Chuyên đề 13 BIẾN ĐỔI CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ Một biểu thức phân thức biểu thị dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức gọi biểu thức hữu tỉ Nhờ quy tắc phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức ta biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức Điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác điều kiện để giá trị phân thức xác định B Một số ví dụ ỉ 6- xư x 3+ x ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ Vớ dụ Rút gọn biểu thức: è ø2 A = x - 3+ 2 Giải Tìm cách giải Đối với biểu thức phức tạp, nhiều tầng lớp phân thức, nên biến đổi tử thức phân thức trước Sau biểu thức đơn giản hơn, rút gọn tiếp Trình bày lời giải ỉ 6- xư x 3+ x ữ ỗ ữ ỗ ữ2 - ỗ Ta cú: ố ứ A = x - 3+ 2 3- + x x - 3- x = x - 3+ = x - 3+ ỉ 1÷ 23 x - 69 x- x- = ( x - 3) ỗ 1+ - ữ = ỗ ữ ỗ ố 12 ø 12 24 Ví dụ Cho biểu thức é3 A=ê ê2 ë æ4 x + 1ö x - x ( x - 1) - ự ữ ỗ ỳ: x + 29 x + 78 ữ ỗx - ữ ữ x + x - x - ỳ x + 12 x - 36 ỗ x + 1ø è û a) Rútt gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị nguyên x cho A có giá trị ngun Giải Tìm cách giải Những biểu thức có nhiều ngoặc, thực ngoặc trịn trước, sau thực đến ngoặc vuông Khi thực nên rút gọn biểu thức nhằm đưa phân thức đơn giản Trình bày lời giải a) Ta có é ù x + x - x - x - x + x - ú ( x + 3) ( x + 26) ê A=ê ú: x +1 x + 6) ( x - 1) ú 3( x + 6) ( x - 2) ( ê ë û é ù x - ( x - 4) ( x +1) ú 3( x + 6) ( x - 2) =ê ê2 x +1 ú x + 6) ( x - 1) ú( x + 3) ( x + 26) ( ê ë û é3 x - ù 3( x + 6) ( x - 2) ú =ê ê ë2 x + ú û( x + 3) ( x + 26) = x +18 - x + 3( x + 6) ( x - 2) ( x + 6) ( x + 3) ( x + 26) = x + 26 3( x + 6) ( x - 2) x - = ( x + 6) ( x + 3) ( x + 26) x + b) Tập xác định x Ï {1;2;- 3;- 6;- 26} A Ỵ Z Þ 2A = x - 12 x - 15 = = 3Ỵ Z x +6 x +3 x +3 Suy trường hợp sau: x +3 -1 -3 -5 x -2 -4 -6 -8 So sánh với tập xác định thử lại x Ỵ { - 2;- 4;0;- 8;12;- 18} A Ỵ Z é( a + 2) - a æa + a - ự ỳn ẻ N* ữ ỗ ữ M = ỗ n+1 Vớ d Cho biu thc ( ) nữ 2 ữ ỗ a - aú èa - 3a øê 4a - ú ë û a) Rút gọn M b) Với a > Chứng minh rằng: < M Þ M > Từ ta có điều phải chứng minh ổx y ổ1 ỗ ỗ + +1ữ - ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗy x çx y ø è øè Ví dụ Rút gọn biểu thức P = x y2 ỉ x + 2- ỗ + ữ ữ ỗ ữ y x ỗ ốy x ứ 15 12 -15 -18 Giải x + y + xy æ x - yử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ xy xy è ø Ta có: P = x y2 x + y2 + y2 x xy 4 2 x + xy + y ( x - y) x + y - ( x + y ) xy = 2 : xy x y x