Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích tấm Reissner - Mindlin có dầm Timoshenko gia cường bằng phương pháp CS-DSG3

Sử dụng phương pháp CS–DSG3 để phân tích tĩnh học, động học, ổn định kết cấu tấm Reissner–Mindlin có dầm Timoshenko gia cường.. Trong luận văn này, tác giả kể đến biến dạng màng, biến dạ

TỔNG QUAN

Giới thiệu chung

Ngày nay, kết cấu tấm vỏ được gia cường bởi dầm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như hàng không, tàu thủy, cầu đường, xây dựng v.v Những kết cấu này được tạo thành bởi tấm hoặc vỏ được gia cường bằng dầm Nhờ có dầm gia cường, kết cấu này có cường độ và độ cứng uốn lớn hơn so với kết cấu tấm vỏ thuần túy nhưng khối lượng vật liệu ít hơn so với kết cấu tấm vỏ có cùng độ cứng Điều này đồng nghĩa tỉ lệ giữa cường độ và trọng lượng của kết được nâng lên, làm cho kết cấu đạt hiệu quả về kinh tế hơn

Các ứng dụng cụ thể của tấm vỏ có dầm gia cường rất đa dạng, bao gồm: kết cấu dầm thép và bản mặt cầu trong xây dựng cầu đường; vỏ tàu và sàn tàu trong cơ khí hàng hải; kết cấu vỏ máy bay trong cơ khí hàng không; bồn chứa chịu áp lực cao, sàn nhà và mái vòm trong xây dựng Những ứng dụng này cho thấy sự đa năng và hiệu quả của tấm vỏ có dầm gia cường trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Hình 1.1 Ứng dụng tấm vỏ gia cường trong công trình cầu

Hình 1.2 Ứng dụng tấm vỏ gia cường trong chế tạo vỏ tàu

Hình 1.3 Ứng dụng tấm vỏ gia cường trong chế tạo thân máy bay

Hình 1.4 Ứng dụng tấm vỏ gia cường trong xây dựng

Hình 1.5 Ứng dụng tấm vỏ gia cường trong xây dựng.

Tình hình nghiên cứu hiện nay

Bài toán tấm vỏ có dầm gia cường được nghiên cứu từ đầu những năm 1950 Đa số các nghiên cứu dựa trên lý thuyết tấm vỏ mỏng Kirchhoff [2-4] Ở giai đoạn đầu, chưa có sự hỗ trợ nhiều của máy tính, đa số các nghiên cứu sử dụng phương pháp giải tích [5, 6], nhưng chỉ áp dụng được cho các bài toán đơn giản nhất định Khi công cụ máy tính dần dần phát triển, các nghiên cứu sử dụng phương pháp số như phương pháp Raleigh–Ritzt [7], phương pháp sai phân hữu hạn [8], phần tử hữu hạn [3, 9-11] được chú ý đến, trong đó đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn

Giải quyết bài toán tấm vỏ có dầm gia cường, có hai hướng tiếp cận Hướng đầu tiên xem kết cấu tấm vỏ gia cường như một tấm liên hợp (composite plate) trực hướng [4] Hướng thứ hai xem kết cấu tấm vỏ gia cường gồm hai thành phần độc lập là tấm và dầm [12] Hai thành phần này liên hệ với nhau thông qua điều kiện tương thích về chuyển vị Do sự đơn giản trong tính toán và sát với thực tế, hướng tiếp cận thứ hai được chú ý phát triển hơn

Trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), tấm có dầm gia cường được chia tách thành tấm và dầm riêng biệt Phần tử tấm sử dụng lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff (phần tử bậc cao, số bậc tự do lớn) hoặc lý thuyết tấm dày Reissner-Mindlin (phần tử đơn giản, tính toán dễ dàng, chi phí thấp) Phần dầm tương tự cũng có lý thuyết dầm Bernoulli và dầm Timoshenko.

Có một số ít nghiên cứu về tấm và vỏ gia cường được công bố trong nước như: phân tích động học tấm composite gia cường của Trần Ích Thịnh các cộng sự [14], nghiên cứu lý thuyết và tính toán số kết cấu composite và ứng dụng của Đào Văn Dũng [15], tính toán tuyến tính và phi tuyến vỏ composite có gân gia cường của Đỗ Long Vũ [17], và phân tích tấm có gân gia cường của Bùi Xuân Thắng cùng các cộng sự [18].

Tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn

Với những ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, luận văn sẽ tập trung nghiên cứu phân tích tĩnh học, động học và ổn định cho kết cấu tấm có dầm gia cường Với tình hình nghiên cứu nêu ở phần trên, tác giả kết hợp lý thuyết tấm dày Reissner–

Mindlin để mô hình cho kết cấu tấm, và lý thuyết dầm Timoshenko cho kết cấu dầm gia cường Trường biến dạng của tấm và dầm gia cường đều kể đến thành phần biến dạng màng (biến dạng trong mặt phẳng trung hòa tấm) Đồng thời luận văn cũng sử dụng giả thuyết lệch tâm giữa tấm và dầm gia cường

Trong lý thuyết tấm dày Reissner–Mindlin, khi ta sử dụng phần tử tam giác ba nút thường bị hai nhược điểm: 1) kết quả phân tích bị sai số khi chiều dày tấm trở nên quá mỏng, gọi là hiện tượng “khóa cắt” (shear locking); 2) ứng xử quá cứng dẫn đến độ chính xác thấp và kết quả chậm hội tụ Để tránh hiện tượng “khóa cắt”, nhiều tác giả đề nghị các phương pháp khác nhau như MITC (Mixed Interpolated Tensiorial Components) [19], DKT (Discrete Kirchhoff elements) [20] hoặc DSG (Discrete shear gap) [21] Trong luận văn, tác giả sử dụng phương pháp trơn hóa dựa trên ô kết hợp với rời rạc hóa độ lệch trượt bằng phần tử tam giác ba nút (a cell- based smoothed discrete shear gap method using triangular elements CS–DSG3) [25] Các ví dụ số được mô phỏng và tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab Kết quả số từ Matlab được so sánh với kết quả từ các tài liệu tham khảo và phần mềm phân tích kết cấu SAP2000.

Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau

Chương 1 giới thiệu tổng quan về bài toàn tấm Reissner–Mindlin có dầm Timoshenko gia cường, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của luận văn

Chương 2 trình bày mô hình bài toán tấm Reissner–Mindlin có dầm Timoshenko gia cường, các công thức toán học về thế năng và động năng của kết cấu

Chương 3 trình bày các công thức tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp DSG3 và phương pháp CS-DSG3

Chương 4 trình bày về các ví dụ số phân tích tĩnh học, động học và ổn định của tấm Reissner–Mindlin có dầm Timoshenko gia cường Kết quả ví dụ số thu được từ Matlab được so sánh với kết quả trong các tài liệu tham khảo và phần mềm phân tích kết cấu SAP2000

Chương 5 đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục đưa ra các đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong chương 4.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Các mô hình về tấm và dầm

Dầm là vật thể lăng trụ có chiều dài l lớn hơn rất nhiều so với kích thước của 2 phương còn lại Trục của hình lăng trụ được gọi là trục thanh Khi chịu uốn thì trục thanh cong đi

Hình 2.1 Chuyển vị và góc xoay trong các lý thuyết dầm [27]

 Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli (Euler-Bernoulli beam theory - EBT)

