Ứng xử của đất và cơ học đất tới hạn - Trần Quang Hộ.pdf

Ứng xử của đất và cơ học đất tới hạn - Trần Quang Hộ.pdfỨng xử của đất và cơ học đất tới hạn - Trần Quang Hộ.pdfỨng xử của đất và cơ học đất tới hạn - Trần Quang Hộ.pdf

UNG SUAT VA BIEN DANG

Hình 1.9 Các ueclơ ứng suất trên ba mặt thẳng góc nhau tại một điểm Phương trình (1.4) và (1.5) diễn tả vectơ ứng suất 7' trên mặt n phẳng bất kỳ, có vecto pháp tuyến đi qua một điểm theo các vectd ứng suất T iT va 1 Các vectơ này tác dụng trên các mặt thắng góc với các trục #\, *2 va x3 cũng tại điểm đó Cho nên chỉ cần biết các vectơ ứng suất T + và T thì hoàn toàn có thể xác định trạng thái ứng suất tại một điểm

Hình 1.3 Vectơ ứng suất tác dụng lên mặt phẳng bất kỳ n

0à trên các mặt phẳng tọa độ

DI nhiên là vectơ ứng suất T không nhất thiết phải thắng góc với mặt phẳng nó tác dụng Cho nên trong thực tế vectd ứng suất + có thể tách thành hai thành phần, một thành phần thẳng góc với mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n, được gọi là ứng suất pháp và một thành phân song song với mặt phẳng này gọi là ứng suất cắt

Các vectơ ứng suất trên ba mặt phẳng thẳng góc với các truc x1,

#¿ và xa cũng có thể tách thành ba thành phần theo phương của ba trục Chẳng hạn vectơ + trên mặt phẳng thẳng góc với trục +¡ sẽ có ba thành phần ứng suất là ứng suất phỏp ơi: và cỏc ứng suất tiếp ỉz 613 lan lugt có phương của các trục zạ, x; và z¿ như hình 1.4 Vì vậy chúng ta có:

Tương tự đối với các mặt thẳng góc với các trục x¿ và xs:

T = oye; i (1.10) trong d6 o, la thanh phần ở cột j của vectơ ứng suất + tác dụng trên phân tố diện tích có vectơ pháp tuyến cùng phương với trục x; (H.1.4)

Chớn thành phần ứng suất ứ¿ cần để xỏc định ba vectơ ứng suất + > Ẫ và T được gọi là các thành phần của tensơ ứng suất như sau: ỉạị ỉ1 Og

=|Gai ỉạ¿ Ơay (119) Đại Fag ag

9 1 h3ch3 thậm trong d6 641, O22, ửs¿ là cỏc thành phần ứng suất phỏp và oj, oo 1a các thành phần ứng suất cắt.

UNG SUAT VÀ BIEN DANG Xp 13

Hình 1.4 Các thành phân của một uectơ Ứng suất tương úng uới mặt tọa độ thẳng góc uới xị Các thành phân của tensơ ứng suất cũng có thể viết theo dạng Karman yx Sy Tự (1.12)

Ty Sez trong đú ứ là cỏc thành phần ứng suất phỏp và + là cỏc thành phần ứng suất cắt Ngoài ra, người ta cũng dùng ký hiệu o., Oy, Ox thay cho oy để chỉ các thành phần của tensơ ứng suất trong các phương trình (1.11) và (1.12) Vậy tensơ ứng suất có thể viết đưới các dạng sau đây:

Sạc F12 M18 Sx Tay Tee Sx Uy Taz Gy =|G21 S22 Gag] = ity Gy Ty] =] Tye Fy Tự (1.138)

S31 Ơạa Ogg Tax Tay OS Vax Ty 2

Thế phương trình (1.10) vào (1.4) thì các thành phần của vectơ ứng suất ? có thể viết lại như sau:

Phương trình (1.14) diễn tả các thành phân của vectơ ứng suất tác dụng lên mặt phẳng bất kỳ có vectơ pháp tuyến là œ tại một điểm theo các thành phân của tensơ ứng suất tại điểm đó ¡ ị :

Từ điểu kiện cân bằng moment cho phân tế xét sẽ cho thấy tensơ ứng suất ơự có tính đối xứng, có nghĩa là ơy = ơ„ Vậy phương trình (1.14) có thể viết lại như sau:

T, = 04, (1.15) trong đó ơy được xác định bởi phương trình (1.13)

Phương trình (1.15) diễn tả các thành phần của vectơ ứng suất tác dụng lên mặt phẳng mœ tại một điểm theo các thành phần của tensơ ứng suất`ơy tại điểm đó cho nên T; ứng với bất kỳ vectơ n; nào cũng có thể xác định được từ chín số hạng của tensơ ứng suất ơụ,

1.1.2 Biểu thức ứng suất theo Cauchy

Các phương trình (1.14) và (1.15) trong phần trước là những dạng khác của biểu thức ứng suất theo Cauchy Tuy nhiên, trong thực tế người ta mong muốn diễn tả các thành phần ứng suất pháp ơ, và ứng suất cắt #„ của các vectơ 7 tại một điểm trên mặt phẳng œ bất kỳ theo các thành phẩn của tensơ ứng suất ơụ tại điểm đó Thành phần ứng suất pháp được xác định như sau:

Thế T từ phương trình (1.15) vào (1.16) chúng ta có:

Thành phần ứng suất cắt được xác định như sau:

1.1.8 Các ứng suất chính và các bất biến của tensơ ứng suất Trong trường hợp phương của vectơ ứng suất T+ có cùng phương với vectơ pháp tuyến don vin tai một điểm nào đó, có nghĩa là T= on va S, = 0 (không có ứng suất cắt) Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến đơn vị n được gọi là mặt phẳng chính tại điếm đó và phương pháp tuyến được gọi là phương chớnh và ứ được gọi là ứng suất chớnh Tại một điểm bất kỳ thuộc khối đất luôn luôn tổn tại ít nhất ba phương ứng suất chính Từ định nghĩa chúng ta có được:

UNG SUAT VA BIEN DANG 15

T =on n (1.19) hoặc viết dưới đạng các thành phần:

Thay thế + từ (1.15) vào phương trình trên sẽ dẫn đến:

Trién khai ba phương trình trên sẽ có ba phương trình sau đây:

Oaj + Ơagflạ + Ơaaạ = GHạ (1.22) ạt + ƠapDy + GạgHạ = Ơ Hạ hoặc triển khai theo ký hiệu của Karman sẽ có dạng như sau:

(0, ~ ON, + Uylty + 57, = 0 : Tyglty + (Gy —O)Ny + TN, = 0 (1.23) Tally + Teylly + (5, — đ)n, = Ô

Ba phương trình trên là ba phương trình đại số tuyến tính thuần nhất đối với n„, n„ và n„ Để hệ phương trình đại số tuyến tính ở trên luôn luôn tên tại các nghiệm không đặc biệt thì định thức của các hệ số phải bằng zero: Ơy~ỉ Tạ Tự

Va từ điều kiện này có thể xác định giá trị của ơ Một cách tổng quát phương trình (1.24) có ba nghiệm ơi, 02, 63 Vì phương trình cơ bản là Tụ =ơn, cho nên ba giá trị của ơ là ba giá trị của cường độ của ứng suất pháp trên mặt có ứng suất cắt bằng zero Viết một cách ngắn gọn thì phương trình (1.28) và (1.24) sẽ có các dạng như sau:

Khai triển phương trình (1.24) sẽ dẫn đến phương trình đặc trưng sau day: đồ - 1,07 + I,0- Iz =0 (1.27) trong đú ẽĂ = tổng cỏc số hạng trờn đường chộo của cụ

Hoặc: 1, = 04, + Ogg + Ogg = 5, +Ơy +Gy ơ (1.28) I, = tổng các định thức con trên đường chéo của ơ,

S32 ga] |Gai 883] [Fer S22 Ơ v + ` Cy x iT Tự ỉ, x +, Tay

= + + (1.29) ty Fz] [Tex Fel [ye Fy

Theo tớch chất của phương trỡnh bậc ba thỡ cỏc he số ẽ, lạ và lạ trong phương trình (1.27) có mối liên hệ với ba nghiệm ơi, ơ; và o3 của nó như sau: ẽị =Ơi +Ơa +Ơg

Vì vậy phương trình (1.27) phái luôn luôn giống nhau đù rút ra từ hệ toạ độ x, y, z hay hệ tọa độ theo phương ứng suất chính 1, 2, 3

Hay núi một cỏch khỏc là Jị, 7; và ù¿ là cỏc bất biến của tensơ ứng suất, có nghĩa là giá trị của nó luôn luôn không đổi đù hệ trục tọa độ xoay như thế nào

1.1⁄4 Các ứng suất cắt chính và các ứng suất cắt tối đa Để diễn tả trạng thái ứng suất tại một điểm nào đó, chúng ta hãy chọn các trục ứng suất chính 1, 3, 3 để tham khảo thay vì dùng các hệ trục thuộc trường hợp tổng quát #¡, xa, và za Chúng ta cần lưu ý rằng trên các mặt phẳng của hệ tọa độ ứng suất chính 1, 2 và 3 các _ ứng suất cắt đều bằng zero (H.1.ð) Như vậy thì cường độ ứng suất tác dụng trên mặt phẳng bất kỳ tại một điểm nào đó có thể xác định theo phương trình:

UNG SUAT VA BIEN DANG 1

Phương trình (1.16) cho phép xác định thành phần ứng suất pháp:

Từ phuong trinh (1.18) cugng d6 cia thanh phan tng suất cắt được xác định như sau: n 2

S82 = (7) ~GỆ =o†n? + ging + 08? — (on? + Ggnd + 09ng)” (1.38) Đối với vectơ pháp tuyến, đơn vị œ sẽ c6 diéu kién sau day: ne +n + nạ =1 (1.34)

Từ phương trỡnh (1.32) và (1.34) cú thể tinh lược được ứs và ơ„ lỳc này là hàm số theo mị và nạ Cho đạo hàm @o,/dn, = 0 va 0,/Anz = 0, chỳng ta cú thể chứng minh được giỏ trị dừng của ơ„ là ơứ; Tương tự, chỳng ta cũng cú thể chứng mỡnh ơ; và ứ; là cỏc giỏ trị đừng của ứng suất pháp on

Tô 1, T2, T)= lại, ơn, dạn tạn;

Hình 1.ã Các thành phân ứng suất trên mặt phẳng bất ky trong hệ trục ứng suất chính

Tương tự như ứng suất pháp, chúng ta có thể xác định các giá trị đừng của ứng suất cắt S„ Cỏc giỏ trị dừng 1⁄2 lơp-ơal, 1⁄4 | ứa-ơa è, ⁄2 | ơi-oa | của S„ được gọi là ứng suất cắt chính vì chúng xảy ra trên mặt phẳng phân giác giữa các mặt phẳng chính Cần lưu ý, các mặt phẳng ứng suất cắt chính không phải là các mặt phẳng cắt thuần túy vì ứng suất pháp trên mặt phẳng cắt chính có thể xác định từ phương trình (1.31) và các giá trị tương ứng mạ, nạ và nạ Giá trị lớn nhất của các ứng suất cắt, chính được gọi là ứng suất cắt cực đại, tua, bằng 1⁄2 |ơi-os | đối với trường hợp ơi > 62> oa

1.1 Tensơ ứng suất lệch và các bất biến của nó Để thuận lợi cho việc mô hình hóa vật liệu, người ta phân tensơ ứng suất làm hai phần Một phần được gọi là tensơ ứng suất cầu hay là tensơ ứng suất thủy tĩnh Một phần khác được gọi là tensơ ứng suất lệch Tensơ ứng suất cầu là tensơ có các số hạng 1a pdy, trong đó p là ứng suất trung bình và được xác định như sau:

Từ phương trình (1.35) dễ dàng nhận ra rằng, giá trị của p giống nhau đối với tất cả các phương của hệ trục, vì vậy nó được gọi là ứng suất cầu hay ứng suất thủy tĩnh Tensơ ứng suất lệch sự được xác định bằng hiệu số giữa tensơ trạng thái ứng suất với tensơ ứng suất câu, cho nên: gụ = sự + Đầy (1.36) ay = Oy — pd; (1.37)

Phương trình (1.37) cho phép xác định tenaơ ứng suất lệch sự

Các thành phần của tensơ ứng suất này được xác định như sau:

8# S12 843 (mi —P) he S13 sự =|Smr S22 So3])=] On (Đz-P) 2 (1.38)

Sại 839 833 S31 a2 (653 - P) hoặc trình bày theo Karman:

Sự =|S„ Sy Bye) =] tye (Gy-P) Tye (1.39)

Luu Ơ rAng, 8; = 0 va sy = oj vội i ôj cho phuong trinh (1.37)

Néu tenso ing sudt duge trừ đi một ứng suất bằng hằng số theo mọi hướng thì các phương chính không thay đổi Cho nên các phương

ỨNG SUẤT VA BIEN DANG 19

chính sẽ như nhau cho cả tensơ ứng suất lệch cũng như tensơ ứng suất ban đầu Nếu viết theo ứng suất chính thì tensơ ứng suất lệch sẽ như sau:

Bằng cách tương tự như cách rút phương trình đặc trưng (1.27) chúng ta có thể có thể tìm được những bất biến của tensơ ứng suất lệch sự Tương tự cháng ta có:

# d,s? -J,s-J, =0 (1.43) trong d6 ¢J;, Jo, và Js 1A cdc bất biến của tensơ ứng suất lệch Các bất biến của tensơ ứng suất lệch có thể diễn tả đưới các dạng khác nhau theo các thành phần của tensơ ứng suất lệch sự hoặc theo các giá trị chính s, s; và s;; hoặc một cách khác là theo các thành phân của tensơ ứng suất dụ hoặc theo các giá trị chính ơi, ơ; và ơa Vì vậy chúng ta có:

1 1 dy = 38505 “| Tfx Sy Te |= set +98 +88) = 518,83 (1.46) zx Tey Sz

Có thể chứng minh được rằng, các bất biến của tensơ ứng suất léch J,, Jo va Jy c6 lién quan véi cde bất biến của tensơ ứng suất ơy thông qua các biểu thức sau đây:

Giờ đây chúng ta có thể nhận ra sự tiện ích của việc sử dụng tensơ ứng suất lệch Bất biến thứ nhất dJị luôn luôn bằng không Điều này dễ dàng nhận thấy bằng cách lấy tổng các số hạng trên đường chéo của tensơ ứng suất lệch trong (1.38) hoặc (1.40) Điều kiện cần và đủ để một tensơ ứng suất ơ¿ ở trạng thái cắt ˆ thuần túy là ơ¿ = 0 bay bất biến thứ nhất J; = 0 Vì vậy tensơ ứng suất lệch s„ là tensơ trạng thái ứng suất cắt thuần túy

1.1.6 Các ứng suất bát điện

Hình 1.6 Các mặt của khối bát diện trong hệ trục ứng suốt chính

UNG SUAT VA BIEN DANG 21

Mặt bát diện là một mặt phẳng có vectơ pháp tuyến trên mặt đó tạo với các trục ứng suất chính thành các góc bằng nhau Như vậy, những mặt phẳng cú vectơ phỏp tuyến đơn vị ứ = ứụ, nạ nạ) = |1//8 è(1, 1, 1) trong hệ thống tọa độ chính được gọi là các mặt phẳng bát diện, hay nói một cách khác là các mặt phẳng của hình bát điện đều Chú ý rằng, hình bát điện đều có tám mặt như hình 1.6 với OA = OB = OC = OA' = OB' = OC’

Nếu diễn tả trạng thái ứng suất trong hệ trục ứng suất chính thì tensơ ứng suất sẽ được mô tả như sau: ứ 0 0 ứy =|D ơy 0 (148)

Thanh phan pháp tuyến của vectơ ứng suất tại điểm O trên một mặt phẳng bất kỳ có vectơ pháp tuyến m có thể xác định được bằng công thức Cauchy theo phương trình (1.17):

Ga = 0y"; Ơa = Ơi + Gsftan¿ + Gynana (1.49) Cho nên ứng suất pháp trên một mặt bát diện sẽ như sau:

Sot = ORF + On} + GgnZ = 265 +02 +63) = sh (1.50)

Chú ý rằng, cường độ của ứng suất ơ„„ trên tất cả tám mặt của khối bát điện là giống nhau và ơ„¿ chính là ứng suất pháp trung bình (hay là ứng suất thủy tĩnh) Ứng suất cắt trên các mặt của hình bát diện đều, rạ¿ có thể xác định theo công thức trong phương trình (1.18):

Dang phuong trinh (1.21) dé tinh (i) sẽ được:

Nếu viết biểu thức trên theo ứng suất cắt chính thì tạ có thể diễn tả như sau:

Xoct = sub + Hy + th) (1.54) trong d6 ty, ts Va tại là các ứng suất cắt chính, Biểu thức trên có thé viết lại như sau: eet = 20h +, +t? =, sử (1.55) trong đó ở; là bất biến thứ hai của tensơ ứng suất lệch Nếu trình bày theo các bất biến của ứng suất thì ứng suất cắt trên mặt bát diện có thể viết lại như sau: a Bu -81,}? (1.56)

` và nếu trình bày theo các ứng suất không phải là ứng suất chính thì biểu thức trên trở thành:

Biểu thức trên cho phép xác định ứng suất cắt trên mặt bát điện tại một điểm theo các thành phần ứng suất trong hệ tọa độ x, y, z bat ky

Cân chú ý rằng, cường độ của tạ„ trên tất cả tám mặt của hình bát điện đều bằng nhau

1.1.7 Không gian ứng suất Haigb-Westergaard

Mô tả trạng thái ứng suất tại một điểm bằng hình học rất hữu ích trong việc nghiên cứu lý thuyết dẻo và các tiêu chuẩn phá hoại đảo, Vì tensơ ứng suất ơ„ có sáu thành phần độc lập nhau chọ nên có thể xem sáu thành phân này là các tọa độ định vị trong không gian sáu chiêu Tuy nhiên, mô tả như vậy khó hình dung Một cách khác đơn giản hơn là chọn hệ tọa độ có ba trục là phương của ba ứng suất.

