Bài 1 nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức

CHUYÊN ĐỀ PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC BÀI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày quy tắc phép tính: Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức  Kĩ + Thực thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức + Làm toán chứng minh đẳng thức, toán số học + Tính nhanh giá trị biểu thức cách thu gọn biểu thức + Làm toán tìm x dựa vào phương pháp học Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Quy tắc nhân đơn thức với đa thức Ví dụ: x  x   x.x  x.2 x  x; Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn  x  1 x x.x  1.x x  thức với hạng tử đa thức cộng tích lại với x A  B  C   A.B  A.C Quy tắc nhân đa thức với đa thức Ví dụ: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức  x  1  x   x  x     x    x.x  x.2  1.x  1.2 cộng tích lại với  x  x  x  x  3x   A  B   C  D   A.C  A.D  B.C  B.D Các phép toán lũy thừa m n a a a m n Ví dụ: ; x x  x 5  x ; a m : a n a m  n  a 0; m n  ; x8 : x  x8  x  x 0  ; m a m b m  a.b  ; a m : b m  a : b  m n a  m x y  x y  ;  b 0  ; x : y  x : y  a m.n x   y 0  ; x 3.2  x II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Làm phép tính nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Phương pháp giải Thực theo bước Ví dụ: Thực phép tính  x  3  x   Hướng dẫn giải Bước Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức quy tắc nhân đa thức với đa thức  x  3  x    x  x     x    x.x  x.2  3.x  3.2 x  x  3x   x  x  Bước Cộng tích với Ví dụ mẫu Ví dụ Thực phép nhân đơn thức với đa thức a) x  x  x  1 ; 3 3 b) x   x  x   ; 2  Trang 2 c)   x   x  3x  1 ; 2 d)  x y  xy  3   xy  Hướng dẫn giải 2 a) Ta có x  x  x  1  x.2 x  x.x  x.1 2 x  x  x 3 3 3 3 b) Ta có x   x  x   2 x   x   x x  x 2   x  x  x 3 2 c) Ta có   x   x  3x  1   x  x    x    3x     x    1  x  3x  x 2 2 d) Ta có  x y  xy  3   xy   x y   xy   xy   xy     xy   x y  x y  xy Ví dụ Thực phép tính a)  x  y   x  y  1 ; 2 b)  x  y   x  xy  y  ; c)  x  1  x    x  1 ; d) x   x    x    x    x   Hướng dẫn giải a)  x  y   x  y  1  x  x  y  1  y  x  y  1  x.x  x y  x.1  y.x  y y  y.1  x  xy  x  xy  y  y  x  y  x  y 2 2 2 b)  x  y   x  xy  y  x  x  xy  y   y  x  xy  y   x.x  x.xy  x y  y.x  y.xy  y y  x3  x y  xy  x y  xy  y  x3  y c) Ta có  x  1  x    x  1  x  x     x     x  1  x  x  x    x  1  x  x    x  1  x  x  1  3x  x  1   x  1  x x  x  x.x  3x.1  2.x  2.1  x  x  x  3x  x   x3  x  x  Trang d) Ta có x   x    x    x    x    x  x.3 x    x    x  x     x     x  3x    x    x  x  12 x  20   x   x   x   x   x  x  20 4 x  x  12 x  x  x  x  20 9 x  18 x  11x  20 Ví dụ Cho hai đa thức A x  x  3x  B x  2x  Tính A.B Hướng dẫn giải 3 Ta có A.B  x  x  3x  1  x  2x  1  x  x  2x  1  x  x  2x  1  3x  x  2x  1   x  2x  1 x3 x3  x3 