hsg8 cđ10 biến đổi biểu thức hữu tỉ

Bài 95: Cho và Chứng minh rằng:

Bài 96: a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn và Tính giá trị biểu thức

. b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn và Tính giá trị biểu thức

Bài 97: Cho và ( Với x, y, z, a, b, c khác 0)

Bài 98: Cho a +b +c 0 và a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Tính N

a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A tại c) Tìm giá trị của xđể

Lời giải a) Với x1 thì: b) Tại thì c) Với x1 thì A0 khi và chỉ khi

Vì với mọi xnên   1 xảy ra khi và chỉ khi

Bài 2: Cho  a b    2   b c   2   c a  2  4  a 2    b 2 c 2 ab ac bc   

Biến đổi đẳng thức để được

Nên   * xảy ra khi và chỉ khi Từ đó suy ra

Bài 3: Cho a b c    0,chứng minh rằng : a 3   b 3 c 3 3abc

2) Tính giá trị của A biết

3) Có giá trị nào của xđể A  1 không ?

4) Tìm xnguyên để A nhận giá trị là số nguyên.

Vậy không có giá trị nào của xđể A  1

Thử lại và kết hợp với ĐKXĐ ta được

g) Rút gọn biểu thức A h) Tìm các giá trị nguyên của xđể biểu thức A nhận giá trị nguyên i) Tìm xđể

Lời giải a) ĐKXĐ: b) A nguyên, mà xnguyên nên 2 1 2    x 

Từ đó tìm được x1 và x0 Kết hợp điều kiện  x 0 c) Ta có:

Kết hợp với điều kiện :

           d) Rút gọn Q e) Tính giá trị của Qbiết 3 5 x  4 4  f) Tìm giá trị nguyên của xđể Qcó giá trị nguyên

d) Rút gọn M e) Tìm ađể M 0 f) Tìm giá trị của ađể biểu thức M đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: b) Kết hợp với điều kiện suy ra M 0khi a0 và a1 c) Ta có:

Vì với mọi anên với mọi a

Dấu " "  xảy ra khi Vậy Max M 1khi a2.

Lời giải nhận hai giá trị là 0hoặc 1

Bài 11: Tìm số tự nhiên để: 4 3 3 2 2 2 6 2

  có giá trị là một số nguyên

2 2 n  là ước tự nhiên của 2 Vậy với n0thì B có giá trị nguyên.

  Suy ra điều phải chứng minh

c) Tìm điều kiện của xđể giá trị của phân thức được xác định d) Tìm giá trị của xđể giá trị của phân thức bằng 1

e) Rút gọn P f) Tính giá trị của P khi g) Tìm giá trị nguyên của xđể P nhận giá trị nguyên. h) Tìm xđể

Lời giải Điều kiện a) Rút gọn b) c) Ta có: 1

Ta có: 1 0 Để P0 thì Với x5 thì P0

Bài 16: a) Rút gọn biểu thức : 3 2 2 6

   b) Cho 1 1 1 0 , , 0  x y z  x y z     Tính yz xz xy 2 2 2 x  y  z

Lời giải a) Ta có: b) Vì

Bài 18: Cho x y z, , đôi một khác nhau và Tính giá trị của biểu thức:

Bài 19: Cho ba số a b c , , khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện

Tính giá trị của biểu thức:

Do đó, , trái giả thiết

Bài 20: Cho trong đó la các số khác nhau và khác 0,

a) Để biểu thức xác định thì mẫu số phải khác 0, tức là $a^2-2ab+b^2\ne0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ne0\Leftrightarrow a\ne b$.b) Để biểu thức bằng 0 thì tử số bằng 0, tức là $a^3-b^3=0\Leftrightarrow a=b$.c) Để biểu thức có giá trị nguyên thì cả tử số và mẫu số đều phải là số nguyên Do tử số là số nguyên nên mẫu số cũng phải là số nguyên, tức là $a^2-2ab+b^2$ là số nguyên Theo hằng đẳng thức số 1, ta có $a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2$ nên $\left(a-b\right)^2$ là số nguyên Do đó, $a-b$ là số nguyên.

Bài 22: a) Chứng minh : b) Tìm biết: và

Vậy đẳng thức được chứng minh. b) Biến đổi về

với a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của biểu thức biết thỏa mãn đẳng thức:

Lời giải a) Với ta có: b) Ta có:

Lập luận Nên thay vào biểu thức

Bài 24: Cho Chứng minh rằng:

Nhân cả 2 vế của với , rút gọn suy ra đpcm

a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A, biết c) Tìm giá trị của để d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.

Lời giải a) Rút gọn kết quả : c)

Bài 26: Cho dương và Tính :

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 28: Cho 3 số khác 0, thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức

Bài 29: Cho đôi một khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng:

a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi là nghiệm của phương trình

Lời giải a) Với ta có:

Vậy thì b) thay vào ta có:

a) Tìm điều kiện của để biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức c) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Lời giải a) Điều kiện b) c) Ta có nguyên

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm các giá trị nguyên của để bểu thức nhận giá trị nguyên c) Tìm để

Lời giải ĐKXĐ: b) Để nguyên thì

Vậy thì A nhận giá trị nguyên Đối chiếu với ĐKXĐ ta có là giá trị cần tìm

Bài 33: Cho các số nguyên thỏa mãn

Lời giải Đặt Ta có:

Do la số nguyên có tổng bằng và nên

Bài 34: a) Cho Hãy rút gọn phân thức : b) Tìm tích: c) Cho và

CMR: d) Cho tính giá trị của biểu thức

Lời giải a) Từ chỉ ra được hoặc b) Nhận xét được: Do đó: c) Từ giả thiết

Tương tự: Khi đó: d) Từ Khi đó:

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm để c) Tìm giá trị nhỏ nhất của khi

Vậy với và thì c) Ta có:

Khi Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: Dấu xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTNN của P bằng

Bài 36: a) Rút gọn biểu thức sau: b) Chứng minh rằng:

Vậy với b) Ta có: Đặt

Bài 37: a) Chứng minh rằng: Nếu thì b) Cho ba số khác thỏa mãn :

Do đó b) Ta có: Đặt Ta được: Áp dụng kết quả câu a ta được:

a) Biểu thức A được xác định khi và chỉ khi biểu thức trong căn có nghĩa, tức là khi $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ Suy ra điều kiện xác định của biểu thức A là $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.b) Biểu thức A được xác định khi $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ Khi đó, ta có:$$A = \sqrt{x^2 - 5x + 6} = \sqrt{(x - 2)(x - 3)} = |x - 2| + |x - 3|$$Vì $|x - 2| + |x - 3|$ không phụ thuộc vào giá trị của biến nên khi giá trị của biểu thức A được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Lời giải a) Giá trị của biểu thức được xác định với điều kiện: b) Với ta có:

Vậy khi giá trị biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài 40: a) Cho đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức b) Cho

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có:

Tương tự: và Do đó: b) Từ

Bởi vì : thế vào ta có:

Vậy trong mọi trường hợp, ta có:

Bài 41: a) Tìm biết và b) Tìm 2 số hữu tỉ và b biết: c) Cho và Tính d) Cho và

Lời giải a) Ta có: b) Ta có:

Vậy c) Phân tích 2 giả thiết để suy ra đfcm

Phân tích , phần nào có thì thay bằng d) Ta có:

Vậy Bài 42: a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: b) Tính giá trị biểu thức Biết

a) Biểu thức A xác định khi và chỉ khi 1 + x - 2sqrt(x) > 0 và 1 - x + 2sqrt(x) > 0b) Rút gọn A = 2c) Nếu x, y là các số thực thỏa mãn 1 + x - 2sqrt(x) > 0 và 1 - x + 2sqrt(x) > 0 thì x = 1 + 2sqrt(2) và y = 1 - 2sqrt(2) Do đó, chỉ có một giá trị nguyên dương của x và y là x = y = 3.