UNG SUAT VA BIEN DANG 23

chính ơy, o; và 63 để mô tả trạng thái ứng suất tại một điểm như tọa độ của một điểm trong không gian ứng suất ba chiều này Không gian ứng suất này được gọi là không gian ứng suất Haigh-Westergaard

Trong không gian ứng suất chính này, mỗi một điểm có tọa độ là ơi, ứ; và ứ¿ đại điện cho một trạng thỏi ứng suất

Hai trạng thái ứng suất bất kỳ tại một điểm P có các trục ứng suất chính khác nhau mà có cùng các giá trị ứng suất chính thì được diễn tả cùng một điểm trong không gian ứng suất ba chiều Điều này có nghĩa là loại không gian ứng suất này chủ yếu được dùng để mô tả trạng thái ứng suất bằng hình học mà không để cập đến phương của trạng thái ứng suất

Mặt ứng suất lậch ứ,+ ứa+ ơa= const P(G,, ơạ đu) p(S,9z,8) ves True thiy tinh o, = 6, = 03

% Hình 1.7 Không gian ứng suất Haigh-Westergoard

Xét một đường thẳng ON đi qua gốc tọa độ và tạo với các trục tọa độ thành những góc bằng nhau như hình 1.7 Mỗi điểm thuộc đường này đại điện cho một trạng thái ứng suất với ơi = ơa = ga Cho nên mỗi điểm trên đường này cũng tương ứng với một trạng thái ứng suất cầu hoặc trạng thái ứng suất thủy tĩnh (hydrostotic or spherical state of stress) với các ứng suất lệch, s; = (30i-oz-o/3 đêu bằng không Đường này được gọi là rực thủy tinh (hydrostatic axis) Mọi mặt phẳng thẳng góc vi truc ON duge goi là mớt phẳng lệch Mặt phẳng lệch có phương trình như sau:

6, +g +63 = V3% (1.58) trong đó là khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng lệch dọc theo ON Mặt phẳng lệch đi qua điểm,gốc tọa độ Ó có phương trình:

6, + 5g +03 = 0 (1.59) được gọi là mới phẳng 1

Xét một trạng thái bất kỳ tại một điểm cho trước với các thành phần ứng suất là ơi, ơ; và ơa Trạng thái ứng suất này được đại điện bởi điểm P (ơi, ơa, ơ;) trong không gian ứng suất chính (H.1.7) Vectơ ứng suất OP có thể phân chia thành hai vectơ, vectơ ON cing phuong với vectơ pháp tuyến don vi n = (13, 1⁄43, 1⁄43) và vectd NP thẳng góc với vectơ ƠN (tức là song song với mặt phẳng x) Vậy:

ON] = OP n=Cor000 Jere) hoặc: |oN| = Fo +02 +93) - = vẫp (1.61)

Vecta NP ` xác định như sau:

NP = OP -ON (1.62) nhung: OW =|ON|n =(,p,p) (1.68)

Cho nên thay từ (1.63) vào (1.62):

Sử dụng (1.37), phương trình trên có thể viết lại như sau:

Vậy chiều dài p của vectơ P sẽ như sau:

=|NP|= (sĩ + sẽ + sẽ)!!? = J2d, (1.66) hoặc với (1.55): p=|NP| = đồ (1.67)

Như vậy, các vectơ ON và NP lần lượt đại điện cho các thành phân ứng suất thủy tĩnh (põy) và các thành phần ứng suất lệch (sy) của tensơ trạng thái ứng suất dụ tại điểm P như hình 1.7.

UNG SUAT VA BIEN DANG 25

BIẾN DẠNG

1.2.1 Trạng thái biến dạng tại một điểm

Tương tự như trạng thái ứng suất tại một điểm, trạng thái biến dang tại một điểm được định nghĩa là tất cá mọi sự thay đổi chiều đài của thớ vật liệu đi qua điểm đó, cũng như tất cả mọi sự thay đổi của các góc giữa các cặp thớ vật liệu đi qua điểm này

Tuy nhiên, sự thay đổi chiều dài của bất kỳ thớ vật liệu nào đi qua một điểm và sự thay đổi góc giữa hai thớ bất kỳ đi qua điểm đó hoàn toàn có thể xác định một khi biết được sự thay đổi chiều đài cũng như góc giữa ba thớ vật liệu song song với các trục của một hệ tọa độ vuông góc đi qua điểm đó.

UNG SUAT VA BIEN DANG 27

Vị trí sau khi biển dạng

Vị trí ban đầu x 1 Hình 1.9 Vectơ chuyển vj tương đối của thở uật liu cé phuong n

Hình 1.9 trình bày một đoạn thẳng vô cùng bé OP tai điểm O của cố thể và có chiều dài bằng đơn vị ở trạng thái không cưỡng bức ban đầu Sau khi biến đạng, phân tố OP di chuyển đến vị trí mới ƠPP' Với một phân tố có chiều đài rất nhỏ và biến dang phẳng trong vùng lân cận điểm O cho nên phân tố mới Ở?P vẫn còn là đường thắng Chuyển vị tương đối giữa điểm P so với O sau khi biến dạng được biểu thị bằng vectơ 8, trong d6 vecto O’P” bing va song song với vectơ OP và chỉ số n chỉ phương của thớ phân tố trước khi biến đạng Bây giờ hãy xét các thớ vật liệu có chiều dài đơn vị theo phương của các trục tọa độ xì, X2 va x3 thi cdc vecto chuyển vị tương 1 2 đối tương ứng đối với các thớ này lần lượt được ký hiệu là 8', 8 và

Si 2 í a ổn và ất §', Chúng ta cũng có thể ký hiệu theo cách khác õ, 8 và ð' A Để tìm mối quan hệ giữa vecto chuyển vị tương đối §' đối với một thớ vật liệu bất kỳ có phương nm va các vectơ chuyển vị tương đối

8, § và # „ chúng ta hãy xét đến hình ảnh bài todn hai chiéu vi dé hình dung và việc mở rộng cho bài toán ba chiều không mấy khó khăn Trong hình 1.10, tại điểm O thớ phân tố m có chiều dài đơn vị trong mặt phẳng z¡-+z Hình chiếu của chiều dài thớ phân tố lên các trục xị và x¿ là mị và nại trong đó mị và nạ là cosin chỉ phương của vectơ ứ Vỡ vậy, theo hỡnh 1.10 và do biến dạng trong một miễn nhỏ xung quanh Ó được xem là đồng đều, chúng ta có:

Mở rộng cho trường hợp ba chiều chúng ta có:

Hinh 1.10 Céc vecto chuyén vi tương đối trong không gian hai chiều

Phương trình (1.75) tuong ty như (1.4) đối với các ứng suất diễn tả vectơ ứng suất T tại một điểm trờn mặt phẳng ứ bất kỳ theo cỏc ứng suất tại điểm đó trên ba mặt thẳng góc với các trục tọa độ Tuy nhiên, nó không giống như ứng suất vì trạng thái biến dạng hay biến dạng tương đối tại một điểm O không thể xác định được đẩy đủ khi chỉ biết ba vectơ chuyển vị tương đối ở, ể và Chúng ta cần phải tách riêng chuyển vị của vật rắn (bao gồm chuyển địch và xoay của cố thể), nếu có, ra khỏi các vectơ chuyển vị tương đối vì chuyển vị của vật rắn không xét đến trong quá trình phân tích biến đạng tương đối, Quá trình tách riêng cho trường hợp biến dạng nhỏ sẽ được trình bày ở phần sau

Những vectơ chuyển vị tương đối của ba thớ vật liệu theo phương ba trục tọa độ z¡, x; và +; có thể phân thành các thành phần theo phương ba trục tọa độ Chẳng hạn vectơ chuyển vị tương đối §' của thớ 1 vật liệu theo phương z; sẽ có ba thành phân cỷ,, Sỉ; và sịy theo ba phương của các trục tọa độ xạ, x; và xạ Vậy (1.75) có thể viết như sau:

UNG SUAT VÀ BIEN DANG 29

ỗ; = Eụn, n (1.76) trong đó chín đại lượng vô hướng cị, cần thiết để xác định ba vectơ o ` ve 1 2 3 ’ chuyển vị tương đối §', 5’ va ã' cấu tạo thành một tensơ chuyển vị tương đối Tensơ này hoàn toàn có thể xác định được vectơ chuyển vị

" tương đối Š' của thớ vật liệu m Tensơ này có thể mô tả như sau: Đo no cv Sy Bye Fig Ey uy Exe rele gt ot | alee og tụ =|Eai Ea; S23] = Fy, Fy lye (1.77) too og ,

Trong trường hợp tổng quát thì tensơ chuyển vị tương đối ¢; không đối xứng Đối với vật rắn chuyển động thì chiều dài nối giữa bai điểm sẽ không thay đổi, có nghĩa là chiều đài của đường phân tố OP trước lúc vật rắn dịch chuyển cũng bằng với chiều dài ỉ7” sau khi địch chuyển

Trên cơ sở này người ta có thể rút ra: ey = ey (1.78)

Biểu thức trên chứng tỏ rằng tensơ chuyển vị tương đối sị, của phương trình (1.77) là một tensơ phần đối xứng

Một tensơ bậc hai có thể tách thành tổng của một tensơ đối xứng và một tensơ phản đối xứng Cho nên tensơ zs¿ có thể tách thành một phần đối xứng và một phân phần đối xứng Phân đối xứng tượng trưng cho biến dạng thuân túy; phẩn phản đối xứng tượng trưng cho chuyển vị xoay Chúng ta có thể viết: sự = 5 60 +) +2 -_ (1.79) hay: Đụ = ey + Oy (1.80) trong dé: ` fy = 2ÿ +) (1.81) oO = Le, ~E) (1.82)

Triển khai tensơ ¢, và œ, chúng ta có: tì $2 + Bài) $y + mi) tụ =Í| $(E1ạ + Eạn) bo $ (€5g + 52) (1.83)

0 3(Ela —Eại) ‡(Eig — tại) sự =| ‡ (6i; - ey) 0 ‡ (Eạg - 2g) (1.84)

Tensơ đối xứng s„ được gọi là tensơ biến dạng và tensơ phản đối xứng œ được xem là tensơ xoay Nếu đem thế ¡ từ phương trình (1.80) vào phương trình (1.76), chúng ta có:

Hình 1.11 Các 0ectơ biến dụng uò xoay trong trường hợp hơi chiều

Số hạng thứ nhất của (1.85) tượng trưng cho biến dạng thuần túy còn số hạng thứ hai tượng trưng cho chuyển vị xoay của vật rắn

'Vectơ chuyển vị tương đối ứng với biến dạng thuần túy được gọi là vectơ biến dạng Vectơ biến dạng được ký hiệu là 3 vA xác định theo biểu thức sau: a bi =e yn; =e yn, (1.86)

UNG SUAT VA BIEN DANG 31

Vectơ chuyển vị tương đối tương ứng với chuyển vị xoay của vật thể được gọi là vectơ xoay Vectơ này được ký hiệu là 4 và được xác định như sau:

Trong trường hợp chỉ có biến đạng thuần túy: nol 2 ae ð =ỗm +ông tông (1.88)

Biểu thức trên cho ta xác định được vectơ biến dạng của một thổ vật liệu có phương m theo ba vectơ biến dạng của ba thớ vật liệu theo phương các trục toa d6 x1, x2 va x3 va thang géc nhau từng cặp Vì vậy

1 2 3 ba vecto biộn dang 5, ừ và ử hoàn toàn cú thể đặc trưng cho trạng thái biến đạng tại một điểm

Kết quả tách riêng chuyển vị của vật thể rắn ra khỏi chuyển vị của biến dạng có thể hình dung dễ dàng bằng cách xem xét hình ảnh hai chiều trong hình 1.11 Trong hình này, các vị trí ban đầu và vị trí sau cùng của hai thớ vật liệu theo phương z¡ và z¿ được trình bày trong mặt phẳng x¡-x¿ Có thể dễ dàng nhận ra rằng vị trí sau cùng của các thớ vật liệu có thể xác định từ vị trí ban đầu của chúng bằng cách cộng tác dụng hai quá trình biến dạng riêng rẽ Quá trình thứ nhất do biến dạng thuần túy và quá trình thứ hai do vật thể rắn xoay

1.2.2 Biểu thức biến dạng theo Cauchy

Vecta bién dang Š của bất kỳ thớ vật liệu m cũng có thể tách thành hai thành phần, một thành phần theo phương của thớ vật liệu ứ được gọi là biến dạng pháp tuyến (hay gọi là biến đạng dọc trục) và một thành phần nằm trong mặt phẳng thẳng góc với thớ vật liệu được gọi là biến dạng cắt (hay biến dạng trượt) Chẳng hạn, vectơ biến dạng

3 có ba thành phần biến dạng như sau: biến dạng pháp tuyến e¡¡ và các biến đạng cắt sụ; và sịa có phương lần lượt theo #ị, x2 va X3-

Xét một thớ vật liệu m bất kỳ tại điểm P có vectơ biến dạng 3 có thành phần biến dạng pháp tuyến e„ và biến đạng trượt s„y như hình 1.12 Vectơ m có các thành phần (m, nz„ nạ) Độ lớn của thành phần biến dạng pháp tuyến e„ được xác định như sau:

Thế 3 từ (1.86) và sử dụng tính chất đối xứng của tensơd sự chúng ta có:

Tương tự, nếu vectơ s thẳng géc véi phuong cia vecto n và có các thành phần là (s1, se, 83) thi dé lớn của thành phần biến dạng cắt £„¿ được xác định như sau: noon

Thế ọ; từ (1.86), phương trỡnh trờn trở thành:

Phương trình (1.90) và (1.81) là các biểu thức của Cauchy dùng để xác định các thành phần biến dạng pháp tuyến và biến dạng cắt của một thớ vật liệu cú phương theo vectơ ứ Mỗi một phương trỡnh (1.86), (1.88), (1.90) và (1.91) tượng trưng cho một dạng đặc biệt của biểu thức Cauchy, nhưng trong thực tế trạng thái biến dạng tại một điểm (1.90) và (1.91) là những dạng thường sử dụng để xác định biến dạng pháp tuyến và biến dạng cắt

Tình 1.12 Các thành phân biến dạng pháp tuyến 0à biến dạng trượt của vecto biến dạng tại một điểm

UNG SUAT VA BIEN DANG 33

1.2.8 Bién dang trugt ky thuat va bién dang trugt thudn tiy Gia tri cha cdc thanh phan bién dang tru¢t e12, €13 va G23 (hay tu, su; và e„) được gọi là các biến đạng trượt thuần túy Khi áp dụng còn có một định nghĩa khác về biến dạng trượt thường được sử dụng, đó là biến đạng trượt kỹ thuật Biến dạng trượt kỹ thuật được định nghĩa là tổng số góc biến đổi giữa hai thớ vật liệu mà trước khi biến dạng chúng thắng góc với nhau Vậy từ hình 1.11 đối với biến đạng thuần túy, chúng ta có:

Tổng số góc biến đổi — = gia + cai = 2£qa

Tương tự đối với: Yer = Yer VA ye = Yoy Vì vậy cho nên tensơ biến dạng trượt sự có thể đưới một dạng khác: fy Sy Fig By Bờ Exe ty Yay! 2 yw/2 Bụ =|Eại fo2 f99| = [bye Ey E„y|=|Y„/2 by Pye 2] 1.98)

Sại Đạo E33 bx Sy Ex Yx/2 Yey !2 8,

Tùy vào từng trường hợp cụ thể có thể sử sụng một trong ‹ các đạng tensơ biến dạng trong (1.93)

Trong phần phân tích ứng suất, chúng ta đã biết rằng tổn tại ít nhất ba mặt phẳng thẳng góc nhau từng cặp một và trên các mặt này không tổn tại ứng suất cắt, có nghĩa là các mặt phẳng chính và phương của các mặt chính là các phương chính được gọi là trục ứng suất chính Khi phân tích biến dạng tại một điểm cũng tổn tại các trục biến dạng chính -

Phương biến dạng chính hoặc trục biến dạng chính là phương của thớ vật liệu nứ bất kỳ cú vectơ biến đạng 3 theo phương với thộ vật liệu n, trong trường hợp này biến dạng cắt bằng không Điều này cũng có nghĩa là các thớ vật liệu theo các phương này thẳng góc với nhau trước khi biến dạng và vẫn còn thẳng góc với nhau sau khi biến dạng Biến đạng tương ứng gọi là biến dạng chính; vậy đối với phương biến đạng chính, chúng ta có: Š=en : 89,

Thé 3; tir phwong trinh (1.86): yn; = en; hoặc viét n; duéi dang 5,n,; (3, 1a todn th thay thé), ching ta cé: sụn, = tồụn; (1.96) hoặc: _ (sụ =gỗu)n, =O (1.97) Để phương trình trên không có nghiệm đặc biệt cần có:

Phuong trình trên tương tự như phương trình tương ứng đối với ứng suất chính (1.26), cho nên những ký hiệu cũng như chứng mỉnh đối với tensơ ứng suất hoàn toàn có thể áp dụng ở đây Phương trình (1.98) có thể viết như sau:

Phương trình trên có ba nghiệm thực s¡, 2, va cạ tương ứng với ba biến đạng chính

Phương trình đặc trưng (1.99) có thể viết lại dưới dạng như sau: e* — Tie? + Ihe - I = 0 (1.100) trong d6 céc bat bién bigén dang [,, I, va 1 nhu sau:

Ty = £1) + €g9 + €gg = 8, + €, +6, = By (1.101) z [" fost lE1L Đa § Sia

P32 #zm| [far Eaai (fer E22 by fy) |e, See) [ex Eạy

Ezy & ex Ez Ee ey

1; là tổng những định thức vuông hai hàng trên đường chéo của Bye

UNG SUAT VA BIEN DANG 35

a) Từ điều kiện: |ứ¿ - ứỗy| = 0

Hãy rút ra các:bất biến ứng suất (sfress invariants) sau đây:

Ig = 04599533 + 2012023531 — ỉag71¿ — 522913 — 911523 = 515253 Giải thích tại sao Uy, la, Is là các bất biến ứng suất

Tương ty rat ra cdc bat bign bign dang (strain invariants) sau day:

Tị = Eịi + Eạa + £93 = Eị + Ép + 3

* = ey 2, - 23, —e8, = + EgEạ + BạE: l§ = EiiEap + EazEaa + EitÊsa — E]a — P2a — Đại = 6¡Eạ + Cabs + aby

; EanBŸ — Eạgéùa — 8,iS la = E1828 ạ = EtiEasEaa + 2#taEasEai — PazE1a — #agSla — Eit£as = PqEaBa b) Tens¢ ting sudt léch (stress deviator tensor) và tensơ biến dạng lệch được định nghĩa như sau:

Hãy rút ra các bất biến sau đây:

Jq = 5h + 93 + S35 + Qsf, + Dez, +253, = —(s? + 52 + 52 tò d] = 6i + pp + €gg = €, + ey + ey = 0

Ty 2 = 5 ei + eae + Cag + 201g + ZOD = 12, +2, +2 2e2 2e3, + 2e2, )= +(e? + ef + |) SIE 21192 t6 c) Hay viét hy, Io, Is, Jz theo tng suất trục ơ„ và ứng suất bình ơ,; và viết I\, J'\ theo biến đạng dọc trục s„ e và biến dang theo bán kính „ trong thí nghiệm ba trục

1.2 Cho một tensơ ứng suất như sau:

Hay tinh: a) Xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt bát điện b) Ứng suất thủy tĩnh p và tensơ ứng suất lệch, sự ©) Các giá trị chính ( 81, ss, sạ) của tensơ ứng suất lệch

1.3 Trạng thái ứng suất tại một điểm được dién tả bởi tensa ứng suất sau đây:

60 50 10 a) Hãy xác định các bất biến ứng sudt I), Jo, Ja va 0 b) Dựa trên các biểu thức tính ứng suất chính theo các bất biến ứng suất, hãy tính các ứng suất chính ƠI, Ga, VA G3.

