Phạm văn quốc, đa thức

Đa thức Phạm Văn Quốc Trường THPT chuyên KHTN Tháng 07 năm 2017 Tóm tắt nội dung Bài giảng đề cập đến hai vấn đề phổ biến đa thức, đa thức hệ số nguyên phương trình hàm đa thức Các tốn đa thức hệ số nguyên xem xét nhiều tính chất số học chúng số áp dụng số học Phần phương trình hàm đa thức đề cập đến số phương pháp giải số dạng toán đặc biệt Đa thức hệ số nguyên • Tính chia hết cho số nguyên Bổ đề 1: Cho P (x) ∈ Z [x], với số nguyên phân biệt a, b ta có a − b | P (a) − P (b) Chứng minh: Kết suy trực tiếp từ tính chất: ak − bk a − b với a, b nguyên phân biệt k số tự nhiên Ví dụ Cho P (x) đa thức với hệ số nguyên có bậc n > 1, k số nguyên dương Xét đa thức Pk (x) = P (P (P (x)) ) Chứng minh có nhiều n số nguyên t cho Pk (t) = t Giải Xét trường hợp Pk (x) = x có nghiệm nguyên dương phân biệt Giả sử Pk (s) = s, Pk (t) = t Khi s−t | P (s)−P (t) | · · · | Pk (s)−Pk (t) = s − t ⇒ P (s) − P (t) = s − t t − s Suy P (s) − s = P (t) − t P (s) + s = P (t) + t Giả sử tồn số nguyên phân biệt s, u, t nghiệm Pk (x) cho P (s) − P (t) = s − t, P (u) − P (t) = t − u Khi P (s) − P (u) = s + u − 2t rõ ràng giá trị khác u − s s − u, ta có mâu thuẫn Do tất nghiệm Pk (x) = x thỏa mãn đồng thời nghiệm P (x) − x = c P (x) + x = c Ta có đpcm Ví dụ Cho P (x) đa thức hệ số ngun có bậc khơng vượt 10 cho với k ∈ {1, 2, , 10} tồn số nguyên m với P (m) = k Biết |P (10) − P (0)| < 1000 CMR với số nguyên k tồn số nguyên m cho P (m) = k Giải Với i = 1, 2, , 10 ta có số nguyên ci mà P (ci ) = i Với i = 1, 2, , ta có ci+1 − ci | P (ci+1 ) − P (ci ) = i + − i = ⇒ ci+1 − ci = ±1 (chú ý P (ci ) − P (cj ) = i − j = nên ci = cj với i = j) Nên c1 , , c10 số nguyên liên tiếp TH1 ci = c1 − + i Đặt Q (x) = + x − c1 Khi với i = 1, 2, , 10 ta có Q (ci ) = i = P (ci ) nên P (x) − Q (x) = R (x) 10 i=1 (x − ci ) mà deg P ≤ 10 10 nên P (x) = + x − c1 + a i=1 (x − ci ) với a ∈ Z Khi P (10) − P (0) = 10 10 10 + a i=1 (0 − ci ) = 10 + a.T, ý T : 10! khác i=1 (10 − ci ) − với |P (10) − P (0)| < 1000 ta có a = Nên ta có điều phải chứng minh TH2: ci = c1 + − i hoàn toàn tương tự Bài tập Cho P (x) đa thức với hệ số nguyên cho P (n) > n với n ∈ Z+ Giả sử với số nguyên dương m, tồn số dãy P (1) , P (P (1)) , P (P (P (1))) , chia hết cho m Chứng minh P (x) = x + • Nghiệm đa thức Xét đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an = 0, ∈ R) Bổ đề 2: Nếu x0 nghiệm (phức) P (x) |x0 | < + max aank Chứng minh: Đặt M = max ak an Ta có an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = nên an−1 n−1 a1 a0 |x0 | = x + ··· + x + ≤M an an an n−1 n n Nếu |x0 | > |x0 | ≤ M |x0 |n −1 |x0 |−1 |an z n+1 | ≤ (|an − an−1 | + + |a1 − a0 | + |a0 |) |z|n ≤ |an z n | , vô lý Hệ quả: Giả sử f (x) = a0 + a1 x + + an xn đa thức với hệ số thực dương Khi nghiệm phức z thỏa mãn r ≤ |z| ≤ R với r = {a0 /a1 , , an−1 /an } R = max {a0 /a1 , , an−1 /an } - Định lý Viét Ví dụ Tìm tất cặp số nguyên (a, b) cho tồn đa thức P (x) hệ số nguyên cho tích (x2 + ax + b) P (x) đa thức có dạng xn +cn−1 xn−1 + · · · + c1 x + c0 c0 , c1 , , cn−1 −1 Giải Giả sử f (x) = x2 + ax + b, rõ ràng b = ±1 Nếu x0 nghiệm f (x) ⇒ x0 nghiệm Q (x) ⇒ |x0 | < Xét b = −1, −a ≥ ⇒ f (−a) f (−a + 1) < 0; −a ≤ −2 ⇒ f (−a − 1) f (−a) < loại Do a = ±1 (chọn P = 1) a = (chọn P = x + 1) Xét b = 1, a ≥ ⇒ f (−a) f (−a + 1) < 0, a ≤ −3 ⇒ f (−a − 1) f (−a) < loại Do a = ±2 (chọn P = x ∓ 1) a = ±1 (chọn P = 1) a = (chọn P = 1) Ví dụ Có tồn hay khơng số thực a, b, c khác cho với n > tồn đa thức Pn (x) = xn + · · · + ax2 + bx + c mà có n nghiệm nguyên Giải Gọi ri nghiệm Pn (x), theo định lý Viét ta có ni=1 ri = , 1≤i n > Và P (an ) = an nên P (x) = x Nếu deg P chẵn Từ giả thiết ta có (P (x))2 đa thức x2 nên P (x) = Q (x2 ) = P1 (x2 − 1) Khi P1 (x2 − 1) = [P1 (x)]2 − Chú ý deg P1 = deg P nên tiếp tục trình ta thu đa thưc Pn (x) = x Do P (x) ∈ {P1 (x) = x, Pn+1 (x) = Pn (x2 − 1)} Bài tập 30 Cho n ∈ N, n ≥ Tìm tất đa thức P (x) hệ số thực khác số cho + P (xn + 1) = (P (x))n ∀x ∈ R Bài tập 31 Tìm số nguyên dương n cho tồn đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên, hệ số bậc cao dương đa thức Q (x) với hệ số nguyên cho đẳng thức sau với x x (P (x))2 − 2P (x) = x3 − x (Q (x))2 Bài tập 32 Chứng minh với số nguyên dương n, tồn đa thức bậc n với hệ số thực f (x) thỏa mãn f (0) = (x + 1) [f (x)]2 − hàm số lẻ Bài tập 33 Tìm tất đa thức hệ số nguyên P (x) cho x2 − 2x + (P (x))2 − bình phương đa thức hệ số ngun • Phương trình có điều kiện Bài tập 34 Tìm tất đa thức P (x) với hệ số thực cho P (a)2 + P (b)2 + P (c)2 = P (a + b + c)2 + với số (a, b, c) thoả mãn ab + bc + ca + = n Giải Rõ ràng P (x) số P (x) ≡ ±1, giả sử P = ak x k k=0 với an = 0, n ∈ Z+ Ta có xét a = −2x + 1, b = 3x − 1, c = 6x − 5, ta có ab + bc + ca + = nên P (−2x + 1)2 + P (3x − 1)2 + P (6x − 5)2 = P (7x − 5)2 +2 (∗) So