Lời giải a) b) c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của , từ đó tìm được được tất cả các giá trị nguyên dương của A

+) khi Từ đó , chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của và y, chẳng hạn :

Vậy chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là:

a) Tìm để giá trị của được xác định Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nguyên của để A nhận giá trị nguyên

Lời giải a) ĐK: Ta có:

a) Rút gọn b) Tìm các giá trị của để

a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức tại c) Tìm giá trị của để

Lời giải a) Với thì b) Tại c) Với thì

a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải a) ĐKXĐ: b) Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên vì

1) Rút gọn 2) Tính giá trị của biết 3) Có giá trị nào của để không ? 4) Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên.

Vậy không có giá trị nào của để 8) Để thì Ư

a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của A, biết c) Tìm giá trị của để d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên

Lời giải a) Rút gọn được kết quả : b) c)

a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi

a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của A biết c) Tìm các giá trị của để d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.

Lời giải a) Rút gọn biểu thức được kết quả: b) c) d)

Bài 52: Cho a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Rút gọn b) ta thấy nguyên khi là ước của 3, mà , từ đó tìm được

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của để c) Tính giá trị của A trong trường hợp

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên.

Lời giải a) Tìm được ĐKXĐ của P là : b)

Mà lớn nhất nên lớn nhất Do đó (thỏa mãn )

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của để có giá trị là một số nguyên.

Biểu thức cho trước được rút gọn (d) Khi giá trị của các biến thỏa mãn điều kiện cho trước (e), ta có thể tính giá trị biểu thức Xét trường hợp các biến là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xác định và biểu thức có giá trị được xác định (f), bài toán đưa ra là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Với dương và thỏa mãn điều kiện ta có:

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của để

Lời giải a) Với thì b) Với thì (1)

Vì với mọi nên xảy ra khi và chỉ khi

Biết với Tính giá trị biểu thức:

a) Tìm điều kiện xác định của rút gọn b) Tìm khi c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

So sánh với điều kiện suy ra thì c) Vì đạt GTLN đạt Lúc đó

Vậy GTLN của là khi

Bài 61 Cho và Chứng minh rằng

Bài 63 Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1. a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng: A < - 4.

Lời giải a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A. b) (vì x > 0; y < 0 và x + y = 1)

4x 2 + 2y 2 + 2z 2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4) 2014 + (y – 4) 2014 + (z – 4) 2014

Bài 65 Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1. a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng: A < - 4.

Lời giải a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A. b) (vì x > 0; y < 0 và x + y = 1)

4x 2 + 2y 2 + 2z 2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4) 2014 + (y – 4) 2014 + (z – 4) 2014

Bài 67 Cho a) Rút gọn M b) Xác định a để

Bài 69 Cho biểu thức: a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên ?Cho biểu thức:

+) Với x-1 = 1 thì x = 2 (TMĐKXĐ) +) Với x-1=-1 thì x = 0 (TMĐKXĐ) Vậy P nguyên khi x {2;0}.

Cho ba số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz và xyz ≠ 0

Lời giải x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz (x ≠ y ≠ z; xyz ≠ 0) (x+y) 3 – 3xy(x+y) + z 3 – 3xyz= 0 (x+y+z) 3 – 3z(x+y)(x+y+z) – 3xy(x+y+z) = 0 (x+y+z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx) = 0

a) Tìm điều kiện của để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên.

Bài 72 Cho Hãy tính giá trị của biểu thức

Bài 74 Cho là 3 số thỏa mãn Chứng minh rằng:

Ta có: nên từ đề bài suy ra

Không mất tính tổng quát , giả sử thì , suy ra , do đó:

Bài 75 a) Cho thỏa mãn và Tính b) Tính

Ta có: b) Với ta có: Áp dụng vào bài toán ta có:

Bài 76 a) Tính giá trị của biểu thức tại b)Cho và Tính giá trị của biểu thức sau theo và b:

Lời giải a) Thay vào biểu thức ta được:

Vậy giá tri của biểu thức tại là 4. b)

Thay và vào biểu thức ta được:

Vậy giá trị của biểu thức tại và là

a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của biểu thức tại c) Tìm giá trị của để

Lời giải a)Với thì: b) Tại thì A có giá trị là c)Với thì

Bài 78 Cho ba số thỏa mãn

Bài 79 Tính giá trị của biểu thức Biết

Bài 80 Cho và thỏa mãn : Tính giá trị của biểu thức

    với x  2011 b) Cho  x  3 y  3  6  x  3 y  2  12  x  3 y   19 Tìm giá trị của biểu thức x3y

c) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức d) Tìm các giá trị của để

Lời giải a) ĐKXĐ: b) với mọi Để Vậy để thì

- Điều kiện xác định: x ≠ 0- Rút gọn: A = x^2/(x-1)- Để A = 1/2 thì x = ±1/√2- Tập giá trị của x trên trục số: {x ∈ R | x ≠ 0; x ≠ 1}- Để A nguyên thì x = -1; x = 0; x = 1 hoặc x = 4

Lời giải a) ĐKXĐ: b) Rút gọn được : c) Để thì:

Biểu diễn trên trục số:

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

a) Rút gọn P b) Tìm để P có giá trị nguyên c) Tìm để

Từ đó suy ra , kết hợp với điều kiện được c)

Kết hợp với ĐKXĐ được và

Bài 86: Cho biết Hãy tìm giá trị của biểu thức

Lời giải a) Từ do đó

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị. b) Rút gọn biểu thức P.

Lời giải a) Tìm điều kiện đúng: b) Rút gọn đúng:

a Rút gọn biểu thức A b Tìm x để A có giá trị bằng 671 c Tìm x Z để Z

Ta có b) Ta có A = 671 (thỏa mãn) c) Ta có Với x Z để Z thì x -1 phải là ước của 6 Hay x -1 { 1; 2; 3; 6}

Kết hợp với ĐKXĐ ta có x {-5; 2; 3; 4; 7}

Bài 89: Cho biểu thức , với và a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tính giá trị của Q biết c) Tìm x để Q > 0.

Lời giải a) Với ta có: b) Khi Khi c) Q > 0 Kết hợp với ĐKXĐ ta có là giá trị cần tìm.

    với x   0;1;2  a) Rút gọn P. b) Tìm x để P x 1   

  b) Với điều kiện x   0;1;2  ta có

Bài 91: Cho biểu thức , với và a) Rút gọn biểu thức Q. b) Tìm giá trị của x để Q có giá trị là

Ta có b) Q = x = -2 thỏa ĐKXĐ nên là giá trị cần tìm.

