Chuyên đề 15 đa thức một biến cộng trừ đa thức một biến nghiệm của đa thức một biến

Chuyên đề 17 ĐA THỨC MỘT BIẾN - CỘNG TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN A Kiến thức cần nhớ Đa thức tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức * Mỗi đơn thức coi đa thức * Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn đa thức Để cộng (hay trừ) đa thức ta dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” tính chất phép tính Phép cộng đa thức có tính chất giao hốn kết hợp Đa thức biến tổng đơn thức biến * Đa thức biến ký hiệu ; … ; … * Mỗi số coi đa thức biến * Giá trị đa thức biến ký hiệu * Đa thức biến (sau rút gọn) thường theo lũy thừa giảm dần hay tăng dần biến * Bậc đa thức biến (khác với đa thức không) số mũ cao biến Đa thức biến bậc n có dạng thu gọn: (với ) Trong hệ số; số hạng độc lập hay hệ số tự * nhị thức bậc * tam thức bậc hai Để cộng hay trừ hai đa thức biến, ta có hai cách: a) Dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” tính chất phép tính b) Sắp xếp hạng tử hai đa thức theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) biến, đặt phép tính theo cột dọc tương tự số (chú ý đặt đơn thức đồng dạng cột) Nếu , đa thức có giá trị ta nói (hoặc ) nghiệm đa thức * nghiệm * Một đa thức (khác đa thức khơng) có nghiệm, hai nghiệm, … khơng có nghiệm * Số nghiệm số đa thức khơng vượt q bậc B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thu gọn đa thức sau cho biết bậc đa thúc: a) b)  Tìm cách giải: Để thu gọn đa thức ta xem đa thức có đơn thức đồng dạng thực phép cộng đơn thức đồng dạng a) ; b) Giải a) Bậc đa thức b) Bậc đa thức Ví dụ 2: Cho hai đa thức: a) Tính sau tìm giá trị tổng ; b) Tính ; c) Tìm đa thức cho ; d) Tìm đa thức biết:  Tìm cách giải: Thực phép toán cộng trừ hai đa thức ta làm tương tự việc dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” tính chất phép tính số để cộng trừ biểu thức số Giải a) Tại b) c) d) Ví dụ 3: Cho đa thức a) Viết đa thức dạng thu gọn với hệ số số, biết có bậc 5; hệ số cao 19 hệ số tự -15; b) Tính  Tìm lời giải: a) Bậc đa thức biến (khác với đa thức không) số mũ cao biến có bậc nên hệ số đa thức rút gọn phải Hệ số cao hệ số hệ số tự đa thức rút gọn Từ tìm a, b, c b) giá trị thay Giải a) Ta có b) Nên Ví dụ 4: Cho a) Thu gọn xếp theo lũy thừa giảm dần đa thức; b) Tính theo cách bỏ dấu ngoặc; c) Tính theo cách đặt đơn thức đồng dạng cột Giải a) b) c) Ví dụ 5: a) Tìm đa thức biết b) Tìm hệ số a, b, c đa thức biết  Tìm cách giải: a) có nghĩa -15 giá trị Thay vào đa thức tìm Tương tự thay vào đa thức ta tìm Từ hai đẳng thức ta tìm a b b) ta thấy Tìm a, b c tương tự câu a) lưu ý Giải a) Ta có Thay hay vào ta có Vậy b) nên nên (1) (2) Từ (1) (2) Thay vào (1) ta có: Do nên Vậy đa thức Ví dụ 6: Cho đa thức (m n số) Biết Tính  Tìm cách giải: Từ ta tìm hệ số m n đa thức Từ tính giá trị biểu thức cần tìm Giải Ta có thay vào ta có Vậy Ví dụ 7: Hai đa thức đồng (ký hiệu ) hai đa thức có giá trị với giá trị biến xác định a, b, c để hai đa thức sau hai đa thức đồng nhất:  Tìm lời giải: Để hai đa thức đồng (tức hai đa thức có giá trị với giá trị biến) hệ số tương ứng với lũy thừa bậc biến phải Do trước hết rút gọn đa thức tìm a, b, c để hệ số tương ứng lũy thừa bậc biến hai đa thức Giải Ta có: Để ta phải có Ví dụ 8: Dạng tổng quát đa thức biến là: ( số) a) Chứng minh tổng hệ số đa thức giá trị đa thức ; b) Chứng minh giá trị đa thức tổng hệ số lũy thừa bậc chẵn biến trừ tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ biến  Tìm lời giải: a) Tìm