y2 x + xy + y ( x - y ) x + y - x y - y x = 2 : xy x y x 2y2 x + xy + y ( x - y) x y2 = 2 xy x y ( x - y) ( x - y ) x + xy + y ( x - y) x 2y2 = 2 = xy x y ( x - y) ( x + xy + y ) xy Ví dụ Giả sử x, y, z số thực khác không, thỏa mãn hệ đẳng thức: ỉ ỉ ïìï ỉ 1ư 1ử 1ử ỗ + ữ + ữ + z + ữ ữ+ y ỗ ữ=- ữ ùù x ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ÷ í èy z ø èz x ø èx y ø ïï ïïỵ x + y3 + z = 1 1 Hãy tính giá trị biểu thức: P = + + x y z (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2001 – 2002) Giải Tìm cách giải Bài tốn thuộc dạng tính giá trị biết điều kiện biến số Quan sát, nhận thấy tốn có hai điều kiện có ba biến số (số biến nhiều số điều kiện) Do điều kiện hai đơn giản, khơng phân tích tiếp Với điều kiện thứ nhất, biến đổi nhận thấy phân tích thành nhân tử được, tìm mối quan hệ hai ba biến Từ tìm cách giải sau Trình bày lời giải ỉ ỉ ỉ 1ư 1ử 1ử ữ ỗ ỗ + ữ + y + + z + ÷ ÷ ÷=- ÷ T ng thc: x ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ố ỗ ỗx y ứ ữ ốz x ứ èy z ø Ta có: xyz + x z + x y + y z + z y + z x = Û ( xyz + x z) +( xyz + y z ) +( x y + y x ) +( z x + z y) = ïìï x + y = ï Û ( x + y) ( y + z) ( z + x ) = Û ïí y + z = ïï ïïỵ z + x = Khơng tổng quát, giả sử x + y = Þ x + y = Từ x + y + z = z = Þ z =1 1 x +y + = +1 =1 Vậy P = + + = x y z xy C Bài tập vận dụng 13.1 Rút gọn ỉ a3 - ữ A =ỗ a + : + ữ ỗ ữ ỗ ố 0,5a +1ứ a + 2a - a 13.2 Rút gọn biểu thức: a 1+ ỉ b2 + c2 - a2 b + c - ( b - c) b + c ữ ỗ ữ 1+ a) A = ỗ ữ ỗ ữ a bc a +b +c è ø 1b +c ỉ 2 ữ ỗ + ữ ỗ 2 ữ ỗ y - yz + z x ÷ y z ỗ ữ + +( x + y + z ) b) B = ỗ ữ ỗ ữ x y +z +1 ÷ + + ç ÷ ç ç ÷ xy yz xz y zø è ỉ x2 ỉ ư ÷ ç ÷ ç ÷ A = + : + ÷ç 13.3 Cho ỗ 2 ữ ữ ỗ ữ ỗ è3 x - x ø è27 - 3x x + 3ø a) Rút gọn A b) Tìm x để A 0, y < x + y = é ù y - x ê y2 2x2y x2 ú :ê + ú a) Rút gọn biểu thức: A = xy ê( x - y) ( x - y ) y - x ú ê ú ë û b) Chứng minh rằng: A =- 1 13.8 Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = + + = xyz = x y z Tính giá trị M = 13.9 Cho a Ï x + y6 + z x + y3 + z3 a- x -1 x - ; x2 = ; x3 = ; { 0;1;- 1} x1 = a +2 x +1 x +1 Tìm a nu x2020 = ổ 1ử ỗ x+ ữ ữ ỗ ữỗ ố xứ 13.10 Cho M = ổ6 ỗ x + 6ữ ữ ỗ ữ- ỗ ố x ứ ổ 1ử ỗ x+ ữ + x3 + ữ ỗ ữ ỗ ố xø x a) Rút gọn M b) Cho x > , tìm giá trị nhỏ M 3 éỉ ù ( 1- x ) ưỉ x + x ữ ữ ỗ ỗ ỳ: 13.11 Cho biu thc A = ờỗ + xữ ç - x÷ ÷ ÷ êç ÷ç1 + x ÷ú + x x è øè ø ë û Chứng tỏ biểu thức A dương với x ¹ ±1 2ù é x - y2 ổ 1ử ữ ỗ + : ç + ÷ú 13.12 Cho P = ê ỳ ỗ ữ x + xy + y xy èx y ø ú x - y ê