Hình 2.1 minh họa lý thuyết dầm Euler-Bernoully Sau khi biến dạng, các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh vẫn còn thẳng và vuông góc với trục thanh Đồng thời độ dài của chúng vẫn không đổi Từ giả thuyết này ta có  xz  0,  z  0 Do đó chuyển vị và độ võng được cho bởi công thức x,u 0 z,w 0 x u o

(2.1) với đạo hàm độ võng w 0 0. x

 Lý thuyết dầm Timoshenko (Timoshenko beam theory - TBT)

Hình 2.1 minh họa lý thuyết dầm Timoshenko Sau biến dạng, các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh vẫn còn thẳng và độ dài của chúng vẫn không đổi Tuy nhiên, các đoạn thẳng này không còn vuông góc với trục thanh Từ giả thiết này ta có  xz  0,  z  0 Do đó chuyển vị và độ võng sẽ được tính bởi công thức

 (2.2) với  x là góc xoay của đoạn thẳng vuông góc với trục thanh trước và sau khi uốn

2.1.2 Một số mô hình của tấm

Tấm là vật thể lăng trụ có chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của 2 phương còn lại Mặt phẳng cách đều mặt bên trên và dưới của tấm được gọi là mặt trung bình (hay thường gọi là mặt trung hòa) Khi chịu uốn mặt trung hòa bị cong đi Đã có nhiều lý thuyết về tấm được đưa ra như: lý thuyết tấm Kirchhoff (The Kirchhoff (classical) plate theory - CPT), lý thuyết tấm Reissner–Mindlin (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của tấm - The first-order shear deformation plate theory - FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của tấm (Higher-order shear deformation plate theory – HSDT) Khi tỉ lệ chiều dày và kích thước cạnh ngắn của tấm 1

5 t B thì tấm được xem là tấm dày với lý thuyết tấm Reissner–Mindlin Còn khi tỉ lệ đó

 B thì tấm được xem là tấm mỏng với lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff [28]

Hình 2.2 Chuyển vị và góc xoay trong các lý thuyết tấm [27]

Hình 2.2 minh họa lý thuyết tấm Kirchhoff Sau biến dạng, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung hòa của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung hòa Độ dài của chúng vẫn không đổi Từ giả thiết này ta có  yz  0,  xz  0 và  z  0 Do đó chuyển vị và độ võng của tấm được tính bởi công thức

(2.3) với đạo hàm độ võng w 0 0. x

Bỏ qua sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung hòa vì ứng suất pháp tuyến σz rất nhỏ so với σx và σy.

 Lý thuyết tấm Reissner-Mindlin (FSDT)

Hình 2.2 minh họa lý thuyết tấm Reissner-Mindlin Sau biến dạng, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung hòa của tấm vẫn còn thẳng và độ dài của chúng vẫn không đổi Tuy nhiên chúng không còn vuông góc với mặt phẳng trung hòa Các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt Góc xoay tổng cộng gồm hai phần: phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung hòa và phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra Từ giả thiết này ta có  yz  0,  xz  0 và  z  0 Do đó chuyển vị và độ võng của tấm được tính bởi công thức

Mô hình tấm Reissner–Mindlin có dầm Timoshenko gia cường

Hình 2.3 Tấm có dầm gia cường

Hình 2.3 minh họa một tấm Reissner–Mindlin được gia cường bởi một dầm Timoshenko theo phương x Trong hình này, mặt phẳng Oxy trùng với mặt phẳng trung hòa của tấm và trọng tâm của dầm cách mặt phẳng Oxy một khoảng là e Ta lần lượt xem xét hai thành phần của tấm gia cường (tấm và dầm) trong phần tiếp theo x b x z

Để giải bài toán tấm gia cường, tác giả sử dụng phương trình Lagrange Trong phương trình này, yêu cầu cần xác định các công thức của động năng và năng lượng biến dạng (thế năng).

2.2.1 Thành phần tấm Reissner–Mindlin a) Tr ườ ng chuy ể n v ị c ủ a t ấ m

Chuyển vị dọc theo các trục 0x, 0y, 0z của mặt trung hòa của tấm là u v w 0 , 0 , 0 Góc xoay theo phương 0y và 0x lần lượt là  x và  y Trường chuyển vị của tấm Reissner–Mindlin theo công thức (2.4) được viết lại theo dạng ma trận như sau

Trường chuyển vị của mặt phẳng trung hòa của tấm là

T p u o v o w o  x  y  u (2.6) b) Tr ườ ng bi ế n d ạ ng c ủ a t ấ m

Trường biến dạng của tấm ε p được tính bởi công thức

E G p  p  p ε ε ε (2.7) trong đó ε p E là biến dạng đàn hồi và ε p G là biến dạng hình học, và lần lượt được tính bởi các công thức sau

Theo định luật Hooke ta có mối quan hệ giữa biến dạng đàn hồi và ứng suất như sau

E xy xy p xz xz yz yz

    σ (2.10) trong đó E là mô đun đàn hồi Young, 2

Biến dạng hình học εpG được tính bằng cách thay thế công thức (2.4) vào công thức (2.9) Để đơn giản hóa công thức và không làm ảnh hưởng đáng kể đến kết quả tính toán, biến dạng trong mặt phẳng trung hòa của tấm được bỏ qua Từ đó, ta có công thức tính biến dạng hình học như sau:

         ε (2.14) c) N ă ng l ượ ng bi ế n d ạ ng t ấ m Reissner–Mindlin

Năng lượng biến dạng của tấm gồm năng lượng biến dạng đàn hồi U E p và năng lượng biến dạng hình học U G p , và được tính như sau

 (2.15) trong đó D E p là ma trận vật liệu của tấm, và được cho bởi

D (2.16) và σ 0 p là là véc-tơ tải ngang (lực tác dụng trong mặt phẳng tấm), và được cho bởi công thức

Thay công thức (2.16) và (2.11) vào công thức (2.15), ta thu được

(2.18) trong đó ε m p , κ b p , γ s p lần lượt là biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt của tấm, và được tính bởi các công thức

      γ (2.21) và D m p , D b p , D s p lần lượt là ma trận vật liệu tương ứng với các thành phần biến dạng mạng, biến dạng uốn, biến dạng cắt, và được tính bởi các công thức

D (2.24) và σ G p là ma trận ứng suất do tải ngang, và được tính bởi

, x xy xy y x xy xy y x xy xy y

  σ (2.25) trong đó t là chiều dày của tấm; k là hệ số điều chỉnh cắt;  là hệ số Poisson; E là mô-đun đàn hồi Young và  x 0 , y 0 , xy 0 là các ứng suất tác dụng trong mặt phẳng trung hòa tấm như minh họa trong Hình 2.4

Hình 2.4 Tải ngang tác dụng lên tấm d) Độ ng n ă ng c ủ a t ấ m Reissner–Mindlin Động năng của tấm được cho bởi công thức

Thay công thức (2.5) vào công thức (2.26), khi đó động năng của tấm được viết lại dưới dạng ma trận như sau

T    u m u   (2.27) trong đó u là đạo hàm theo thời gian của công thức (2.6) và m p là ma trận quán tính của tấm có dạng như sau

  m (2.28) với  là khối lượng riêng của vật liệu; t là chiều dày của tấm

Hệ trục tọa độ địa phương 0’rs được gắn với dầm và hệ trục tổng thể 0xy đặt trên mặt phẳng trung hòa của tấm Góc xoay giữa 2 hệ trục tọa độ này là góc α, được thể hiện như trong Hình 2.5 Trong luận văn này để đơn giản, ta chỉ xét dầm có trục đối xứng