UNG SUAT VA BIEN DANG 41

VA CAC BAT BIEN

GIGI THIEU

Một phân tố đất trong một mẫu đất được thí nghiệm hoặc ở ngoài hiện trường khi chịu sự tác dụng của tải trọng thì trạng thái ứng suất cũng như biến dạng của phân tố đất đều thay đổi theo quá trình tác dụng của tải trọng Chúng ta có thể dùng vòng tròn Mohr để phân tích trạng thái ứng suất cũng như biến đạng của phân tố đất suốt trong quá trình chất tải Tuy nhiên, chúng ta cần phải theo đối quá trình biến đổi của trạng thái ứng suất và biến dạng, hay còn gọi là lịch sử hình thành của ứng suất và biến đạng

Một vật liệu đàn hồi lý tưởng khi được chất tải và đỡ tải trong miễn đàn hồi thì sự ứng xử của vật liệu chỉ phụ thuộc vào trạng thái ứng suất ban đầu và sau cùng của nó mà không phụ thuộc vào quá trình chất tải và đỡ tải như thế nào Trong khi đó sự ứng xử của đất thì không những phụ thuộc vào trạng thái ứng suất ban đầu và sau cùng của nó mà còn phụ thuộc vào cách thức thay đổi của ứng suất cũng như biến dạng và nó cũng phụ thuộc vào quá trình chất tải trước đây Cho nên chúng ta edn phải theo dõi trạng thái của phân tố đất suốt trong lịch sử chịu tải trọng của nó,

LỘ TRÌNH ỨNG SUẤT

Trên các mặt của một phân tố vật liệu sẽ tốn tại sáu thành phần ứng suất độc lập nhau, có nghĩa là ba thành phẫn ứng suất pháp và ba thành phần ứng suất tiếp, Nếu quay phân tố này sao cho các mặt trở thành các mặt chính thì trên các mặt đó ứng suất tiếp sẽ biến mất và các ứng suất pháp trở thành ứng suất chính Trạng thái ứng suất trong đất hoàn toàn có thể xác định được khi biết được ứng suất tổng và áp lực lỗ rỗng Ứng suất có hiệu được xác định theo biểu thức quen thuộc của Terzagi

LỘ TRÌNH UNG SUAT, LO TRÌNH BIẾN DẠNG VÀ CÁC BẤT BIẾN 43

Hình 9.1 Lộ trình ứng suất trong không gian ứng suất có hiệu

Chúng ta có thể vẽ một hệ trục trực chuẩn với ba trục là ơi, KH ; ứ¿ như hỡnh 2.1 để tạo thành một khụng gian ứng suất cú hiệu

Trạng thái ứng suất có hiệu của một phân tố được biểu điễn bằng một điểm trong không gian ứng suất có hiệu Đường nối các điểm biểu diễn liên tục những trạng thái ứng suất có hiệu được định nghĩa là lộ trình ứng suất có hiệu Cẩn chú ý rằng, từng điểm biểu diễn trạng thái ứng suất vừa nói chỉ tượng trưng về cường độ không tượng trưng được cho phương của ứng suất và lộ trình ứng suất có điệu không cho biết góc xoay của mặt ứng suất chính Cũng tương tự như vậy chúng ta có thể tạo thành một không gian ứng suất tổng và xác định lộ trình ứng suất tổng Để tiện lợi chúng ta vẽ không gian ứng suất có hiệu và ứng suất tổng cùng một hệ trục, có nghĩa các trục 6}, 6g, 33 và các trục ơ,, ơ;, oạ từng cặp một trùng nhau Lộ trình ứng suất tổng và lộ trình ứng suất có hiệu cách nhau một khoảng cách có giá trị bằng áp lực lỗ rỗng

Bằng cách tương tự, chúng ta cũng có thể xây dựng một không gian biến đạng với các trục £1, ss, s VÀ xác định lộ trình biến dạng bằng cách nối các điểm biểu diễn cho trạng thái biến dạng của phân tố.

Bay giờ chúng ta thử xem qua tính chất của lộ trình ứng suất có hiệu trong hình 2.1 Lộ trình ứng suất này điễn tả trạng thái ứng suất liên tục trong quá trình chất tải

'A): các ứng suất ơi, ơ¿, 03 tang déng déu nhu nhau

ATH: ứng suất ơi tăng còn ơ¿, ơ¿ giữ không đổi

BC: ứng suất ơ¿, ơ¿ tăng còn ơ; giữ không đổi

Nếu AB, tượng trưng cho sự gia tăng ơ¡ và BC, tượng trưng cho sự gia tăng của ơ¿, ơ¿ bằng nhau thì điểm C sẽ nằm trên đường O'A’ kéo dài Đường O'A'C?' được xem là đường chéo không gian Trạng thái ứng suất nằm trên đường này được xem là trạng thái ứng suất đẳng hướng với ơi = ơ¿ = ơạ

Phương pháp diễn đạt lộ trình ứng suất trong hệ tọa độ trực chuẩn ở trên có phần công kênh và khó điều khiển ứng suất trong quá trình chất tải hoặc thí _nghiệm theo các lộ trình ứng suất trong hệ trục này

Trong những điều kiện khác nhau, chúng ta có thể chọn những hệ trục khác để mô tả lịch sử quá trình chất tải của một phân tố vật liệu một các đơn giản hơn.

LO TRINH ỨNG SUẤT TRONG HỆ TRỤP ito} VA ot: 03

Đôi khi để thuận tiện, người ta bỏ qua ứng suất chính trung gian ơ¿ và vẽ lộ trỡnh ứng suất cú hiệu trong mặt ứĂ:ơ¿ như hỡnh 2.2 Chúng ta cũng có thể trình bày lộ trình ứng suất tổng và lộ trình ứng suất có hiệu trong cùng một hệ trục, có nghĩa là chọn các trục

6}, 03 VA ơi, ơa từng cắp một trùng nhau

Trong hình 2.2, lộ trình ứng suất có hiệu O'A'B' cũng là lộ trình trong hình 2.1 Nếu áp lực lỗ rỗng tại B’ 1a thì ứng suất tổng tương ứng sẽ được biểu diễn bằng điểm B cách Bồ theo phương 4đồ một khoảng cách bằng v2.

LỘ TRÌNH ỨNG SUẤT, LỘ TRÌNH BIEN DANG VÀ CAC BAT BIEN 45

Hình 2.2 Lộ trình ứng suất trong hệ trục G1:0ạ vd 01:53

LỘ TRÌNH ỨNG SUẤT TRŨNG HỆ TRỤC †:$' VÀ t:s

Trạng thái ứng suất phẳng tại một điểm nào đó trong nên có thể mô tả bằng một vòng tròn Mohr như hình 2.3 o

Hình 2.3 Định nghia cdc thong s6 ting sudt ¢’ va s’

Theo Lambe (1967) của viện MIT néu biết tọa độ của đỉnh vòng tròn Mohr (Œ, 8) thì vị trí cũng như kích thước của vòng tròn Mohr hoàn toàn có thể xác định được Như vậy chỉ cần sử dụng đỉnh vòng Mohr để mô tả trạng thái ứng suất tại một điểm là đủ Nếu trạng thái ứng suất tại điểm này thay đổi theo quá trình chất tải thì được mô tả bằng nhiễu đỉnh của nhiều vòng tròn Mohr trong hé truc ứ và ƒ Nối cỏc đỉnh này lại chỳng ta cú được lộ trỡnh ứng suất

Tương tự cho trường hợp ứng suất tổng, chúng ta cũng xác định được tọa độ đỉnh các vòng Mohr theo ứng suất tổng và vẽ được lộ trình ứng suất tổng trong hệ trục s và í

Xem hình 2.3 chúng ta có thể thấy rằng / là bán kính của vòng Mohr và bằng với ứng suất tiếp cực đại Trong khi đó thì 4° là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm của vòng Mohr và bằng giá trị trung bình eda of, va of

Chú ý rằng t„„ = tạ và từ hình 2.3 chúng ta có thể rút ra được: t= SỈ: ~ứ,)# + 4x2 |"? 2.1)

= 266, +05) g (Ox tO (2.2) : hoặc theo ứng suất chính có hiệu: t= Ske, -o})] (2.3)

Tương tự đối với ứng suất tổng, chúng ta có: t= si: - ứ)| (3.5)

Dé dang nhận thấy rằng: tat (2.7) s'ss-u (2.8) và nếu vẽ lộ trình ứng suất tổng và ứng suất có hiệu trong cùng hệ trục thì lộ trình ứng suất tổng và ứng suất có hiệu cách nhau một khoảng theo phương nằm ngang bằng với áp lực lỗ rỗng u.

LỘ TRINH UNG SUẤT, LỘ TRÌNH BIẾN DẠNG VA CÁC BAT BIEN 47

Trong hệ trục /:s” và #:s lệ trình ứng suất có hiệu trong hình 2.1 sẽ được mô tả như hình 2.4 Lộ trình ŒA' có các ứng suất ơ;, 03, 03 tăng đồng đều như nhau cho nên ?’ = 0, cho nên lộ trình này nằm trên e” Lộ trình A*B' có ứng suất ơi tăng còn ơ¿, ơ¿ giữ không đổi như vậy Để biết độ dốc của đường A'E chúng ta có thể viết lại | phương trình 2.3 dưới đạng gia số như sau: af! = 26: -804)} (2.9)

Vì ơi giữ không đổi cho nên 503 = 0 va dt/ds’ = 1, c6 nghia la hệ số góc của đường A'' là 1 Tương tự, lộ trình BC có ơi giữ không déi cho nén 50] = 0 va dé’/ds’ = -1, có nghĩa là hệ số góc của đường BC là ~1 Nếu ứng suất tổng tương ứng của H là B thì B cách E' theo phương ngang một đoạn bằng áp lực lỗ rỗng u at

Hình 2.4 Lộ trình ứng suốt trong hệ trục f’, 3’ va ts

CAC BAT BIẾN CUA UNG SUAT

Các thông số £ và s° (tương tự đối với ý và s) tương đối có phân đặc biệt Đối với một trạng thái ứng suất biết trước thì giá trị của chúng không phụ thuộc cách chọn hệ trục ứng suất Tại sao như vậy?

Vì trạng thái ứng suất phẳng có hiệu của một phân tố được biểu diễn bằng một vòng tròn Mobhr duy nhất Dù hệ trục ứng suất xoay như thế nào thì kích thước vòng Mohr này cũng không đổi mà £ và s’ 1a tọa độ của đỉnh vòng Morh duy nhất này Các thông số như ơ;, ơ, và +? không thích hợp cho việc mô tả trạng thái ứng suất tại một điểm vì nó phụ thuộc vào hệ trục ứng suất được chọn cũng như phương của ứng suất, có nghĩa là giá trị của chúng phụ thuộc vào các trục được chọn Vậy tốt hơn hết là chọn những thông số ứng suất không phụ thuộc vào hệ trục ứng suất và chúng phải có giá trị đuy nhất đối với trạng thái ứng suất tại một điểm Rõ ràng thông số ? và s’ bao dam hai diéu kién nay vi vay chang được chọn để mô tả trạng thái ứng suất tại một điểm của bài toán ứng suất phẳng,

Các thông số ứng suất mà giá trị của chúng không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục ứng suất được xem là các bất biến ứng suối Từ ngữ “bất biến” ở đây có nghĩa là giá trị của chúng không thay đổi khi hệ trục ứng suất được chọn thay đổi Thật ra, một cách chính xác thì thuật ngữ bất biến ứng suất chỉ đúng cho những thông số ứng suất tương ứng với trạng thái ứng suất tổng quát nhất Trong khi đó / và ứ° chưa phải là thụng số thật đõy đủ đối với trạng thỏi ứng suất phẳng vì nó chưa xét đến ứng suất trung gian ơ¿ Tuy vậy sử dụng và ứ' sẽ thuận tiện khi khụng cần xột đến ứng suất chớnh trung gian

F418) y9; Hình 9.6 Mô tả ứng suất bát điện

LỘ TRINH UNG SUẤT, LỘ TRÌNH BIỂN DẠNG VÀ CÁC BẤT BIẾN 49

LO TRINH ỨNG SUẤT TR0N8 HỆ TRỤC q’:p’ VA q:p

Trường Cambridge sử dụng các bất biến ợ và p` làm hệ trục để mô tả lộ trình ứng suất có biệu Hình 2.6 trình bày lộ trình ứng suất có hiệu của hình 2.1 trong hệ trục g' và p' Để xác định độ đốc của lộ trình A'B' và BC chúng ta viết lại phương trình 2.1 và 2.2 dưới dạng gia số cho trường hợp đặc biệt ứ¿ = ơ¿ như sau:

8q’ = (80, — 804) ằ (2.31) di véi A'B’ thi 8a, = 503 = 0 và dg/dp’ = 3 Đối với BC' thì

Bo] = 0, 8a) = Se} va dq/dp’ = -3/2 Diém B biéu thj cho trang thai ứng suất tổng tương ứng với trạng thái ứng suất có hiệu tại B có áp lực lỗ rỗng là u

Hình 2.6 Lé6 trinh ung suétt trong hé truc q’, p’ va q, p

Bang 3.1 Mối liên hệ giữa các lộ trinh ting sudt theo MIT,

Cambridge vd ung suất chính

Thông số hoặc hàm số theo:

Theo ứng suất chính Theo Viện MIT Theo trường Cambrdge Ứng suất tổng 1 ỉ; =Gi + s=4(o, +o,)=6' +n P=4(6,+205)= psu Ứng suất có hiệu 1 OL =o,-u sat, +og)=s+u P'= F(a} + 205)= p—u Ứng suất tổng 2 Og = Og +u #=4$)-95) Ứng suất cú hiệu 2 đạ =Ơỉạ-H tra (1 ơn) Ứng suất có hiệu cực đại % o,=s'+t Ứng suất có hiệu cực tiểu Đường

Mohr- Coulomb trong miền nén

‘cos p' + ứ gin$ tea'+s'tanga’ q = Mp’ +4,

Lộ trình ứng suất trong cố kết Ko

Lộ trình ứng suất trong cố kết đẳng hướng £=0

Lộ trình ứng suất trong thí nghiệm thoát nước

LỘ TRÌNH ỨNG SUẤT, LỘ TRÌNH BIẾN DANG VÀ CÁC BẤT BIẾN 53

CAC BAT BIEN CUA BIEN DANG

Lịch sử biến dạng của một phân tố có thể được mô tả trong hệ trục biến dạng chính s, s; và sạ bằng cách nối các trạng thái biến dạng xảy ra liên tiếp Lộ trình biến dạng vẽ theo cách này cũng tương tự như lộ trình ứng suất có biệu trong hình 3.1, Một cách khác, chúng ta có thể tìm những bất biến của biến dạng và sử dụng những bất biến này làm hệ trục để mô tả lộ trình biến dạng Tuy nhiên, cần phải chú ý chọn lựa những bất biến của biến dạng sao cho tương ứng những bất biến của ứng suất đã chọn

Những bất biến thích hợp của biến dạng, khi một phân tố đất chịu biến dạng dưới sự tác dụng của tải trọng, sẽ được xác định trên cơ sở công do tải trọng ngoài thực hiện cũng là một bất biến (có nghĩa giá trị của công không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục) và tích số giữa ứng suất và biến dạng tương ứng phải bằng với công do tải trọng ngoài thực hiện Trước tiên chúng ta chọn những bất biến của biến dang dé mô tả lộ trình biến dạng rồi sau chúng ta sẽ thực hiện những kiếm tra cần thiết để xem việc chọn lựa này có tương ứng với những bất biến của ứng suất đã chọn hay không.