Bài 22: Cho và Tính tỉ số

Bài 33: Cho và Chứng minh rằng :

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 94: Tìm đa thức A, biết rằng

Bài 96: a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn và Tính giá trị biểu thức

. b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 thỏa mãn và Tính giá trị biểu thức

Bài 97: Cho và ( Với x, y, z, a, b, c khác 0)

Từ : ayz + bxz + cxy = 0 Ta có :

Bài 98: Cho a +b +c 0 và a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Tính N Lời giải a) a 3 + b 3 + c 3 = 3abc a 2 + b 2 + c 2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c 0) 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 – 2ab – 2ac –2bc = 0

Nên (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 0 a, b,c ; Do đó (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 = 0 a, b,c Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0 a = b = c Mà a +b +c 0 a = b = c 0 (*)

Bài 99: Cho biểu thức A a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x, để A < 0 c) Tìm các số tự nhiên x, thỏa mãn: A 2 – = 6

< 0 x – 1 > 0 (vì -3 < 0) x >1 Đối chiếu với điều kiện ta có x > 1 và x 3 thì thỏa mãn đầu bài c Ta có: A 2 – = 6 A 2 – – 6 = 0 Đặt = m (ĐK: m 0)

Mà x là số tự nhiên và x 1 ; x -2; x 3 nên x = 2; x = 0 thỏa mãn.

Vậy x thì thỏa mãn đầu bài.

Bài 100: Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca và a + b + c = 3

Ta có: a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca 2(a 2 + b 2 + c 2 ) – 2(ab + bc + ca) = 0 (a – b) 2 + (b – c) 2 +(c – a) 2 = 0 (1) Mà (a – b) 2 0 với mọi a,b

Tìm điều kiện xác định: y ≠ 0 Rút gọn biểu thức: P = x/y Tìm x để P < 0: x.y < 0 hay x và y trái dấu Tìm các giá trị nguyên của y để P nhận giá trị nguyên: y là ước của x Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x = -1: P = -1/y với y nhỏ nhất, tức là y = -1.

Lời giải a) ĐKXĐ : b) với ĐKXĐ

Với Để nguyên thì nguyên là ước của 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x - 1 và 2, ta được: .Đẳng thức xảy ra khi (x - 1)2 = 1, tức là x - 1 = 1 Do đó, x = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2.

Nhân cả 2 vế của với

Sau đó rút gọn ta được điều phải chứng minh.

Bài 103: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị của , biết c) Tìm giá trị của để d) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên

Lời giải a) Rút gọn được kết quả: b) c) d)

Bài 105: Cho biểu thức : với a Rút gọn biểu thức P. b Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:

Lập luận suy ra Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện: x  0 , y  0 , x   y nên thay x = 1; y =- 3 vào biểu thức P = xy y x ta có: P= 3

Bài 106: a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi c) Tìm giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên d) Tìm để

Phân tích: Điều kiện: a) Rút gọn: b) c) Vậy d) PTa có:

Bài 108: Cho biểu thức : a) Rút gọn b) Tìm các giá trị của để

Bài 109: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức tại c) Tìm giá trị của để

Giải: d) Với thì e) Tại f) Với thì

Bài 110: Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Giải: a) ĐKXĐ: b) Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên vì

1) Rút gọn 2) Tính giá trị của biết 3) Có giá trị nào của để không ? Tìm nguyên để nhận giá trị là số nguyên

1) Rút gọn được 2) ĐKXĐ: và

Vậy không có giá trị nào của để 4) Để thì Ư

Bài 112: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của A, biết c) Tìm giá trị của để d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên

Giải: d) Rút gọn được kết quả : e) f)

Giải: a) Bình phương 2 vế ta có:

Bài 115: Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi

Bài 116: Cho thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức

Bài 118: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của A biết c) Tìm các giá trị của để d) Tìm các giá trị nguyên của để A có giá trị nguyên.

Giải: a) Rút gọn biểu thức được kết quả: b) c) d)

Bài 119: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức :

Bài 120: Chứng minh rằng nếu với

Bài 121: Cho ba số thỏa mãn Tính

Bài 122: Cho Tính giá trị biểu thức

Bài 123: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên

Lời giải a) b) Với Ta có: Để thì phải là ước của 2 Đối chiếu điều kiện tìm được hoặc thỏa mãn

Bài 124: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên c) Tìm để

Lời giải a) ĐKXĐ: b) nguyên, mà nguyên nên Từ đó tìm được và Kết hợp điều kiện c) Ta có:

Kết hợp với điều kiện :

Bài 125: a) Rút gọn b) Tính giá trị của P khi c) Tìm giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên d) Tìm để

Lời giải ĐKXĐ: a) Rút gọn b) c)

Kết luận: thì P nhận giá trị nguyên d) Ta có: Để thì Với thì

Bài 126: Cho c) Rút gọn P d) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Rút gọn d) ta thấy nguyên khi là ước của 3, mà , từ đó tìm được

Bài 127: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị của , biết c) Tìm giá trị của để d) Tìm các giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải a) Rút gọn được kết quả b) c)

Bài 128: Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của để có giá trị nguyên.

Lời giải a) ĐKXĐ: b) Để có giá trị nguyên có giá trị nguyên vì

Bài 129: Rút gọn biểu thức:

a) Biểu thức xác định khi -2 < x < 2.b) Biểu thức có giá trị bằng 0 khi x = 1 hoặc x = -1.c) Biểu thức có giá trị nguyên khi x = 0.

Lời giải a) Ta có Vậy biểu thức A xác định khi b) Ta có: do đó

Vậy với thì biểu thức có giá trị bằng 0 c) Ta có: Để có giá trị nguyên thì

Vậy với giá trị nguyên của là 0 và thì có giá trị nguyên

Nhân cả 2 vế của với rút gọn

Bài 133: Cho chứng minh rằng

Ta có: suy ra Mặt khác:

Bài 134: a) Cho và Tính giá trị của biểu thức b) Cho và Tính giá trị của biểu thức

Bài 137: Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Bài 139: Cho biểu thức a) Tìm để giá trị của được xác định Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải a) Giá trị của được xác định

Bài 141: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.

Vì nên là số hữu tỷ , Vậy là bình phương của một số hữu tỷ.

Vì Tương tự ta có:

Bài 146: a) Cho Tính giá trị của biểu thức b) Cho hai số thỏa mãn: và

Lời giải a) Từ với ta có:

Bài 147: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn b) Tìm để P Lời giải a) ĐKXĐ: b) với ĐKXĐ

Bài 148: Cho và tính giá trị của biểu thức:

   e) Rút gọn M f) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0.

 b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Đề M 0 thì  x 3  3   x  1  x   1 0  và x  2 ; x  4

  a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức R được xác định; b) Tìm giá trị của x để giá trị của R bằng 0; c) Tìm giá trị của x để R 1.

 ( không thỏa ĐKXĐ ) + Với R1, ta có: 2 1 1

              ( vô lý ) Vậy không có giá trị nào của x để R  1.