Hình 2.5 Hệ trục tọa độ địa phương 0’rs gắn với dầm và hệ trục tọa độ tổng thể đặt trên mặt phẳng trung hòa của tấm a) Tr ườ ng chuy ể n v ị c ủ a d ầ m

Hình 2.6 Chiều dương chuyển vị của dầm trong hệ trục địa phương a 0' 0 r,u r s,u s y,v o x,u o z,W b z u z r,U b s u r b r s,V u s

Hệ trục tọa độ địa phương 0’rsz được gắn với dầm như minh họa trong Hình 2.6

Trường chuyển vị của dầm được biểu diễn thông qua chuyển vị của mặt trung hòa của tấm như sau

U (2.29) với ( ), ( ),u r u r r s u r z ( ) lần lượt là chuyển vị theo các hướng r, s, z và    r , s , z là các góc xoay với chiều dương quy ước như Hình 2.6

Trường chuyển vị của dầm trong hệ tọa độ địa phương được cho bởi

Việc chuyển hệ trục địa phương 0’rsz về hệ trục tổng thể 0xyz như minh họa trong Hình 2.5 được tính như sau

(2.31) trong đó T  là ma trận cosin chỉ phương giữa hệ hệ trục 0xyz và 0’rsz b) Tr ườ ng bi ế n d ạ ng c ủ a d ầ m

Trường biến dạng của dầm được tính bởi công thức

E G s  s  s ε ε ε (2.32) trong đó ε E s , ε G s lần lượt là trường biến dạng đàn hồi và trường biến dạng hình học của dầm, được cho bởi các công thức

    ε (2.34) trong đó với giả thuyết bỏ qua các biến dạng dọc trục, biến dạng xoắn và biến dạng oằn trong trường biến dạng hình học của dầm

Khai triển công thức (2.34) dưới dạng ma trận, ta thu được biến dạng hình học của dầm như sau

G G G G s  s s s ε A H ε (2.35) trong đó các ma trận thu gọn A G s và H G s được tính bởi

H (2.37) và véc-tơ biến dạng hình học ε s G được tính bởi

Khai triển véc-tơ biến dạng hình học ở công thức (2.38), đồng thời chuyển đổi từ hệ trục tọa độ địa phương 0’rsz sang hệ trục tọa độ tổng thể 0xyz, ta được công thức như sau

G E E , s  s s  s  s ε L u L T u (2.39) trong đó u s , u s lần lượt là trường chuyển vị của dầm trong hệ trục tọa độ 0’rsz và trường chuyển vị của dầm trong hệ trục tọa độ 0xyz; T  , L G s lần lượt là ma trận cosin chỉ phương giữa 2 hệ trục tọa độ được cho bởi công thức (2.31), và ma trận đạo hàm được cho bởi công thức

L (2.40) c) N ă ng l ượ ng bi ế n d ạ ng c ủ a d ầ m gia c ườ ng Timoshenko

Trong tấm gia cường, dầm được bố trí lệch tâm Trọng tâm của dầm lệch tâm so với mặt phẳng trung hòa của tấm một đoạn là e

Năng lượng biến dạng của dầm có 2 thành phần là U s E và U s G , trong đó U s E là năng lượng biến dạng đàn hồi; U s G là năng lượng biến dạng hình học của dầm, và được cho bởi công thức

 Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

Biến dạng đàn hồi của dầm gồm có biến dạng dọc trục, biến dạng uốn, biến dạng cắt và biến dạng xoắn, và được cho bởi công thức như sau

Thay công thức (2.33) vào công thức (2.42) ta được năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm được viết lại như sau

Khai triển công thức (2.43) ta được công thức như sau

(2.44) trong đó I s ¢ là mômen quán tính của tiết diện dầm đối với trục s; I z là mômen quán tính của tiết diện dầm đối với trục z, và lần lượt được tính bởi các công thức

(2.45) với W là chiều rộng của dầm

Thay công thức (2.45) vào công thức (2.44), ta được

(2.46) Áp dụng công thức chuyển trục song song (định lý Huygens-Steiner)

I   I  e A (2.47) vào công thức (2.46), ta được công thức năng lượng biến dạng của dầm như sau

(2.48) trong đó I s là mômen quán tính của tiết diện dầm đối với trục song song với trục

O’s và đi qua trọng tâm dầm

Thu gọn công thức (2.48), ta được

Bỏ qua thành phần năng lượng do cắt và uốn trong mặt phẳng trung bình của tấm, đồng thời thêm hệ số hiệu chỉnh cắt k=5/6, ta thu được công thức như sau

Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm viết dưới dạng ma trận trong hệ trục tọa độ địa phương và hệ trục tọa độ tổng thể như sau

U   ε D ε  L T u  D L T u  r (2.51) trong đó l là chiều dài của dầm; ε ˆ E s là trường biến dạng của dầm trong hệ trục tọa độ địa phương; D E s là ma trận vật liệu của dầm, và lần lượt được tính bởi các công thức

D (2.53) với L E s là ma trận đạo hàm và được tính bởi công thức

 Năng lượng biến dạng hình học của dầm

Năng lượng biến dạng hình học của dầm được viết dưới dạng ma trận như sau

U   ε σ (2.55) trong đó ε G s là trường biến dạng hình học của dầm được cho ở công thức (2.34); σ 0 s là véc-tơ ứng suất được cho bởi công thức sau

Thay công thức (2.35) vào công thức (2.55), ta được năng lượng biến dạng hình học của dầm trong hệ trục tọa độ 0’rsz như sau

U      A H ε    σ r   ε σ ε r (2.57) trong đó ε s G là véc-tơ biến dạng hình học được lấy từ công thức (2.38); σ G s là ma trận thu gọn được cho bởi công thức

Năng lượng biến dạng hình học của dầm trong hệ trục tọa độ tổng thể 0xyz được tính bởi công thức

Từ công thức (2.51) và (2.59), năng lượng biến dạng tổng của dầm có dạng như sau

U   L T u  D L T u  r   L T u  σ L T u  r (2.60) d) Độ ng n ă ng c ủ a d ầ m gia c ườ ng Timoshenko

PHƯƠNG PHÁP CS–DSG3 CHO BÀI TOÁN TẤM REISSNER–MINDLIN CÓ DẦM TIMOSHENKO GIA CƯỜNG

Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Reissner–Mindlin

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, trường chuyển vị thực

 u được thay bằng trường chuyển vị xấp xỉ u h p , trong đó h u p được nội suy từ phần tử tam giác 3 nút Trên từng phần tử e, trường chuyển vị h u pe có dạng

là số nút của một phần tử tấm.

Thay công thức (3.1) lần lượt vào các công thức (2.19), (2.20), (2.21) và (2.14), ta thu được các công thức sau

 ε B d (3.5) trong đó B m pI , B b pI , B s pI và B G pI là các ma trận gradient biến dạng, và lần lượt cho bởi

 Năng lượng biến dạng của tấm

Thay các công thức (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) vào công thức năng lượng biến dạng của tấm (2.18), ta thu được công thức như sau

Thay công thức (3.1) vào công thức động năng của tấm (2.27), ta thu được công thức như sau

Phương pháp phần tử hữu hạn cho dầm Timoshenko

Trường chuyển vị dầm trong hệ trục tọa độ địa phương O’rsz

  T s  u r u s u z  r  s u được thay bằng trường chuyển vị xấp xỉ u s h , trong đó s h u được nội suy từ phần tử thanh 2 nút Trên từng phần tử e, trường chuyển vị u h se có dạng

Công thức (3.12) biểu diễn mối liên hệ giữa ma trận hàm dạng và véc tơ chuyển vị của nút I trên phần tử thanh hai nút, dùng hệ trục tọa độ địa phương O'rsz.

