Chương I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Chuyên đề PHÉP NHÂN CÁC ĐA THỨC A.Kiến thức cần nhớ Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A B C AB AC Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với A B C D AC AD BC BD B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính : a ) A 2x 15 x y b) B x y x y Giải a ) A 2x 2x 15 x 6y b) B 20 x 10 x y 12 x y y A 10 x xy B 20 x x y y Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức sau: a ) A x x 3 x x b) B x y x x y y x x 2; y Giải Tìm cách giải Nếu thay giá trị biến vào biểu thức ta số phức tạp Khi thực gặp khó khăn, dễ dẫn tới sai lầm Do cần thực nhân đa thức với đa thức thu gọn đa thức Cuối thay số Trình bày lời giải a) Ta có: A x x 3 x x 10 x 15 x 14 x 21 x 28 x x 10 x 15 x 14 x 21 x 28 x x 3 x 27 x 13 1 1 Thay x vào biểu thức, ta có: A 3 27 13 2 2 Vậy với x giá trị biểu thức A b) Ta có: B x y y x x y y x xy x y xy xy x y xy 10xy Thay x 2; y vào biểu thức ta có: B 10.2 40 Vậy với x 2; y giá trị biểu thức B 40 Ví dụ 3: Tìm x, biết: a )4 x x x 1 x 3 23 b) x x x 1 x 7 Giải Tìm cách giải Để tìm x, vế trái có thực phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Vì ta khai triển rút gọn vế trái ấy, sau tìm x Trình bày lời giải a )4 x x x 1 x 3 23 x 20 x x x x 23 13x 23 13x 23 x b) x x x 1 x 7 x x x 20 x x x 7 x 22 7 x 15 15 x Ví dụ 4: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a ) A x x 1 x x x x b) B x 3x x x 3x 16 x x x Giải Tìm cách giải Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức sau rút gọn kết biểu thức không chứa biến x Do để giải toán này, thực biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức thu gọn kết Nếu kết không chứa biến x, suy điều phải chứng minh Trình bày lời giải a) Biến đổi biểu thức A, ta có : A x x 1 x x x x A 2 x x x3 x x x A 6 Suy giá trị A không phụ thuộc vào x b) Biến đổi biểu thức B, ta có : B x x x x x 16 x x x B 3x3 x 5x x 3x 16 x3 x x B 3 x3 3x x x x x 16 B 16 Suy giá trị B khơng phụ thuộc vào x Ví dụ 5: Tính nhanh a ) A 4 1 5741 3759 3741 5741 3759 3759.5741 b) B 6516 3150 6547 1050 6517 1050 3150.6517 Giải Tìm cách giải Quan sát kỹ biểu thức, thực trực tiếp phép tính toán dễ dẫn đến sai lầm; ta nhận thấy nhiều số giống nhau, nghĩ tới đặt phần giống chữ Sau biến đổi biểu thức chứa chữ Cách giải gọi phương pháp đại số Trình bày lời giải a) Đặt x 1 ;y biểu thức có dạng: 5741 3749 A x y y x y xy A 4 y xy y xy y xy A y A 3759 b) Đặt x 1 ;y biểu thức có dạng: 3150 6517 B x y x y 12 x xy B 6 y 3xy 12 x xy 12 x xy B 6 y B 6 6517 6517 C Bài tập vận dụng 1.1 Rút gọn biểu thức sau: a) A x 1 3x 1 x x 3 x x 3 b) B x x 1 x x x x x x Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: A 12 x x 3x x 15 x x 3x x 12 6 x 23 x 13 b) Ta có: B x x 1 x x x 3 x x x 5 x x x 3x 3x x x x x x 20 x x 12 x x3 18 x 40 x x 26 x 28 x 1.2 Viết kết phép nhân sau dạng lũy thừa giảm dần biến x: a ) x x 1 x 3 b) x x 1 x c) x 3x x x Hướng dẫn giải – đáp số a ) x x 1 x 3 x x x 3x x x x x b) x x 1 x 2 x x x 12 x x x 14 x 10 x c) x 3x x x x 3x x 3 x x x3 x x 3 x x x3 3x x x 11x 1.3 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x: a )C x x 1 x x 1 17 x b) D x x 3x 1 x x Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có : C 5 x x x x x 15 x 17 x 51 C 50 Vậy biểu thức C 50 không phụ thuộc vào x b) D 6 x 48 x x 40 x x x 36 x 27 D 13 Vậy giá trị biểu thức D 13 không phụ thuộc vào giá trị biến x 1.4 Tìm x, biết : a )5 x 3 x x 1 x 25 b)3 x x x 1 x 13 Hướng dẫn giải – đáp số a )5 x 35 x 15 x 105 x 10 x x 25 41x 107 25 41x 82 x 2 b)3x 15 x 21x 105 3x 3x 13 x 103 13 x 90 x 18 1.5 Rút gọn tính giá trị biểu thức: a ) A x 3x x x x b) B 5 x x y y y x x 1 ; y Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có : A 12 x 15 x 10 x x x x 17 x 29 x 14 Với x , thay vào biểu thức ta có : A 17 29 14 68 58 14 140 b) Ta có : B 5 x x y y y x 5 x 20 xy y 20 xy 5 x y Thay x 1 ; y vào biểu thức ta có ; 2 1 1 1 B 5 5 25 5 2 1.6 Tính giá trị biểu thức: a) A x6 2021x 2021x 2021x 2021x 2021x 2021 x 2020 b) B x10 20 x9 20 x8 20 x 20 x 20 với x 19 Hướng dẫn giải – đáp số a) Với x 2020 nên ta thay 2021 x vào biểu thức , ta có : A x x 1 x x 1 x x 1 x3 x 1 x x 1 x x x x x x5 x x x3 x x x x x 1 b) Với x 19 nên ta thay 20 x vào biểu thức, ta có : B x10 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x10 x10 x x x8 x8 x x x x 1 1.7 Tìm hệ số a, b, c biết: a )2 x ax 2bx 4c 6 x 20 x x với x; b) ax b x cx x3 x với x Hướng dẫn giải – đáp số a )2 x ax 2bx 4c 6 x 20 x x 2ax 4bx 8cx 6 x 20 x3 x 1 (1) với x 2a 6 4b 20 8c 8 a 3 b c 1 b) ax b x cx x3 x ax bx acx bcx 2b 2ax x3 x ax3 b ac x 2a bc x 2b x3 x (2) với x a 1 2b b ac 2a bc 0 a 1 b c 2 1 c 0 a 1 b c 1.8 Chứng minh với số nguyên n thì: A n n 3n 1 n n 12 chia hết cho Hướng dẫn giải – đáp số Biến đổi đa thức, ta có : A n n 3n 1 n n 12 2n n3 6n 3n n n3 12n 5n 5n 105 1.9 Đặt 2x a b c Chứng minh rằng: x a x b x b x c x c x a ab bc ca x2 Hướng dẫn giải – đáp số Xét vế trái: x a x b x b x c x c x a x ax bx ab x bx cx bc x ax cx ca ab bc ca 3x x a b c ab bc ca 3x x.2 x ab bc ca x Vế trái vế phải suy điều chứng minh 1.10 Cho a, b, c số thực thỏa mãn ab bc ca abc a b c 1 Chứng minh : a 1 b 1 c 1 0 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có a 1 b 1 c 1 a 1 bc b c 1 abc ab ac a bc b c abc ab bc ca a b c abc ab bc ca a b c abc abc 0