LỘ TRÌNH BIẾN DẠNG

Một phân tố đất chịu biến dạng phẳng thì một thành phân biến dạng chính bằng zero, chúng ta chỉ còn xét đến biến dạng pháp tuyến và biến dạng trượt thuộc bài toán phẳng Trạng thái biến đạng của phân tố đất được biểu diễn bằng vòng tròn Mohr biến dạng như hình 2.7 Chúng ta cần nhớ rằng, vòng Mohr biến dạng được vẽ trong hệ trục với một trục là phương của biến đạng pháp tuyến và một trục là là biến dạng trượt thuần túy và s„ = 1⁄2 y„, trong đó y„ là biến dạng trượt kỹ thuật,

Vị trí và kích thước của vòng tròn Mohr hoàn toàn có thể xác định khi biết tọa độ M, đỉnh của vòng tròn Mohr Chúng ta định nghĩa các thông số s, = 2.NM và s, = 2.ON; và từ hình 2.7: a = le, —e,)?+ 402, |”? (2.82)

Vi e, va s, 14 toa dé cua diém M trong hình 2.7 cho nên giá trị của chúng không thay đổi khi các trục (, z) xoay

Các thông số ey và s„ được viết theo biến đạng chính như sau:

Khi định nghĩa s, và s„ ở trên chúng ta đã nhân thém 2 vao NM cũng như ON là nhằm mục đích để các thông số biến dạng này tương ứng với các thông số ứng suất (, s3) Việc nhân thêm 2 trở nên thuận lợi vì e, và su lại có ý nghĩa vật lý quen thuộc như đã biết Chúng ta có thể viết lại như sau để thấy rõ ý nghĩa vật lý đó

6, =-AV/V (2.37) trong đú yaô là giỏ trị lớn nhất của biến dạng trượt kỹ thuật và AV là độ gia tăng của thể tớch V Vậy ô, chỉ đơn giản là biến dạng (nộn) thể tớch

Có thể sử dụng các thông số c, và s, làm hệ trục phẳng để vẽ các lộ trình biến dạng Các lộ trình biến đạng như thế sẽ tương tự như các lộ trình ứng suất vẽ trong hệ trục (, s?} như hình 2.4 Khi s; = 0 việc sử dụng các thông số e, và s„ sẽ rất thuận lợi Tuy nhiên, cẩn phải nhận thấy rằng trong trường hợp tổng quát s„ và s, không phải là những bất biến vì giá trị của chúng phải phụ thuộc vào cách chọn hệ trục sao cho một trục có biến đạng bằng zero Cho nên chúng ta cần phải xác định những bất biến của biến dạng tương ứng với những bất biến của ứng suất g' và p”

Trong trường hợp tổng quát, trạng thái biến dạng của một phân tố đất hoàn toàn có thể xác định được bởi ba biến dạng trục (sz, ey, £;} và ba biến dạng trượt (s„, tc, s„) Chúng ta kết hợp các thành phần biến đạng trên để có được những bất biến Ở đây không biến đổi giải tích nhưng có thể phát biểu rằng biến đạng pháp tuyến s„„ và biến dang trugt You trén cdc mat bat dién 1a những bất biến và chúng được

LỘ TRINH UNG SUAT, LO TRINH BIEN DANG VA CAC BAT BIẾN 55

BIEN DANG THỂ TÍPH Biến dạng thể tích s„ được xem như là một bất biến và được sử

LO TRINH UNG SUAT, LO TRINH BIEN DẠNG VÀ CÁC BẤT BIẾN 57

Nếu thể tích V của một phân tố đất gia tăng một thể tích la 8V do sự thay đổi ứng suất có hiệu thì độ gia của biến dạng thể tích được xác định như sau: be, = -8V/V : (2.50)

Dấu trừ được đưa vào để biến đạng nén có giá trị dương

Thể tích bao gồm thể tích của nước V„ và thể tích phần hạt V, như hình 2.8a Nếu giả thiết hạt đất cũng như nước đều không nén được thì thể tích của phân tố đất chỉ thay đổi khi nước chảy ra hoặc chảy vào phân tố: av = -8V, (2.51) trong đó: 6V - độ giảm thể tích của phân tố đất ŠV, - thể tích nước thoát ra khỏi phân tố

Vì vậy chúng ta có thể tính được biến dạng thể tích bằng cách đo thể tích của nước thoát qua mặt biên của mẫu đất Việc đo thể tích nước như vậy không rnấy khó khăn ở phòng thí nghiệm

Trong chương 1 chúng ta đã biết hệ số rỗng e = V„/V, và hạt đất không chịu nén (AV, = 0), cho nên: de = ŠV/V,

5 tò dV¥ _V,be va từ (2,49): be, = v7 Y,+Ÿu

— 1+e (2.53) Đối với đất bão hòa nước thì hệ số lỗ rỗng quan hệ với độ ẩm theo quan hệ như sau, e = wG, nhu vay: Še = G,ỗu

Vậy biến dạng thể tích hoàn toàn có thể xác định khi đo được lượng nước thoát ra từ mẫu Để có thể so sánh sự thay đối thể tích giữa các mẫu khác nhau người ta đã đưa ra một chỉ tiêu mới được gợi là tỉ thể tích v Ti thể tích 0 được định nghĩa là thể tích của một phân tố đất có thể tích hạt bằng một đơn vị, có nghĩa là V, = 1 Từ chương 1, đễ đàng rút ra: u =1+e

Nếu ứng suất có hiệu thay đổi, đưa đến Hi thể tích một gia số là dv thi: ® by = be và biến dạng thể tích một gia số như sau:

V=VWy+V, - * nước Vụ -1x đất Ve Vs a) ` b) vette ee 7 5

Hình 2.8 Su thay d6i thé tich ddt; œ) Thể tích mẫu đấy b) Sự thay đổi thể tích; c) Thể tích đặc biệt d) Sự thay đổi thé tích đặc biệt

LO TRINH UNG SUAT, LO TRINH BIEN DANG VA CAC BAT BIEN 59

SỰ TƯƠNG THÍCH GIỮA CÁC THONG SO UNG SUAT VÀ BIẾN DẠNG

Bây giờ chúng ta phải chứng minh rằng, việc chọn các thông số ứng suất và biến dạng ở các phần trước là hoàn toàn đúng đắn Thật vậy, tích số giữa các thông số ứng suất và thông số biến đạng cho đúng bằng công do tải trọng ngoài thực hiện được

Trước tiên chúng ta đi xác định công đo tải trọng ngoài và áp lực thực hiện trên một đơn vị thể tích đất Hãy xem một phân tố đất có kích thước (a, b, c) như hình 2.9; bê mặt của phân tố này là các mặt chính và áp lực lỗ rỗng u có giá trị không đổi Nếu trong một khoảng thời gian nhỏ, kích thước của phân tố thay đổi với các gia số la 8a, & va ọc và thể tớch của nước thoỏt ra là ðV„ thỡ cụng do tải trọng ngoài và áp lực lỗ rỗng thực hiện trên phân tố đất:

Sử dụng (2.50) thì công tính trên một đơn vị thể tích của một phân tố đất:

Vậy: 8W/V = 0,86, + 0258, + og5e3 - ude, (2.57) ma ude, = u(Se,+ Se, + 583) cho nên:

Tích số giữa các thông số ứng suất và thông số biến đạng thuộc bài toán phẳng cho đúng bằng công do tải trọng ngoài thực biện được trên một đơn vị thể tích vừa tính được ở trên Thật vậy:

BW/V =fõn, + ồn, (2.59) si — 04 )(5e, — 5€3) + Fo; + ơạ)(ô£ + ỗ£s)

"Trong trường hợp bài toán phẳng thi (2.58) trở thành:

Phương trình (2.60) và (2.61) hoàn toàn giống nhau cho nên đến đây chúng ta có thể khẳng định rằng việc chọn các _ thong số biến dạng e, và e„ ở trên là hoàn toàn phù hợp với thông số ứng suất £, s” trong điều kiện bài toán phẳng

Còn đối với bài toán ba chiều thì sao? Công thực hiện trên một đơn vị thể tích cũng có thể tính bằng tích số giữa các bất biến ứng suất q”, p' và bất biến biến dạng s;, cụ trong bài toán ba chiều: ŠW/V =gồ, + pồc, (2.62)

Trong trường hợp bài toán đối xứng trục, đa = ơ; và ss = sạ, thì: qd’ = (ơi - ơạ) (2.63) p= Fl} +204) (2.64)

Se, = (58, + 255) (2.66) va phuong trinh (2.62) tré thanh ` ðW/V = is + 2g;ỗs; ` (2.67)

Hinh 2.9 Sơ đồ mình họa sự tương ứng giữ bất biến ứng suất tờ bất biến biến dạng

LỘ TRÌNH UNG SUAT, LO TRINH BIEN DANG VÀ CAC BAT BIEN 61 Đối với bài toán đối xứng trục thì ơ; = ơ; và Se, = Sey vA (2.58) trở thành:

W /V = ode, + 2048, (2.68) Đến đây chúng ta có thể khẳng định rằng, việc chọn các bất biến biến dạng e, và ¢, ở trên là hoàn toàn phù hợp với các bất biến ứng suất q’, p’ trong điều kiện bài toán đối xứng trục.

QUAN HE GIỮA BẤT BIEN UNG SUẤT VA BAT BIẾN BIEN DANG

Để thấy rõ hơn vai trò quan trọng của các bất biến, chúng ta hãy xem quan hệ ứng xử giữa ứng suất và biến dạng của vật liệu đàn hồi đắng hướng và lý tưởng Ở đây đẳng hướng có nghĩa là tính chất của vật liệu giống nhau ở mọi hướng Vật liệu đàn hổi lý tưởng được chọn là đất tuân theo nguyên lý ứng suất có hiệu cho nên biến dạng phải phụ thuộc vào ứng suất có hiệu chứ không phải ứng suất tổng

Quan hệ giữa ứng suất và biến đạng của một vật liệu đàn hỗi lý tưởng như vậy sẽ tuân theo định luật Hook:

Bay = (2/ BNA + vt, (2.69) ôyy„ =(2/E⁄4 + v)ầu„ y„„ =(2/ E1 + v)ửều„ 4 trong đó # va v lan lượt là mođun đàn hồi và hệ số Poisson được xác định với ứng suất có hiệu Giá trị # và v' được giả định là không đổi khi ứng suất cũng như biến đạng thay đổi nhỏ Nếu vật liệu được giả định là đàn hồi tuyến tính thì (2.69) vẫn có giá trị khi ứng suất cũng như biến đạng thay đổi với độ gia lớn Aơ' và Ac Phương trình (2.69) có thể viết theo ứng suất chính và biến dạng chính như sau:

Bey = (1/ E')|Bm; - v'(8ay +80%)] (2.70) ủe; = (1/ E?JBo; — v'(Bơi + 803)]

Chú ý là ứng suất cắt và biến đạng trượt trên các mặt chính đều bằng zero

Trong trường hợp bài toán đối xứng trục thì ơ; = 04 va & = &% và (2.70) trở thành: de, = (1/E'|Bơi - 2v'8o] (2.71)

Vay: be, = (Se, + 28e,) = & = ) (S04 + 280%) (2.73) hoặc: Se, = sO oy (2.74)

Tương tự đối với độ gia biến dạng trượt:

: be, = r hoặc Ey aE ôg (2.76)

Phuong trinh (2.74) va (2.76) thường được viết dưới dạng sau: be, = gp’ Bo = 5 OP 1 (2.77) 2.17

3e, = 89 "8Œ Ta (2.78) trong đó K’ la modun khéi va G’ 1a modun trugt, v6i K’ va G’ nhu sau:

24+ v) Phương trình (2.77) và (2.78) cho thấy một tính chất quan trọng của vật liệu đàn hồi đẳng hướng và lý tưởng như sau: Khi những bất biến biến đạng tương thích hợp lý với những bất biến ứng suất thì độ

LỘ TRÌNH ỨNG SUẤT, LỘ TRÌNH BIẾN DẠNG VÀ CÁC BẤT BIẾN 63 gia của biến dạng õe, chỉ phụ thuộc vào độ gia của bất biến ứng suất 8q’ tuong tu như vậy, độ gia của biến dạng thể tích 6e, chỉ phụ thuộc vào độ gia của bất biến ứng suất tương ứng Sp’ Dé nhan mạnh tính chất này chúng ta nên viết: be, = ee + 0.89 (2.79) de, = 0.8p' * aq 4 r,s “ - (2.80)

Như vậy, biến dạng thể tích e, chỉ liên hệ với bất biến ứng suất p' mà không đính đáng gì với bất biến ứng suất g', trong khi đó biến đạng trượt s„ chỉ liên hệ với bất biến ứng suất gˆ mà không dính dáng gì đến bất biến p Mặc dù (2,79) và (2.80) rút ra được từ trường hợp đặc biệt với ơ; = ơạ, tuy nhiên chúng vẫn có giá trị cho trường hợp tổng quát đối với vật liệu đàn hôi tuyến tính và đẳng hướng với độ gia thích hợp.

BÀI TẬP

9.1 Vẽ đường ứng suất (theo cách của viện MIT) tại các điểm A, B, C, D, E, F, G, H bên dưới tâm một bổn chứa dâu Đất nên không có nước ngắm Ứng suất do trọng lượng bản thân (ứng suất ban đâu) và ứng suất do tải trọng ngoài (ứng suất gia tăng) tại các diém A, B, C, D, E, F, G, H cho trong bang sau day: Ứng suất ban đầu Ứng suất gia tăng Điểm {MN/m?) (MN/m?)

2.2 Vẽ đường ứng suất trong hệ tọa độ (s,t) theo cách của viện MIT

2.3 cho các điều kiện tải trọng sau đây: a) Ban đầu ơ =œ,= 200EN/mÈ, ơ, không đổi và ơ, tăng đến 600&N/m? b) Ban dau o,=0, 0kN/m’, o, không đổi và ơ, tăng đến 600kN/m? e) Ban đầu ơ = 0, 0kN/m’, ơ, không đổi và ơ; giảm đến 100#/N/m2 đ) Ban đầu ơ¿ = ơ, = 200kN/m?, o, va o, déu tăng đến với tỷ số

Ao, = Ao,/3 e) Ban dau o, = 100kN/m’ va o, = 200kN/m?2, ơ, không đổi và ơ, gidm dén 70kN/m? f) Ban du 0, = 100kN/n? va o, = 20kN/m?, o, không đổi và ơ;

Kết quả thí nghiệm cắt đơn (simple shear) thoát nước trên cát chặt có kết quả như sau:

Giai đoạn x (mm) ứyy (kPa) Tyx (kPa) ỉ' (kPa) Tay (kPa) y (mm) a 0 70 9 30 9 9 b 0,30 70 313 71 31,0 -0,50 e( đỉnh } 25 70 -49,0 145,5 433 +0,60 d 3,0 +0,82 e 10,0 70 „32,0 90,6 24,5 415

Quy ước dấu: ứng suất nén dương; ứng suất tiếp quay ngược chiểu kim đồng hỗ dương; quay theo chiều kim đồng hồ âm, chuyển vị y dương khi hướng lên và chuyển vị z đương khi hướng sang phải a) Vẽ các vòng tròn Mohr ứng suất cho từng giai đoạn thí nghiệm a, b, e và e và xác định các giá trị s (= (ơi + ơạ)/2) và tí= (ơi — 0% )/2) b) Xác định các thành phần biến dạng thể tích và biến đạng trượt

& = (1 + €3) VA Ymox = (81 — ss) Vẽ biểu đổ (tG°) theo Yinax WA by theo Ynax- ©) Vẽ vòng tròn Mohr theo biến dạng giữa các giai đoạn c va d và tính góc đãn nở \wma„ d) Từ câu (b) hãy tính $ peak Và #,

10 TRINH UNG SUAT, LO TRINH BIEN DANG VA CÁC BAT BIEN 65 2.4

2.5 Một tường chắn xây dựng trên lớp cát pha c6 K, = 0,6 và có mực nước ngắm bên dưới mặt đất là 1m Bản đáy tường chắn rộng 4m đặt sâu bên dưới mặt đất là 0,õm Áp lực truyền lên bản đáy là ð00kPa Trọng lượng của đất ẩm bên trên mực nước ngâm là 18kN/m?; bên đưới mực nước ngắm là 20&N/m° Vẽ lộ trình ứng suất tổng (TSP) và ứng suất có hiệu (ESP) theo cách của viện MIT và cách của trường Cambridge tại một điểm ở độ sâu 4m bên đưới đáy móng và trên trục tim của bản đáy

Hãy rút ra các biểu thức quan hệ giữa các thông số biến đạng ey và z, theo các thông số ứng suất # và s” trong điều kiện bài toán biến đạng phẳng của đất đàn hôi đẳng hướng và lý tưởng

CHAY DEO VA TIEU CHUAN DEO

GIG! THIEU

Ứng xử của vật liệu đàn hồi được mô tả bởi định luật Hook, trong đó quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ một một

Quan hệ đó có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến (H.3.1) Tuy nhiên, đặc trưng quan trọng là vật liệu hoàn toàn trở lại trạng thái ban đầu và không mất năng lượng trong quá trình chất tải rồi đỡ tải ỉ # a) b)