N  là số nút của một phần tử dầm

Trường chuyển vị u h se trên từng phần tử trong hệ trục tọa độ địa phương O’rsz chuyển về hệ trục tọa độ tổng thể Oxyz bằng cách thay công thức (2.31) vào (3.12), ta được

N N h se sI sI sI sI

  u Φ d Φ T d (3.13) trong đó d sI là véc tơ chuyển vị trong hệ trục tọa độ tổng thể Oxyz

Thay công thức (3.13) vào công thức (2.52) và (2.38), ta lần lượt thu được công thức sau

    ε B d B T d (3.15) trong đó B E sI , B G sI lần lượt là ma trận gradient biến dạng của dầm, và được cho bởi

 Năng lượng biến dạng của dầm

Năng lượng biến dạng của dầm trong hệ trục tọa độ tổng thể Oxyz thu được bằng cách thay thế hai công thức (3.16) và (3.17) vào công thức (2.51) Kết quả thu được là công thức biểu diễn năng lượng biến dạng của dầm theo các thành phần nội lực và độ biến dạng trong hệ trục tọa độ tổng thể.

 Động năng của dầm Động năng của dầm trong hệ trục tọa độ tổng thể Oxyz thu được bằng cách thay công thức (3.13) vào (2.66) Kết quả ta thu được

T   T d   Φ m Φ T d   r (3.19) trong đó D E s , m s lần lượt được cho bởi công thức (2.53) và (2.67).

Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm Reissner–Mindlin có dầm

 Nguyên lý chồng chập năng lượng

Hình 3.1 minh họa sự lệch tâm giữa tấm và dầm Các nút của tấm và của dầm không trùng nhau Để giải bài toán, ta chồng chập năng lượng của tấm và dầm theo công thức (2.68) và (2.69), nhưng với điều kiện tương thích về chuyển vị của tấm và dầm tại vị trí ghép nối

Hình 3.1 Mô hình tấm và dầm

Hình 3.2 Sự tương thích về chuyển vị giữa tấm và dầm Để ghép nối bậc tự do của dầm và tấm, chúng ta sử dụng điều kiện tương thích về chuyển vị: chuyển vị của tấm và dầm như nhau tại vị trí ghép nối ( , ) x y i i được x z y

Nút của dầm Nút của tấm

O chỉ như trong Hình 3.2 Độ võng và góc xoay tại vị trí ghép nối của tấm và dầm được cho bởi công thức như sau

(3.20) trong đó w x y w x y p ( , ), i i s ( , ) i i lần lượt là độ võng tại của tấm và dầm tại vị trí ghép nối;  px ( , ), x y i i  py ( , ), x y i i  sx ( , ), x y i i  sy ( , ) x y i i lần lượt là góc xoay của tấm và dầm tại vị trí ghép nối

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn như đã trình bày trước đó, chúng ta nội suy trường chuyển vị thực tế bằng trường chuyển vị xấp xỉ nhờ ma trận hàm dạng.

Lúc này, độ võng và góc xoay của tấm và dầm tại vị trí ghép nối được viết lại như sau

       (3.23) hay ta có thể viết dưới dạng ma trận như sau

(3.26) với N n , lần lượt là tổng số nút của tấm và tổng số nút của dầm;

N x y  x y lần lượt là hàm dạng của tấm và dầm

Từ công thức (3.24), (3.25) và (3.26) ta thu được công thức liên hệ giữa trường chuyển vị của dầm và trường chuyển vị của tấm như sau s  s p , d T d (3.27) trong đó d d T s , p , s lần lượt là trường chuyển vị của dầm, trường chuyển vị của tấm và ma trận chuyển đối có kích thước  5 N  5 n , và được cho bởi các công thức

N T s sI sI sI sxI syI

n T p pJ pJ pJ pxJ pyJ

Không mất tính tổng quát, trong phần này chúng tôi chỉ xét trường hợp tấm được gia cường bởi 1 gân, trường hợp nhiều gân có thể làm tương tự

 Năng lượng biến dạng của tấm gia cường dầm

Thay công thức (3.37) vào (3.18), kết hợp với (3.10) rồi thay vào (2.68), ta thu được năng lượng biến dạng tổng của kết cấu tấm gia cường như sau

 Động năng của tấm gia cường dầm

Thay công thức (3.37) vào (3.19), kết hợp với (3.11) rồi thay vào (2.69), ta thu được động năng tổng của kết cấu tấm gia cường như sau

 Hệ phương trình của phương pháp phần tử hữu hạn

Theo phương trình Lagrange, ta có phương trình tổng quát của bài toán tấm gia cường như sau d d p p

Với việc thay công thức (3.30) và công thức (3.31) vào công thức (3.32), ta thu được

 d  d (3.33) hay dưới dạng ma trận như sau

  f d (3.35) hay dưới dạng ma trận như sau p 

d (3.37) hay dưới dạng ma trận như sau

 K   cr K G  d p  0 (3.38) trong đó K , M , K G , f lần lượt là ma trận độ cứng tổng thể, ma trận khối lượng tổng thể, ma trận độ cứng hình học tổng thể, véc tơ tải tổng thể, và được tính bởi các công thức như sau

   f N b f (3.42) trong đó 0 0 b   b x y ( , ) 0 0  T và f b là phần còn lại chịu tải trên biên.

Phương pháp CS–DSG3 cho tấm Reissner–Mindlin có dầm Timoshenko

Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu phần tử tấm CS–DSG3 Phần tử tấm CS-DSG3 được phát triển bởi TS Nguyễn Thời Trung và các cộng sự, kết hợp kỹ thuật làm trơn trường biến dạng trên cơ sở ô (CS–FEM) và phương pháp rời rạc hóa độ lệch trượt sử dụng phần tử tam giác 3 nút (DSG3) Trong khi đó, phần tử dầm vẫn sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn thanh 2 nút thông thường.

3.2.1 Phương pháp DSG3 cho tấm Reissner–Mindlin

Trong phương pháp phần tử hữu hạn FEM đã trình bày ở phần trước, chúng ta sử dụng phần tử tam giác ba nút như chỉ trong Hình 3.3 Đây là phần tử bậc thấp, nên rất đơn giản trong việc xấp xỉ các chuyển vị bằng hàm nội suy tuyến tính Để khắc phục hiện tưởng “khóa cắt” ( shear locking), Bletzinger [21] đã đề xuất phương pháp “rời rạc hóa độ lệch trượt” (DSG3- discrete shear gap using triangular three node element)

Hình 3.3 Phần tử tam giác 3 nút x,u b y z,w b z b x y,v

Theo công thức (3.1) ta có trường chuyển vị của tấm được xấp xỉ như sau

  u N d (3.43) trong đó d pI    u I v I w I  xI  yI   T là bậc tự do tại nút thứ I của trường chuyển vị và N pI ( ) x là ma trận hàm dạng tuyến tính của phần tử đẳng tham số tam giác 3 nút

Trong hệ tọa độ tự nhiên như chỉ trong Hình 3.4 có các thành phần hàm dạng như sau

Hình 3.4 Phần tử tam giác 3 nút DSG3 trong hệ tọa độ địa phương

Thứ tự và tọa độ của 3 nút trong phần tử lần lượt là: nút 1(0,0), nút 2(1,0), nút

3(0,1) như Hình 3.4 Các tọa độ x, y trong hệ tọa độ tổng thể được xấp xỉ thông qua hệ tọa độ tự nhiên như sau