Bài 151: Tính giá trị của biểu thức

Tính giá trị của biểu thức P x  15 2018x 14 2018x 13  2018x 12   2018x 2 2018x 2018, vớix2017.

         a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm x để 1

P2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x1

 Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương  x  1  và x 1  1 ta có :

 với x1 x 2( thỏa ĐKXĐ) Vậy, GTNN P      4 x 2

Bài 153: Cho a b c  2p Chứng minh : 2 bc b    2 c 2 a 2  4 p p a   

Bài 154: a) Cho x, y > 0 Chứng minh rằng 1 1 4 x y x y 

 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1 Chứng minh rằng 1 1 16 ac bc 

Lời Giải: a) Cho x, y > 0 Chứng minh rằng 1 1 4 x y x y 

HD: Dùng biến đổi tương đương. b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1 Chứng minh rằng 1 1 16 ac bc  Theo câu a, ta có: ac bc ac bc 1  1  4  4 c a b  1  4 c a b 4  16 1 16

Ta có: M   x ax bx ab 2       x bx cx bc 2       x 2  ax cx ca   

Thay   2 vào   1 ta được M ab bc ca  

Bài 156: Cho ba số , ,a b ckhác 0 thỏa mãn đẳng thức: a b c a c b b c a c b a

Tính giá trị của biểu thức: P 1 b 1 c 1 a a b c

Từ giả thiết, suy ra a b c 2 a c b 2 b c a 2 c b a

3 2 a b và 2a b 7 Tính giá trị của biểu thức 5 3 2

  b) Biết b3a và 6a 2 15ab5b 2 0 Tính giá trị của biểu thức 2 5

3 2 a b và 2a b 7. b) Biết b3a và 6a 2 15ab5b 2 0 Tính giá trị của biểu thức 2 5

Tính giá trị của biểu thức P x  15 2018x 14 2018x 13  2018x 12   2018x 2 2018x 2018, vớix2017.

Bài 159: Cho ,x y là hai số khác nhau, biết x 2   y y 2 x Tính giá trị của biểu thức A x  2 2xy y  2 3x 3y

Cho ,x y là hai số khác nhau, biết x 2   y y 2 x Tính giá trị của biểu thức A x  2 2xy y  2 3x 3y

Vì x y  nên x y     1 0 x y 1 Khi đó, A x   2 2 xy y   2 3 x  3 y    x y  2  3  x y       1 2  3 1 4    

Bài 160: Cho a b c  0 Chứng minh rằng: a b a c b c abc 3   3 2  2  0

Bài 161: Cho x 2 y 2  z 2 10 Tính giá trị của biểu thức:

P   xy yz zx    2   x 2  yz   2  y 2  xz   2  z 2  xy  2

Ta có: P   xy yz zx    2   x 2  yz   2  y 2  xz   2  z 2  xy  2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 x y y z x z xy z x yz xyz x y z x yz y x z xy z z x y xyz

Bài 162: Chứng minh rằng nếu ba số , ,a b c thỏa mãn điều kiện: a b c  2018 và

2018 a b c   thì một trong ba số , ,a b cphải có một số bằng 2018

 mà a b c  2018 Do đó, trong ba số , ,a b c phải có một số bằng 2018.

Bài 163: Rút gọn các phân thức: a)      

Do đó, nếu a b c  0 hoặc a b c  thì a b c 3    3 3 3abc a)      

Bài 164: a) Rút gọn phân thức: 45 40 40 30 35 20 10 5 1

Bài 165: Cho các số , ,a b c khác 0, thoả mãn  a b c      1 1 1 a b c      1

  Tính giá trị của biểu thức  a 23  b 23  a b a 5  5  2019  b 2019 

+ Nếu a b 0 thì a b a 23 b 23  a 23 b 23 0 Vậy, P0. + Nếu b c 0 thì b c b 5  c 5 b c 5   5 0 Vậy, P0. + Nếu c a 0 thì c a c 2019 a 2019  c 2019 a 2019 0 Vậy, P0. Kết luận: Với điều kiện đã cho P0.

Bài 166: Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn  x y y z z x      8 xyz. Chứng minh rằng: x y z 

Nhân cả hai vế của a b c 1 b c c a a b  

Bài 168: Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2 a b c   và a b c abc    thì 1 2 1 2 1 2 2 a b c 

Bình phương hai vế 1 1 1 2 a b c   , ta được 1 2 1 2 1 2 2 a b c 4 a b c abc

Suy ra 1 2 1 2 1 2.1 4 2 a b c   ( Vì a b c abc   ) hay 1 2 1 2 1 2 2 a b c  KL: …

Bài 169: Cho x y z , , thỏa điều kiện x y z  0và xy yz zx  0. Hãy tính giá trị của biểu thức: S    x 1  2017  y 2018    z 1  2019

Vậy, S0 khi x y z  0 và xy yz zx  0.

Bài 170: Rút gọn biểu thức: a)     

Bài 171: Cho a + b + c = 0 và a 2   b c 2 2 1 Tính giá trị của biểu thức M a b   4 4 c 4

2 a b c a b c ab bc ca ab bc ca   

 ab bc ca     1 2  ab bc ca    2  1 4

 x 2 Kết hợp với ĐKXĐ, ta được A  1 x 2 và x1.

 suy ra 5  x 2  y 2   8 xy với x  0 và y  0

2 5 2 5 10 8 10 18 9 x xy y x y xy x xy y xy xy xy

A x xy y x xy y x y xy xy xy xy

  Đặt x y z k x ka y kb z kc, , a b c       với , ,a b c0

   khi x y z a b c  với , ,a b c0. c) Cho a b 0 thỏa mãn: 3a 2 3b 2 10ab Tính C a b a b

2 3 2 3 6 10 6 16 4 a ab b a b ab a b a ab b ab ab ab

C a b a ab b a ab b a b ab ab ab ab

Bài 174: Cho biểu thức: a) Rút gọn P; b) Với x0 thì P không nhận những giá trị nào? c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

Lời Giải: a) Rút gọn P ĐKXĐ: x3.

 b)Với x0 thì P không nhận những giá trị nào?

          Vậy, với x0 thì P không nhận các giá trị từ (-1) đến 1, tức là P    1;1  c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

           a) Rút gọn Q; b) Tìm các giá trị của x để Q0,Q1; c) Tìm các giá trị của x để Q0.

Qx với x0,x2,x3. b) Tìm các giá trị của x để Q0,Q1

Vậy, tại x4 thì Q0 và không tồn tại x để Q1. c) Tìm các giá trị của x để Q0.

Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: Q   0 x 4 và x0,x2,x3.

    a) Rút gọn A; b) Tìm a Z để A có giá trị nguyên

 với a2. b) Tìm a Z để A có giá trị nguyên. Để 1

 có giá trị nguyên với a Z và a2 thì 3

     ( thỏa ĐKXĐ)Vậy, a3 hoặc a1 thì A nhận giá trị nguyên.

             Thay x 4  1 a   a 1  a  1  vào M , rút gọn ta được 2 2 , 1

Bài 178: Cho , ,a b c là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ab bc ca a b b c c a 

   ( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa ) Tính: M ab bc ca 2 2 2 a b c

Ta có: ab bc ca a b b c c a a b b c c a ab bc ca

   với , ,a b c là ba số dương khác 0.