Hinh 3.1 Quan hệ giữa ứng suất uà biến dang 0) Đàn hôi tuyến tính; b) Đàn hôi phi tuyến Có nhiễu loại vật liệu quan hệ giữa ứng suất wà biến dạng không phải là quan hệ một một; nhiều trạng thái biến dang chi tương ứng với một trạng thái ứng suất và ngược lại Chẳng hạn, một sợi đồng chịu kéo lần đầu có một đường cong quan hệ giữa ứng suất và biến đạng nào đó thì khi đỡ tải đường quan hệ không trở về đường cũ Sau khi đỡ tải hoàn toàn thì sợi đồng còn lại biến dạng không phục hồi (AA:B; trong hình 3.2, theo Taylor và Quinney, 1981) Nấu sợi đồng được chất tải trở lại chưa vượt qua tải trọng tối đa lần trước thì biến đạng chủ yếu là biến đạng đàn hồi và đường cong quan hệ đi theo lộ trình như lie dé tai (B,C, trong hình 3.2), có nghĩa là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ một một Tuy nhiên, ngay khi tải trọng tác dụng vượt qua tải trọng tối đa lần trước thì ứng xử đàn

CHÂY DẺO VÀ TIÊU CHUẨN DEO 67

CAC TIEU CHUAN DEO KHONG PHỤ THUỘC VÀO AP LỰC THỦY TINH

'Tiêu chuẩn chảy dễo xác định giới hạn đàn hổi của vật liệu ở trạng thái ứng suất hỗn hợp Chúng ta đã biết giới hạn đàn hồi trong thí nghiệm kéo đơn là ứng suất chảy dẻo ơo, trong khi đó trong thí nghiệm cắt đơn là ứng suất chảy đẻo tạ Một cách tổng quát, giới hạn đàn hồi hoặc ứng suất chảy dẻo là một hàm số theo trạng thái ứng suất cụ Vì vậy điều kiện mye dẻo có thể điễn tả như sau: ƒ(oy,u,l„ ) = (3.1) trong dé ky, #; là các hằng số vật liệu giống nhữ ơo và rọ, được xác định bằng thí nghiệm Đối với vật liệu đẳng hướng thì phương của ứng suất chính không phụ thuộc vào vật liệu và giá trị của ba ứng suất chính đủ để mô tả duy nhất một trạng thái ứng suất Vì vậy tiêu chuẩn đẻo có thể viết dưới dạng sau: f(Gi,ơa,ơa, Ra, hy ) = 0 (3.2)

Chúng ta cũng biết rằng, ba ứng suất chính ơ;, œ;, 03 c6 thé được điễn tả qua ba bất biến ứng suất ùĂ, dạ, và djỞ; trong đú 1Ă là bất biến thứ nhất của tensơ ứng suất ơy; ‹; và ¿¿ là bất biến thứ hai và thứ ba của tensơ ứng suất lệch s„ Vì vậy người ta có thể thay thế phương trình (3.2) bởi: fdI,d;,dJ;, kị,kạ ) = 0 (3.3)

Ngoài ra, ba bất biến trên lại có mối quan hệ với các trục tọa độ š, p, 60 trong không gian ứng suất Haigh-Westergaard Vì vậy (3.8) có thể viết lại như sau: fŒ,p,8, bị, kạ )'= 0 (3.4)

"Tiêu chuẩn chảy dẻo của vật liệu cân phải được thí nghiệm

Bridgman và các tác giả khác đã tiến hành thí nghiệm trên thép và cho thấy ảnh hưởng của áp lực thủy tĩnh lên chảy dẻo là không đáng kể Trong trường hợp như vậy thì tiêu chuẩn chảy dẻo có thể viết lại như sau: f(J;,d2;,kị, kạ ) = 0 (3.5)

3.2.2 Tiéu chuẩn chảy đẻo theo Tresea Đối tượng nghiên cứu của chúng ta là cơ học đất, vật liệu nghiên cứu là đất Tuy nhiên, lịch sử phát triển lý thuyết đẻo thì dựa trên các thí nghiệm trên thép Năm 1864, Tresca là người đầu tiên đã đề nghị tiêu chuẩn chây dảo cho thép trên cơ sở trạng thái ứng suất hỗn hợp Tiêu chuẩn đó cho rằng chảy đềo sẽ xảy ra khi ứng suất cắt tối đa tại một điểm đạt đến giá trị tới hạn & Có nghĩa là theo (1.1.4), một nửa giỏ trị tuyệt đối lớn nhất của cỏc cặp ứng ứ suất chớnh phải bằng È lúc xảy ra chảy đẻo

Me lm - 64), Foe — |, sịt -siÌ =k 1 (3.6) trong đó k là hằng số vật liệu được xác định từ thí nghiệm kéo Lúc đó:

= 20 (3.7) trong 46 op 1a ting su&t chay déo trong thi nghiém kéo. cHAY DEO VA TiEU CHUAN DEO 69

Như vậy sẽ có sáu biểu thức khác nhau để điễn tả tiêu chuẩn chảy đềo trong các miễn thay đổi của mặt phẳng ơ— ơ; tùy vào giá trị tuyệt đối và đấu của ơi và ơ; (xem H.3.8) Trong một phần tư thứ nhất giữa trục ơ: và đường phân giác giữa hai trục, ơy > ơ; dĩ nhiên là o3= 0 cho nén:

Tee = oy Tiêu chuẩn dẻo trong miễn này trở thành 6, = op va xAc định đường AB Cũng trong một phân tư thứ nhất này, giữa đường phân giác và trục ơa có ơa> ơi cho nên:

Tiêu chuẩn déo trong mién này trở thành ơa = ơo và xác định đường BC Trong phân tư thứ hai vì ơ; < 0 và ơ; > 0 cho nên Ơa > Ơi và chúng ta có:

Vì vậy trong một phần tư thứ hai, tiêu chudn déo tré thanh o — ỉĂ = ơo và xỏc định đường CD Tương tự cho một phần tư thứ ba và thứ tư, chúng ta xác định đường cong đềo cho trường hợp ứng suất phẳng là lục giác không đều ABCDEF như hình 3.3

Hình 3.3 Tiêu chuẩn chdy déo khi kéo trong mdt phdng ơy = 0 Để biểu diễn mặt chảy đếo trong không gian ứng suất chính, phương trình (1.73) được sử dụng cho ứng suất chính Giả thiết ơi > ơ;

> og, chúng ta có thể viết lại (3.6) dưới dạng như sau:

Khai triển phương trình trên và kết hợp với (3.7) chúng ta rút ra được tiêu chuẩn Tresca theo các bất biến: ƒ(J,,9)= 2xj7; s9 tận) -ứ,=0 (0 ơ; > ơ;, thì tiêu chuẩn Mohr—Coulomb có thể viết lại như sau:

1 ~ gi —ỉg)Ê0Sụ = e— [Fe +63) + 2L 5 Sa sin‡ lang $ (3.28) hoặc được sắp xếp lại: o, Ltsing _ 5, 1 , 2ccosu 3 2ccosh — 7sing _ (3.24) Để mô tả mặt phá hoại theo tiêu chuẩn Mohr-Coulomb trong không gian ba chiều, chúng ta phải vận dụng lại (1.73) và áp dụng vào (3.24) Phương trình (3.24) sẽ trở thành:

CHÂY DÈ0 VÀ TIÊU cHUAN Déo 7 fF 2,8) = sh sing+ je, ain 0 +2) ba (3.25)

+ Fe cor( 9 + sing —ccos¿ = 0 hoặc theo š, p, Ô: ƒ(Œ,p,8) = 2J2E sìn è + ap snl 6 + ¡)

+ pco tế sing —ccosd = 0 với 0 M (QR trong H.5.15) va chảy đẻo thì vectơ đẻo sẽ hướng về phía bên trái, có nghĩa là biến dạng thể tích dẻo là biến dợng nở Đất có khuynh hướng đẻo suy bên và đường cong déo lic bay giờ phải giảm kích thước, ðpạ < 0 Ứng suất có hiệu trung bình phải tang, dp’ > 0 để sự nén đàn hồi cân bằng với sự đãn nở đẻo (H,ð.15)

4,8, a) b) Hinh 5.15 Bién dang thé tich không đổi a) Trong mặt phẳng ứng suất có hiệu; b) Trong mặt phẳng nén uạp' `

MO HINH SET CAM, SET CAM CAI TIEN 157

MŨ HÌNH SET CAM TRONG PHAN MEM PLAXIS

Trong Plaxis ham chay déo cia mé hinh sét Cam duge viét dudi dang nhu sau: f=F-P,p (5.108) trong đó ƒ là hàm số theo trạng thái ứng suất (, g) và p; là ứng suất nén cố kết tương tự như pọ' ở phần trước; và theo qui luật tăng bén thi p, 1A ham sé theo biến dạng dẻo

Pp = Pp &XP| ass ter gat 5.108

Ham chay déo ƒ biểu điễn một ellip trong mặt phẳng p~g (H.5.22)

Thông sé M trong phương trình (5.106) xác định chiều cao của ellip Tỷ số giữa ứng suất theo phương ngang với ứng suất theo phương đứng trong thí nghiệm nén một trục trên mẫu đất nguyên trạng quyết định chiều cao của ellip Kết quả là thông số ⁄ quyết định chủ yếu hệ số áp lực ngang của đất, Kệ, Trên cơ sở đó thì Ä⁄ phải chọn sao cho phù hợp với giá tri KX trong thi nghiém nén một trục trên mẫu đất nguyên trạng Như vậy thì M khác với nguồn gốc ban đầu từ ý tưởng đường trang thái tới hạn nhưng nó phải phù hợp với giá trị KỆ,

Thông số M được tính toán tự động đựa trên hệ số áp lực ngang của đất trong điểu kiện cố kết thường, KỆ, được người sử dụng nhập vào Mối liên hệ giữa M và K‡C xác định theo biểu thức sau (Brinkgreve, 1994)

NCy2 NC * * , a [OKs ) q~ K}#J(1 ~ av, ree’ —D (6.109)

Phương trình (5.109) cho thấy thông số M còn chịu ảnh hưởng bởi các hệ số Poisson vự và tỷ số ^/K` Tuy nhiên, nó chịu ảnh hưởng bởi Kỹ rất đáng kể Phương trình (5.109) có thể xấp xi gần đúng như sau: 2

Hinh 5.22 Mét chdy déo ciia mo hinh sét yéu trong q:p’ Đường thẳng nối các đỉnh cia cdc ellip cé 46 déc 1A M trong mặt phang p’-g Trong mé hinh sét Cam cdi tién (Burland 1965, 1967) đường thẳng nói trên là đường trạng thái tới hạn biểu diễn các trạng thái ứng suất sau khi đạt tới giá trị tối đa thì suy bền về trạng thái tới hạn, vì vậy thông số M được xác định theo góc ma sát tới hạn

Trong phần mềm Plaxis mô hình sét Cam cải tiến được sử dụng để

MO HINH SET CAM, SET CAM CAI TIEN 165 mô phỏng sét yếu và được gọi là mô hình sét yếu Tuy nhiên khi mẫu phá hoại trạng thái ứng suất không nhất thiết phải nằm trên đường trạng thái tới bạn; mà nằm trên đường bao sức chống cắt Mor- Coulomb Tiêu chuẩn phá hoại theo Mohr-Coulomb được sử dụng với các thông số độ bén ¿, e không cần thiết phải tương ứng với đường trạng thái tới hạn.

KẾT LUẬN

Cần chú ý là những đặc trưng khác nhau của thí nghiệm thoát nước hoặc không thoát nước trên đất sét cố kết thường và sét quá cố kết nặng đều xuất phát từ một quan điểm về mô hình Đó là giá thiết về thế năng đẻo ràng buộc mối quan hệ về độ lớn giữa độ gia biến dạng trượt đẻo và độ gia biến dạng thể tích déo Nếu trạng thái ứng suất có hiệu của mẫu ở vị trí mà biến dạng tăng bên và sự nén thể tích dẻo xây ra (cé nghia 1A n < M) khi gia tăng ứng suất trong thí nghiệm thoát nước, thì tương ứng trong thí nghiệm không thoát nước ứng suất có hiệu trung bình phải giảm (và áp lực lỗ rỗng gia tăng) khi có sự gia tăng ứng suất trong thí nghiệm Tương tự như vậy, nếu trạng thái ứng suất có hiệu của mẫu ở vị trí mà biến dạng suy bên và sự đăn nở thể tích déo xảy ra (có nghĩa là n > Ä) khi gia tăng ứng suất trong thí nghiệm thoát nước, thì tương ứng trong thí nghiệm không thoát nước ứng suất có hiệu trung bình phải tăng (và áp lực lỗ rỗng giảm) khi có sự gia tăng ứng suất trong thí nghiệm.

BÀI TẬP

5.1 Một mẫu đất sét được tiến hành thí nghiệm ba trục trong điều kiện nén bất đẳng hướng lên đến ứng suất có higu la o, = 156kPa

Hệ số áp lực ngang của đất trong quá trinh nay 18 Kp = 0,65 Sau đó mau đất được đỡ tải trở về ứng suất có hiệu theo phương thẳng đứng là 100&Pứ (điểm A) và cho tiến đến trạng thỏi cõn bằng với ỏp lực 16 rỗng bằng zero Người ta nhận thấy lúc bây giờ Ko = 1 Ứng suất lệch giờ đõy gia tăng đến 60%Pứ nhưng vẫn khụng cho nước thoát ra (điểm B) Giữ nguyên ứng suất tổng và cho mẫu thoát nước, có nghĩa là áp lực lỗ rỗng tiêu tán dân dẫn Dễ dàng nhận thấy rằng hiện tượng chảy dẻo xảy ra suốt trong quá trình này (điểm C) và trạng thái cân bằng sau cùng tại điểm D có áp lực lỗ rỗng bằng zero.

'Tính toán biến dang đọc trục và biến dạng xảy ra ở mỗi giai đoạn của thí nghiệm AB, BC, và CD Giả thiết rằng ứng xử của sét có thể được mô tả bằng mô hình sét Cam với các giá trị của các thông số của đất như sau: M = 0,9; 4 = 0,19; N = 2,88 va x = 0,06; N = 2,88 va G’ = 2500kPa

Hãy so sánh các giá trị về cường độ của đất trong thí nghiệm ba trục thoát nước và không thoát nước bắt đầu từ trạng thái ở điểm D ð.2 Một mẫu đất sét bão hòa nước được nén cố kết đẳng hướng lên tới ỏp lực bỡnh là 1000%Pứ ở 20°C với tỷ thể tớch v = 3,181 Hóy nghiên cứu ảnh hưởng của việc giảm đột ngột nhiệt độ xuống 10°C lên sức chống cắt không thoát nước Giả thiết việc thay đổi nhiệt độ xảy ra nhanh chóng đến nỗi nước không thể thoát ra hay tiến vào mẫu nhưng giả thiết rằng áp lực lỗ rỗng phát sinh do sự thay đổi nhiệt độ đã tiêu tán trước khi mẫu tiến hành thí nghiệm nén ba trục không thoát nước ở nhiệt độ thấp

Giả thiết hệ số đãn nở của nước cũng như của đất do nhiệt độ lân lượt là 20 x 10”8/°C và 200 x 10 5/°C và mođun đàn hồi của nước là 2,2Gpa Giả thiết ứng xử của sét có thể mô tả bằng mô hình sét Cam với cỏc thụng sd A = 0, 25; ô =.0,05; N = 3,64 va M = 0,9

5.8 Một mẫu sét Cam tiến tới trạng thái cân bằng giới hạn trong bình thớ nghiệm ba trục với ứng suất cú hiệu ứ; = 200kPa va ứ} = 300kPa

Mẫu đất biến dạng dếo ngay trước lúc đạt tới trạng thái ứng suất có hiệu ở trên

Bây giờ mẫu chịu sự thay đổi ứng suất có hiệu như sau: 507 -1kPa va 80; = +4kPa Tinh toán độ gia tăng biến dạng dọc trục và _ biến dạng theo phương bán kính Giả thiết giá trị các thông số của đất như sau: A = 0, 26; K = 0,07; N = 3,B2; M = 0,85 va Œ' = 1500kPa, ð.4 Một mẫu sét Cam chịu áp lực nén có hiệu đẳng hướng với p’ 200kPứ thỡ cú tỷ thể tớch ứ = 2,06 Hóy chỉ ra những lịch sử cú thể xảy ra phù hợp với trạng thái quan sát được của mẫu trong các trường hợp sau (¡) nén đẳng hướng và đỡ tải, (i) nén thoát nước theo kinh điển và đỡ tải, (ii) nén không thoát nước và đỡ tải, va (iv) ứng suất nén có hiệu không đổi và dỡ tải Lấy giá trị của các thông số của đất như sau: À = 0, 19; x = 0,045; N = 3,12 va M = 0,93.