3 với N i là các hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên cho bởi công thức (3.44); ( , )x y i i là tọa độ của các nút phần tử

Lấy đạo hàm x và y ở công thức (3.45) theo biến , , ta thu được

(3.46) trong đó đạo hàm các hàm dạng theo biến , như sau

 Thành lập các công thức tính các ma trận B m p , B b p , B s p , B G p Đạo hàm các hàm dạng ở công thức (3.44) theo x, y, ta thu được công thức sau

(3.48) trong đó J là ma trận Jacobi, được định nghĩa bởi

Thay công thức (3.48) vào công thức (3.6), ta được công thức ma trận gradient biến dạng màng B m p

B B B B (3.50) trong đó B m p 1 , B m p 2 , B m p 3 lần lượt là các ma trận thành phần, và được tính bởi các công thức

Thay công thức (3.48) vào công thức (3.7), ta được công thức ma trận gradient biến dạng uốn B b p

B B B B (3.54) trong đó B b p 1 , B b p 2 , B b p 3 lần lượt là các ma trận thành phần, và được tính bởi các công thức

Thay công thức (3.48) vào công thức (3.9), ta được công thức ma trận gradient biến dạng hình học B G p

B B B B (3.58) trong đó B G p 1 , B G p 2 , B G p 3 lần lượt là các ma trận thành phần, và được tính bởi các công thức

Biến dạng màng ở công thức (3.2), biến dạng uốn ở công thức (3.3) và biến dạng hình học ở công thức (3.5) lần lượt cho bởi công thức

G G G G e e e G e p  p p p    p p p   p p ε B B B d d d B d (3.64) trong đó d e p    d e p 1 d e p 2 d e p 3   T là véc tơ chuyển vị của phần tử

Trong lý thuyết về phần tử tấm Reissner–Mindlin, thường xảy ra hiện tượng

“khóa cắt” khi chiều dày của tấm quá nhỏ Nguyên nhân của hiện tượng này là do thành phần biến dạng cắt không triệt tiêu khi bề dày tấm tiến về 0, điều này mâu thuẫn với lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff Từ đây dẫn đến hiện tượng“khóa cắt” Để giải quyết vấn đề này, Bletzinger và các cộng sự [21] đã đề xuất phương pháp rời rạc hóa độ lệch trượt (DSG3) để hiệu chỉnh trường biến dạng cắt Biến dạng cắt được thay đổi có dạng như sau

Ma trận gradient biến dạng cắt Bsp được xác định bằng công thức (3.65), trong đó p là ma trận dịch chuyển trạng thái, γB là vectơ trượt, B là ma trận phần tử cơ sở Các ma trận thành phần của Bsp, bao gồm Bsp1, Bsp2 và Bsp3, được tính toán bằng công thức cho trước, áp dụng phương pháp rời rạc hóa độ trượt DSG3.

Thay các ma trận B m p , B b p , B s p vào các công thức (3.39) và (3.41) Đồng thời dùng kỹ thuật ghép nối ma trận, chúng ta thu được ma trận độ cứng tổng thể của tấm K p và ma trận độ cứng hình học tổng thể của tấm K G p

K K (3.70) trong đó K e p , K eG p lần lượt là ma trận độ cứng phần tử và ma trận độ cứng hình học phần tử, và được tính bởi các công thức

K B σ B (3.72) với các ma trận D m p , D b p , D s p , σ G p lần lượt lấy từ công thức (2.22), (2.23), (2.24) và (2.25)

Trong [32] để nâng cao tính chính xác cho xấp xỉ gần đúng biến dạng cắt và để lực cắt ổn định, M Bischoff và K.U Bletzinger đã đề xuất điều kiện ổn định cần phải được bổ sung vào phần tử DSG3 ban đầu Một hiệu chỉnh được thực hiện bằng cách thay thế ma trận D s p trong công thức (3.71) bằng ma trận D ˆ s p Kết quả là ma trận độ cứng phần tử được cho bởi công thức sau sau

K B D B B D B B D B (3.73) trong đó ma trận D ˆ s p được cho bởi công thức

D (3.74) với h e là chiều dài cạnh dài nhất của phần tử tam giác;  là một hằng số dương

Trong luận văn này chúng tôi chọn 0.05 đối với bài toán phân tích tĩnh,

0.1 đối với bài toán phân tích động và phân tích ổn định như trong đề xuất [33]

Chú ý rằng, theo công thức (3.62), (3.63), (3.64) và (3.65), ma trận độ cứng phần tử trong phương pháp DSG3 phụ thuộc vào số thứ tự nút của phần tử Do đó nghiệm của DSG3 sẽ thay đổi khi thứ tự các nút của phần tử thay đổi, nhất là cho các lưới thô và bị biến dạng Để khắc phục nhược điểm này, phương pháp CS-DSG3 được đề xuất và để nâng cao tính chính xác của phương pháp DSG3

3.2.2 Phương pháp CS–DSG3 cho tấm Reissner–Mindlin

Trong phương pháp CS–DSG3, mỗi phần tử tam giác được chia thành ba tam giác nhỏ bằng cách nối trọng tâm của tam giác với các nút ở 3 góc tương ứng trong tam giác Véc-tơ chuyển vị tại trọng tâm được giả định bằng trung bình cộng của ba véc- tơ chuyển vị nút ở ba đỉnh tam giác Trong mỗi tam giác nhỏ, phương pháp DSG3 được dùng để tính toán biến dạng nhằm tránh hiện tượng “khóa cắt phương ngang”

Sau đó kỹ thuật làm trơn biến dạng trên toàn miền phần tử tam giác được sử dụng để làm trơn biến dạng trên ba tam giác nhỏ Phương pháp CS-DSG3 được trình bày cụ thể bên dưới

Hình 3.5 Tam giác con    1 , 2 , 3 được tạo bởi tam giác (123) trong phương pháp

CS–DSG3 bằng cách nối trọng tâm O với 3 nút ở đỉnh tam giác

Xem xét một phần tử tam giác điển hình  e như Hình 3.5 Trước tiên ta chia phần tử tam giác thành ba tam giác nhỏ   1 , 2 và  3 với 3

      Chúng ta nối trọng tâm O với nút ở 3 đỉnh của phần tử tam giác

Tọa độ x o   x o y o  T của trọng tâm O được tính như sau

3 3 o o x  x  x  x y  y  y  y (3.75) trong đó x i   x i y i  T  i  1, 2,3  là tọa độ của 3 đỉnh của tam giác

Trong phương pháp CS-DSG3, chúng ta giả định rằng véc-tơ chuyển vị d eO tại trọng tâm O là trung bình cộng của ba véc-tơ chuyển vị d e 1 , d e 2 và d e 3 của các đỉnh tam giác Khi đó véc-tơ d eO được cho bởi công thức

Trên tam giác nhỏ thứ nhất  1 (O 1 2)   , trường chuyển vị của tấm

      u được xấp xỉ tuyến tính và được cho bởi công thức

  d d d d là véc-tơ bậc tự do của mỗi nút trong tam giác nhỏ

 1; N I  1 ( ) x    N 1  1 N 2  1 N 3  1   chứa các hàm dạng trong hệ toạ độ tự nhiên được định nghĩa trong công thức (3.44)

Biến dạng màng ε m 1 , biến dạng uốn κ b 1 , biến dạng hình học ε G 1 và biến dạng cắt γ s 1 trong tam giác nhỏ  1 được tính bởi các công thức

   d (3.81) trong đó b m  1 , b b  1 , b G  1 , b s  1 lần lượt được tính tương tự như B m p , B b p , B G p , B s p trong phương pháp DSG3 ở công thức (3.62), (3.63), (3.64) và (3.65) nhưng có các thay đổi như sau: 1) tọa độ 3 nút x i   x i y i  T  i  1, 2,3  được thay lần lượt bởi