Bài 180: Cho a b 1 và ab0 Chứng minh:  

Với a b 1 và ab0, ta có:

Bài 181: Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc2019 Chứng minh rằng:

2019 1 abca b c ab abca abc bc b ca c

( ) 2019 a bca b bc a b abc bc bc b bca bc b

2019 bca b bc b abc bc bc b bca bc b

Bài 182: Cho 3y x 6 Tính giá trị của biểu thức 2 3

Cho 3y x 6 Tính giá trị của biểu thức 2 3

  a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại n99.

 b) Tính giá trị của P tại n99.

Bài 184: a) Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức: b) Cho Chứng minh rằng:

Tương tự: b) Vì Hay Do đó:

Bài 185: Rút gọn biểu thức sau:

Bài 186: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình x 2 – 3x + 2 = 0

Lời giải a) Với ta có :

Vậy thì b) Ta có : x 2 – 3x + 2 = 0 thay x= 2 vào P ta có: P Kết luận với x = 2 thì P Bài 187: Cho biểu thức

Tìm x để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức

Vậy R xác định khi và

Bài 188: Cho x 2 + x =1.Tính giá trị biểu thức Q = x 6 + 2x 5 +2x 4 +2x 3 + 2x 2 +2x + 1

Để tìm điều kiện xác định của biểu thức A, cần tìm x sao cho mẫu số khác 0 Rút gọn biểu thức A bằng cách chia tử và mẫu cho x-2 (x khác 2) Để A nhận giá trị âm, tìm x sao cho tử số âm và mẫu số dương Cuối cùng, để biểu thức (x+2).A nhận giá trị là số nguyên, cần tìm x sao cho A là phân số tối giản và x+2 là ước của tử số.

Lời giải a) ĐKXĐ : Rút gọn được: b) A< 0  x – 1 < 0  x < 1 Đối chiếu với ĐKXĐ, ta được x < 1 c) Ta có:

Lập luận để suy ra :

Bài 190: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên? c) Tìm giá trị lớn nhất của A

Lời giải a) Ta có: b) Muốn A nhận giá trị nguyên thì

Từ đó tìm được tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là c) Ta có : nhận giá trị lớn nhất khi có giá trị nhỏ nhất

Bài 191: Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn (a - b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = 2010 Tính giá trị của biểu thức A = |a – b| +|b – c| +|c – a|

Do x,y,z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz = 70 = (-2).(-5).7nên

Bài 192: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x :

Ta có: (x – 1) 4 –x 2 (x 2 + 6) + 4x(x 2 + 1) = x 4 – 4x 3 + 6x 2 – 4x + 1 – x 4 – 6x 2 + 4x 3 + 4x = 1 Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x.

Bài 193: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng:

Bài 194: Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng:

Vì a + b + c = 0 nên suy ra a 3 + b 3 + c 3 = 3abc

Bài 195: Tìm 3 số dương a,b,c thỏa mãn :

Từ giả thiết : a 2 + 2c 2 = 3b 2 + 19 suy ra a 2 + 2c 2 - 3b 2 = 19 Ta có:

Bài 196: Chứng minh rằng (x 2 + y 2 +z 2 ) 2 = 2(x 4 + y 4 +z 4 ) biết x+ y + z = 0

Ta có: x + y + z = 0 suy ra x = -(y+z) Do đó: x 2 = [-(y+z) ] 2

Bài 198: Biết với Tính giá trị biểu thức

Bài 199: Cho 10a 2 = 10b 2 – c 2 Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b) 2

VT = (7a – 3b) 2 – 4c 2 = 49a 2 - 42ab + 9b 2 – 4c 2 mà 10a 2 = 10b 2 + c 2 nên c 2 = 10a 2 – 10b 2 nên VT = 49a 2 – 42ab + 9b 2 – 4(10a 2 – 10b 2 ) = 49a 2 – 42ab + 9b 2 – 40a 2 + 40b 2 = 9ê 2 – 42ab + 49b 2 = (3a – 7b) 2 = VP

Bài 200: Chứng minh rằng: Với mọi thì giá trị của đa thức : là bình phương của một số hữu tỉ

Ta có: Đặt Suy ra

Bài 201: Cho ba số thỏa mãn Chứng minh rằng

Thay vào tỉ lệ thức ta được:

+ Xét thì + Xét thì Ta có

Bài 208: Cho bi u th c ể ứ b) Rút g n bi u th c ọ ể ứ b) Tính giá tr c a ị ủ , bi t ế c)Tìm giá tr c a ị ủ đ ể d) Tìm các giá tr nguyên c a ị ủ đ ể có giá tr nguyên.ị

+V y, khi ậ thì ho c ặ c) Tìm giá tr c a ị ủ đ ể

V y, ậ d) Tìm các giá tr nguyên c a ị ủ đ ể có giá tr nguyên.ị Đ ể có giá tr nguyên khi ị nguyên và thì

Gi i ra ả ho c ặ ( th a ĐKXĐ)ỏ Suy ra thì có giá tr nguyên.ị

4) Tính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ P,bi t ế x,y th a mãn đ ng th c:ỏ ẳ ứ

Nên thay x 1; y 3 vào bi u th c ể ứ  

        a) Rút g n bi u th c ọ ể ứ A b) Tìm các giá tr nguyên c a ị ủ xđ bi u th c ể ể ứ A nh n giá tr nguyênậ ị c) Tìm xđ ể A A

 b) A nguyên, mà xnguyên nên 2 1 2x ,     t đó tìm đ c ừ ượ x 1(ktm) x 0(tm)

         a) Rút g n bi u th c ọ ể ứ P b) Tìm xđ ể P 1 c) Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ P khi x 1

Khi x 1; x 1 0.   Áp d ng b t đ ng th c Cô si ta có: ụ ấ ẳ ứ x 1 1 2

 D u ấ " " x y ra khi ả và ch khi ỉ x 2. V y GTNN c a P b ng ậ ủ ằ 4 x 2

          a) Tìm đi u ki n xác đ nh, r i rút g n bi u th c ề ệ ị ồ ọ ể ứ A b) Tìm x đ ể A1 c) Tìm các giá tr c a ị ủ x đ ể A 0

Bài 213: Tính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ P x y. x y

Bài 214: Rút gọn a) A   a b a c  bc      b c b a  ca       c a c b  ab   b)

Bài 215: Cho 3 s ố x,y,z th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ xyz 2009. Ch ng minh r ng bi u th c sau ứ ằ ể ứ không ph thu c vào các bi n ụ ộ ế x,y,z : y

       a) Rút g n bi u th c ọ ể ứ A b) Tìm giá tr nguyên c a ị ủ x đ ể A nh n giá tr nguyênậ ị

  Đ ể Athì   x 1  ph i là c c a 2ả ướ ủ      x 1  1; 2  Đ i chi u đi u ki n tìm đ c ố ế ề ệ ượ x 2 ho c ặ x 3 th a mãnỏ

        a) Rút g n bi u th c ọ ể ứ P b) Tìm giá tr nguyên l n nh t c a ị ớ ấ ủ x đ ể Pcó giá tr là m t s nguyên.ị ộ ố

