- Phân tích ứng xử động lực học của dầm một nhịp theo hai lý thuyết dầm Timoshenko và Reddy chịu tải trọng di động với vận tốc chuyển động đều và vận tốc biến đổi đều III.. TÓM TẮT PHÂN
TỔNG QUAN
GIỚI THIỆU
Chương này giới thiệu sơ lược về khái niệm và khả năng ứng dụng của vật liệu phân lớp chức năng (FGM) trong thực tiễn Phần lớn nội dung của chương này tập trung vào giới thiệu tổng quan về tình hình nghiên cứu ở trong nước và ngoài nước có liên quan mật thiết đến Luận văn.
VẬT LIỆU PHÂN LỚP CHỨC NĂNG
Ngày nay vật liệu composite truyền thống được ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của nền kinh tế từ công nghiệp dân dụng, y tế, thể thao, giao thông vận tải, xây dựng cho đến các ngành công nghiệp nặng (chế tạo máy, khai thác chế biến dầu khí đóng tàu điện lực, hoá chất …) đặc biệt là trong ngành hàng không vũ trụ
Tuy nhiên khi vật liệu composite truyền thống làm việc trong môi trường nhiệt độ cao, sự chênh lệch lớn giữa các hằng số giãn nở nhiệt của các vật liệu sẽ tạo ra ứng suất dư lớn trong vật liệu Khi đó vật liệu composite sẽ xuất hiện vết nứt và có hiện tượng bong tách giữa các lớp vật liệu Một trong những giải pháp để khắc phục hiện tượng trên của vật liệu composite truyền thống là sử dụng vật liệu phân lớp chức năng (Functionally Graded Materials)
Vật liệu phân lớp chức năng là một loại vật liệu composite thế hệ mới có đặc trưng của vật liệu thay đổi liên tục nhằm cải thiện hiện tượng ứng suất tập trung, sự tách lớp của vật liệu composite thông thường Đặc trưng vật liệu thay đổi liên tục theo chiều cao tiết diện nhằm tối ưu khả năng chịu nhiệt và chịu cơ của kết cấu Vì vậy FGM thường được sử dụng nhiều trong những môi trường khắc nghiệt như lá chắn nhiệt của tàu vũ trụ, các bộ phận của động cơ đốt trong Tùy thuộc vào quy luật phân bố các trong không gian khối vật liệu, ta chế tạo được các loại vật liệu chức năng khác nhau Mỗi loại vật liệu chức năng này có chỉ tiêu cơ - lý đặc trưng bởi một hàm thuộc tính vật liệu (hàm đặc trưng) xác định, giá trị của hàm thay đổi theo chiều dày Quy luật toán học của hàm thuộc tính vật liệu dùng để phân loại vật liệu
Hình 2.1 Mặt cắt ngang vật liệu phân lớp chức năng (mô tả sự thay đổi mật độ vật liệu theo chiều dày) [39]
2.2.2 Lịch sử phát triển và ứng dụng
Khái niệm vật liệu phân chức năng xuất hiện lần đầu tiên vào giữa thập niên 1980 tại Nhật Bản bởi một nhóm nhà khoa học, những người đã chế tạo ra một loại vật liệu mới có khả năng chống lại ảnh hưởng của nhiệt trong ngành hàng không, vật liệu này có khả năng chịu được môi trường nhiệt độ cao và loại bỏ được hiện tượng tách lớp của giữa các lớp vật liệu Bên cạnh Nhật Bản, số lượng nghiên cứu về vật liệu FGMs tăng nhanh chóng và trở thành chủ đề được ưa thích trong nghiên cứu vật liệu mới trong những năm sau đó bao gồm như Mỹ Đức, Trung Quốc, Nga
Từ đó nhiều ứng dụng của FGMs trong thực tiễn được giới thiệu như:
Ứng dụng vật liệu FGM trong y học: vít cố định xương
Ứng dụng vật liệu FGM trong cơ khí chế tạo: bộ phận đánh lửa của động cơ đốt trong. a) b)
Ứng dụng của vật liệu FGMs trong y tế rất đa dạng Vật liệu này được sử dụng để chế tạo vít cố định xương, đảm bảo độ cứng, không bị ăn mòn và không bị cơ thể đào thải Ngoài ra, FGMs còn được ứng dụng để sản xuất xương nhân tạo, thay thế xương bị tổn thương hoặc mất đi, giúp phục hồi chức năng vận động của bệnh nhân.
Hình 2.3 Vật liệu FGMs chế tạo chi tiết trong động cơ đốt trong và phản lực
(nguồn: www.soton.ac.uk).
TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC
Vật liệu Gradient Functionally Graded (FGM) là một dạng vật liệu composite tiên tiến có đặc tính thay đổi theo độ dày của vật liệu để đáp ứng nhu cầu sử dụng FGM thường kết hợp nhiều loại vật liệu khác nhau để chịu đựng điều kiện khắc nghiệt như nhiệt độ cao, ứng suất tập trung và các vấn đề bề mặt thường gặp ở vật liệu composite truyền thống Kể từ khi ra đời vào những năm 1980, FGM đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, bao gồm hàng không vũ trụ và công nghệ sinh học Nhờ những đặc tính vượt trội, các kết cấu làm từ vật liệu FGM đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên toàn thế giới Trong lĩnh vực xây dựng, ứng xử của các cấu kiện làm từ vật liệu FGM, chẳng hạn như dầm và tấm, đã được nghiên cứu và phân tích sâu rộng.
Birman 2007 [2] và cộng sự đã tóm lược quá trình phát triển và ứng dụng của vật liệu FGM từ sau năm 2000 Các vấn đề về cơ sở lý thuyết, ứng dụng của vật liệu FGM, các vấn đề truyền nhiệt, ứng xử động của vật liệu FGM được trình bày chi tiết trong bài báo này Hầu hết các nghiên cứu về dầm FGM đều tập trung vào hai vấn đề sau: phân tích dao động của dầm (tần số dao động) và phân tích ứng xử của dầm (chuyển vị và nội lực)
2007, A Metin và T Vedat [13] nghiên cứu về dao động tự do của dầm đơn giản làm bằng vật liệu FGM Đặc trưng của vật liệu phân phối theo qui luật hàm mũ và hàm e mũ, theo chiều cao của tiết diện dầm Phương trình động lực học được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton và phương pháp Navier để xác định tần số của dầm Tần số dao động tự do và các mode dao động được khảo sát theo đặc trưng vật liệu khác nhau
2008, J Ying [35] và cộng sự nghiên cứu dao động của dầm FGM trên nền đàn hồi Winkler–Pasternak 2 thông số Phương trình động lực học của dầm được giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn Ảnh hưởng của các thông số nền, quy luật phân phối vật liệu đến tần số dao động của dầm được khảo sát và bàn luận chi tiết
2009, M Simsek [27] và cộng sự khảo sát dao động tự do của dầm FGM dựa trên lý thuyết dầm Euler – Bernoulli, chịu tải trọng di động điều hòa với điều kiện biên là dầm đơn giản Các hàm chuyển vị của dầm được xấp xỉ bằng các hàm đa thức thỏa điều kiện biên Phương trình động lực học được rút ra dựa trên nguyên lý
Hamilton và phương trình Larange Đặc trưng vật liệu thay đổi liên tục dọc theo chiều cao của dầm tuân theo quy luật hàm số mũ Ảnh hưởng bởi các đặc trưng vật liệu khác nhau, vận tốc và tần số của tải trọng đến ứng xử động của dầm được phân tích chi tiết Kết quả nghiên cứu cho thấy, các ảnh hưởng trên có ý nghĩa đến ứng xử của dầm
2009, S C Prandhan và T Murmu [19] phân tích tần số dao động của dầm sandwich FGM một nhịp trên nền đàn hồi Winkler Đặc trưng vật liệu thay đổi theo nhiệt độ và quy luật hàm mũ Phương trình động lực học được giải dựa trên phương pháp vi phân cầu phương (differential quadrature method – MDQM) Ảnh hưởng của nhiệt độ, quy luật phân phối vật liệu và ảnh hưởng của nền Winkler đến tần số dao động tự nhiên của dầm được khảo sát chi tiết
2010, M Simsek [30] phân tích tần số tự nhiên của dầm FGM với các điều kiện biên khác nhau theo lý thuyết dầm cổ điển và lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao Đặc trưng vật liệu của dầm thay đổi liên tục theo chiều dày và tuân theo qui luật lũy thừa với hệ số mũ k Phương trình động lực học của dầm được thiết lập dựa trên phương trình Larange và các điều kiện biên của dầm thỏa mãn các hệ số nhân Larange Các hàm chuyển vị của dầm được xấp xỉ bằng các hàm đa thức Trong nghiên cứu này, ảnh hưởng đặc trưng vật liệu và lý thuyết dầm khác nhau đến tần số cơ bản được khảo sát chi tiết Kết quả số trong nghiên cứu được so sánh với các nghiên cứu trước và cho kết quả đáng tin cậy
2010, B E A Mahi [11] và cộng sự tìm ra lời giải chính xác cho bài toán xác định tần số dao động tự do của dầm FGM, có xét thêm ảnh hưởng nhiệt độ, dựa trên lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao với các điều kiện khác nhau Đặc trưng của vật liệu thay đổi liên tục theo chiều cao tiết diện tuân theo qui luật phân phối hàm số mũ, hàm e mũ, hàm sigmoid Phương trình chuyển động của dầm được thiết lập dựa trên nguyên lý Haminlton
2011, R K Gholam [7] nghiên cứu xác định chính xác tần số tự nhiên của dầm FGM theo lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất Timoshenko và lý thuyết biến dạng trược bậc cao Reddy với điều kiện biên là dầm đơn giản Đặc trưng hữu hiệu của vật liệu thay đổi theo chiều cao của tiết diện dầm Nguyên lý hamilton được dùng để rút ra phương trình động lực học của dầm FG Ảnh hưởng của hệ số phân phối vật liệu và hệ số giữa chiều cao và chiều dài đến tần số cơ bản Kết quả số trong nghiên cứu được so sánh với các nghiên cứu trước và cho kết quả đáng tin cậy
2012, W Nuttawit [16] và cộng sự giới thiệu phương pháp tích phân chuyển đổi ( Differential Transformation Method DTM ) để khảo sát dao động tự do của dầm FGM theo lý thuyết dầm Euler - Bernoulli với các điều kiện biên khác nhau Đặc trưng hữu hiệu của vật liệu tuân theo qui luật lũy thừa Ưu điểm của phương pháp trong nghiện cứu này là có độ chính xác cao với thời gian tính toán nhỏ
2012, W Nuttawit [17] và cộng sự khảo sát dao động tự do của dầm FGM theo lý thuyết lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 với các điều kiện biên khác nhau Đặc trưng hữu hiệu của vật liệu tuân theo qui luật lũy thừa Ảnh hưởng của quy luật phân phối vật liệu, tỉ số chiều dài và chiều cao các điều kiện biên đến tần số tự nhiên của dầm được khảo sát và bàn luận chi tiết
2012, A K Sanjay [25] và cộng sự phân tích dao động của dầm FGM dựa trên lý thuyết dầm Euler – Bernoulli và lý thuyết dầm Timoshenko với các điều kiện biên khác nhau Các hàm chuyển vị được xấp xỉ bằng các hàm Larange và hàm Hermite Phương trình chủ đạo của dầm được giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn Kết quả của nghiên cứu cho thấy rằng, lực cắt ngang có ảnh hưởng quan trọng đến tần số cơ bản và mode dao động của dầm
2013, K K Pradhan và S Chakraverty [20] nghiên cứu đề dao động tự do của dầm phân lớp chức năng (FGM) theo các lý thuyết dầm Euler–Bernoulli và Timoshenko Đặc trưng vật liệu thay đổi liên tục theo chiều dày của dầm và tuân theo qui luật hàm số mũ Hàm dạng mô tả các thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang của dầm biểu diễn theo hàm lượng giác thỏa mãn điều kiện biên Phương trình động lực học thiết lập dựa trên phương pháp Rayleigh–Ritz Bài báo nghiên cứu 5 tần số tự nhiên đầu tiên của dầm theo lý thuyết dầm Euler – Bernoulli và Timoshenko khảo sát và so sánh chi tiết
2014, S Mashat [15] và cộng sự đã phân tích dao động tự nhiên của dầm
FGM theo lý thuyết dầm cổ điển có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ Đặc trưng của vật liệu thay đổi theo nhiệt độ Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để giải phương trình chủ đạo của dầm Kết quả của nghiên cứu này được so sánh với các dầm sandwich và dầm laminated đều cho kết quả đáng tin cậy
2014, W Nuttawit và U Variddhi [18] phân tích dao động tự do của dầm
KẾT LUẬN
Đất nước ta đang từng bước hội nhập nền kinh tế thế giới Trong quá trình hội nhập đó các ngành công nghiệp nước ta phải đương đầu với nhiều khó khăn và thách thức Sự khó khăn và thách thức đó là phát triển trình độ khoa học kỹ thuật trong nhiều ngành công nghiệp như: hàng không, xây dựng, cơ khí chế tạo, giao thông, khai thác tài nguyên Với vai trò là một loại vật liệu composite thế hệ mới, vật liệu phân lớp chức năng – FGM có tiềm năng to lớn trong nhiều lĩnh vực do đó các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm chuyên sâu về vật liệu này là rất cần thiết ở nước ta hiện nay để phát triển các ngành khoa học kỹ thuật
Chương này đã trình bày sơ lược về khái niệm, lịch sử phát triển và ứng dụng của vật liệu FGM Với những đặc tính nổi trội của mình, vật liệu FGM cho phép tạo ra những loại vật liệu mới có ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp Thông qua phần tổng quan về tình hình nghiên cứu ở trong nước và ngoài nước có liên quan đến Luận văn đã chứng minh tính mới và ý nghĩa của đề tài này.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
GIỚI THIỆU
Trong chương này, phương trình động lực học của dầm FGM một nhịp, chịu tác động của tải trọng động có xét đến khối lượng vật chuyển động, điều kiện biên là dầm đơn giản được thiết lập dựa trên lý thuyết dầm của Timoshenko (TBT) và Reddy (RBT) Chương 3 gồm 5 phần, phần đầu là giới thiệu chung, phần 2 giới thiệu về mô hình bài toán sử dụng trong Luận văn, mối quan hệ giữa các đặc trưng của dầm FGM, lý thuyết dầm Timoshenko và Reddy Các biểu thức chuyển vị, biến dạng, ứng suất, năng lượng và phương trình chủ đạo của bài toán được thiết lập ở phần tiếp theo Phần cuối của chương này trình bày sơ đồ khối của bài toán.
MÔ HÌNH BÀI TOÁN
Đề bài toán là dầm FGM một nhịp, gối tựa đơn có chiều dài L, mặt cắt tiết diện hình chữ nhật có bề rộng b và chiều cao h Tải trọng là khối lượng M di chuyển với vận tốc v M và gia tốc đều a M Hệ trục tọa độ Descartes Oxz được chọn như trong hình 3.1.
Hình 3.1 Dầm FGM chịu tải trọng động có xét khối lượng vật
Các giả thiết của Luận văn:
- Ứng xử của vật liệu là tuyến tính
- Vật nặng M luôn tiếp xúc với dầm trong quá trình chuyển động
- Vật liệu FGM là hỗn hợp của gốm (Ceramic) và kim loại (Metal), trong đó mặt trên của dầm giàu ceramic, mặt dưới giàu kim loại
- Vật nặng M chuyển động với vận tốc đều và vận tốc biến đổi đều
Vật liệu phân lớp chức năng là vật liệu composite đặc biệt, là hỗn hợp của nhiều loại vật liệu khác nhau Trong Luận văn này, FGM là hỗn hợp của của gốm (Ceramic) và kim loại (Metal) Các đặc trưng của dầm FGM như: modun đàn hồi E, modun đàn hồi trượt G, khối lượng riêng , hệ số Poisson thay đổi liên tục theo chiều cao của dầm theo quy luật hàm mũ như sau c c m m
Trong đó: P c , P m là đặc trưng vật liệu của lớp trên và lớp dưới của dầm; V c , V m là tỷ số thể tích của lớp trên và lớp dưới của dầm, được xác định như sau:
Từ phương trình (3.1) , (3.2) và (3.3), công thức xác định mođun đàn hồi E, hệ số poisson , mođun đàn hồi trượt G, khối lượng riêng của dầm được viết như sau:
Khi k0, vật liệu đồng nhất và là vật liệu lớp trên
Khi k , vật liệu đồng nhất và là vật liệu lớp dưới
Trong đó: E E c , m là mođun đàn hồi của vật liệu lớp trên và lớp dưới; c , m là hệ số poisson của vật liệu lớp trên và lớp dưới; c , m là khối lượng riêng của vật liệu lớp trên và lớp dưới; G là mođun đàn hồi trượt của dầm
Vật liệu FGM sử dụng trong Luận văn này gồm kim loại (E m = 210 GPa,
m = 8166 kg/m 3 , m = 0.3) và Ceramic (E c = 390 GPa, c = 3960 kg/m 3 , c = 0.3)
Sự thay đổi đặc trưng của vật liệu theo chiều cao của tiết diện sẽ được thể hiện trên hình 3.2
Hình 3.2 Mođun đàn hồi Evà khối lượng riêngcủa dầm FGM theo chiều cao tiết diện.
CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG, ỨNG SUẤT VÀ NĂNG LƢỢNG
Hiện nay, kết cấu dầm làm bằng vật liệu phân lớp chức năng (FGM) được nghiên cứu dựa trên nhiều loại lý thuyết dầm khác nhau như lý thuyết dầm Euler – Bernoulli, Timoshenko (TBT) và các lý thuyết dầm bậc cao như lý thuyết dầm bậc 3 của Reddy (RBT), lý thuyết dầm hàm e mũ, hàm sin… Trong Luận văn này, lý thuyết dầm được chọn để xây dựng bài toán là lý tuyết dầm Timoshenko (TBT) và lý thuyết dầm biến dạng bậc 3 của Reddy (RBT)
Chuyển vị u u x , z dọc theo các trục x, z của mọi điểm trên dầm được bởi công thức sau:
Theo lý thuyết dầm Bernoulli (CBT): 1; 0 Theo lý thuyết dầm Timoshenko (TBT): 0; 1; z z
Theo lý thuyết dầm Reddy (RBT): 1; 1; z z 1 4 z 2 / 3 h 2
Trong đó: u 0 x t, và w 0 x t, lần lượt là chuyển vị tại trục thanh theo phương x, z;
là góc xoay của mặt cắt ngang tiết diện; t là thời gian
Mối quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng được xác định như sau:
Theo định luật Hook, ứng suất của dầm có công thức sau:
Trong đó: xx , xz lần lượt là biến dạng dài và biến dạng trượt của dầm; xx , xz lần lượt là ứng suất pháp và ứng suất tiếp trong dầm
Thế năng biến dạng đàn hồi của hệ là
Thế phương trình (3.9) và (3.10) vào (3.11) và thực hiện tích phân, biểu thức thế năng biến dạng đàn hồi của hệ được viết lại như sau
L xx xx xx xx xx
3.3.3 Động năng Động năng của hệ gồm hai thành phần: động năng của dầm (K e B ) và động năng của vật nặng M (K e M )
Với v x u 0 , v z w 0 , thay vào (3.14) và thực hiện tích phân, ta có biểu thức tính động năng của dầm được viết lại như sau
Động năng của khối lượng M
Theo Simsek 2010 [31], công của khối lượng M tại thời điểm t bất kỳ là
Trong đó: g là gia tốc của trọng trường, t 1 là thời điểm vật đi vào dầm, t 2 là thời điểm vật đi ra khỏi dầm và x M là vị trí của vật nặng M, được xác định như sau
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO
Các hàm chuyển vị u w 0 , 0 , được xấp xỉ bằng các hàm đa thức x 0 , x 1 , , x N
Phương trình chuyển động được thiết lập dựa trên nguyên lý năng lượng với phiếm hàm năng lượng là
Trong đó: K e B , K e M là động năng của hệ; U là thế năng biến dạng đàn hồi của hệ và
Wlà công của ngoại lực đã được trình bày ở phần trước; m là nhân tử Lagrange và
, f m x t là phương trình ràng buộc với những điều kiện biên được cho bởi bảng 3.1
Bảng 3.1 Phương trình ràng buộc bởi các điều kiện khác nhau
Dầm đơn giản Dầm 2 đầu gối cố định Dầm 2 đầu ngàm
tại x = -L/2, L/2 Áp dụng điều kiện biên là dầm đơn giản, phương trình Lagrange của bài toán được viết như sau
Thay phương trình (3.12), (3.15) và (3.17) vào phương trình (3.22), sử dụng phương trình Lagrange (3.23), phương trình động lực học của hệ được viết như sau:
NxN NxN NxN NxN Nx
NxN NxN NxN NxN Nx
NxN NxN NxN Nx xN xN xN x
NxN NxN NxN Nx xN xN xN
NxN NxN NxN NxN Nx
Dạng chi tiết các ma trận M ij và S trong phương trình (3.25) được viết như sau:
Dạng chi tiết của ma trận cản H trong phương trình (3.25) được viết như sau
Dạng chi tiết các ma trận K ij L và R trong phương trình (3.25) được viết như sau:
Dạng chi tiết của ma trận K ij S trong phương trình (3.25) được viết như sau:
Dạng chi tiết của ma trận vectơ tải [F] trong phương trình (3.25) được viết như sau
Dạng thu gọn của phương trình (3.25) được viết như sau
Phương trình (3.32) là phương trình chủ đạo thu gọn của bài toán Trong đó
M , S là các ma trận khối lượng; H là ma trận cản; K L , K S , R là các trận độ cứng của hệ; F t là vectơ tải suy rộng được tạo ra bởi tải trọng là khối lượng M di động; q t A t B t C t t là tọa độ suy rộng phụ thuộc vào thời gian t
Trong trường hợp bài toán dao động tự do, tọa độ suy rộng của hệ được viết dưới dạng q t n q e n i t , khi đó F t 0 Phương trình (3.32) được viết lại như sau:
Với là tần số góc tự nhiên của dầm Các tần số góc tự nhiên của dầm là nghiệm của phương trình đặc trưng sau
Tần số không thứ nguyên cơ bản thứ i được xác định như sau
Trong công trình nghiên cứu này, phương pháp Newmark-β được sử dụng để giải phương trình động lực học do tính hữu dụng và dễ áp dụng Phương pháp này là sự lựa chọn tối ưu khi phương pháp giải tích cho phương trình (3.25) trở nên phức tạp Để minh họa quá trình giải quyết, sơ đồ khối của bài toán được cung cấp ở phần kết luận của chương.
Phương trình chuyển động tại thời điểm t được kí hiệu chỉ số là i và được viết lại dưới dạng như sau:
Phương trình số gia giữa 2 thời điểm i và i + 1 được viết như sau:
Trong đó các vectơ q i và F i lần lượt là vectơ số gia giữa 2 thời điểm i và i+1 của gia tốc và tải trọng ngoài Số gia của lực f S i trong phương trình trong phương trình (3.38) được biểu diễn theo ma trận độ cứng cát tuyến bởi phương trình sau:
Ma trận cát tuyến giữa hai thời điểm i và i+1 là K i S, còn số gia chuyển vị giữa hai thời điểm này là q i Ta có thể biểu diễn phương trình số gia cân bằng dưới dạng đơn giản là: K i S + q i = 0.
Giá trị vận tốc, chuyển vị tại cuối bước thời gian được xấp xỉ như sau:
Phương pháp Newmark được áp dụng để giả phương trình động học được viết dưới dạng số gia Từ phương trình (3.41), biểu thức số gia giữa 2 thời điểm i và i+1 của gia tốc ( q q i 1 q i )và của vận tốc ( q i q i 1 q i ) được viết như sau:
Trong đó các hệ số ai được cho như sau:
Ta thay phương trình (3.38) vào phương trình (3.34), kết quả của phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là số gia chuyển vị giữa hai thời điểm i và i+1, qcó dạng:
Với K eff i là độ cứng hiệu dụng và F eff i là số gia tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian được xác định như sau:
Trong phương trình (3.45) có độ cứng ma trận cát tuyến K i S chưa biết nhưng có thể xấp xỉ bằng độ cứng tiếp tuyến tại thời điểm i Giải hệ phương trình (3.44) thu được giá trị của số gia chuyển vị q i Thay vào phương trình (3.41) ta thu được vận tốc và gia tốc tại điểm cuối của bước thời gian Như vậy từ nghiệm biết tại thời điểm trước là i, nghiệm tại thời điểm i+1 được tìm
Thuật toán để giải phương trình động lực học bằng phương pháp Newmark – được mô tả như sau:
1 Khai báo các ma trận khối lượng M, ma trận độ cứng K, ma trận cản C của hệ 2 Mô tả quan hệ giữa lực và chuyển vị
3 Mô tả hàm tải trọng theo thời gian q q q 0 , 0 , 0 4 Khai báo điều kiện ban đầu
6 Rời rạc hóa vectơ tải trọng 7 Xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến tại i0,K 0 t
B Trong từng bước thời gian
1 Xác định ma trận độ cứng hiệu dụng theo (3.45) 2 Tính số gia của vectơ tải trọng hiêu dụng theo (3.46) 3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (3.44) để tìm số gia chuyển vị 4 Tìm các giá trị vận tốc và số gia tại thời điểm i+1 theo phương trình (3.41) 5 Xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến tại thời điểm i+1
C Lặp lại quá trình trên cho bước thời gian kế tiếp
KẾT LUẬN
Chương 3 đã thiết lập phương trình động lực học của dầm FGM một nhịp chịu khối lượng di động với vận tốc thay đổi, sử dụng nguyên lý Lagrange và dựa trên cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko và Reddy Phương pháp Newmark – được chọn để giải bài toán do tính đơn giản và dễ dàng trong lập trình tính toán Sơ đồ khối của bài toán dầm chịu tải trọng động có xét đến khối lượng của vật nặng M được trình bày ở hình 3.3 Một chương trình MATLAB được xây dựng trên sơ đồ khối trên này để khát sát sự ảnh hưởng của các thông số vật lý đến kết quả của bài toán được trình bày ở chương tiếp theo
Hình 3.3 Sơ đồ khối của bài toán dầm FGM chịu tải trọng động có xét khối lượng vật nặng
Tổng chuyển vị Tổng vận tốc
Tổng gia tốc Dữ liệu bài toán
Các ma trận Điều kiện ban đầu
Ma trận độ cứng hiệu dụng Số gia tải trọng hiệu dụng
VÍ DỤ SỐ
GIỚI THIỆU
Trong chương này, một số ví dụ số được đưa ra và so sánh với các nghiên cứu trước đó để kiểm chứng độ tin cậy của kết quả số cũng như chứng minh sự đúng đắn của phương pháp nghiên cứu trong Luận văn Những ví dụ số so sánh với các nghiên cứu trước đó bao gồm các nội dung sau:
Xác định tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm FGM một nhịp theo tỉ số L/h và với điều kiện biên khác nhau
Xác định chuyển vị giữa dầm theo thời gian theo lý thuyết của Timoshenko (TBT) và Reddy (RBT), chịu khối lượng di động với vận tốc hằng số, điều kiện biên là dầm đơn giản và tỉ số L/h thay đổi
Phần tiếp theo trong Luận văn tập trung vào phân tích sự ảnh hưởng của các thông số: khối lượng, vận tốc chuyển động, gia tốc của vật nặng M, quy luật phân phối vật liệu và tỉ số L/h đến ứng xử động của dầm FGM thông qua 12 ví dụ số.
KHẢO SÁT ĐỘ HỘI TỤ
Các hàm chuyển vị của dầm được xấp xỉ thông qua hàm đa thức bậc N Bậc của hàm đa thức có ý nghĩa quan trọng đến kết quả của bài toán Bậc của hàm đa thức xấp xỉ càng cao thì kết quả của bài toán càng nhanh hội tụ về kết quả chính xác Nhưng bậc của hàm đa thức cao thì quá trình tính toán sẽ phức tạp và tốn kém thời gian Vì vậy việc chọn bậc của hàm đa thức xấp xỉ là rất quan trọng
Các thông số của bài toán khảo sát giá trị N: E m = 210 GPa, m = 8166 kg/m 3 ,
m = 0.3, E c = 390 GPa, c = 3960 kg/m 3 , c = 0.3, L = 20 m, b = 0.5 m, h = 1 m, k = [0, 1] Điều kiện biên của bài toán là dầm đơn giản
Bảng 4.1 Tần số thứ nhất không thứ nguyên thứ nhất
Tần số không thứ nguyên thứ nhất
Bảng 4.1 cho thấy kết quả số hội tụ khi N = 8 Do đó trong Luận văn này, các ví dụ số chọn bậc của đa thức là N = 8 để khảo sát
4.2.2 Khảo sát ảnh hưởng số bước thời gian tính toán
Phương pháp Newmark - là một phương pháp tích phân trực tiếp thường được sử dụng trong các bài toán về phân tích bài toán động lực học kết cấu Ưu điểm của phương pháp này là tính đơn giản và dễ lập trình trong quá trình tính toán
Trong phương pháp Newmark, độ chính xác của nghiệm giải phụ thuộc rất lớn vào số bước thời gian tính toán (RL) Càng nhiều bước tính toán, kết quả càng hội tụ về giá trị chính xác hơn Do đó, xác định số bước thời gian tính toán hợp lý là yếu tố quan trọng trong phương pháp này, đảm bảo kết quả mô phỏng tin cậy.
cho kết quả hội tụ là cần thiết
Các thông số của bài toán khảo sát giá trị RL: E m = 210GPa, m = 8166kg/m 3 ,
m = 0.3, E c = 390GPa, c = 3960kg/m 3 , c = 0.3, m r = 0.1, b = 0.5m, k = 0, v = 20m/s, L /h = [5, 20] Điều kiện biên của bài toán là dầm đơn giản Chuẩn hóa so sánh chuyển vị với chuyển vị lớn nhất của bài toán tĩnh DPL 3 / 48E I m , với P M.g m g r I L A
Bảng 4.2 Chuyển vị không thứ nguyên lớn nhất của dầm
Bảng 4.2 cho thấy số bước thời gian tính toán RL = 250 thì chuyển vị không thứ nguyên của dầm hội tụ Thông qua ví dụ số trên, Luận văn này chọn RL = 250 để khảo sát các ví dụ số tiếp theo.
SO SÁNH VỚI CÁC NGHIÊN CỨU TRƯỚC
Để chứng minh độ tin cậy của kết quả trong Luận văn, một số ví dụ số được đưa ra và so sánh với các nghiên cứu trước đó để kiểm chứng độ tin cậy và đúng đắn của phương pháp nghiên cứu trong Luận văn Một số kết quả của bài toán xác định tần số không thứ nguyên của dầm với các điều kiện biên khác nhau và theo các tỷ lệ L/h khác nhau được so sánh với các nghiên cứu trước đó của Sina (2009) [26], Simsek (2010) [29], Pradhan - Chakraverty (2014) [21], được thể hiện từ bảng 4.3 và bảng 4.4 Kết quả của bài toán xác định chuyển vị của dầm trên miền thời gian trong Luận văn được so sánh với nghiên cứu của Stanisic - Hardin [22] được thể hiện cụ thể trong bảng 4.5
4.3.1 Bài toán xác định tần số dao động
Những tần số không thứ nguyên của dầm FGM một nhịp thay đổi theo hệ số L/h và điều kiện biên sử dụng: dầm tựa đơn (SS) và dầm hai đầu ngàm (CC) Các thông số vật liệu được sử dụng bao gồm: E c = 70GPa, c = 2700kg/m 3 , c = 0,23.
Bảng 4.3 Tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm theo tỉ số L/h với k = 0.3
Sai số lớn nhất TBT (LV) 0.2% 0.7%
Sai số lớn nhất TBT (LV) 1.0% 0.2%
Bảng 4.4 Tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm theo tỉ số L/h với k = 0
Bảng 4.3 và bảng 4.4 thể hiện tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm phụ thuộc tỉ số L/h và điều kiện biên Kết quả của Luận văn được so sánh với các nghiên cứu trước đó và cho thấy sự phù hợp của kết quả
4.3.2 Bài toán xác định chuyển vị
Ví dụ 2 : Khảo sát chuyển vị giữa dầm theo thời gian theo TBT và RBT, chịu khối lượng di động với vận tốc hằng số, điều kiện biên của bài toán là dầm đơn giản Các thông số của bài toán: E m = 210GPa, m = 8166kg/m 3 , m = 0.3,
E c = 390GPa, c = 3960 kg/m 3 , c = 0.3, b = 0.5m, h = 1m, L = 20m, k = 0, v M = 25m/s Chuẩn hóa so sánh chuyển vị với chuyển vị lớn nhất của bài toán tĩnh
Bảng 4.5 So sánh chuyển vị lớn nhất giữa dầm theo lý thuyết dầm: TBT và RBT với điều kiện biên là dầm đơn giản max(Wo/D) m r 0.1 0.25
Hình 4.1 Chuyển vị không thứ nguyên tại giữa dầm theo TBT và RBT với m r thay đổi
Kết quả trên cho thấy sự phù hợp của Luận văn và nghiên cứu trước đó của Stanisic - Hardin [22] Trong đó, nghiên cứu của Stanisic - Hardin [22] đưa ra lời giải của bài toán trên bằng một chuỗi Fourier
Thông qua các ví dụ số được thể hiện trong bảng 4.3 - 4.5, có thể kết luận rằng kết quả số trong Luận văn này là đáng tin cậy Hay nói cách khác, các ma trận khối lượng và các ma trận độ cứng của dầm được thiết lập trong Luận văn này là đúng và có thể áp dụng cho các khảo sát khác
KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CÁC THÔNG SỐ TRONG BÀI TOÁN
Ví dụ 1 minh họa khảo sát tần số riêng không thứ nguyên của dầm với các điều kiện biên khác nhau, bao gồm dầm đơn giản (SS) và dầm hai đầu ngàm (CC) Các thông số vật liệu được sử dụng là: E = 210GPa, ρ = 8166kg/m^3, ν = 0,3 Hệ số phân phối vật liệu k đóng vai trò quan trọng trong phép tính tần số riêng.
Bảng 4.6 Khảo sát tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm theo TBT và RBT với các điều kiện biên khác nhau, tỉ số L/h = 5
Bảng 4.7 Khảo sát tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm theo TBT và RBT với các điều kiện biên khác nhau, tỉ số L/h = 20
Hình 4.2 Tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm theo hệ số phân bố vật liệu k và tỉ số L/h thay đổi
Hình 4.2 cho thấy tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm giảm khi k tăng
Khi tỉ lệ L/h = 5, tần số của dầm theo 2 lý thuyết dầm có sai số Khi tỉ lệ L/h = 20, tần số của dầm theo 2 lý thuyết dầm cho kết quả như nhau
Ví dụ 2 : Khảo sát tần số riêng không thứ nguyên của dầm với các điều kiện biên khác nhau: dầm đơn giản (SS), dầm hai đầu ngàm (CC) theo tỉ số L/h
Các thông số của bài toán: E m = 210GPa, m = 8166kg/m 3 , m = 0.3, E c = 390GPa,
Bảng 4.8 Khảo sát tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm theo TBT và RBT với các điều kiện biên khác nhau, hệ số phân phối vật liệu k = [0, 1]
Hình 4.3 Tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm theo tỉ số L/h và hệ số phân phối vật liệu k thay đổi
Hình 4.3 cho thấy rằng khi tỉ số L/h tăng thì tần số không thứ nguyên của dầm tăng Tần số không thứ nguyên của dầm tăng nhanh khi tỉ số 5 L/h20 Khi tỉ số
L/h > 20, ảnh hưởng của tỉ số L/h đến tần số của dầm là không đáng kể
4.4.2 Ảnh hưởng của khối lượng
Ví dụ 3 : Khảo sát tần số riêng không thứ nguyên thứ nhất của dầm khi vật nặng M tại vị trí giữa dầm, theo tỉ số khối lượng giữa vật nặng và dầm (m r ) với các điều kiện biên khác nhau: dầm đơn giản (SS), dầm hai đầu ngàm (CC) Các thông số của bài toán: E m = 210GPa, m = 8166kg/m 3 , m = 0.3, E c = 390GPa,
Dầm đơn giản Dầm 2 đầu ngàm
Bảng 4.9 Khảo sát tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm khi vật nặng M tại vị trí giữa dầm theo m r với các điều kiện biên khác nhau
Hình 4.4 Tần số không thứ nguyên thứ nhất khi M tại giữa dầm theo các điều kiện biên khác nhau và tỉ số L/h thay đổi
Hình 4.4 là biểu diễn trực quan của bảng 4.9 Hình 4.4 cho thấy khi khối lượng vật nặng tăng lên thì tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm sẽ giảm Điều này
Tần số của hệ khối lò xo phụ thuộc vào khối lượng vật nặng và tỉ số chiều dài trên độ cao của dầm Khối lượng tăng thì tần số giảm, trong khi tỉ số L/h của dầm ảnh hưởng trực tiếp đến tần số không thứ nguyên của hệ Vì vậy, khi thêm vật nặng vào hệ lò xo sẽ làm tăng khối lượng và giảm tần số, trong khi không ảnh hưởng đến tỉ số L/h, nên tần số mới của hệ sẽ nhỏ hơn tần số ban đầu.
Ví dụ 4 : Khảo sát chuyển vị không thứ nguyên giữa dầm của dầm trong 2 trường hợp: chịu khối lượng M di động (moving mass) và chịu lực P di động (moving load) theo thời gian Các thông số của bài toán: E m = 210GPa,
L = 20 m, k = 0.1, vM = 25 m/s, m r = [0.25, 0.5, 1] Điều kiện biên của bài toán là dầm đơn giản Chuẩn hóa so sánh chuyển vị với chuyển vị lớn nhất của bài toán tĩnh
Bảng 4.10 Chuyển vị không thứ nguyên lớn nhất của dầm theo m r max(Wo/D) ĐKB m r 0.25 0.5 1
Khối lượng RBT Khối lượng TBT Lực RBT
Khối lượng RBT Khối lượng TBT Lực RBT Lực TBT
Hình 4.5 Chuyển vị không thứ nguyên giữa dầm theo thời gian với m r thay đổi.
Hình 4.5 mô tả ứng xử động của dầm FGM theo thời gian trong 2 trường hợp: chịu tải trọng di động (moving load) và khối lượng di động (moving mass) Khi khối lượng vật nặng nhỏ (m r = 0.25) thì chuyển vị lớn nhất của dầm của trong 2 trường hợp là gần bằng nhau Điều này chứng tỏ khối lượng vật nặng M ảnh hưởng không đáng kể đến chuyển vị của dầm Nhưng khi khối lượng vật nặng lớn (m r = 1) thì chuyển vị lớn nhất của dầm trong trường hợp moving mass là lớn hơn hẳn trường hợp moving load (khoảng 1.2 lần) Điều này cho thấy rằng khi khối lượng vật nặng đủ lớn thì ảnh hưởng của khối lượng đến kết quả của bài toán là rất lớn
Thông qua ví dụ số này, ta có thể rút ra kết luận sau Thông số khối lượng vật nặng cần phải được xem xét kỹ trong bài toán động Ngoài ra, hình 4.5 cũng cho thấy chuyển vị không thứ nguyên của dầm theo 2 lý thuyết dầm TBT và RBT gần như nhau
Ví dụ 5 : Khảo sát ứng suất pháp không thứ nguyên giữa dầm trong 2 trường hợp: khi khối lượng M và lực P tại vị trí giữa dầm Các thông số của bài toán: E m = 210GPa, m = 8166kg/m 3 , m = 0.3, E c = 390GPa, c = 3960kg/m 3 ,
c = 0.3, b = 0.5m, h = 1m, L = 20m, m r = 0.5, v M = 25 m/s Điều kiện biên của bài toán là dầm đơn giản Chuẩn hóa so sánh ứng suất với ứng suất của bài toán tĩnh
Khối lượng RBT Khối lượng TBT Lực RBT Lực TBT
Hình 4.6 Ứng suất không thứ nguyên giữa dầm khi tải trọng tại vị trí giữa dầm theo m r và tỉ số L/h thay đổi
Hình 4.6 thể hiện ứng suất pháp không thứ nguyên theo chiều cao tiết diện khi
M tại vị trí giữa dầm Ứng suất pháp không thứ nguyên trong trường hợp khối lượng M lớn hơn trường hợp lực P Khi vật liệu đồng nhất (Full Metal và Full Ceramic) thì ứng suất pháp không thứ nguyên phân bố tuyến tính theo chiều cao tiết diện Trong trường hợp vật liệu đồng nhất thì trục trung hòa của tiết diện trùng với trục dầm (z = 0) Khi vật liệu không đồng nhất thì trục trung hòa sẽ thay đổi và phụ thuộc vào quy luật hệ số mũ k của dầm FGM Như vậy để thiên về an toàn cần đưa thêm khối lượng ảnh hưởng của khối lượng vào bài toán thực tế
4.4.3 Ảnh hưởng của khối lượng và vận tốc
Ví dụ 6 : Khảo sát chuyển vị không thứ nguyên giữa dầm của dầm trong 2 trường hợp: khối lượng M di động (moving mass) và lực P di chuyển (moving load) với vận tốc thay đổi từ 10 m/s đến 100 m/s Các thông số của bài toán:
E m = 210GPa, m = 8166kg/m 3 , m = 0.3, E c = 390GPa, c = 3960kg/m 3 , c = 0.3, b = 0.5m, h = 1m, k = 0.1, m r = 0.25, L/h = [5, 10, 20] Điều kiện biên của bài toán là dầm đơn giản Chuẩn hóa so sánh chuyển vị với chuyển vị lớn nhất của bài toán tĩnh
Bảng 4.11 Chuyển vị không thứ nguyên lớn nhất của dầm theo vận tốc và tỉ số L/h max(Wo/D)
Hình 4.7 Chuyển vị không thứ nguyên lớn nhất giữa dầm theo vận tốc với tỉ số L/h thay đổi
Hình 4.7 cho thấy ảnh hưởng của khối lượng và vận tốc của tải trọng động đến chuyển vị lớn nhất không thứ nguyên của dầm Khi vận tốc < 50 m/s, chuyển vị lớn nhất không thứ nguyên của dầm trong hai trường hợp khối lượng di động (moving mass) và lực di chuyển (moving load) gần như nhau Khi vận tốc 50 m/s, chuyển vị lớn nhất không thứ nguyên của dầm có sự khác biệt rõ ràng giữa trường hợp khối lượng di động (moving mass) và tải trọng di động (moving load) Chuyển vị không thứ nguyên lớn nhất của dầm trong trường hợp khối lượng di động lớn hơn nhiều so với trường hợp tải trọng di động Điều này cho thấy rằng khối lượng và vận tốc của tải trọng động có ý nghĩa quan trọng đến kết quả của bài toán
4.4.4 Ảnh hưởng của vận tốc
Ví dụ 7 : Khảo sát chuyển vị không thứ nguyên lớn nhất giữa dầm trong trường hợp khối lượng M chuyển động (moving mass) khi vận tốc thay đổi v M = [10, 20, 50, 75,100] m/s Các thông số của bài toán: E m = 210GPa, m = 8166kg/m 3 , m = 0.3,
E c = 390GPa, c = 3960kg/m 3 , c = 0.3, b = 0.5m, k = 0.5, L/h = [5, 10, 20], m r = [0.25, 0.5, 1] Điều kiện biên của bài toán là dầm đơn giản Chuẩn hóa so sánh chuyển vị với chuyển vị lớn nhất của bài toán tĩnh
Bảng 4.12 Chuyển vị không thứ nguyên lớn nhất của dầm theo vận tốc và tỉ số L/h max(Wo/D)
Hình 4.8 Chuyển vị không thứ nguyên lớn nhất giữa dầm theo vận tốc và mr với tỉ số L/h thay đổi
Hình 4.8 thể hiện sự ảnh hưởng của khối lượng, vận tốc của vật nặng và tỉ số
KẾT LUẬN
Kết quả số của Luận văn được so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước đó và cho thấy sự phù hợp và đúng đắn của kết quả Những kết quả đó được thể hiện chi tiết trong chương này với những bài toán cụ thể được tóm tắt như sau:
Bài toán phân tích dao động tự do: cho thấy ảnh hưởng của tỉ số giữa chiều dài và chiều cao tiết diện, tỉ số khối lượng mr, hệ số phân phối vật liệu k, điều kiện biên (dầm đơn giản, dầm 2 gối cố định, dầm 2 đầu ngàm) đến tần số dao động không thứ nguyên của dầm
Bài toán phân tích ứng xử động chứng tỏ sự tác động của khối lượng, tốc độ, gia tốc của vật nặng M, hệ số phân phối vật liệu, tỷ số chiều dài và chiều cao tiết diện đến hành vi của dầm như chuyển vị và ứng suất.
Thông qua các kết quả đã được, một số kết luận được rút ra như sau:
Các hàm chuyển vị của dầm được xấp xỉ bằng các hàm đa thức bậc N = 8 giúp cho việc thiết lập phương trình chủ đạo và lập trình tính toán đơn giản hơn Trong Luận văn này số bước thời gian tính toán trong phương pháp Newmrak - (RL = 250) cho kết quả hội tụ Tuy còn sai số nhưng vì tính đơn giản, dễ lập trình và tiết kiệm thời gian trong quá trình tính toán, phương pháp Newmark - được lựa chọn sử dụng trong Luận văn này
Trong bài toán tần số dao động của dầm, khi tỉ số L/h > 20 thì có thể bỏ qua ảnh hưởng của tỉ số L/h đến tần số của dầm
Trong bài toán ứng xử động của dầm, có thể bỏ qua ảnh hưởng của khối lượng vật nặng M khi tỉ số khối lượng m r 0.25 và vận tốc của vật nặng
50 m/s Trường hợp tải trọng di chuyển với gia tốc khác 0, chuyển vị giữa dầm tại thời điểm vật ra khỏi dầm bằng khoảng 20% chuyển vị lớn nhất của dầm (dầm tựa đơn) và khoảng 10% chuyển vị lớn nhất của dầm (dầm 2 đầu ngàm)
Ứng xử động của dầm khi tính toán theo 2 lý thuyết TBT và RBT đều cho kết quả tốt.