, , x O x x ; và 2) diện tích A e được thay bởi diện tích tam giác con

Thay d eO trong công thức (3.76) vào các công thức (3.78), (3.79), (3.80) và (3.81), đồng thời sắp xếp lại chúng, ta thu được công thức tính các biến dạng như sau

Tương tự cho tam giác con thứ hai 2 (O   2 3), biến dạng màng ε m 2 , biến dạng uốn κ b 2 , biến dạng hình học ε G 2 và biến dạng cắt γ s 2 được tính bởi

Tương tự cho tam giác con thứ ba 3 ( O   3 1), biến dạng màng ε m 3 , biến dạng uốn κ b 3 , biến dạng hình học ε G 3 , biến dạng cắt γ s 3 được tính bởi

Bước kế tiếp, ta áp dụng kỹ thuật làm trơn dựa trên ô trong phương pháp CS- FEM [22] cho các trường biến dạng của tấm: trường biến dạng màng ε m  1 , ε m  2 , ε m  3 lần lượt trong công thức (3.82), (3.86), (3.90), trường biến dạng uốn κ b  1 , κ b  2 , κ b  3 lần lượt trong công thức (3.83), (3.87), (3.91); trường biến dạng hình học

G  G   ε ε ε lần lượt trong các công thức (3.84), (3.88), (3.92); trường biến dạng cắt γ s  1 , γ s  2 , γ s  3 lần lượt trong công thức (3.85), (3.89), (3.93) Kết quả chúng ta thu được trường biến dạng trơn tương ứng cho biến dạng màng ε  e m , biến dạng uốn b κ  e , biến dạng hình học ε  G e và biến dạng cắt γ  s e trên toàn phần tử tam giác  e như sau

       γ γ x γ x (3.97) trong đó  e ( ) x là hàm trơn thỏa mãn điều kiện ( )d 1 e e

 x Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng hàm trơn theo đề xuất của giáo sư Liu và cộng sự [22] như sau

       x x x (3.98) với A e là diện tích phần tử tam giác

Sau khi sử dụng hàm trơn hóa như trong công thức (3.98), các trường biến dạng trơn hóa ε  m e , κ  b e , ε  G e , γ  s e tương ứng cho biến dạng màng, biến diến dạng uốn, biến dạng hình học và biến dạng cắt được cho bởi công thức sau

Điều kiện biên của bài toán

Để thuận tiện trong việc lập trình, ta chuyển đổi hệ trục tọa độ của tấm như Hình 3.6 sang hệ trục như Hình 3.7

Hình 3.6 Hệ trục tọa độ ban đầu

Hình 3.7 Hệ trục tọa độ chuyển đổi

Như Hình 3.6 và Hình 3.7, ta có y   x ;  x    y Từ đó công thức (2.4) được chuyển thành công thức x b x z

Khi đó trường chuyển vị của phần tử tấm trở thành

Xấp xỉ tuyến tính trường chuyển vị của tấm ta thu được công thức sau

    d N T d (3.125) trong đó T I , N pI , d pI lần lượt là ma trận đổi biến, véc-tơ hàm dạng theo hệ trục tọa độ ban đầu, véc-tơ chuyển vị nút phần tử trong hệ trục tọa độ ban đầu và được cho bởi

N (3.127) pI    u I v I w I  xI  yI   d (3.128) Để thuận tiện cho việc lập trình và kiểm soát kết quả xuất ra, tất cả các công thức tính biến dạng bao gồm biến dạng màng, biến dạng uốn, biến dạng cắt và biến dạng hình học được thiết lập trên hệ tọa độ chuyển đổi bằng cách nhân thêm với ma trận đổi biến T Từ đó công thức tính độ cứng phần tử và độ cứng hình học lần lượt trong công thức (3.73) và (3.72) được thay thành

K T B σ B T (3.130) trong đó T là ma trận đổi biến phần tử được cho bởi công thức

3.3.2 Điều kiện biên tựa đơn

Các điều kiện biên tựa đơn được biểu diễn như trong Hình 3.8

Hình 3.8 Điều kiện biên tựa đơn

Các điều kiện biên ngàm được biểu diễn như trong Hình 3.9

Hình 3.9 Điều kiện biên ngàm x,u q y z,w

KẾT QUẢ SỐ

Phân tích tĩnh học

Ta xét bài toán tấm vuông, được gia cường bởi một dầm theo phương x, bốn cạnh tựa đơn như minh họa trong Hình 4.2 Tấm chịu tác dụng bởi lực phân bố đều

6.89476 10 N/mm p    Tấm và dầm có các đặc trưng của vật liệu như sau: môđun

Độ võng tại tâm tấm đã chuẩn hóa a0 được tính từ độ võng tại tâm w0, độ cứng của tấm D và các tham số khác Kết quả tính toán được so sánh với kết quả của Rossow và cộng sự [1] và kết quả của phần mềm SAP2000, cho thấy độ chính xác của phương pháp phân tích được trình bày trong nghiên cứu.

Hình 4.2 Tấm vuông tựa đơn gia cường bởi dầm theo phương x (lệch tâm), chịu tại phân bố đều

Trong bài toán này, chúng ta kết hợp lý thuyết tấm Mindlin và lý thuyết dầm Timoshenko, cùng với cả hai giả thuyết đồng tâm và lệch tâm giữa dầm và tấm

Cho mục đích so sánh, chúng ta sử dụng cả phương pháp CS-DSG3 và phương pháp DSG3 Rời rạc tấm bằng lưới đều NxN với N lần lượt bằng 4, 6, 8, 10 và 12

Kết quả độ võng đã chuẩn hóa tại tâm tấm bằng 2 phương pháp CS-DSG3 và DSG3 cho bài toán đồng tâm và lệch tâm thể hiện trong Bảng 4.1 Kết quả này cũng được so sánh với kết quả tính toán bằng lý thuyết, phần mềm NASTRAN theo Rossow [1] và phần mềm SAP2000 Theo Bảng 4.1, độ võng tính bằng CS-DSG3 lớn hơn độ võng tính bằng DSG3 do độ cứng phần tử CS-DSG3 "mềm hơn" so với độ cứng phần tử DSG3 Kết quả thu được bằng phương pháp CS-DSG3 đã tiến gần hơn đến kết quả chuẩn.