Lời giải c) Tìm đ c ĐKXĐ c a P là : ượ ủ x 0; x 5; x 5

Mà x l n nh t nên ớ ấ x 5 l n nh t Do đó ớ ấ x 5 15   x 20(th a mãn ỏ   * )

V y giá tr nguyên l n nh t c a ậ ị ớ ấ ủ x 20 đ ể Pcó giá tr là m t s nguyênị ộ ố

Bài 218: a) Tính giá tr c a bi u th c sau: ị ủ ể ứ      

Tìm giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ x 3y

         a) Tìm đi u ki n xác đ nh và rút g n bi u th c ề ệ ị ọ ể ứ P b) Tìm các giá tr c a ị ủ x đ ể P 0

Bài 220: Cho trong đó la các s khác nhau và khác 0, ố

      x m n y n p z p m xyz xyz xyz n p p m hay :m n yz xz xy p m n p m n p m n p m n xy yz yz xy xz yz n p p m m n x y z y z x z x y

Bài 222: a) Hãy vi t bi u th c sau : ế ể ứ thành hi u hai bình ph ngệ ươ b) Cho

Bài 223: Cho bi u th c:ể ứ a) Rút g n ọ b) Tính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ khi c) V i giá tr nào c a ớ ị ủ thì d) Tìm giá tr nguyên c a ị ủ đ ể có giá tr nguyên.ị

Lời giải a) Đi u ki n ề ệ b) c) d) Đ ể nh n giá tr nguyên thì ậ ị nh n giá tr nguyênậ ị

V y v i ậ ớ thì nh n giá tr nguyên.ậ ị

Bài 224: Rút g n bi u th c sau: ọ ể ứ

Bài 225: Ch ng minh r ng:ứ ằ

Bài 226: Cho đôi m t khác nhau và khác 0 Ch ng minh r ng:ộ ứ ằ

Bài 227: Cho bi u th c ể ứ a) Rút g n bi u th c Pọ ể ứ b) Tính giá tr c a P khi ị ủ là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ

V y ậ thì b) Thay vào ta có:

Bài 228: Tìm 3 s d ng ố ươ th a mãn : ỏ và

Theo luật thi đấu của bóng chuyền, 9 đội tham gia thi đấu theo hình thức vòng tròn một lượt (tức là hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau một trận) Kết quả thi đấu là đội thứ nhất thắng 8 trận và thua 1 trận, đội thứ hai thắng 7 trận và thua 2 trận, , đội thứ 9 thắng 1 trận và thua 8 trận.

M i đ i bóng thi đ u v i 8 đ i bóng khác và hai đ i b t kỳ ch g p nhau 1 tr n nên m i ỗ ộ ấ ớ ộ ộ ấ ỉ ặ ậ ỗ đôi s thi đ u 8 tr n ẽ ấ ậ (v i ớ Đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i:ẳ ứ ầ ứ ươ ươ ớ

M t khác, t ng s tr n th ng c a các đôi b ng t ng s tr n đ u nên : ặ ổ ố ậ ắ ủ ằ ổ ố ậ ấ

Bài 230: Cho Tính giá tr bi u th c ị ể ứ

Bài 231: Cho bi u th c ể ứ Tìm đ bi u th c xác ể ể ứ đ nh, khi đó hãy rút g n bi u th cị ọ ể ứ

Lời giải Ta có: ĐK:

- Tìm điều kiện xác định: $x - 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$- Rút gọn biểu thức: $A = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} = \dfrac{{x - 2 + 4}}{{x - 2}} = 1 + \dfrac{4}{{x - 2}}$- Để A nhận giá trị âm thì $\dfrac{4}{{x - 2}} < 0 \Rightarrow x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2$ và $x \ne 2$- Để A nhận giá trị nguyên thì $\dfrac{4}{{x - 2}}$ nguyên $\Rightarrow x - 2$ là ước của $4 \Rightarrow x - 2 \in \left\{ { - 4; - 2; - 1;1;2;4} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ { - 2;0;1;3;4;6} \right\}$

1b) Đ i chi u v i ĐKXĐ, ta đ c ố ế ớ ượ 1c) Ta có:

Bài 233: Ch ng t r ng giá tr c a bi u th c sau không ph thu c vào bi n ứ ỏ ằ ị ủ ể ứ ụ ộ ế

V y v i m i giá tr c a ậ ớ ọ ị ủ bi u th c đã cho không ph thu c vào bi n ể ứ ụ ộ ế

Bài 234: Ch ng minh r ng ứ ằ

Bài 235: Cho bi u th c ể ứ a) Rút g n bi u th c ọ ể ứ b) Tìm giá tr c a ị ủ đ ể nh n giá tr nguyên?ậ ị c) Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ

Lời giải a) b) Mu n A nh n giá tr nguyên thì ố ậ ị

V y t p h p các giá tr c a ậ ậ ợ ị ủ đ A nh n giá tr nguyên là ể ậ ị c) nh n giá tr l n nh t khi ậ ị ớ ấ có giá tr nh nh t ị ỏ ấ Mà v i m i ớ ọ

Bài 236: Cho các s nguyên ố th a mãn ỏ Tính giá tr c a ị ủ bi u th c ể ứ

Do là s nguyên có t ng b ng 0 và ố ổ ằ nên

Bài 237: Cho bi u th c ể ứ a) Tìm đ giá tr c a ể ị ủ đ c xác đ nh Rút g n bi u th c ượ ị ọ ể ứ b) Tìm giá tr nguyên c a ị ủ đ ể nh n giá tr nguyên.ậ ị

Lời giải a) Giá tr c a ị ủ đ c xác đ nh ượ ị

Bài 239: Cho là s h u t khác 1 th a mãn ố ữ ỉ ỏ

Ch ng minh ứ là bình ph ng c a m t s h u t ươ ủ ộ ố ữ ỷ

Vì nên là s h u t , V y ố ữ ỷ ậ là bình ph ng c a m t s h u t ươ ủ ộ ố ữ ỷ

Bài 240: Cho th a mãn ỏ Tính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ

Vì T ng t ta có: ươ ự V y ậ

Bài 241: Cho d ng và ươ

Bài 242: Cho Ch ng minh r ng: ứ ằ

Nhân c 2 v c a ả ế ủ v i ớ , rút g n suy ra đpcmọ

Bài 245: a) Cho Tính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ b) Cho hai s ố th a mãn: ỏ và Tính giá tr c a bi u th c ị ủ ể ứ

Bài 246: Cho bi u th c ể ứ a) Tìm đi u ki n xác đ nh và rút g n ề ệ ị ọ b) Tìm đ P =ể c) Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ khi

Vì nên Áp d ng BĐT Cosi ta có: ụ

Bài 247: Cho và tính giá tr c a bi u th c:ị ủ ể ứ

Bài 249: Cho biểu thức a) Rút gọn b) Tìm giá trị lớn nhất của

Vậy với mọi b) Ta có : với mọi

Nếu ta có Nếu , chia cả tử và mẫu của cho ta có:

Nên ta có: Dấu xảy ra khi

Vậy lớn nhất là khi

Bài 250: Cho là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ.