sánh hệ số x2n hai vế ta có (−2)2n +32n +62n = 72n hay n = Do P (x) = mx + q với m, q ∈ R Thay vào (∗) ta có m2 + q = Ngược lại với ab + bc + ca + = đẳng thức ban đầu thoả mãn Vậy P (x) ≡ mx + q với m2 + q = Cách Xét TH deg P = n ≥ Chọn (a, b, c) = x + i, x − i, − 21 x 2 thoả mãn điều kiện nên ta có P (x + i)2 +P (x − i)2 +P − 12 x = P 32 x +2 2n 2n So sánh hệ số x2n hai vế ta có + + 21 = 32 nên n = Bài tập 35 Tìm tất đa thức P (x) hệ số thực cho với số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = ta có P (a)2 + P (b)2 + P (c)2 = P (a + b + c)2 Một số áp dụng số học Ví dụ 36 Cho p số nguyên tố lớn Tìm số dư có phép chia pj=1 (j + 1) cho p p−1 mod p p = 4k + Thật vậy, mod p p = 4k + (i2 + 1) ≡ Giải Ta chứng minh i=1 p−1 đặt p1 = xét f (x) = (x − 12 ) (x − 22 ) (x − p21 ) g (x) = xp1 − 1, h (x) = f (x) − g (x) Rõ ràng deg h < p1 h (x) = mod p điểm 1, 22 , , p21 nên h (x) ≡ mod p Chọn x = −1 ta có (−1)p1 p1 (i2 + 1) = i=1 p1 p−1 (i2 + 1) = (−1) − hay i=1 p1 (i2 + 1) p1 = ((−1) − 1) nên số dư i=1 Ví dụ 37 Cho số nguyên √ √ dương √ n ≥ 2, an , bn , cn số nguyên thỏa mãn n − = an + bn + cn Chứng minh cn ≡ (mod 3) ⇔ n ≡ (mod 3) √ Giải Xét f (x) = (x − 1)n − cn x2 − bn x − an ⇒ f = mà x3 − bất khả quy nên x3 − | f (x) ⇒ gn (x) = an + bn x + cn x2 phần dư phép chia (x − 1)n cho x3 − q Đặt n = 3q+r suy (x − 1)n ≡ (x − 1)3q (x − 1)r = (x3 − 1) (x − 1)r ≡ (x3 − 2) g (x) + (x − 1)r Z3 [x] ⇒ gn (x) ≡ (x − 1)r Z3 [x] Do cn ≡ (mod 3) ⇔ r ∈ {0, 1} cn ≡ (mod 3) r = Bài tập 38 Cho p số nguyên tố lớn 2, với k ∈ Z + ta đặt Sk = 1k + 2k + + (p − 1)k Tìm tất k cho p|Sk giá trị n ∈ Bài tập 39 Cho p số nguyên tố lẻ CMR có p+1 p−1 k {0, 1, 2, , p − 1} cho k=0 k!n không chia hết cho p Bài tập 40 Cho a, b hai số nguyên Tìm tất số nguyên tố p cho pi=1 (i2 + 2ai + b) ≡ (mod p) 10 ... nguyên dương Chứng minh hai đa thức Pj (x) Pk (x) nguyên tố với số nguyên dương j = k Bài tập Cho P (x) = x2018 − 2x2017 + 1, Q (x) = x2018 − 2x2017 − Hỏi đa thức P, Q ước đa thức dạng c0 + c1 x +... dương n ≥ đa thức hệ số nguyên Pn (x) = a0 xn +a1 xn−1 +· · ·+an−3 x3 +ax2 +bx+c (a0 = 0) mà Pn (x) có n nghiệm nguyên phân biệt • Đa thức hệ số nguyên số nguyên tố Bổ đề 4: Giả sử f đa thức hệ... ≥ p − Bài tập 13 Tìm tất đa thức f (x) với hệ số nguyên (khác số) cho với số nguyên tố p, f (p) khơng có ước bình phương số ngun tố • Đa thức luỹ thừa Ví dụ 14 Cho đa thức f (x) = ax2 +bx+c Biết