Tất cả các kích th−ớc đo bằng mm x y

 = 0.3 p = 6.89476 x 10 -3 N/mm 2 e đến nghiệm tham khảo chỉ với lưới thô hoặc trung bình Điều này minh chứng tốc độ hội tụ của phương pháp là tốt

Bảng 4.1 Kết quả phân tích tấm vuông tựa đơn được gia cường bởi một dầm theo phương x

Lưới Độ võng chuẩn hóa a 0 tại tâm tấm

CS-DSG3 DSG3 Rossow [1] SAP2000 NASTRAN

Hình 4.3 Sự hội tụ của độ võng a 0 tại tâm tấm cho bài toán tấm tựa đơn có dầm gia cường theo phương x (lệch tâm), chịu tải phân bố đều

Hình 4.3 trình bày sự hội tụ của độ võng chuẩn hóa a 0 tại tâm tấm gia cường bởi dầm theo phương x với giả thuyết lệch tâm bằng hai phương pháp CS-DSG3 và

N - So luong phan tu a o = ( w o x 10 0 x D m ) / ( p x L 4 ) - D o v on g ta i tâ m ta m

DSG3 Kết quả được so sánh với kết quả của phần mềm NASTRAN [1] Ta thấy rằng phương pháp CS-DSG3 cho kết quả gần với NASTRAN hơn Chỉ với lưới trung bình 10x10, CS-DSG3 đã cho kết quả gần với kết quả nghiệm tham khảo Điều này chứng tỏ độ tin cậy và hiệu quả tính toán của phương pháp CS-DSG3 là tốt

Hình 4.4 Sự hội tụ của độ võng a0 tại tâm tấm cho bài toán tấm tựa đơn, có dầm gia cường theo phương x (đồng tâm), chịu tải phân bố đều

Hình 4.4 minh họa sự hội tụ của độ võng chuẩn hóa a0 tại tâm tấm có tăng cường dầm theo phương x, khi giả thiết đồng tâm với hai phương pháp CS-DSG3 và DSG3 Kết quả cũng được đối chiếu với phần mềm tính toán kết cấu SAP2000 Phương pháp CS-DSG3 cho kết quả gần với SAP2000 hơn phương pháp DSG3, ngay cả khi sử dụng lưới lưới trung bình 10x10 Điều này thể hiện độ tin cậy cao, độ chính xác tốt và tốc độ hội tụ nhanh của phương pháp CS-DSG3.

N - So luong phan tu a o = ( w o x 1 00 x D m ) / ( p x L 4 ) - D o vo ng ta i tâ m ta m

Hình 4.5 Độ võng a 0 dọc trục đối xứng có bố trí dầm của tấm tựa đơn, có dầm gia cường theo phương x (lệch tâm và đồng tâm), chịu tải phân bố đều

Hình 4.6 Độ võng a0 dọc trục đối xứng không có bố trí dầm của tấm tựa đơn, có dầm gia cường theo phương x (lệch tâm và đồng tâm), chịu tải phân bố đều

Hình 4.5 và Hình 4.6 lần lượt trình bày kết quả võng chuẩn hóa a 0 dọc theo 2 trục đối xứng của tấm là trục có dầm gia cường và trục không có dầm gia cường So

Dong tam CS-DSG3 Lech tam CS-DSG3 Dong tam DSG3 Lech tam DSG3

Dong tam DSG3 Dong tam CS-DSG3

Lech tam DSG3 Lech tam CS-DSG3

Lech tam CS-DSG3 Dong tam DSG3

Dong tam CS-DSG3Lech tam CS-DSG3Dong tam DSG3Lech tam DSG3 sánh kết quả độ võng, ta thấy rằng giả thuyết lệch tâm cho kết quả nhỏ hơn nhiều so với giả thuyết đồng tâm Điều này chứng tỏ bố trí dầm lệch tâm cho cường độ cao hơn so với bố trí dầm đồng tâm Kết quả này phù hợp với thực tế Ngoài ra cả hai giả thuyết đồng tâm và lệch tâm, độ cứng của phần tử CS-DSG3 là “mềm hơn” so với độ cứng của phần tử DSG3 Do đó, độ võng cho bởi CS-DSG3 cao hơn so với DSG3 Điều này phù hợp với lý thuyết

4.1.2 Phân tích tĩnh học tấm hình chữ nhật tựa đơn bốn cạnh, gia cường bởi hai dầm chéo nhau

Tấm hình chữ nhật tựa đơn bốn cạnh, được gia cường bởi hai dầm chéo nhau như trong Hình 4.7 Tấm chịu tác dụng bởi lực phân bố đều p6.89 10 N/mm  2 2

Tấm và dầm có các đặc trưng vật liệu như sau : môđun đàn hồi

E   , hệ số Poisson  0.3 Độ võng tại tâm tấm đã chuẩn hóa

0 0 100 / ( 4) a w  D qL được trình bày ở Bảng 4.2, với w 0 là độ võng tại tâm tấm,

D   E t    là độ cứng của tấm Kết quả được so sánh với kết quả của

Rossow và cộng sự.[1], và kết quả của phần mềm tính toán kết cấu SAP2000

Hình 4.7 Tấm chữ nhật tựa đơn, gia cường bởi hai dầm chéo nhau (lệch tâm), chịu tại phân bố đều

 = 0.3 p = 6.89 x 10 -2 N/mm 2 Tất cả các kính th−ớc đo bằng mm

Bảng 4.2 Kết quả phân tích tấm hình chữ nhật tựa đơn được gia cường bởi hai dầm chéo nhau Lưới Độ võng chuẩn hóa a 0 tại tâm tấm CS-DSG3 DSG3 Rossow [1] SAP2000 NASTRAN [1] Đồng tâm

Bảng 4.2 trình bày kết quả độ võng đã chuẩn hóa a 0 tại tâm tấm bằng 2 phương pháp CS-DSG3 và DSG3, cùng với hai giả thuyết đồng tâm và lệch tâm Tấm được rời rạc bằng lưới đều NxN với N lần lượt bằng 4, 6, 8, 10 và 12 Kết quả bởi phương pháp CS-DSG3 và phương pháp DSG3 cùng được so sánh với kết quả tính toán bằng lý thuyết và bằng phần mềm NASTRAN như được trình bày bởi Rossow [1], và bằng phần mềm tính toán kết cấu SAP2000 Bảng 4.2 cho ta thấy rằng độ võng tính bằng CS-DSG3 lớn hơn so với DSG3 Điều này chứng tỏ độ cứng phần tử CS- DSG3 “mềm hơn” so với độ cứng phần tử DSG3 Ngoài ra, chỉ với lưới thô, kết quả thu được bởi phương pháp CS-DSG3 đã tiến rất gần đến nghiệm tham khảo

Hình 4.8 thể hiện kết quả hội tụ của độ võng chuẩn hóa a0 tại tâm tấm giữa hai phương pháp CS-DSG3 và DSG3 Kết quả so sánh với phần mềm SAP2000 cho thấy cả hai phương pháp CS-DSG3 và DSG3 đều cho kết quả gần với SAP2000 Về tốc độ hội tụ, cả hai phương pháp gần như bằng nhau Tuy nhiên, kết quả của phương pháp CS-DSG3 chính xác hơn so với DSG3 Kết quả này phù hợp với lý thuyết.

Phân tích động học tấm vuông ngàm bốn cạnh, được gia cường bởi một dầm theo phương x

Phân tích động học tấm vuông ngàm bốn cạnh được gia cường bởi một dầm theo phương x, giả thiết tấm lệch tâm như Hình 4.11 Các đặc trưng của vật liệu như sau: môđun đàn hồi E  68.7 10 N/m  9 2 , hệ số Poisson  0.3, khối lượng riêng 2820 kg/m3

  Kết quả được so sánh với kết quả của Olson và các cộng sự [2], và Mukherjee và các cộng sự [3]

Hình 4.11 Tấm vuông, ngàm 4 cạnh, được gia cường bởi một dầm theo phương x, giả thiết dầm lệch tâm, chịu tại phân bố đều

Tất cả các kích th−ớc do bằng m

Bảng 4.3 Kết quả tần số dao động tự nhiên (Hz) cho tấm vuông, ngàm 4 cạnh, được gia cường bởi một dầm theo phương x (lệch tâm)

CS - DSG3 Olson và Hazell [2] Mukheriee và cộng sự 6x6 8x8 10x10 12x12 16x16 20x20 Thực nghiệm FEM [3]

Bảng 4.4 Kết quả tần số dao động tự nhiên (Hz) cho tấm vuông, ngàm 4 cạnh, được gia cường bởi một dầm theo phương x (đồng tâm) Đồng tâm

CS - DSG3 Mukheriee và cộng sự 6x6 8x8 10x10 12x12 16x16 20x20 [3]

Bảng 4.4 thể hiện kết quả tần số dao động tự nhiên của 24 mode dao động cho bài toán tấm gia cường, trong đó Bảng 4.3 cho giả thuyết dầm lệch tâm và Bảng 4.4 cho giả thuyết dầm đồng tâm Tấm được rời rạc bởi lưới đều NxN với N bằng 6, 8, 10, 12, 16, và 20 Phương pháp CS-DSG3 được sử dụng Với giả thuyết dầm lệch tâm, kết quả thu được từ bài toán được so sánh với 2 kết quả tham khảo Kết quả tham khảo đầu tiên sử dụng FEM và thực nghiệm của Olson và Hazell [2] Kết quả tham khảo thứ hai sử dụng FEM của Mukheriee và cộng sự [3] Đối với giả thuyết dầm đồng tâm, kết quả tính toán được so sánh với kết quả của Mukherjee và cộng sự [3]

Hình 4.12 Tần số dao động tự nhiên của tấm vuông, lưới 20x20, ngàm 4 cạnh, được gia cường bởi một dầm theo phương x (lệch tâm)

Hình 4.12 thể hiện các kết quả tần số dao động tự nhiên của 24 mode dao động cho bài toán tấm gia cường với giả thuyết dầm lệch tâm Kết quả thu được bởi hai phương pháp CS-DSG3 và DSG3 cùng được so sánh với kết quả của Olson và Hazell [2], và Mukherjee cùng cộng sự [3] Ta thấy kết quả thu được từ CS-DSG3 rất gần với kết quả thực nghiệm Ngoài ra CS-DSG3 cho kết quả tần số thấp hơn DSG3 bởi vì CS-DSG3 có độ cứng phần tử nhỏ so với DSG3 Điều này đúng với lý thuyết

CS-DSG3 Experimental FEM Mukherjee et al DSG3

Hình 4.13 Tần số dao động của tấm vuông, lưới 20x20, ngàm 4 cạnh, được gia cường bởi một dầm theo phương x (đồng tâm)

Hình 4.13 thể hiện các kết quả tần số dao động tự nhiên của 24 mode dao động cho bài toán tấm gia cường với giả thuyết dầm đồng tâm Kết quả thu được bởi hai phương pháp CS-DSG3 và DSG3 cùng được so sánh với nghiệm tham khảo của Mukherjee và cộng sự [3] Cả hai phương pháp CS-DSG3 và DSG3 đều cho kết quả tốt, tuy nhiên DSG3 cho kết quả tần số cao hơn so với CS-DSG3 Điều này phù hợp với lý thuyết vì độ cứng của phần tử DSG3 lớn hơn độ cứng của phần tử CS-DSG3

CS-DSG3 Mukherjee et al DSG3 Mukherjee at al

Hình 4.14 Tần số dao động của tấm vuông, lưới 20x20, ngàm 4 cạnh, được gia cường bởi một dầm theo phương x (đồng tâm và lệch tâm)

Hình 4.14 ghi nhận tần số dao động tự nhiên của 24 mode dao động của tấm gia cường theo hai trường hợp: dầm lệch tâm và dầm đồng tâm Dầm lệch tâm cho tần số dao động cao hơn so với dầm đồng tâm Sự chênh lệch tần số giữa hai trường hợp này không đáng kể do cường độ và độ cứng kết cấu tăng khi bố trí dầm lệch tâm.

Hình 4.15 trình bày 6 mode dao động đầu của bài toán tấm gia cường (lệch tâm)

Kết quả cho thấy hình dạng của các mode dao động miêu tả chính xác các mode vật lý thật (không có dao động ảo)

Lech tam CS-DSG3 Dong tam CS-DSG3 Lech tam

Hình 4.15 Mode dao động tấm vuông, lưới 20x20, ngàm 4 cạnh, được gia cường bởi một dầm theo phương x (lệch tâm)

Phân tích ổn định tấm tựa đơn bốn cạnh, có 2 dầm song song theo phương

Phân tích ổn định tấm tựa đơn bốn cạnh, có 2 dầm gia cường theo phương x, giả thuyết dầm đồng tâm với tấm, chịu nén bởi  x 0 trong mặt phẳng tấm như chỉ trong Hình 4.16 Trong bài toán này, ta bỏ qua ảnh hưởng bởi sự lệch tâm của dầm so với tấm cũng như ảnh hưởng bởi xoắn của dầm  e GJ  s  0  Các thông số bài toán được cho như sau: tỉ lệ kích thước hai cạnh của tấm B

 L ; tỉ lệ độ cứng giữa dầm và tấm EI s

  BD ; tỉ lệ mặt cắt ngang của dầm và tấm A s

I  b h và A s  b h s s Kết quả hệ số ổn định k cr 2 B t 2

  được so sánh với kết quả của Timoshenko và Geer [13]

Hình 4.16 Tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x (đồng tâm)

Bảng 4.5 trình bày kết quả hệ số ổn định k cho bài toán tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x, giả thuyết dầm đồng tâm Tấm được rời rạc bằng lưới 24x24 và kết quả tính toán được so sánh với nghiệm tham khảo [13] Hình 4.19, Hình 4.20, Hình 4.23, Hình 4.24, Hình 4.21, Hình 4.22, Hình 4.23 và Hình 4.24 lần lượt là sự so sánh kết quả thu được bởi CS-DSG3 và nghiệm tham khảo ứng với các thông số bài toán β , γ, δ được thay đổi Ta thấy rằng phần tử CS-DSG3 cho kết quả đáng tin cậy, sát với kết quả nghiệm tham khảo

Hình 4.17 Hệ số ổn định k cho tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x (đồng tâm,   10 / 3,   0.05)

Hình 4.18 Hệ số ổn định k cho tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x (đồng tâm,   10 / 3,   0.1)

CS-DSG3 Timoshenko & Gere Timoshenko & Gere

Hình 4.19 Hệ số ổn định k cho tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x (đồng tâm,   5,   0.05).

Hình 4.20 Hệ số ổn định k cho tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x (đồng tâm,   5,   0.1)

Hình 4.21 Hệ số ổn định k cho tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x (đồng tâm,   20 / 3,   0.05)

Hình 4.22 Hệ số ổn định k cho tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x (đồng tâm,   20 / 3,   0.1)

Hình 4.23 Hệ số ổn định k cho tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x (đồng tâm,  10,   0.05).

Hình 4.24 Hệ số ổn định k cho tấm tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x (đồng tâm,   10,   0.1 )

CS-DSG3 Timoshenko & Gere Timoshenko & Gere

CS-DSG3 lưới phần tử khác nhau

Bảng 4.6 trình bày kết quả hệ số ổn định k cho bài toán tấm vuông tựa đơn, được gia cường bởi hai dầm theo phương x, giả thuyết dầm đồng tâm với các lưới phần tử khác nhau Rời rạc tấm bằng lưới đều NxN với N lần lượt bằng 6, 9, 12, 15, 18 và 24 So sánh với kết quả thu được bởi CS-DSG3 và kết quả của Timoshenko và Gere [13], chúng ta thấy rằng độ cứng phần tử CS-DSG3 là “mềm”

Chỉ với lưới thô hoặc trung bình, CS-DSG3 đã cho kết quả tiến sát tới nghiệm tham khảo.