Vì nên là số hữu tỷ , Vậy là bình phương của một số hữu tỷ.

Vì Tương tự ta có:

Bài 253: Cho biểu thức Tìm để biểu thức xác định, khi đó hãy rút gọn biểu thức

Vậy xác định khi và

Bài 254: Cho biểu thức A = BTHT a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi c) Tìm giá trị của x, để A < 0.

Với , ta có: b) Ta có: hoặc

(không TMĐK) hoặc (TMĐK) Với , ta có:

A = = Vậy khi thì A c) Ta có: A < 0 (1)

a) Điều kiện xác định:- ĐKXĐ: x ≠ 0- Rút gọn:$$A = \frac{x-2}{x} = 1 - \frac{2}{x}$$b) Với x ≠ 0.c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên:- Với x = -1, A = -3 (nguyên)- Với x = -2, A = 2 (nguyên)- Với x = 2, A = 0 (nguyên)

Lời giải a) ĐKXĐ: b) Ta có: Để thì Vậy thì không nhận những giá trị từ đến c) Ta có

Từ đó tính được (Chú ý loại

Bài 256: Cho biểu thức BTHT

- Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:- Nếu thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức bằng 1, phân thức còn lại bằng -1.

Lời giải a) Vì là độ dài ba cạnh của tam giác nên và Đặt

Ta cần chứng minh : hay

(đúng) Từ đó suy ra đúng vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác hay

Bài 257: Cho biểu thức BTHH a) Rút gọn b) Tìm để có giá trị nguyên c) Tìm để

Từ đó suy ra Kết hợp với ĐKXĐ được c)

Kết hợp với ĐKXĐ được và

Bài 258: Cho biết Hãy tính giá trị của biểu thức:

Lời giải a) Từ do đó :

Bài 259: Cho là những số thực thỏa mãn: và Chứng minh: BTHT

Từ giả thiết suy ra:

Bài 260: Cho biểu thức với a) Rút gọn biểu thức b) Tính biết thỏa mãn

Thay vào biểu thức có

Bài 261: Cho là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn Chứng minh rằng: là bình phương của một số hữu tỷ

Vậy là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 262: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá tri nguyên của để biểu thức có giá trị nguyên:

Lời giải Để xác định thì

Khi đó nguyên thì nguyên hay nguyên Mà

Với thỏa mãn (*) và Với thỏa mãn và Vậy thỏa mãn điều kiện bài ra

- **Điều kiện xác định:** c ≠ 0- **Rút gọn biểu thức:** A = (a + b)(a - b) : c- **Tìm giá trị của A để A > 0:** a + b > 0 và a - b > 0 (khi đó A = (a + b)(a - b) > 0)- **Tìm các giá trị nguyên của a để A nguyên:** a - b là ước của a² - b²

Lời giải a) ĐKXĐ: b) Rút gọn được: c) Để thì hoặc Học sinh tự biểu diễn trên trục số

Thử lại, chỉ có là thỏa mãn Vậy

Bài 264: Cho và Tính tỉ số

Bài 266: Cho a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Rút gọn b) ta thấy nguyên khi là ước của 3, mà , từ đó tìm được

Bài 267: a) Cho Chứng minh rằng b) Cho (với Tính giá trị của biểu thức

Lời giải a) b)Với Áp dụng kết quả câu ta có:

Bài 268: Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức b) Tìm để c) Tìm các giá trị của để

Bài 269: Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm nguyên để có giá trị là số nguyên dương c) Tìm để

Giải bài toán bằng phương pháp thử, ta thấy rằng với giá trị nguyên dương của x bất kỳ thì (x + 1)x đều là ước của 1 (thỏa mãn điều kiện của bài toán) Thử lại với x = 1, ta có (1 + 1).1 = 1 (thỏa mãn).

Với ta có: có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn) Vậy c)

Ta có: hoặc Giải được hoặc

Kết hợp với điều kiện ta có: hoặc

Bài 270: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức là số nguyên.

Lời giải a) ĐKXĐ: b) có giá trị nguyên khi là số nguyên thì có giá trị nguyên là Ư(2) Đối chiếu ĐK thì có thỏa mãn

Bài 271: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải a) b) Với Ta có: Để thì phải là ước của 2 Xét từng trường hợp tìm đối chiếu điều kiện

Bài 272: Cho biểu thức a) Tìm để giá trị của được xác định Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.

Lời giải a) Giá trị của được xác định

Bài 273: Cho là hai số dương và Tính giá trị của biểu thức

Do là hai số dương và Nên

Bài 277: Cho a b c  2p Chứng minh : 2 bc b    2 c 2 a 2  4 p p a   

   a) Rút gọn M b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0.

 d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức M bằng 0. Đề M 0 thì  x 3  3   x  1  x   1 0  và x  2 ; x  4

Bài 279: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên

   Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì 2 x 1 U    4    4; 2; 1;1;2;4

Ta có: M   x 2  ax bx ab      x bx cx bc 2       x ax cx ca 2    

Thay   2 vào   1 ta được M ab bc ca   

  a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức R được xác định; b) Tìm giá trị của x để giá trị của R bằng 0; c) Tìm giá trị của x để R 1.

Lời giải a) ĐKXĐ: x0;x1;x1. b) Rút gọn: 2 1,

              ( vô lý ) Vậy không có giá trị nào của x để R 1.

Bài 282: Cho ba số , ,a b ckhác 0 thỏa mãn đẳng thức: a b c a c b b c a c b a

Tính giá trị của biểu thức: P 1 b 1 c 1 a a b c

Từ giả thiết, suy ra a b c 2 a c b 2 b c a 2 c b a

Bài 283: Cho a a a 1, , , ,2 3 a 2018 là 2018 số thực thoả mãn a k   k 2 2 k   k 1  2 , với k1,2,3, ,2018.

  b) Biết b3a và 6a 2 15ab5b 2 0 Tính giá trị của biểu thức 2 5

3 2 a b và 2a b 7. b) Biết b3a và 6a 2 15ab5b 2 0 Tính giá trị của biểu thức 2 5

Bài 287: a) So sánh hai số A 3 32 1 và B  3 1 3 1 3 1 3 1 3 2   4    8  16 1 b) 2019 2018

Bài 288: Cho a b c  0 Chứng minh rằng: a b a c b c abc 3   3 2  2  0

Bài 289: Cho x 2 y 2  z 2 10 Tính giá trị của biểu thức:

P   xy yz zx    2   x 2  yz   2  y 2  xz   2  z 2  xy  2

Ta có: P   xy yz zx    2   x 2  yz   2  y 2  xz   2  z 2  xy  2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 x y y z x z xy z x yz xyz x y z x yz y x z xy z z x y xyz

Bài 290: Chứng minh rằng nếu ba số , ,a b c thỏa mãn điều kiện: a b c  2018 và

2018 a b c   thì một trong ba số , ,a b cphải có một số bằng 2018

Do đó, trong ba số , ,a b c phải có một số bằng 2018.

         a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm x để 1

P2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x1

 Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương  x  1  và 1

 với x1 x 2( thỏa ĐKXĐ) Vậy, GTNN P      4 x 2

Bài 292: Rút gọn các phân thức: a)      