x  x3  x x  x 2 x  x   1  3x.x  3x.2 x 3 x   1  1.x  1.2 x    1  x  x  x  x  x  x  x  x3  3x  x  x   x  x  x  x  x  Vậy A.B  x  x  x  x  x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Nhân đa thức x  với đa thức x  ta tích A x  B x  C x  3x  D x  3x  Câu 2: Tích đa thức x  xy  y đa thức x  y A x  y B x  y C x  y D x  27 y Câu 3: Nhân đơn thức x3 với đa thức  2x ta tích A x  x B x3  x C x   x D x  x Bài tập nâng cao Câu 4: Thực phép tính a)  x    x  3 b)  x  1  x  x  3 c) x   x    x    x    3x   2 3 d)  x y  xy   x y  x y  x y  Câu 5: Thực phép nhân a)  x  x  x  1   x  3 2 b)  x  x    x   Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Trang Muốn tính giá trị biểu thức giá trị biến, Ví dụ: Tính giá trị biểu thức ta thực theo bước sau: Bước Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức quy tắc nhân đa thức với đa thức M  x  1  x  x  1 x 10 Hướng dẫn giải M  x  1  x  x  1  x  x  x  1   x  x  1  x.x  x.x  x.1  1.x  1.x  1.1 Bước Rút gọn đơn thức đồng dạng Bước Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn  x3  x  x  x  x   x3  x  x  x  x   x  Thay x 10 vào biểu thức M  x  1, ta M 103  1000  999 Vậy M 999 x 10 Ví dụ mẫu Ví dụ Tính giá trị biểu thức a) A 2 x  x  y   y  x  y  x 2 y  b) B 2  x  1  x  1   x  1  x  1 x 2 1 2 c) C  x  xy  y   x  y  với x  ; y  Hướng dẫn giải a) A 2 x  x  y   y  x  y  x 2 y  Ta có A 2 x  x  y   y  x  y  2 x.x  x y  y.2 x  y y 2 x  xy  xy  y 2 x  y Thay x 2 y  vào biểu thức A 2 x  y 2 Ta A 2       8  4 Vậy A 4 x 2 y  b) B 2  x  1  x  1   x  1  x  1 x 2 Ta có B 2  x  1  x  1   x  1  x  1  x    x  1   x  1  x  1 Trang 2 x  x  1   x  1  x  x  1   x  1   x  1   x  1   x  1  x  Thay x 2 vào biểu thức B  x  , ta B    Vậy B  x 2 1 2 c) C  x  xy  y   x  y  với x  ; y  2 Ta có C  x  xy  y   x  y  4 x  x  y   xy  x  y   y  x  y  4 x 2 x  x y  xy.2 x  xy y  y 2 x  y y 8 x  x y  x y  xy  xy  y 8 x  y 3 1 28  1  1 Thay x  ; y  vào biểu thức C 8 x  y , ta C 8       27  2  3 Vậy C  28 1 x  ; y  27 Ví dụ Rút gọn tính giá trị biểu thức 2 a) D  x  y  xy   y  x y  xy  x  x  ; y  2 2 2 b) E  x  y  xy  1    x  x  1 y x 1; y  Hướng dẫn giải 2 a) Ta có D  x  y  xy   y  x y  xy  x   x y  x.xy  y.x y  y.xy  y.x  xy  x y  x y  xy  x y x y 1 1 Thay x  ; y  vào biểu thức D  x y , ta D      4 1  2 Vậy D 1 x  ; y  2 2 2 b) Ta có E  x  y  xy  1    x  x  1 y  x y  x xy  x  x3 y  x y  y x y  x3 y  x  x y  x y  y x  y Thay x 1; y  1 1 vào biểu thức E  x  y , ta E 12    1   4  2 Trang Vậy E  x 1; y  Ví dụ Tính giá trị biểu thức M x8  100 x  100 x  100 x  100 x  100 x  100 x  100 x  x 101 Hướng dẫn giải Với x 101 , ta thay 100  x  vào biểu thức M Ta có M x8   x  1 x   x  1 x   x  1 x5   x  1 x   x  1 x   x  1 x   x  1 x   x8  x8  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  101  100 Vậy M 100 x 101 Bài tập tự luyện dạng Bài tập 2 Câu 1: Giá trị biểu thức  x  1  x  1 x  A  B C D 2 Câu 2: Giá trị biểu thức  x  3  x  3 x 2 A B C D Câu 3: Giá trị biểu thức x  1001x3  1001x  1001x  1001 x 1000 A 1000000000 B 1000 C D Bài tập nâng cao Câu 4: Tính giá trị biểu thức a) A b3  c  ab  ac  abc biết a  b  c 0 b) B  x5  x  x  x  x  với x 4 c) C x  80 x  80 x  80 x   80 x  15 với x 79 Dạng Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Phương pháp giải Ví dụ: Chứng minh biểu thức P  x  1  x  1   x  1  x  3  x  Có giá trị khơng phụ thuộc vào x Hướng dẫn giải Bước Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức quy tắc nhân đa thức với đa thức P 2 x  x  1   x  1  x  x  3   x  3  x  2 x  x  x   x  x  x   x  Trang  2x  2x    x  3x  x     Bước Áp dụng quy tắc rút gọn đa thức để thu kết khơng cịn chứa biến Ví dụ mẫu 9 (điều phải chứng minh) Ví dụ Chứng minh biểu thức sau có giá trị khơng phụ thuộc vào biến x a)  3x    x  3   x    x  11 2 2 b)  x  x  1  x  x  3  x  x  1  3x  x   Hướng dẫn giải a) Ta có  3x    x  3   x    x  11 3 x  x  3   x  3  x  x  11   x  11 6 x  x  14 x  21  x  33x  10 x  55  x  x    14 x  x  33x  10 x   21  55 76 (điều phải chứng minh) 2 2 b) Ta có  x  x  1  x  x  3  x  x  1  3x  x   3 x  x  x  3  x  x  x   1  x  x    4.x.x  x   1  x x  x 2 3 x x  x 2 x  x  x x  x.2 x  x.3 1.x 1.2 x 1.3  x 4 x  x  x 3 x  x3  x  x  x  x  x  x   x  x  x  x  x  x    x3  x  x3    x  x  x  x     6x  2x  4x  3 (điều phải chứng minh) Ví dụ Chứng minh biểu thức sau có giá trị khơng phụ thuộc vào biến x, y 2 a)  x  1  x  y    x  y   x    x  x  y    y   2 b)  x y  x  3  x  xy 1  3x y  x  y  Hướng dẫn giải 2 a) Ta có  x  1  x  y    x  y   x    x  x  y    y    x  x  y   1 x  y   x  x    y  x    x  xy  y  15 x.x  x y  1.x  y  x x  x     y.x  y     x  xy  y  15  x  xy  x  y  x  x  xy  y  x  xy  y  15 Trang  x3  x    x  x  x    xy  xy  xy    y  y  y   15  15 (điều phải chứng minh) 2 b) Ta có  x y  x  3  x  xy  1  x y  x  y  6.x y  6.x  6.3  x.2 xy  x.1  x y.2 x  x y   y  6 x3 y  x  18  12 x y  x  x y  12 x y  x3 y  x y    12 x y  12 x y    x  x   18  18 (điều phải chứng minh) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Giá trị đa thức sau không phụ thuộc vào biến x ? A  x    x  3   x    x  11 B  x    x  3   x    x  11 C  x    x  3   x    x  11 D  3x    x  1   x    x   Câu Giá trị đa thức sau không phụ thuộc vào biến x ? A  3x    x  3   x    x  11 B  3x    x  3   x    x  11 C  3x    x  3   x    x  11 D  3x    x  3   x    x  11 Bài tập nâng cao Câu Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến a)  x  x     x  1  x  1  10 x b)  x    x    x  x  12   32 c)  x  3  3x  1  x  x    19  x  1 Dạng Tìm x từ điều kiện cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Tìm x biết  x  1   x    x   0 Bước Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa Hướng dẫn giải  x  1   x    x  3 0 thức quy tắc nhân đa thức với đa thức 10 x   10 x  15 x  x  12 0  10 x  10 x    x  15 x   12  0 Bước Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn  x  0 biểu thức hai vế để tìm x  x  x 1 Vậy x 1 Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm x biết a)  x  3  x     x  1  x  1  27 2 b)  x  1  x  x  1  x   x  2 c)  x  1  x     x  1  x  3  x 1 Hướng dẫn giải a) Ta có  x  12   3x     3x  3  x  1  27  x  x    12  x    x  x  1   x  1  27  x.3x  x.2  12.3x 12     3x.4 x  3x   1  3.4 x    1  27  12 x  x  36 x  24  12 x  3x 12 x   27   12 x  12 x     x  36 x  x  12 x    24    27  43x  27  27  43x 0  x 0 Vậy x 0 2 b) Ta có  x  1  x  x  1  x   x  2  x  x  x  1   3x  x  1  x  x   x  2  x.3 x  x   x   x.1  1.3x    x    x  3x3 2  3x3  x  x  x  x   x  3x3 2   3x  x    x  x  x    x  x   2  x  2  x 1 1  x   x  6 Vậy x  c) Ta có  x  1  x     x  1  x  3  3x 1  x  x     x    x  x  3  1 x  3  x 1  x.x  x.2  1.x  1.2  x.x  x     1.x      3x 1  x  x  x   x  x  x   3x 1 Trang 10   x  x    x  x  3x  x  3x    1  1 (luôn đúng) Vậy đẳng thức thỏa mãn với x Bài tập tự luyện dạng Câu Tìm x biết a)  x    x    x 104 b)  x  1  x     x  3  x   6 c)  x  1  x     x    x    19 Dạng Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải Ví dụ: Chứng minh  x    x  3   x  1  x  3 3  x  3 Bước Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức biến đổi vế đẳng thức Hướng dẫn giải VT x  x  3   x  3  x  x  3   x  3 Bước Thu gọn đa thức để đưa hai vế x  3x  x   x2  3x  x  biểu thức  x  x    3x  x  3x  x   Bước Kết luận 3 x  3  x  3 VP Vậy VT VP (điều phải chứng minh) Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh 2 a)  3x  y   x  y   y 15 x  xy  y b)  x  y   x  y   y  x  y   x  y   3xy Hướng dẫn giải a) Ta có VT  x  y   x  y   y 3 x  x  y   y  x  y   y 3 x.5 x  3.x y  y.5 x  y   y   y 15 x  3xy  10 xy  y  y 15 x  xy  y VP  điều phải chứng minh b) Ta có VT  x  y   x  y   y Trang 11  x  x  y   y  x  y   y  x.x  x y  y.x  y y  y  x  xy  xy  y  y  x  10 y Ta có VP  x  y   x  y   3xy  x  x  y   y  x  y   xy  x.x  x.5 y  y.x  y.5 y  3xy  x  xy  xy  10 y  xy  x  10 y  VT VP Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ Chứng minh a)  x  a   x  b   x   a  b  x  a.b b)  x  a   x  b   x  c   x   a  b  c  x   ab  bc  ca  x  abc Hướng dẫn giải 2 a) VT x  x  b   a  x  b  x  b.x  a.x  ab  x   a  b  x  ab VP Vậy ta có điều phải chứng minh b)  x  a   x  b   x  c  x   a  b  c  x   ab  bc  ca  x  abc VT  x  x  b   a  x  b    x  c   x.x  xb  a.x  a.b   x  c   x   a  b  x  a.b   x  c   x   a  b  x  a.bx  x c  a  b  c.x  a.b.c  x   a  b  c  x   ab  bc  ca  x  abc VP Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ a) Xác định a, b biết  x  1  x  1  x  ax  b b) Xác định a, b, c, d biết x  x  1   x  1  x  a  bx  cx  dx  Hướng dẫn giải a) Ta có  x  1  x  1  x  ax  b Trang 12 x  x  1   x  1  x  ax  b x   x  ax  b Suy a 0; b  b) Ta có x  x  1   x  1  x  a  bx  cx  dx  x3  x  x  2ax  x  a bx3  cx  dx  x  x   2a  1 x  a bx3  cx  dx  Do b 1; c 1; a 1  2a  d Suy b 1; c 1; a 1 d  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Xác định a, b biết  x  a   x    x  3x  b với giá trị x Dạng Giải toán cách đặt ẩn, toán số học Phương pháp giải Ví dụ: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai số đầu 100 Bước Gọi số phải tìm đặt điều kiện Hướng dẫn giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp Bước Biểu diễn kiện đề theo số phải tìm n, n  1, n   n    Tích hai số đầu n  n  1 Tích hai số sau  n  1  n   Bước Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức Vì tích hai số sau lớn tích hai số đầu quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm đáp 100 nên  n  1  n    n  n  1 100 án toán n  2n  n   n  n 100 2n  100 Bước Kiểm tra điều kiện kết luận 2n 98 n 49 Kết hợp điều kiện n 49 thỏa mãn Vậy ba số cần tìm 49;50 51 Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai số đầu 52 Hướng dẫn giải Gọi ba số tự nhiên lẻ liên tiếp n  2; n n  với n   n số lẻ Tích hai số sau là: n  n   n  2n Tích hai số đầu là: n  n   n  2n Trang 13 Tích hai số sau lớn tích hai số đầu 52 nên n  2n    n  2n  52 4n 52 n 13 Kết hợp điều kiện có n 13 (thỏa mãn) Từ ví dụ ta có tốn tổng qt: Với ba số tự nhiên cách k đơn vị thì: Hiệu tích hai số cuối hai số đầu 2k lần số Vậy ba số cần tìm 11;13 15 Ví dụ Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai số trước 624 Hướng dẫn giải Vì ba số tự nhiên chẵn cách hai đơn vị nên số đứng 642 : 156 Vậy ba số cần tìm 154;156 158 Bài tập tự luyện Bài tập Câu a) Cho A x  x  3  x  x  1 Chứng minh A chia hết cho với số nguyên x b) Cho B  x    y  3   x  3  y   Chứng minh B chia hết cho với số nguyên x, y Bài tập nâng cao Câu a) Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp Biết tích hai số đầu nhỏ tích hai số cuối 38 b) Cho a, b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư 1, b chia cho dư Chứng minh a.b chia cho dư Đáp án lời giải Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn C Ta có  x  1  x   x  x     x   x.x  x.2  1.x  1.2 x  x  Câu Chọn D 2 2 Ta có  x  xy  y   x  y  4 x  x  y   xy  x  y   y  x  y  4 x 2 x  x   y   xy.2 x  xy   y   y 2 x  y   y  8 x  12 x y  12 x y  18 xy  18 xy  27 y 8 x  27 y Câu Chọn A 3 3 Ta có x   x  x  x   x  5 x  x Bài tập nâng cao Trang 14 Câu 2 a)  x    x  3  x  x  x   x  x  2 b)  x  1  x  3x  3 12 x  x  x  x  3x  12 x  x  c) x   x    3x    x    x    x  x    x    x    3x   4 x  x  x  3x3  x  12 x  x  20 3 x  10 x  11x  20 2 3 d)  x y  xy   x y  x y  x y   x y  x y  x y  x y   xy  x y  x3 y  x y   x y  x y  x y  x5 y  x y  x3 y  x y  x y   x5 y  x5 y    x y  x y   x y  x3 y Câu a)  x  x  x  1   x  3 2 b)  x  x    x    10 x  15 x  x  x  x3  12 x  x  2 x  x  x  12 x  x  20 6 x5  10 x  17 x  17 x  12 x  Bài tập tự luyện dạng 2 x  3x  13 x  12 x  20 Bài tập Câu Chọn B 2 2 Ta có  x  1  x  1  x  x  x  x  Thay x  vào biểu thức, ta   1  1  0 Câu Chọn C 2 2 Ta có  x  3  x  3 x  3x  3x   x  Thay x 2 vào biểu thức, ta 24  16  7 Câu Chọn D 4 3 2 Ta có x  1001x  1001x  1001x  1001  x  1000 x    x  1000 x    x  1000 x    x  1000    x  x  1000   x  x  1000   x  x  1000    x  1000   1 (do x  1000 0 ) Bài tập nâng cao Câu 3 2 3 a) Ta có A b  c  ab  ac  abc  b  ab    c  ac   abc Trang 15 b  b  a   c  c  a   abc  b c  c b  abc  bc  b  c  a  0 (do a  b  c 0 ) b) Thay  x  1, ta có B  x5   x  1 x   x  1 x3   x  1 x   x  1 x  x5  x5  x  x  x3  x3  x  x  x  x  4  3 c) Thay 80  x  1, ta có C x   x  1 x   x  1 x   x  1 x    x  1 x  15  x  x  x  x  x  x  x   x  x  15  x  15 94 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Chọn D 2 Ta có  x    x  3   x  5  x  11  x  3x  x  21   x  11x  x  55  2 x  16 x  34  x    x  3   3x    x 11  x  3x  x  21   x  33x  10 x  55   x  13x  76  x    x  3   x    x 11  x  x 14 x  21   x  22 x  10 x  55   x  34  3x    x 1   3x    x    3x  3x  x     3x 12 x  x   15 Câu Chọn B Ta có  3x    x  3   3x    x  11  x  x  14 x  21   x  33x  10 x  55  12 x  46 x  34  3x    x  3   3x    x  11  x  x  14 x  21   3x    x  3   3x    x  11  x  x  14 x   6x  33x  10 x  55  76 21   x  33 x  10 x  55   18 x  34  3x    x  3   3x  5  x  11  x  x  14 x  21   6x  33 x  10 x  55   66 x  34 Bài tập nâng cao Câu a)  x  x     x  1  x  1  10 x b)  x    x    x  x  12   32  25 x  10 x  25 x   10 x  x  x  x  32  x  12 x  32  0 c)  x  3  3x  1  x  x    19  x  1 6 x  x  x   x  12 x  19 x  19 16 Bài tập tự luyện dạng Trang 16 Câu 2 a)  x  8  x    x 104  x  x  x  48  x 104  14 x 56  x 4 Vậy x   4 2 b)  x  1  x     x  3  x   6  x  x  x   x  x  3x  12 6  x   x  Vậy x   4 c)  x  1  x     x    x    19  x  3x     x  10 x    19 x  x   x  20 x  16  19 29 x  29 x  Vậy x    1 Bài tập tự luyện dạng Câu Ta có  x  a   x    x  3x  b x  x  ax  5a  x  3x  b x    a  x  5a  x  3x  b Do  a 3;5a b Suy a  b  10 Vậy a  b  10 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 2 a) Ta có A  x  x  3  x  x  1 2 x  3x  x  x  x Vậy A chia hết cho với số nguyên x b) Ta có B  3x    y  3   x  3  y   12 xy  x  16 y  12  12 xy  16 x  y  12 7 x  y 7  x  y  Vậy B chia hết cho với số nguyên x, y Bài tập nâng cao Câu a) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp n; n  1; n  2; n  3, với n   Tích hai số đầu n  n Tích hai số cuối n  5n  Trang 17 2 Theo ra, ta có  n  5n     n  n  38 4n  38 n 8 Vậy bốn số cần tìm 8;9;10 11 b) Đặt a 3k  b 3h  với h; k   Vậy a.b  3k  1  3h   9hk  3h  6k  3  3hk  h  2k   Vậy a.b chia cho dư Trang 18