MÔ HINH SET CAM, SET cam CAI TIEN 167

5.5 a) Một mẫu sét kaolin bão hòa nước (G, = 3,61) chịu nén cố kết trong thớ nghiệm ba trục với ỏp lực bỡnh là 200&Pứ Vào lỳc này thể tích mẫu là 86 x 10mm" và độ dm của mẫu là 61,28% Áp lực bình tăng đến 400kPứ thỡ thể tớch nước thoỏt ra từ mẫu đất là 5956mmề

Sau đó áp lực bình giảm đến 300ÈkPa thì thể tích mẫu tăng thêm 476mm? Dùng số liệu của thí nghiệm ở trên để tính các thông số của sét Cam: F, À và K b) Sau khi giảm ỏp lực bỡnh tới 300%Pứ, khúa tất cả cỏc van thoỏt nước và tiến hành nén mẫu trong điều kiện không thoát nước theo thí nghiệm ba trục chuẩn Sử dụng mô hình sét Cam véi M = 1,02 Hãy tim gid trig, và ứ; lỳc mẫu chảy dẻo và tim q, va ứ; và pả, lỳc mẫu đạt đến trạng thái tới hạn, từ đó vẽ lộ trình ứng suất tổng và có hiệu trong g, P; q, p và lộ trình trạng thái trong v, In” suốt trong quá trình thí nghiệm c) Một mẫu đất sét kaolin cùng loại cũng được xử lý tương tự như mẫu ở trên nhưng tiến hành nén mẫu trong điểu kiện thoát nước Hóy thử lại giỏ trị gy lỳc chảy đếo là 70kPứ và xỏc định p; lỳc mẫu chảy đẻo và tỡm ạ, và ứ; lỳc mẫu đạt đến trạng thỏi tới hạn; hóy so sánh và cho nhận xét sự khác nhau từ hai thí nghiệm đ) Hãy giải thích tại sao mô hình sét Cam sẽ tiên đoán không tốt kết quả thớ nghiệm nếu cho mẫu đỡ tải về 60&Pứ trước khi làm thí nghiệm *

5.6 Một mẫu sét Kaolin bão hòa nước (Œ, = 2,61) được nén cố kết đẳng hướng trong bình trụ đến áp lực bình là 300kPa 6 trang thái này mẫu hình trụ có chiều cao là 90m và đường kính là 38mm Các van đều đóng và mẫu chịu nén trong diéu kiện không thoát nước như của thí nghiệm ba trục chuẩn với áp lực bình không đổi vẫn là 300*Pa Kết quả thí nghiệm cho các giá trị của ứng suất lệch g và áp lực đư lỗ rỗng như sau:

(kPa) 0 24.5 45,4 632 783 | 1016 | 1177 | 1365 u (kPa) 0 30,2 53,6 78,6 973 | 1328 | 1619 | 218 hi kết thúc thí nghiệm thi độ ẩm của mẫu là 57,2 % a) Vẽ và giải thích ý nghĩa của các lộ trình ứng suất tổng và có hiệu trong mặt phẳng g, p` và q, p

Một mẫu thứ hai cũng được dự định chuẩn bị giống như mẫu thứ nhất nhưng do bất cẩn cho nên mẫu đã chịu áp lực có hiệu lên đến 820kPa trong quá trình nén đẳng hướng Để mẫu thứ hai có độ ẩm giống như mẫu thứ nhất cần phải giảm áp lực có hiệu xuống 229kPa

Suốt trong quỏ trỡnh mẫu nở, khi giảm ỏp lực cú hiệu từ 320&Pứ xuống 229*Pà thì mẫu đã hút vào 618mm) nước b) Dùng các số liệu ở trên để tính các thông số I, 4, x, M va $2, ce) Mẫu thứ hai chịu thí nghiệm nén trong điều kiện không thoát nước với ỏp lực cú hiệu của bỡnh là 229kPứ Hóy vẽ lộ trỡnh ứng suất trong mặt q, p và mặt q, p` và cho biết giá trị của q lúc mẫu chảy dẻo và lúc phá hoại đ) Nếu mẫu thứ nhất được tiến hành thí nghiệm trong điều kiện thoát nước thì lúc mẫu bị phá hoại, giá trị của g sẽ là bao nhiêu?

Nhận xét ý nghĩa kỹ thuật của kết quả

5.Ÿ a) Hãy xác định các thông số bất biến ứng suất p’ vA g theo tng suất chính và những đại lượng đo được trong thí nghiệm ba trục chuẩn

Hai mẫu sét bão hòa nước được chuẩn bị để thí nghiệm cắt sau khi nén đẳng hướng trong bình ba trục Mỗi mẫu đều chứa 116,3g bột sét khô (GŒ, = 3,70) Mẫu A được tiến hành nén đẳng hướng với áp lực bỡnh tăng dẫn từ 95%Pứ đến 174kPứ với điều kiện để nước hoàn toàn thoát hết suốt trong quá trình tăng tải từng cấp Ở cấp tải 174kPa đường kính của mẫu là 40mzn và chiều cao là 120mm Sau đó tất cả cỏc van được đúng lại và ỏp ực bỡnh đó tăng lờn 274ẩPứ, mẫu được tiến hành nén trong điểu kiện không thoát nước cho đến khi mẫu phá hoại Kết quả thí nghiệm được ghi nhận như sau: Ấp lực bình, ơ; (kPa) 25 50 75 100 150 174 Áp lực lỗ rỗng, u (kPa) 0 0 0 0 9 0

Số liệu thí nghiệm trong quá trình cắt mẫu Áp lực bình,œ(kPa) | 274 | 274 [27a [ova |]zr3 | 274 Áp lực lỗ rỗng,u(kPa) |100 | 104 |114 | 132 | 162 | 189 Ứng suất lậchq(kPa) | 0 10 20 30 40 45

MO HINH SET CAM, SET CAM CAI TIEN 169

b) Hóy vẽ lộ trỡnh trạng thỏi của mẫu Á trong mặt g, ứ' và v, Inp’ và cho nhận xét

Mẫu ệ cũng được cố kết giống như mẫu A nhưng nhỡ vượt quỏ ứng suất lờn đến 200kPứ Để tiến hành cắt mẫu thứ hai cú cựng hệ số rỗng như mẫu A lỳc bắt đầu cắt, phải giầm ỏp lực bỡnh xuống 140kPứ và mẫu nở ra có kết quả như trình bày bên dưới Sau đó các van được đúng lại và tăng ỏp lực bỡnh lờn đến 240#Pứ và tiến hành cắt mẫu trong điểu kiện không thoát nước Áp lực binh, oe (kPa) 150 200 140 240 Áp lực lỗ rỗng, u (kPa) g 0 9 100 Ứng suất lộch,q (kPa) 56,01 64,62 60,31 e) Tiờn đoỏn lộ trỡnh trạng thỏi của mẫu ủ trong mặt g, ?` và 0, Inp’ trong qua trình cắt mẫu và cho biết giá trị của g, p' và áp lực lỗ rỗng u lúc mẫu chảy dẻo và lúc phá hoại đ) Nếu mẫu 8 được tiến hành cắt trong điều kiện thoát nước với ỏp lực bỡnh khụng đổi là 148kPứ Hóy tớnh giỏ trị q, ứ' lỳc mẫu bị phỏ hoại, và thể tích nước thoát ra suốt trong quá trình cắt mẫu

5.8 a) Một mẫu đất sét được nén đẳng hướng bằng thiết bị ba trục lên tới ứng suất có hiệu p` = 400kPa Vao lúc đó thể tích của mẫu là 86 x 102mm Sau đó tất cả các van thoát nước đều đóng và mẫu được tiến hành thí nghiệm nén trong điều kiện đặc biệt với áp lực bình giám trong khi ứng suất lệch gia tăng sao cho tổng ứng suất trung bình p vẫn giữ không đổi Hãy vẽ lộ trình trạng thái của mẫu trong quá trình thí nghiệm trong các mặt q, Ð; 4, P Và U, Inp’ Hãy cho biết các giá trị g, p, u, p’ va ty thể tích v lúc bắt đầu tiến hành thí nghiệm và lúc phá hoại (sinh viên phải tính các giá trị trung gian để vẽ các lộ trình trạng thái cho thuận lợi) b) Hãy so sánh sức chống cắt không thoát nước và áp lực lỗ rỗng lúc mẫu phá hoại trong trường hợp này với trường hợp nếu tiến hành thí nghiệm mẫu theo thí nghiệm ba trục chuẩn

Cho sử dụng cỏc thụng sộ T = 2,759; 2 = 0,161; ô = 0,062; M = 0,89 va G, = 2,75.

TRANG THÁI TỚI HAN

BIỚI THIỆU

Trong chương trước, mô hình đàn dẻo sét Cam được sử dụng để dự đoán tính ứng xứ của các mẫu đất trong quá trình thí nghiệm Tất cả mọi thí nghiệm đều tiến về một trạng thái sau cùng giống nhau, trong đó biến dạng trượt dẻo tiếp tục xảy ra vô hạn định, trong khi đó thể tích cũng như ứng suất có hiệu không đổi Trạng thái sau cùng này được gọi là trọng thái tới hạn Trạng thái tới hạn này được diễn tả như sau:

Khi đạt đến trạng thái tới hạn thì tỷ số ứng suất có hiệu sẽ đạt đến giá trị như sau: m =, =M : (6.2)

Các thí nghiệm thoát nước và không thoát nước trên đất sét cố kết thường hoặc quá cố kết nhẹ (AB, AC trong hình 6.1 hoặc hình 5.5 và hình 5.15) đã cho thấy, đầu tiên đất chảy đềo với rị < M Tiếp tục tăng tải trong điều kiện thoát nước hoặc không thoát nước thì đất tiếp tục chảy đo tăng bền và các đường cong déo dan nở Đông thời tỷ số ứng suất có hiệu cũng gia tăng cho đến khi trạng thái ứng suất nằm trên đỉnh đường cong đẻo lúc bấy giờ (yIB hoặc ylC) và vectơ biến đạng dẻo song song với trục q, 6e?/de? = 0 Lúc bấy giờ đất chảy đẻo lý tưởng và đạt đến trạng thái tới hạn với r\ = M.

Các thí nghiệm thoát nước và không thoát nước trên đất sét quá cố kết nặng (PQ, PR trong hình 6.1 hoặc hình ð.7 và hình 5.17) đã cho thấy, đầu tiên đất chảy đẻo với n > Äí Tiếp tục tăng tải trong điêu kiện thoát nước hoặc không thoát nước thì đất tiếp tục chảy déo suy bên và các đường cong dẻo co trở lại Đồng thời tỷ số ứng suất có hiệu cũng giảm dân cho đến khi trạng thái ứng suất nằm trên đỉnh đường cong đéo lúc bấy giờ (ylQ hoặc y!R) và vectơ bién dang dẻo song song với trục q, de?/de? = 0 Lite bấy giờ đất chảy dẻo lý tưởng và đạt đến trạng thái tới hạn với n0 = M q a) b) Pe

Hình 6.1 Thí nghiệm nên ba trục thoái nước va không thoát nước trên sét cổ hết thường 0à quá cố kết

Trong mặt phẳng p*g, quỹ tích của các trạng thái tới hạn là một đường thẳng nối các đỉnh của các đường cong dẻo (H.6.3a), n = ă hoặc:

Ges = Mp (6.3) Đường này được gọi là đường trạng thái tới hạn (CSL), Sự tương quan của các đường cong đếo không phụ thuộc vào kích thước của chúng Phương trình tổng quát cho các đường cong déo:

Kích thước của đường cong đẻo được quyết định bởi gid tri pj, và đỉnh của đường cong đềo noi n = M (H.6.3a) có tọa độ: r= PO 65

Mỗi đường cong dẻo (yD thì tương ứng với mỗi đường đỡ tải và chất tải (url) trong mặt phẳng nộn p';ứ (H.6.3b) Cỏc đường đỡ tải và chất tải này có điểm mút của nó trên đường nén đẳng hướng tại tọa độ p = pạ Trong mặt phẳng nộn bỏn logarit ứ:inp' (H.6.3e), đường nén cố kết đẳng hướng là một đường thẳng có phương trình: v=N-dlnp’ (6.6)

Trong mặt nén bán logarit này, đường đỡ tải và chất tải cũng là những đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: v=u.-Klnp’ (6.7)

Vậy thì đường đỡ tải va chất tải tương ứng với đường cong dẻo có kích thước là pạ sẽ như sau:

Tại đỉnh của đường cong đềo với p’ = Pis = Po/2 thi tỉ thể tích lúc đó sẽ là:

Usg = N -2 In 2p), + x 1n2 hoặc có thể viết lại như sau:

TRANG THÁI TỚI HẠN 173

MŨ TẢ BỘ BA p”, q VÀ v TRNG HỆ TRỤC PHANG

Để mụ tả trạng thỏi ứng suất ba trục p:q và tỉ thể tớch ứ phải cõn có hai hệ trục phẳng, đó là mặt phẳng ứng suất và mặt phẳng nén hoặc một hệ trục ba chiều như hình 6.4 Mô hình sét Cam có thể chỉ ra hai cách mô tả trạng thái ứng chỉ với một hệ trục phẳng

Cách thứ nhất là gộp tỉ thể tích 0 uè ứng suất p' uề một biến

Phương trình đường cong dẻo của mô hình sét Cam:

Phương trình đường cong dẻo ở trên chỉ chứa hai tỷ số ứng suất

Tương ứng với mỗi tỷ số giữa ứng suất lệch với ứng suất trung bình (g/p= n) sẽ có một tỷ số giữa ứng suất trung bình với ứng suất ở đầu mút của đường cong đềo (p/pj) Những tỷ số không đổi (tỷ số p/pạ với nhiều giá trị p` và pạ khác nhau) trở thành những khoảng cách đều nhau trong hệ trục logarit Cho nên cũng giống như tỷ số ứng suất nạ = M định nhiều đỉnh của các đường cong dẻo tạo thành đường trạng thái tới hạn song song với đường nén cố kết đẳng hướng thì bất kỳ với tỷ số nào khác của n cũng định một loạt điểm tương tự trên các đường cong dẻo và tạo thành một đường tương ứng với tỷ số n đó cũng song song với đường nén cố kết đẳng hướng (H.6.3c) Mỗi đường tương ứng với mỗi giá trị có phương trình như sau: v=u,-Alnp’ (6.12)

Một cỏch để chuyển tỉ thể tớch ứ và ứng suất trung binh p’ vộ một biến là viết lại biểu thức trên như sau: vu, =v+Alnp’ (6.13)

Hay nói một cách khác là chiếu điểm chứa thông tin của v va lnp' theo phương song song với đường nén cố kết đẳng hướng lên đường có p' = 1 Giá trị của u; đối với đất đang xảy ra biến dạng dẻo chỉ phụ thuộc vào tỷ số ứng suất rị = gí” Như vậy chỉ cần hai biến số 1 và ứ„ là đủ thay mặt cho bộ ba p*“q:o thong tin về trạng thỏi của đất Dễ dàng nhận thấy rằng, thế (6.6) vào (6.13) sẽ có được:

=0; n= N (N trong hinh 6.5) và thế (6.13) vào (6.10) sẽ có: n=Äf; u =T

(C trong hinh 6.5) Những giỏ trị của ứ; tương ứng với những giỏ trị khác của rị có thể xác định bằng cách thế biểu thức (6.8) xác định thể tớch ứ tại một điểm trờn đường đỡ tải và chất tải: u=N-ÄInpj + xin® (6.8bis) vào biểu thức xác định v, (6.13)

Kết hợp phương trình trên với phương trình đường cong dễo (6.4) sẽ có được:

Mối quan hệ này được biểu diễn bằng đường cong NCX trong hình 6.5 Mọi trạng thái ứng suất trên đường cong dẻo tương ứng đêu nằm trên đường cong này

Hinh 6.5 Các lộ trình thí nghiệm ba trục thoát nước uà My, không thoát nước uẽ trong hé truc vy va

Lộ trình của thí nghiệm ba trục chuẩn thoát nước hoặc không thoát nước trên đất sét cố kết thường đều bất đấu từ điểm N, sau đó di chuyển dọc theo đường NC và kết thúc thí nghiệm khi đạt đến trang thái tới hạn tại C lộ trỡnh thớ nghiệm bứ trực chuẩn khụng thoỏi nước trờn đất sét quá cố kết đều bắt đâu chẳng hạn ở điểm P (đối với sét quá cố kết nhẹ) hoặc R (đối với sét quá cố kết nặng) với n = 0 Sau dé gia tải, trạng thái lúc này còn nằm trong đường cong dẻo với ứng suất trung bình p' không đổi Vì thí nghiệm không thoát nước có thể tích đặc biệt ứ cũng khụng đổi cho nờn theo (6.13) thỡ ứ„ cũng khụng đổi cho đến lúc lộ trình gặp đường cong dẻo (PQ và R8 trong hình 6.5) Sau đó lộ trình tiếp tục đi chuyển trên đường cong đẻo cho đến lúc đạt, đến trạng thái tới hạn tai C (QC va SC trong hinh 6.5)

Lộ trình thí nghiệm ba trực chuẩn thoát nước trên đất sét quá cố kết cũng bắt đâu từ P hoặc R Trong giai đoạn đâu của quá trình chất tải trạng thái ứng suất còn nằm bên trong đường cong déo véi p’ gia tăng và tỉ thể tích v giảm trên đường đỡ tải và chất tải Độ đốc của đường đỡ tải và chất tải nhỏ hơn độ đốc của đường nén cố kết đẳng hướng, vì vậy trong giai đoạn đầu của quá trình chất tải giá trị uv), gia tăng (PF va RG trong hinh 6.5) cho đến lúc lộ trình gặb đường cong đềo Sau đó lộ trình sẽ đi lên hoặc đi xuống để đến trạng thái tới han (FC va GC trong hinh 6.5)

Dai lugng v, 6 thé chuyển đổi tất cả sé ligu cha p’ va v lên trên một mặt phẳng có ứng suất trung bình không đổi như đã điễn giải ở trên

Cách thứ hai dựa uào khái niệm áp lực cố kết tương đương P, Áp lực cố kết tương đương là áp lực trong thí nghiệm nén cố kết đẳng hướng cho tỉ thể tớch bằng với tỉ thể tớch ứ lỳc bõy gid (H.6.6)

Sau khi xác định p;, thì có thể chuyển đổi các giá trị của p>z lên mặt phẳng có tỉ thể tích v là hằng số bằng cách chia p cho p; và q cho 7,

Phương trình đường nén cố kết đẳng hướng: v=N-Alnp’ (6.6bis)

Ap lực cố kết tương đương ứng với ti thé tich v:

Nếu ứng suất frung binh p’ nim bên trong đường cong dẻo có kớch thước là pọ thỡ tỉ thể tớch ứ lỳc này sẽ là: v=N-Alnp) +n 20 p’ (6.8bis)

Thay p' bằng ứ; vào (6.6bis) rồi so sỏnh với (6.8bis) và biến đổi Sẽ có:

Pe (2) Pe Po (6.18) trong đó: X= x À—K (6.19)

Trạng thái ứng suất nằm trên đường cong dẻo thì: p Mm +

Phuong trinh trén hoan toan giéng véi (5.95) la phuong trinh của đường ứng suất có hiệu trong thí nghiệm không thoát nước Điều hiển nhiên là:

4 me Peo Pe (6.21) và có thể vận dụng hai phương trình (6.20) và (6.21) để vẽ một đường cong tương ứng với đường cong déo sét Cam trong mặt phẳng p/p;: g/p, (H.6.7) Trong hình này điểm Nœ/ Pp, = 1:g/p¿ = 0) tương ứng với đường nén cố kết đẳng hướng; và điểm © (!p, = 2%q/ pp, = M2”) tương ứng với đường trạng thái tới hạn:

TRẠNG THÁI TỚI HẠN 179 jso-nel

Hình 6.6 Áp lực nén cố kết tương đương

Vì p; vẫn không thay đổi suốt trong quá trình thí nghiệm không thoỏt nước do cú tỉ thể tớch ứ khụng đổi cho nờn cỏc lộ trỡnh ứng suất có hiệu trong thí nghiệm không thoát nước được vẽ trực tiếp lên mặt phẳng p/ p¿:q/ p„ Lộ trình ứng suất của các thí nghiệm không thoát nước trên đất sét quá cố kết có ứng suất trung bình không đổi sẽ xuất phỏt từ điểm cú tỷ số ứ/p; và khụng đổi cho đến lỳc gặp đường cong dếo (PQ và RS trong hình 6.7) rồi tiếp tục di chuyển trên nó cho đến lúc đạt đến trạng thái tới han tai C (QC va SC trong hinh 6.7) qíp

PíP Hình 6.7 Lộ trình các thí nghiệm thoát nước uà không thoút nước trong hệ trục chuẩn hóa qí pep! Pp,

Mẫu ở trạng thái cố kết thường: Thí nghiệm thoát nước trên mẫu đất cố kết thường theo lộ trình NC đã mô tả trong hình 5.5b Ứng suất trung bỡnh ứ gia tăng, tuy nhiờn ỏp lực nộn cố kết tương đương lại tăng nhanh hơn khi đất chịu nén cho nên tỷ số p⁄p' giảm Sự thật là lộ trỡnh di chuyển theo đường cong NC trong mặt phẳng ỉp/:g/ p, (H.6.7) (điểm Ở không nằm trên đỉnh của đường cong NCX đo lộ trình ứng suất có hiệu trong thí nghiệm không thoát nước không có độ đốc bằng zero, ửp/8g z 0 lỳc đạt đến trạng thỏi tới hạn Điều này là do biến dạng thể tích đàn hôi không thể bỏ qua đã xây ra trong thực tế

Nếu không có biến dạng thể tích đàn hổi thì x = 0 và X = 1 và lúc đó điểm Ở nằm trên đỉnh của đường cong hình 6.7

Mẫu ở trạng thái quá cố kết: Thí nghiệm thoát nước trên mẫu đất sết quá cố kết ban đầu thể tích nén một ít và lộ trình thí nghiệm di chuyển trên đường đỡ tải và chất tải xuống phía dưới khi lộ trình ứng suất có hiệu di chuyển đến đường cong đẻo ban đầu (H.5.6b, so với H.5.7b) Lúc đầu áp lực nén cố kết tương đương g;¿ gia tăng một ít khi mẫu chịu nộn thể tớch nhưng khụng nhanh bằng ứng suất trung bỡnh ứ; cho nờn ứ'/p; tăng dõn cho đến khi gặp đường cong đảo (PF và RG trong H.6.7) Mẫu đốt sét quá cố kết nhẹ chây dẻo tiến về trạng thái tới hạn và mẫu giảm thể tích do biến dang déo thì p'/p;, giảm (EC trong H.6.7; so với H.5.6b) Mẫu sét quá cố kết nặng chảy dẻo tiến về trạng thái tới hạn và mẫu đãn nở thể tích do biến dang déo thi p’/p’, tang (GC trong H.6.7; so với H.5.7b)

Cách mô tả bộ ba p, g và v trong hệ trục phẳng như trình bày ở trên đã gộp được ứng xử của đất trong điều kiện thoát nước và không thoát nước vào cùng một biểu đề Nó cũng chỉ ra rằng khi xét theo ứng suất có hiệu thì ứng xử theo điều kiện thoát nước hay không thoát nước cũng chỉ là những bộ phận khác nhau của một tổng thể ứng xử thống nhất của đất.

TRANG THAI TG! HAN CUA DAT SET

Roscoe, Schofield, vA Wroth (1958) da thu thập nhiều kết quả thí nghiệm từ một số lớn của các thí nghiệm ba trục thoát nước và không thoát nước trên đất sét phục chế Số liệu của các thí nghiệm không thoát nước được trình bày trong mặt phẳng ứng suất và mặt phẳng không thoát nước trong hình 6.8; còn số liệu của thí nghiệm

TRẠNG THÁI TỚI HẠN 181 thoát nước được trình bày trong hình 6.9 Trong cả hai trường hợp thoát nước và không thoát nước, đều bỏ qua kết quá thí nghiệm có tỉ số quá cố kết lớn hơn 8 vì mẫu không còn báo đảm tính đồng nhất và liên tục, sẽ giải thích trong phần 7.4

Hình 6.8 Các điểm kết thúc thí nghiệm ba trục thoát nước (o: sét cổ kết thường, ®: sét quá cố kết); a) Trong một phẳng ứng suất có hiệu; ð) Trong mặt phẳng nén u:p` (theo Roscoe, Schofield uà Wroth, 1956)

Các điểm kết thúc của thí nghiệm không thoát nước trên các mẫu sét cố kết thường được sử dụng để xác định quỹ tích của chúng trong mặt phẳng ứng suất và mặt phẳng nén Trong mặt phẳng ứng suất (H.6.8a), quỹ tích của chúng là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ Trong mặt phẳng nén (H.6.8b) quỹ tích của chúng là một đường cong trơn tru Tuy nhiên, nếu kể kết quả của tất cả các thí nghiệm không thoát nước thì điểm kết thúc của chúng nằm trên hoặc gần với những đường ở trên Nhằm để so sánh, các điểm kết thúc của thí nghiệm thoát nước cũng được sử dụng để xác định quỹ tích của chúng trong mặt phẳng ứng suất và mặt phẳng nén Cả hai tập số liệu đều dẫn đến cùng một phương trình toán của đường thẳng trong mặt phẳng ứng suất, và cùng một phương trình toán trong mặt phẳng nén phù Có lẽ giờ đây điều này không còn làm cho chúng ta ngạc nhiên nữa vì trong chương ð mô hình sét Cam đã dự đoán điều này Thật vậy, ứng xử của các thí nghiệm thoát nước và không thoát nước có thể dự đoán bằng một mô hình nên đơn giản dựa trên ứng suất có hiệu, như mô hình sét Cam chẳng hạn; và các thí nghiệm này cũng chỉ dẫn đến một quan hệ ứng suất và biến dạng giống nhau Những thí nghiệm không thoát nước khác có thể tiến hành theo những lộ trình ứng suất có hiệu khác, vì vậy không có gì đặc biệt trong sự phân chia giữa ứng xử thoát nước và không thoát nước Tuy nhiên về lịch sử phát triển của cơ học đất thì vào thập niên ð0 của thế kỷ XX, người ta có khuynh hướng xem kết quả thí nghiệm thoát nước và không thoát nước hoàn toàn không liên hệ gì với nhau và cũng không có sự tương thích nào q 17

Hình 6.9 Các điểm kết thúc thí nghiệm ba trục thoát nước (o: sét cố kết thường, e: sét quá cố kết); œ) Trong mặt phẳng ứng suất có hiệu; b) Trong mặt phẳng nén 0p (theo Roscoe, Schofield va Wroth, 1958)

Tập số liệu trong hình 6.8 và 6.9 cho thấy một bằng chứng thuyết phục là tổn tại một đường được xác định bởi ba giá trị Ð, q,Ð mà tất cả thí nghiệm déu hướng về nó bất kể loại thí nghiệm như thế nào, lộ trình ứng suất ra sao cũng như bất kế lịch sử cố kết như thế

TRẠNG THÁI TỚI HẠN 183 nào (khống chế điểm bắt đầu thí nghiệm so với đường nối các điểm kết thúc) Trong mặt phẳng ứng suất (H.6.8a và H.6.9a), đường đó có phương trình như sau: q=0,872p (6.25)

Vã đường đó và đường nén đẳng hướng trong mặt phẳng nén bán logarit o:Inp' (H.6.8b), chúng ta sẽ có hai đường hoàn toàn thẳng và song song với nhau Đường đó bao gồm những trạng thái giới hạn và có phương trình như sau: ứ = 2,072 — 0,0911n ” (6.26)

Dạng phương trình của đường thẳng này hoàn toàn giống với đường trạng thái tới hạn trong mô hình sét Cam (6.3) và (6.10) Đường này được xem là đường trạng thái tới bạn của sét Weald iso-nel esl iso-nel

Hình 6.10 q) Thí nghiệm nén ba trục thoát nước; b) Thí nghiệm nén ba trục không thoát nước kết thúc thí nghiệm còn xa đường trạng thái tới hạn nhưng uẫn có xu hướng tiến đến đường trạng thái tới hạn Đường trạng thái tới hạn đóng vai trò như một giới hạn của các giá trip’, q, và 0 thay đổi trong quá trình thí nghiệm Trạng thái tới han đồi hồi một điều kiện như sau: œ 2 sọ (6.27) de, de, a, , Để đạt được diéu kiện (6.27) đòi hỏi biến dạng phải rất lớn

(trạng thỏi tới hạn thực) vỡ cỏc đạo hàm ửðy/ục;, g/Se,, va dv/Se, (cú nghĩa là kể cả độ cứng trượt tiếp tuyến õg/8e,) đều tiến về zero Trong thực tế, thí nghiệm mẫu không còn đồng nhất khi đạt đến biến dang lớn như vậy và có lẽ trong thực tế cũng không đạt đến trạng thái tới hạn Dù vậy đường trạng thái tới hạn vẫn là đường mà tất cả thí nghiệm đều hướng tới

Parry (1958) đã theo đõi sít sao kết quả thí nghiệm ba trục của mình và đi đến kết luận là khi kết quả sau cùng của thí nghiệm có thể trích dẫn được đường như không nằm trên đường trạng thái tới hạn đã định trước, nhưng thật ra thì trạng thái của đất vẫn đang tiến về trạng thái tới hạn ở cuối thí nghiệm

88.1 Thí nghiệm thoát nước 1-_ Kết thúc uê phía phải của đường trạng thái tới hạn

Một số thí nghiệm thoát nước kết thúc về phía phải của đường trạng thái tới hạn (W trong hình 6.10a) Giá trị ứng suất có hiệu lúc mẫu bị phá hoại (kết thúc thí nghiệm) là p¿ lớn hơn giá trị ứng suất có hiệu trung bình trên đường trạng thái tới hạn có cùng tỉ thể tích 0 của mẫu lúc kết thúc thí nghiệm Trong trường hợp những thí nghiệm như thế, người ta quan sát thấy rằng lúc kết thúc thí nghiệm mẫu vẫn còn trên đà giảm tỉ thể tích ; và trạng thái của đất vẫn còn đang chuyển địch xuống về phía đường trạng thái tới hạn trong mặt phẳng nén Có nghĩa là p2,/p; < 1, (5v/5e,); < 0

9- Kết thúc uê phía trái của đường trạng thái tới hạn

Ngược lại, những thí nghiệm thoát nước kết thúc về phía trái của đường trạng thái tới hạn (X trong hinh 6.10a) sao cho p;,/p; > 1 thì người ta quan sát thấy rằng lúc kết thúc thí nghiệm mẫu vẫn còn trên đà gia tăng thể tích đặc biệt (6u/ õs,); > 0; và trạng thái của đất vẫn còn đang chuyển dịch lên về phía đường trạng thái tới hạn trong mặt phẳng nén

6.3.2 Thí nghiệm không thoát nước

1 Kết thúc uê phía phải của đường trạng thái tới bạn Những thí nghiệm không thoát nước kết thúc về phía phải của đường trạng thái tới hạn (Y trong hình 6.10b) sao cho Pà/pr < 1 thì người ta quan sát thấy rằng lúc kết thúc thí nghiệm mẫu vẫn còn trên đà gia tăng áp lực lỗ rỗng (ðu/8e,ỳ > 0, vì vậy ứng suất có hiệu trung bình giảm (ọp/ửc,); < 0; và trạng thỏi của đất vẫn cũn dang chuyển dịch sang trái về phía đường trạng thái tới hạn trong mặt phẳng nén

DUONG TRANG THÁI TÚI HẠN VÀ ĐỊNH TÍNH vé UNG XU CUA BAT

Sự tên tại đường trạng thái tới hạn cho phép chúng ta đánh giá về mặt định tính sự ứng xử của đất trong bất cứ thí nghiệm ném ba trục nào trên đất có bất kỳ lịch sử cố kết như thế nào Dé đánh giá về mặt định tính cẩn phải xem xét sự ứng xử của đất trong mặt phẳng ứng suất có hiệu và mặt phẳng nén một cách đồng thời. ¢) p Hinh 6.12 Ứng xử của đất trong thí nghiệm bu trục thoót nước oà không thoát nước đối uới đường trạng thói tới han; a, b) Lộ trình thí nghiệm trong một phẳng có hiệu phq; c) Lộ trình trong mặt phẳng nén 0p

Có bai cặp thí nghiệm được xem xét Cặp thứ nhất gêm hai thí nghiệm trên các mẫu được nén đẳng hướng ở trạng thái cố kết thường (A trong hình 6.12), cặp thứ hai gồm hai thí nghiệm trên các mẫu nén đẳng hướng và giảm tải sao cho mẫu ở trạng thái quá cố kết và có ứng suất có hiệu trung bình ban đầu giống như mẫu A (B trong hình 6.12) Nhữ vậy tất cả bốn thí nghiệm tiểu bắt đầu tại cùng một điểm trên trục p` trong mặt phẳng ứng suất có hiệu ŒH.6.12a,b) nhưng trong mặt phẳng nén thì vị trí ban đầu A va B nằm về hai phía khác nhau của đường trạng thái tới han (H.6.12c),

6.4.1 Mẫu ở trạng thái cố kết thường 1- Thí nghiệm không thoát nước

'Trong mặt phẳng nén lộ trình thí nghiệm bắt đầu từ điểm A thì kết thúc ở điểm U sẽ nằm trên đường trạng thái tới hạn (H.6.12c) va cú tỉ thể tớch ứ khụng đổi

Trong mặt phẳng ứng suất, điểm U cũng nằm trên đường trạng thái tới hạn và có p` như trong mặt phẳng nén (H.6.12a), lộ trình từ A đến U chưa xác định được nhưng có thể sơ phát một đường cong nào đó Chúng ta cũng biết trong thí nghiệm ba trục chuẩn thì ứng suất tổng cú lộ trỡnh ứng suất tổng theo độ dốc ửg/ọp = 3 Lộ trỡnh ứng suất tổng AW nằm bên phải của lộ trình ứng suất có hiệu, cho nên trong thí nghiệm không thoát nước áp lực lỗ rỗng phát sinh là dương

Trong mặt phẳng ứng suất p›g: Lộ trình ứng suất có hiệu xuất phát từ A cũng là lộ trình ứng suất tổng trong thí nghiệm không thoát nước AW Có nghĩa là điểm kết thúc thí nghiệm thoát nước chính là W trên đường trạng thái tới hạn

+ Trong mặt phẳng nén, điểm W cũng nằm trên đường trạng thái tới hạn cùng với giá trị p` của W trong mặt phẳng ứng suất (H.6.12c), như vậy thì mẫu chịu nén và giảm thể tích Hình dạng của lộ trình từ

A đến W cũng chưa biết nhưng có thể sơ phát một đường cong nào đó

6.4.2 Mẫu ở trạng thái quá cố kết

1- Thí nghiệm không thoái nước Các điểm kết thúc thí nghiệm tiến về đường trạng thái tới hạn trong thí nghiệm không thoát nước của mẫu sét quá cố kết hoàn toàn khác với mẫu cố kết thường Lịch sử cố kết đã để lại cho đất tại B có tỉ thể tớch ứ nhỏ hơn rất nhiều (H.6.12e) cho nờn cường độ chống cắt không thoát nước cao hơn rất nhiều Vị trí điểm V trên đường trạng thái tới hạn so với điểm xuất phát B trong cả mặt phẳng nén (H.6.12c) cũng như trong mặt phẳng ứng suất (H.6.12b) đều cho thấy ứng suất có hiệu trung bình gia tăng suốt trong quá trình thí nghiệm hay nói một cách khác là áp lực lỗ rỗng có giá trị âm khi tiến đến trạng thái tới hạn

Trong mặt phẳng ứng suất: Những mẫu quá cố kết được bắt đầu thí nghiệm tại B cũng có cùng ứng suất có hiệu ban đâu như các mẫu cố kết thường tại A Cho nên trong thí nghiệm thoát nước lộ trình ứng suất có hiệu (và ứng suất tổng) cũng giống như mẫu tại A, và kết quả là mẫu đạt đến trạng thái tới hạn cũng tại W giống như trường hợp mẫu cố kết thường.