giá trị đa thức ; nhận xét kết rút kết luận b) Tìm giá trị đa thức ; lưu ý lũy thừa bậc chẵn (-1) số (+1) lũy thừa bậc lẻ (-1) (-1) Xét hai trường hợp: n chẵn n lẻ; nhận xét kết rút kết luận Giải a) Ta có : Vậy tổng hệ số đa thức giá trị đa thức b) Với n chẵn ta có: Với n lẻ ta có: Vậy giá trị đa thức tổng hệ số lũy thừa bậc chẵn biến trừ tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ biến C Bài tập áp dụng 15.1 Cho hai đa thức: a) Tính sau tìm giá trị tổng ; b) Tính sau tìm giá trị hiệu , 15.2* a) Thu gọn đa thức sau: b) Cho với x Tính tổng 15.3 Tìm đa thức M N biết: a) ; b) 15.4 Cho đa thức: ; Tìm đa thức R; S V cho: a) ; b) ; c) 15.5 Cho đa thức a) Thu gọn xếp đa thức sau theo lũy thừa giảm dần biến b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do, hệ số , hệ số với 15.6 Cho đa thức: a) Với a, b số, thu gọn xếp Q(x), G(x) theo lũy thừa giảm dần biến số Tính Q(x) + G(x) xếp tổng theo lũy thừa tăng dần biến số b) Tìm a b biết hệ số cao hệ số tự 2018 15.7* Tính giá trị đa thức sau : a) b) 15.8 Cho a) Tính ; b) Tính ; c) Tính ; d) Nhận xét hệ số với 15.9 Cho Tìm đa thức cho: a) b) ; c) ; 15.10 Cho ; với số a) Tính b) ; c) Tính ; với n số 15.11 Tìm nghiệm đa thức sau: a) ; b) 15.12 Chứng minh đa thức khơng có nghiệm ; 15.13 Tìm nghiệm đa thức sau: a) ; b) c) d) 15.14 Chứng minh: a) Nếu nghiệm đa thức b) Nếu đa thức có nghiệm đa thức 15.15 Tìm giá trị m biết đa thức: có nghiệm 15.16* Cho đa thức a) Tìm quan hệ hệ số a c; b d đa thức để có hai nghiệm Thử lại với ; b) Với Hãy cho biết có phải nghiệm đa thức vừa tìm? 15.15 Hãy xác định a, b, c, d để hai đa thức sau hai đa thức đồng nhất: ; 15.18 Cho số Ta gọi số có ba chữ số mà vị trí chữ số a; b; c đổi chỗ cho (chẳng hạn ) hoán vị Tìm số có ba chữ số khác khác có Biết tổng số với tất hoán vị 1998 15.19 Tìm tổng tất nghiệm đa thức: 15.20 Tìm tổng hệ số đa thức sau bỏ dấu ngoặc biết: a) ; b) c) 15.21* Cho đa thức với a) Chứng minh đa thức có nghiệm ; b) Cho đa thức với có nghiệm -1 15.22 Cho đa thức với Biết số nguyên; a) Chứng minh c, a+b, 2a số nguyên; b) Chứng minh với số ngun ln số nguyên (Đề thi vào trường THPT chuyên tỉnh Hà Tây năm học 2006-2007) 15.23 Cho hai đa thức: Tính giá trị biết (Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp huyện Thường Tín Hà Nội, năm học 2008-2009) 15.24 Cho hai đa thức: a) Tính ; b) Tìm nghiệm đa thức ; c) Tính giá trị đa thức với 15.25 Cho đa thức a) Tính ; b) Cho biết Chứng minh ; c) Cho Chứng minh đa thức khơng có nghiệm 15.26 Cho đa thức thỏa mãn với giá trị Tính P(3) (Đề thi Olympic Toán Tuổi Thơ 2012) 15.27 Cho đa thức với a số nguyên dương, biết: Chứng minh hợp số (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, năm học 2012-2013) 15.28 Tìm nghiệm đa thức (Đề thi học sinh giỏi Toán lớp huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc, năm học 2012-2013) 15.1 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ a) ; Nếu ta có + Với Ta có: + Với Ta có: b) ; Nếu ta có + Với Ta có: + Với Ta có: 15.2* a) Cách 1: Cách 2: b) Do với nên: Đặt Vậy Ta có: 15.3 a) b) 15.4 a) b) c) 15.5 a) ; b) Hệ số cao 19; hệ số tự 12,5; hệ số 1; hệ số 15.6 a) b) Ta có: 15.7 a) b) Có 50 cặp cặp có kết 15.8 a) b) c) d) Dấu hệ số lũy thừa tương ứng biến ngược dấu 15.9 a) b) c) 15.10 a) ; b) c) 15.11 a) b) 15.12 Do với giá trị (ký hiệu: ) nên hay nên đa thức khơng có nghiệm Tương tự: nên khơng có nghiệm 15.13 a) hai nghiệm ; b) năm nghiệm ; c) nghiệm d) 15.14 a) nghiệm đa thức nên hay hay b) Theo đầu bài: Hay Xét Chứng tỏ (-1) nghiệm