ë û Và Q = x + y + xy + 2 ( x - y ) ( x + y) x - x + 2 Với giá trị x; y P – Q đạt giá trị nhỏ 13.13 Rút gọn A = y= y- x y+x y+x + - + + x > xy xy z xy z x - 25 x - 25 ;z = 10 x + 25 15 x + 25 x+ x+ x x- Hướng dẫn giải – đáp số ỉ a3 - ữ ỗ A = a + : + 13.1 Ta cú: ữ ỗ ữ a + 2 a - a ( a 2;0) ỗ ố 0,5a +1ø ỉa + 2a ( a - ) ( a + a + 4) ữ ỗ ữ A =ỗ + : ữ ỗ ÷ a +2ø a +2 a ( a - 2) è a +2 a + a + ( a - 2) ( a + a + 4) = : a +2 a +2 a ( a - 2) = a- = = a - a ( a - 2) a ( a - ) a 13.2 ( b + c) - a2 b + c + a b2 + c - b2 + 2bc - c 2 a) A = = b +c - a bc a +b +c ( b + c - a) ( b + c + a) b + c + a bc 2bc = a + b +c b +c - a a +b +c ( x + y) ỉy - yz + z x 3yz yz ÷ ÷ + +( x + y + z ) b) B = ỗ ỗ ữ ữx + y +z ỗ x y +z y +zứ ố xyz 2 ( y + z) ( y - yz + z ) + x - 3xy x ( x + y) = +( x + y + z ) x ( y + z) x +y +z = y + z + x - 3xyz 2 +( x + y + z ) x + y +z = ( x + y + z) ( x + y + z - xy - yz - zx ) 2 +( x + y + z ) ( x + y + z) = x + y + z - xy - yz - zx + x + y + z + xy + yz + zx = x + y + 3z 13.3 ö ổ ửổ ữ x2 ữ ỗ ỗ ÷ A = + : + ( x ¹ 0;±3) ữỗ a) Ta cú ỗ 2 ữ ỗ3 x - 3x ữ ố ứỗ x +3ữ ố27 - x ø éx - x + ù é ù - x2 3x - ú: ê ú =ê + ê3 x ( x - 3) ú ê3( x - 3) ( x +3) 3( x - 3) ( x + 3) ú ê úë ê ú ë û û éx - x + ù é - x + x - ù - x - úê ú =ê ê3 x ( x - 3) ú: ê3( x - 3) ( x + 3) ú= x ê úë ê ú ë û û b) A 0; x ¹ A Vậy với x > A < ( - x ) Ỵ { ±1} Û x Ỵ { 3;1} d) A Ỵ Z Û 1M Vậy với x Ỵ { 3;1} thỡ A ẻ Z 13.6 a) TX: x 3; x ¹ Ta có: Q = = 12 x - 45 x + x +3 ( x - 3) ( x - 4) x - x - 12 x - 45 - ( x + 5) ( x - 3) - ( x + 3) ( x - 4) ( x - 3) ( x - 4) 12 x - 45 - x + x - x +15 - x +8 x - x +12 = ( x - 3) ( x - 4) - x +15 x - 18 - 3( x - 2) ( x - 3) - 3( x - 2) = = = x- ( x - 3) ( x - 4) ( x - 3) ( x - 4) éx = b) x = Þ ê ê ëx =- x = (loại) Với x =- Q = c) Q = - 15 - 3x + 6 =- x- ( x - 4) Qẻ Z ẻ Z ị x - Ỵ Ư(6) x- Mà Ư(6) = {1;2;3;6;- 1;- 2;- 3;- 6} x- x Kết hợp với tập xác định, ta có: 10 -1 -2 x Ỵ { - 2;1;2;5;6;7;10} Q nhận giá trị nguyên 13.7 2 a) Do x + y = suy ( x - y ) = ( x - y) y - x =- ( x - y) é ù y - x ê y2 x2 y x2 ú :ê + ú suy ra: A = xy ê( x - y) ( x - y ) y - x ú ê ú ë û = 2 y - x y - x ( x - y) ù y- x é ú= y - x : y - x y - x + x y :ê ú xy 2 xy ê ( x - y) ( x - y) ê ú ë û = 2 y - x y - x - x y y - x y - x ( x + y) : = : 2 xy xy ( x - y) ( x - y) ( x - y) y - x y2 - x y - x ( x - y) = : = = xy ( x - y) xy y - x xy ( x + y) - xy b) Ta có: A = xy = ( x + y) xy 2 - 4= - 0, y < xy 13.8 Ta có: x + y + z = Û x + y + z = 3xyz = xy + yz + zx = Û x y + y 3z + z x = 3xy yz.zx = x + y6 + z = ( x + y3 + z ) - x y3 - y3z - z x = - 2.3 = Vậy M = -3 -6 -2 13.9 Ta có: x2 = x1 - - - 2a - - a - = ; x3 = = ; x1 +1 a +1 2a - a- - a - - a +1 a +1 a- = ; x5 = - 3 a +2 x4 = Vậy x k = x k+4 = x k+8 = a +1 =3 x2020 = x = Û Vậy a = 13.10 a) Ta cú: ổ 1ử ỗ x+ ữ ữ ỗ ữỗ ố xứ M= ổ3 ữ ỗ x + 3ữ ỗ ữ ỗ ố x ứ ộổ ử3 ờỗx + ữ ữờỗ ữ ỗ ố ứ x =ở ổ 1ử ổ3 ỗ x+ ữ +ỗ x + 3ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố xứ ố x ứ ổ 1ữ =ỗ x+ ữ ỗ ữ ỗ ố xứ ổ3 ỗ x + 3ữ = x3 + ữ ỗ ữ ỗ ố x ứ x ùéỉ ư3 ỉ ù ỉ3 1ư ỳ ỳ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ x + x + x + ữ ỗ ỗ ỗ 3ữ 3ữ ỳ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ è ø è ø è ø x ú x x ú ú ûê ë û ỉ 1ư ỉ3 ỗ x+ ữ +ỗ x + 3ữ ữ ữ ç ç ÷ ÷ ç ç è xø è x ứ ổ3 ữ ổ 1ử ỗ x + 3ữ + 3ỗ x+ ữ = 3x + ữ ç ç ÷ ÷ ç ç è x ø è xø x 3 b) M = 3x + ³ 3x = x x dấu xảy Û x = Vậy giá trị nhỏ M x = 13.11 Ta có éỉ ù (1 - x ) ö æ ö 1- x) ( + x + x ) + x ) (1 - x + x ) ( ( ữ ữ ỗ ờỗ ỳ ỗ A = ờỗ + xữ - xữ ữ ữ ỳ: ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 1- x ữỗ 1+ x ữỳ + x ờỗ ố ø è ø ë û = ( + x + x + x )( - x + x - x ) = ( + x) ( 1- x) 2 1+ x2 ( 1- x ) 2 ( 1: x2 ) 1+ x2 = (1 - x ) + x2 (1 - x ) 2 =1 + x Vì x ³ A = + x > với x ¹ ±1 13.12 é( x - y) ( x + y) ( x + y) ù ê + : 2 ú Ta có: P = ê ú xy x y úx - y ê ë ( x + y) û éx - y é ù x y2 ù ú = êx - y + xy ú P=ê + êx + y xy 2ú x- y ê x + y ( x + y) ú x- y x + y ( ) ê ú ê ú ë û ë û P= x- y xy 1 xy + = + 2 x + y x - y ( x + y) x - y x + y ( x - y ) ( x + y) - ³ - Suy P - Q =- x - x + = ( x - 1) +1 Vậy giá trị nhỏ P - Q -3 x = ; y tùy ý khác {1;0;- 1} 13.13 Ta có y= ( x - 5) ( x + 5) x +10 x + x ( x - 5) ( x + 5) = x ( x - 5) ( x + 5) ( x + 5) = ( x - 5) ( x + 5) ( x - 5) z= = = x - x +15 x + 25 x +5 ( x + 5) x ( x - 5) ( x + 5) x- Từ suy ra: xy = y- x = x ( x - 5) x +5 x - 5x x - x - x - 5x - 10 x - x= = x +5 x +5 x +5 y - x - 10 x x ( x - 5) - 10 x x + - 10 Þ = : = = xy x +5 x +5 x + x ( x - 5) x ( x - 5) y+x = Þ x - 5x x - 5x + x + 5x 2x2 +x = = x +5 x +5 x +5 y+x x x ( x - 5) 2x2 x +5 = : = = xy x +5 x +5 x + x ( x - 5) x - Do A = =2 = = ( x + 5) ( x + 5) - 10 2 + + + x ( x - 5) x - ( x - 5) x - ( x - 5) 2 ( x - 5) - ( x + 5) ( x - 5) + ( x + 5) 10 + + 2 x ( x - 5) ( x - 5) ( x - 5) 20 - 20 4x 20 20 4x + + = + + 2 2 x ( x - 5) ( x - 5) x ( x - 5) ( x - 5) ( x - 5) ( x - 5) 20 ( x - 5) + 20 x + x x ( x - 5) = x + 40 x - 100 x ( x - 5)