Do đó, nếu a b c  0 hoặc a b c  thì a b c 3    3 3 3abc a)      

Bài 293: Chứng tỏ rằng đa thức: A   x 2  1   4  9 x 2  1  3  21  x 2  1  2  x 2  31 luôn không âm với mọi giá trị của biến x

Lời giải Đặt x 2  1 y, ta có: A y   4 9 y 3  21 y 2   y 30     y 1  y  2  y  3  y  5 

Khi đó, A x x  2  2  3  x 2  4  x 2   6  0 với mọi giá trị của x (Đpcm )

Bài 294: a) Rút gọn phân thức: 45 40 40 30 35 20 10 5 1

Bài 295: Cho các số , ,a b c khác 0, thoả mãn  a b c      1 1 1 a b c      1

Tính giá trị của biểu thức  a 23  b 23  a b a 5  5  2019  b 2019 

+ Nếu a b 0 thì a b a 23 b 23  a 23 b 23 0 Vậy, P0. + Nếu b c 0 thì b c b 5  c 5 b c 5   5 0 Vậy, P0. + Nếu c a 0 thì c a c 2019 a 2019  c 2019 a 2019 0 Vậy, P0. Kết luận: Với điều kiện đã cho P0.

Bài 296: Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn  x y y z z x      8 xyz. Chứng minh rằng: x y z 

Bài 297: Thực hiện phép tính: a)  

Nhân cả hai vế của a b c 1 b c c a a b  

Bài 299: Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2 a b c   và a b c abc   thì 1 2 1 2 1 2 2 a b c 

Bình phương hai vế 1 1 1 2 a b c   , ta được 1 2 1 2 1 2 2 a b c 4 a b c abc

Suy ra 1 2 1 2 1 2.1 4 2 a b c   ( Vì a b c abc   ) hay 1 2 1 2 1 2 2 a b c  KL: …

 là số tự nhiên b) Tính tổng S n    2.5 5.8 1  1    3 1 3 n    1 n  2 

Lời giải a) Xác định n N để 5 11

 là số tự nhiên Để 5 11

Bài 301: Cho x y z , , thỏa điều kiện x y z  0và xy yz zx  0. Hãy tính giá trị của biểu thức: S    x 1  2017  y 2018    z 1  2019

Vậy, S 0 khi x y z  0 và xy yz zx  0.

      a) Tìm ĐKXĐ của P, rút gọn P b) Tìm ,x y nguyên thỏa mãn phương trình P2

Lời giải a) Tìm ĐKXĐ của P, rút gọn P

Vậy, P x xy y   với x y y, 1,x1. b)Tìm ,x y nguyên thỏa mãn phương trình P2

Bài 303: Rút gọn biểu thức: a)     

Bài 304: Cho a + b + c = 0 và a b c 2    2 2 1 Tính giá trị của biểu thức M a b c   4 4 4

2 a b c a b c ab bc ca ab bc ca   

 ab bc ca     1 2  ab bc ca    2  1 4

 x 2 Kết hợp với ĐKXĐ, ta được A  1 x 2 và x1.

  c) Cho a b 0 thỏa mãn: 3a 2 3b 2 10ab Tính C a b a b

 suy ra 5  x 2  y 2   8 xy với x  0 và y  0

2 5 2 5 10 8 10 18 9 x xy y x y xy x xy y xy xy xy

A x xy y x xy y x y xy xy xy xy

  Đặt x y z k x ka y kb z kc, , a b c       với , ,a b c0

   khi x y z a b c  với , ,a b c0. c) Cho a b 0 thỏa mãn: 3a 2 3b 2 10ab Tính C a b a b

2 3 2 3 6 10 6 16 4 a ab b a b ab a b a ab b ab ab ab

C a b a ab b a ab b a b ab ab ab ab

Bài 307: Cho biểu thức: e) Rút gọn P; f) Với x0 thì P không nhận những giá trị nào? c)Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

Lời giải a) Rút gọn P ĐKXĐ: x3.

 b)Với x0 thì P không nhận những giá trị nào?

          Vậy, với x0 thì P không nhận các giá trị từ (-1) đến 1, tức là P    1;1  c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

Vậy, M N 255 với x1,x2. Bài 309: Cho biểu thức:

           a) Rút gọn Q; b) Tìm các giá trị của x để Q0,Q1; c) Tìm các giá trị của x để Q0.

Qx với x0,x 2,x 3.e) Tìm các giá trị của x để Q0,Q1

Vậy, tại x4 thì Q0 và không tồn tại x để Q1. f) Tìm các giá trị của x để Q0.

Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: Q   0 x 4 và x0,x 2,x 3.

    a)Rút gọn A; b)Tìm a Z để A có giá trị nguyên.

 với a2. d) Tìm a Z để A có giá trị nguyên. Để 1

 có giá trị nguyên với a Z và a2 thì 3

     (thỏa ĐKXĐ) Vậy, a3 hoặc a1 thì A nhận giá trị nguyên.

             Thay x 4  1 a   a 1  a  1  vào M , rút gọn ta được 2 2 , 1

Bài 312: a) Cho , ,a b c là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ab bc ca a b b c c a 

  b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết: 1 2.3 2 1 3.4 2 1 n n  2 1  2017 6045

Lời giải a) Cho , ,a b c là ba số dương khác 0 thỏa mãn: ab bc ca a b b c c a 

Ta có: ab bc ca a b b c c a a b b c c a ab bc ca

   với , ,a b c là ba số dương khác 0. b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết:  1  2.3 2     1  3.4 2     1    n n  2  1     2017 6045.

Bài 313: Cho a b 1 và ab0 Chứng minh:  

Với a b 1 và ab0, ta có:

E   với a là một số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ E có giá trị nguyên.

Vì a là một số tự nhiên chẵn nên a2 ,k k N

E   có giá trị nguyên với a là một số tự nhiên chẵn.

Bài 315: Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn điều kiện: abc2019 Chứng minh rằng:

2019 1 abca b c ab abca abc bc b ca c

( ) 2019 a bca b bc a b abc bc bc b bca bc b

2019 bca b bc b abc bc bc b bca bc b

Bài 316: Cho 3y x 6 Tính giá trị của biểu thức 2 3

  a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại n99.

 d) Tính giá trị của P tại n99.

Bài 318: Cho đa thức E x  4 2017x 2 2016x2017. Tính giá trị của E với x là nghiệm của phương trình: x 2   x 1 1.

Bài 319: So sánh A và B, biết: A   2017 2016  2016 2016  2017 ; B   2017 2017  2016 2017  2016

Bài 320: Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương

Bài 321: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của để c) Giải phương trình

Vì với mọi Để Vậy c)

Vậy phương trình vô nghiệm

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số

Bài 323: Cho a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức b) Tìm các giá trị thực của để và có giá trị là số nguyên.

Lời giải a) Điều kiện xác định b) nguyên thì nguyên nghĩa là

Bài 324: Chứng minh rằng: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn

 a b c    2  3  ab bc ca   thì tam giác đó là tam giác đều.

Tiêu đề	Biểu thức hữu tỉ
Chuyên ngành	Mathematics
Thể loại	Study Material

Định dạng
Số trang	182
Dung lượng	11,4 MB