Trong mặt phẳng nén, điểm B nằm bên dưới điểm W cho nên thí nghiệm thoát nước đi liền với việc dăn nở thể tích

Nhưng tất cả những điều nhận xét đó cũng chỉ xác định được vị trí đường trạng thái tới hạn Cần kết hợp với một số kinh nghiệm về sự ứng xử của đất để để nghị rằng lộ trình ứng suất có thể đi cách xa hơn W trong mặt phẳng nộn ứ:g (H.6.12b) (sao cho đường cong quan hệ ứng suất biến dạng đi qua một đỉnh) và mẫu chịu nén lúc đầu rồi sau đó mới đãn nở

Sự ứng xử của đất rõ ràng phụ thuộc vào lộ trình ứng suất tổng mà nó chịu tác dụng Chẳng hạn một mẫu đất cố kết thường chịu tác dụng giảm tải trọng theo lộ trình ứng suất tổng AT (H.6.13) sẽ phát sinh áp lực lỗ rỗng âm trong thí nghiệm không thoát nước (AU) và thể tích đãn nở trong thí nghiệm thoát nước (AT) Trong trường hợp này sức chống cắt thoát nước hay còn gọi là sức chống cắt dài hạn sẽ nhô hơn sức chống cắt không thoát nước q ¥ a , a) b)

Hinh 6.13 Thí nghiệm nén ba trục trên đốt cố kết thường uới lộ trình ứng suất tổng tác dụng sao cho súc chống cắt thoát nước nhỏ hơn sức chống cắt khụng thoỏt nước; g) Lộ trỡnh trong pơq; b) Lộ trinh trong v:p’

TRẠNG THÁI TỚI HẠN CUA CAT VÀ CAC LOAI VAT LIEU ROI KHÁC

Trong phần trước chúng ta đã thảo luận xung quanh hình 6.14 và chứng tổ sự tổn tại của đường trạng thái tới hạn đã rút ra những kết luận có tính chất định tính Trong những thí nghiệm thoát nước bất đầu tiến hành với một ứng suất có hiệu nào đó thì sét cố kết thường lúc đầu có tỉ thể tích lớn sẽ eo trở lại trong quá trình nén mẫu, trong khi đó sét quá cố kết nặng lúc đầu có tỉ thể tích nhỏ sẽ

TRANG THA! TOI HAN 189 dãn nở trong quá trình nén mẫu Riêng đối với cát thì hiển nhiên ai cũng biết rằng cát xốp sẽ co lại và cát chặt sẽ đãn ra khi nén mẫu

Cả sét và cát đều giống nhau đặc tính này cho nên có thể cho rằng trạng thái tới hạn là đặc tính chung về tính ứng xử của đất a) b)

Hinh 6.14 a) Cat chat dan ra khi chiu edt b) Cát xếp nén lại khi chịu cắt

Khi một đống vật liệu hình cầu đều hạt biến đạng sẽ dẫn đến sự thay đổi thể tích của đống vật liệu Đống vật liệu hình câu trạng thái xốp trong hình 6.14a rõ ràng là dễ mất ổn định và sẽ sụp xuống ngay khi xảy ra biến dạng trượt, đống vật liệu hình cầu trạng thái chặt trong hình 6.14b chỉ có thể biến dạng trượt khi lớp hạt bên trên trườn lên bên trên lớp hạt phía đưới Sự sắp xếp của vật liệu rời thật phức tạp hơn nhiều nhưng cách biến dạng thì hầu như giống nhau

Cassagrand (1936) đã mô tả đường cong quan hệ giữa ứng suất và biến đạng trong thí nghiệm cắt trực tiếp các mẫu cát chặt và các mẫu cát xốp (H.6.15)

Trong quá trình cắt mẫu cát chặt, ứng suất cắt tiến tới giá trị tối đa 8p tại điểm B trên đường cong Nếu biến dạng tiếp tục xấy ra thì ứng suất cắt sẽ giảm dân đến một giá trị nhỏ hơn và không đối dù biến dạng vẫn tiếp tục xảy ra Trong giai đoạn sức chống cắt giảm thì _ mẫu cát tiếp tục dân nở (đường EG), sau cùng tiến tới hệ số rỗng tới hạn trong khi biến dạng vẫn tiếp tục với ứng suất cắt không đổi S¡

Tuy nhiên, trong quá trình cắt mẫu cát xốp với áp lực pháp tuyến không đổi thì ứng suất cắt tăng dân đến sức chống cắt Š„ Nếu biến dạng tiếp tục xảy ra và vượt qua điểm này thì sức chống cắt vẫn không thay đổi Rõ ràng là thể tích của cát vào lúc này phải tương ứng với hệ số rỗng tới hạn đã đạt được trong thí nghiệm trên cùng loại cát nhưng ở trạng thái chặt Cho nên những đường cong diễn tả sự thay đổi thể tích trong thí nghiệm cắt trên mẫu cát chặt và mẫu cát xốp phải cùng tiến về hệ số rỗng tới hạn khi mẫu đạt tới điều kiện đừng

F Gát xốp nén lại Cat chat

————— Biển Ứng suất cắt dạng trượt a) b)

Hình 6.15 Sự biến đổi thể tích của cát chặt uà cát xốp trong quá trình cắt mẫu Casagrand đã đi kết luận: “Mọi loại đất rời đều có một hệ số rỗng tới hạn và khi đạt tới giá trị này thì đất có thể tiếp tục biến dạng hoặc thậm chi la chảy thì thể tích cũng không đổi”

Két qua thí nghiệm trên mẫu cát (Vesic và Clough, 1968) duge mé ta trong hinh 6.16

Hình 6.16a,b,c (các đường cong A,B) trình bày kết quả thí nghiệm trên các mẫu cát lúc đầu ở trạng thái chặt và các mẫu lúc đâu ở trạng thái xốp với ứng suất có hiệu trung bình p` = 98ÈPa Rõ ràng thí nghiệm đã gặp khó khăn với mẫu cát chặt là không thể tiến tới điêu kiện tới hạn, trong đó mẫu vẫn tiếp tục biến đạng với thể tích không đổi (đường cong A trong hình 6.16e) Tuy nhiên, đối với mu cat xốp thì có thể xác định được hệ số rỗng tới hạn là 0,9 (giá trị này của hệ số rỗng tới hạn cũng cho biết mẫu cát lúc đầu ở trạng thái chặt dãn nở thể tích chừng 17%).

TRẠNG THÁI TỚI HẠN 191 íp' 2 a) b) eC B _”

Hình 6.16 Cúc thí nghiệm nên ba trục thoát nước trên cát uới ứng suất có hiệu trung bình không đổi Các mẫu cát chặt: A(), p` = 98kPa, vp = 1,69;

Cle), p’ = 207MPa, v, = 1,72; D(4), p’ = 34,4MPa, v, = 1,69 Cac mẫu cút xốp:

BU), p’ = 98kPa, v, = 2,03; a) Tỷ số ứng suất qip' uà biến dạng trượt ty b) Biến dạng thể tích e, uà biến dạng trượt &; ©) Ty thé tich v va bién dang trượt +; (theo Vesic vd Clough, 1968)

Cũng trong hình 6.16, Vesic và Clough còn trình bày kết quả thí nghiệm ba trục với các ứng suất có hiệu trung bình khác Ảnh hướng của việc gia tăng ứng suất có hiệu trung bình p' lên biến đạng thể tích của các mẫu có cùng hệ số rỗng ban đầu có thể nhận thấy trong hình 6.16a,b (đường cong A, C, và D) Việc gia tăng ứng suất có hiệu trung bình p' đã làm mất đỉnh của đường cong quan hệ giữa ứng suất và biến đạng thường thấy trong những thí nghiệm kinh điển Điều này có thể nhận thấy ở đường cong quan hệ với áp lực trung bình nhỏ nhất trong hình 6.16a Ngoài ra trong hình 6.16a thì ứng xử của đất thay đổi khi ứng suất có hiệu trung bình thay đổi trong lúc hệ số rỗng hầu như không đổi Người ta cũng nhận thấy rằng ứng xử của đất thay đổi khi hệ số rỗng ban đầu thay đổi trong lúc ứng suất trung bình không đổi.

QUAN HỆ ỨNG SUẤT VÀ SỰ DẪN NO TRONG BAI TOAN BIẾN DANG PHANG

Trong các chương trước, mô hình sét Cam chỉ mô tả ứng xử của đất trong thí nghiệm ba trục Tuy nhiên, dùng mô hình biến dạng phẳng để mô tả mối quan hệ giữa tỷ số ứng suất và tốc độ dân nở sẽ đơn giản hơn Từ kết quả của mô hình phẳng, chúng ta sẽ so sánh với trường hợp thí nghiệm ba trục để tìm ra quy luật chảy đo

Hình 6.17 cho thấy một hình ảnh đơn giản về sự đãn của đất trong quá trình hai lớp đất cất lên nhau Trong quá trình cắt, thể tích của đất dan ra cho nên khi trượt thì đất không trượt trên mặt phẳng nằm ngang mà trượt trên mặt phẳng nghiêng một góc là wy (H.6.17a)

Bây giờ xét đến các lực tác dụng trên mặt nghiêng Nếu góc ma sát trên mặt nghiêng ký hiệu là ¿„ thì góc ma sát lúc khởi động trượt trên mặt phẳng nằm ngang là ở/„ sẽ bằng: in = Poe + Y (6.28)

Nếu giả thiết rằng góc ma sát ngăn cần sự chuyển động giữa các lớp đất luôn luôn là ý,„ thì góc ma sát ‡'„ được xem là hằng số của đất

Lúc bây giờ phương trình (6.28) trở thành biểu thức quan hệ giữa góc ma sát lúc khởi động $„ và góc dãn nở (phương trình 6.28 chưa phải là biểu thức chặt chẽ về điều kiện cân bằng trên mặt trượt hình răng cưa như trong hình 6.17 bởi vì nó là kết quả từ sự cân bằng lực mà lẽ ra phải xây dựng điều kiện cân bằng dựa trên ứng suất thì thích hợp hơn

Tuy vậy, biểu thức trên đã cho độc giả thấy ngay rằng tổn tại mối quan hệ giữa góc ma sát khởi động hoặc tỷ số ứng suất với sự dãn nở)

Trong thí nghiệm cắt trực tiếp trong phòng, người ta cho rằng mặt trượt giữa hai nửa của mẫu đất cũng có dạng hình răng cưa (H.6.18) Các thông số về lực cũng như chuyển vị trong thí nghiệm đều xác định được, đó là lực nén P, lực cắt Q và các chuyển vị y và x tương ứng đo từ biên của hộp cắt Công của các lực P, Q thực hiện trên các chuyển vị õy và õx như sau:

Số hạng Q&x tượng trưng cho cụng cắt mẫu Số hạng Pửy tượng trưng cho công thực hiện sự thay đổi thể tích mẫu khi cắt Đối với cát ,chặt thỡ mẫu sẽ đón ra khi cắt, ọy < 0 và lực P được nhất lờn khi cắt mẫu Cát chặt có các hạt cài chặt với nhau nên khi chuyển vị chúng phải trườn bò lên nhau làm cho thể tích mẫu dãn ra Vì cát hạt cài chặt lấn nhau cho nên công được thực hiện Qôx một phần dùng nâng lực thẳng đứng lên để vượt qua lực cài chặt giữa các hạt Phần còn lại là ãWr do hạt đất tiếp thu, một phần nhỏ tích trữ qua biến dạng đàn hổi của hạt đất nhưng phần lớn tiêu hao vào sự ma sát giữa các hạt khi chúng lăn và trượt lên nhau

Hinh 6.17 a) Mat trugt hinh rang cua; b) Lực tập trung trên mặt nghiêng

Theo Taylor (1948) nếu cho rằng tất cả céng rong 6Wr đều tiêu hao vào sự ma sát (không tích trữ qua biến dạng đàn hồi) gây ra bởi lực P và hệ số ma sát „ thì có được phương trình quan hệ giữa ứng suất và sự din nở tương đối đơn giản, thật vậy theo giả thiết trên:

Thế (6.29) vào (6.30) và sắp xếp lại thì có được: ay PP (6.31)

Trong biểu thức trên, số hạng đầu tiên chính là góc ma sát lúc khởi động trượt trên mặt nằm ngang:

Số hạng thứ hai mô tả sự đãn của mẫu đất; so sánh với hình 6.17 sẽ có; gi =-langw : (6.33) y

Hình 6.18 Bà mặt rồng cua đất trong hộp cắt

Khi các hạt đất lăn và trượt lên nhau sao cho thể tích của mẫu đất không đổi, có nghĩa là mẫu đất đạt đến trạng thái tới bạn thì ðy/8x = 0 và Q/P = p Biểu thức (6.31) có thể viết lại như sau: tang È„ = u+ tang (6.84)

Biểu thức trên cho thấy rằng, khả năng chịu lực bằng với sự ma sát cộng với sự dãn nở Có thể sử dụng số liệu của Taylor (1948) để kiểm chứng lại công thức (6.34) như trong hình 6.19 Độ đốc trong biểu đồ quan hệ giữa các chuyển vị z va y (H.6.19b) được sử dụng để tớnh giỏ trị của ọy/ðx dựng để vẽ mối quan hệ với Q/P như trong hỡnh 6.20a Sau đó mối quan hệ giữa tổng Q/P + y/ðx theo chuyển vị ngang + được trình bày trong hình 6.20b.

TRANG THAI TO! HAN 195

Hinh 6.19 Các thí nghiệm cắt trực tiếp trên cdét Ottawa uới ứng suốt pháp 287kPa (x: chặt, uạ = 1,562; +: xốp, uạ = 1,652; a) Ma sat khdi déng trén Q/P trén mat phdng ngang vd chuyén vj trugt x; b) Chuyén vj đứng y uà chuyển vi ngang x (theo Taylor, 1948)

Rõ ràng những số liệu ban đầu không thỏa mãn được phương trình 6.31 hoặc 6.34 Điều này cũng dễ hiểu vì một phẩn công do lực cắt gây ra đã làm cho hạt đất biến dạng đàn hồi cho nên có một ít số liệu ban đâu bị phân tán là việc đương nhiên Nhưng một quy luật chảy đẻo cần thể hiện được những điều liên quan đến biến đạng dẻo hơn là tổng biến dạng, có nghĩa những số liệu sau đó mới thực sự liên quan đến biến dạng dẻo Khi vượt qua giá trị lớn nhất của tỷ số Q/P (tỷ số ở đỉnh hoặc đỉnh khởi động ma sát) thì số liệu trở nên đồng đều hơn, và giá trị p ~ 0,49 Dùng biểu thức (6.31) với ụ = 0,49 để vẽ quan hệ giữa Q/P với óy/ọ& như trong hỡnh 6.20a đó cho thấy tớnh chất suy bến của cát chặt khi tỷ số lực vượt qua tỷ số ở đỉnh

Mặc dù trong thí nghiệm cắt trực tiếp, các đại lượng như các lực P,Q cũng như chuyển vị x,y đều có thể đo được nhưng không thể hiện được bằng ứng suất hoặc biến dạng tương đối vì biến dạng của mẫu cắt trực tiếp không đổng nhất Để biến dạng của mẫu đông đều hơn, người ta tiến hành thí nghiệm mẫu trên thiết bị cắt đơn Cơ chế biến dạng của mẫu trong thí nghiệm có chiều đài của mẫu vẫn không đổi tuy chiéu cao của mẫu có thay đổi Ứng suất trong mẫu thuộc loại cắt đơn không hoàn toàn đông đều, tuy nhiên với dụng cụ thích hợp, người ta có thể đo được ứng suất pháp c„ và ứng suất tiếp t„ tác

196 CHUONG 6 dụng lên mẫu Đồng thời để đàng đo được chuyển vị đứng và chuyển vị ngang của mẫu và tính được biến dạng tương đối:

Hình 6.20 Tỷ số ứng 0ù sự dãn nở trong các thí nghiệm cắt trực tiếp trên cát Ottaiug theo biểu thức 8.7 (x: chặt; s; xốp): q) Quan hệ Billa Q/p va By / bx; b)

Quan hệ giữa QÍp + Šy lồx uà chuyẩn vi trugt x (theo Taylor, 1948)

TRẠNG THÁI TỚI HẠN 187

KET LUAN

Chương này đã cho thấy, từ mô hình sét Cam đã xuất hiện một bộ ba ứng suất có hiệu và thể tích đặc biệt p>”g:o lúc biến dạng trượt xảy ra vô hạn định (dẻo lý tưởng) Các trạng thái tới hạn này xuất hiện chỉ vì các mặt thế năng đẻo được giả thiết trong mô hình có độ dốc trong mặt phẳng ứng suất là 8g/ẽp' = 0 lúc tỷ số ứng suất đạt đến một giá trị đặc biệt gp = n = 3ý Trạng thái tới hạn tự động xuất hiện trong mô hình đàn đếo mà không cẩn đòi hỏi những giả thiết nào thêm nữa Trong thí nghiệm cắt trực tiếp trên đất, người ta cũng nhận thấy các đại lượng hữu hạn như ứng suất có hiệu và tỉ thể tích (trái với đại lượng vô hạn là biến đạng trượt) đều có xu hướng tiến về những trạng thái như vậy Trạng thái tới hạn là đặc trưng chủ yếu của ứng xử đã quan sát được Chương này cũng trình bày mối quan hệ giữa ứng suất và sự dãn nở của sét quá cố kết cũng như cát chặt trước khi tiến về trạng thái tới hạn.

BAI TAP

6.1 a) Chứng minh rằng đường ứng suất tổng trong (,g) suốt trong quá trình nén ba trục với áp lực bình không đổi có độ dốc da/dp = 3 b) Một mẫu sét Kaolin bão hòa nước (Œ, = 2,61) chịu nén cố kết trong thí nghiệm ba trục với áp lực bình là 200EPa Vào lúc này thể tích mẫu là 86 x 105mm° và độ ẩm của mẫu là 61,28% Áp lực bình tăng đến 400&Pa thì thể tích nước thoát ra từ mẫu đất là 5956mm”

Sau đó áp lực bình giảm dén 300kPa thi thể tích mẫu tăng thêm 476mm Dùng số liệu của thí nghiệm ở trên để tính các thông số của sột Cam: I, 4 va ô

6.2 a) Hay viét các biểu thức toán xác định ạ, p và ` theo ứng suất chính (Trường Cambridge) và nói mối quan hệ của nó trong thí nghiệm ba trục b) Kết quả thí nghiệm CŨ của một mẫu đất sét (mẫu A) nhu sau: