận thực vuông cấp n đã biết

Mệnh đề 4.1.3 (Schur-Jacobson Dinh lý [34] l62|) Nếu A là một đại số con

2

giao hoán của đại số Lie Mat,(K) thi dim A < A +1, trong đó [a] là phan

nguyên của x e R.

Mệnh đề 4.1.4 (Dinh ly Lie [38] Dinh lý 1.25]) Cho K va k là các trường con

của trường số phúc C uới k C K Giả sử rằng G là đại số Lie giải được trên

trường k va p: G > (Endg V)* là một biểu diễn của G trong K-khéng gian 0ectd

hữu hạn chiều V # {0} Nếu K là đóng đại số thi tồn tại một vecto riêng v € Vchung cho tat cả các phần tử của p(G)

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để cấu trúc Lie lũy linh bậc

2 trên đại số Lie G và cận trên của dim Ag

36

Mệnh đề 4.1.5 Cho đại số Lie G thuộc lớp Lie(n,2) Khi đó,

i) G giao hoán

ii) Ag giao hoán va dimAg < 2.

iii) G lũu lính bậc 2 khi va chỉ khi dim Ag = 0.

Chứng minh 1) Vì G! là đại số Lie lũy linh 2-chiéu nên G! phải giao hoán

ii) Từ đồng nhất thức Jacobi đối với bộ ba (X,Y,Z), trong đó X,Y € đ và

Zc€0!, suy ra ax cay = ay cay, tức là, Ag giao hoán Rõ rang, Ag như là

một đại số con của EndG! = Mats(R), Mệnh dé kéo theo dim Ag < 2

iii) Khang định là rõ rang vi G2 := |đ,đ!] = Ag (G').

Ménh dé đã được chứng minh

Hệ quả 4.1.6 Giá sử đại số Lie G thuộc lớp Lie(n,2) Khi đó, G không lũy linh

bậc 2 khi va chi khí dimAg € {1,2}.

4.1.1 Các đại sé Lie thuộc lớp Lie(n,2) có dim Ag = 2

Nhan xét 4.1.7 Nhu da dé cap trong Muc nam 2003, Eberlein [20] danghiên cứu không gian moduli các đại số Lie lũy linh bac 2 kiểu (p,q), trong đó

Eberlein có phân loại lớp Lie(»,2) Đặc biệt, khi p = 2, phân loại lớp Lie(n, 2)

tương ứng với dimAg = 0 Do đó, chúng tôi chỉ quan tâm đến trường hợp

dim Ag € {1,2}.

Bây giờ, kết quả chính của mục này được phát biểu trong Định Iý|4.1.8| trong

đó liệt kê chi tiết danh sách tất cả các đại số Lie không lũy linh bac 2 thuộc lớp

Lie(n, 2) tương ứng với trường hợp dim Ag = 2 Trong Dinh ly [4.1.8] Gi; là dai

số Lie thứ 7, chiều i va có ideal dẫn xuất 2-chiéu Dé don giản hơn, ta chi liệt

kê các móc Lie khác 0 trong cau trúc Lie

Dinh lý 4.1.8 Cho G là đại số Lie thực giải được n-chiều sao cho dimG! = 2

va dim Ag = 2 Khi đó, chúng ta có thể chọn một cơ sở thích hợp {XI,Xa, Xn}

của G sao cho G! = span{X1, X;} % R?, Ag = span{ax,,ax,} va các khẳng định

2 Giả sử Ö kha phân

a) Nếu n = 4 thiG đẳng cấu uới đại số Lie aff(R) @ aff(R).

b) Nếu n > 4 thiG dang cấu uới một trong các đại số Lie sau:

Chứng minh Đầu tiên, chọn một cơ sở {X1, Xa} của G! > RẺ Vi dim.4g = 2,

nên tồn tại hai phần tử phân biệt X;, Xạ € đ\ đ† sao cho (ax,,ax,) là cơ sở của

Ag Bay giờ, ta sẽ bổ sung thêm các phan tử Yš, ,Y„, nếu cần thiết, để được

một cơ sở {Xị, Xa, Xạ, Xạ,Ys, Y„} của G.

Bởi vì ay, € Ag = span{ax,,ax,}(i = 5, ,n), giả sử rằng ay, = ajax, +

Øiax,,¡ = ð, ,n Dat Ä¡ := Y¡T— ajax, — Ø;ax,, suy ra ax, = 0, với mọi i > 5 Do

đó, {X1, X2, ,Xn} là một cơ sở của G sao cho G! = span{X1, Xo} = R2,.4g =span{ax,,ax,} và ax, = 0, với mọi i > 5 Tiếp theo, chứng minh Dinh lý

bằng cách xét 3 trường hợp của ax, và ax, như sau:

1 Trường hợp 1: ax,, ax, đều có giá trị riêng thực Trong trường hợp này,

theo Mệnh đề |4.1.4| ax, và ax, phải có ít nhất một vectơ riêng Ty € Gt Giả sử

ax,(To) = Àx;1o, ax,(To) = Ax,T; ÀXs, ÀX¿ ER.

Khi đó, bằng cách đặt A(ax,) := Àx;, A(ax,) := Ax, và mở rộng tuyến tinh ta nhận được hàm trọng A: Ag —> R Bây giờ, ta xét không gian trọng của G! tương ứng với hàm trong A như sau

EA:={Tc0đ@!: ax(T) = A(ax)T, VX eđ}.

Theo Mệnh dé/4.1.4| £, là không gian con không tầm thường của G! Do đó,

ta có hai trường hợp dưới đây

A) dim E, = 2.

Trong trường hợp nay, ax, va ax, đều có hai vectơ riêng độc lap tuyến tinh

và chéo hóa được nên ta có thể tìm được một cơ sở của E, = G! sao cho cả

38