Bai toan xac dinh mot da thuc (THCS)

Phòng giáo dục Quận Trờng thCS ngô gia tự Bài toán xác định đa thức Ngời thực Giáo viên : : Ngô Đức Minh Trờng ThCS Ngô gia tự - Quận Hồng Bàng Năm học 2000 - 2001 A / Lý chọn đề tài: Những năm gần đây, kỳ thi học sinh giỏi cấp quận , huyện, thành phố hay có dạng toán xác định đa thức Khi gặp loại toán em thờng nhanh chóng giải phơng pháp chia đa thức hay dùng hệ số bất định để đa đến việc tìm hệ số đa thức vào việc giải hệ phơng trình Việc giải hệ phơng trình khó khăn gặp hệ phơng trình , ẩn ®èi häc sinh líp VÊn ®Ị ®Ỉt : có cách xác định nhanh chóng hệ số đa thức cần tìm hay không ? Trăn trở vấn đề , định viết chuyên đề toán xác định ®a thøc víi néi dung chÝnh , ®ã lµ : - Định lý Bơ-zu ứng dụng - Hệ số bất định - Phơng pháp nội suy NEWTON Các tập minh hoạ cho vấn đề toán thi học sinh giỏi quận, thành phố B / Nội dung chuyên đề : Phần : Định lý Bơ - zu ứng dụng 1) Định lý Bơ-zu : Phần d phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc x - a giá trị đa thức điểm a tức f(a) Chứng minh : Gọi phần d phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bËc nhÊt x - a lµ r(x) Do bËc đa thức d nhỏ bậc đa thức chia nên r(x) số r ta cã : f(x) = (x - a ) q(x) + r Thay x = a ta đợc : f(a) = ( a - a ) q(a) + r  f(a) = r ( đpcm ) */ Hệ : Nếu a nghiệm f(x) f(x) ( x -a ) ) ứng dụng : Bài toán : -2- Tìm a , b để đa thức 2x 3+ax+b chia cho x+1 d -6 vµ chia cho x-2 d 21 (Đề thi học sinh giỏi vòng 1-Quận Hồng bàng- năm học 1998-1999) Lời giải : Đặt f(x) = 2x3+ax+b Theo định lý Bơ-zu ta có : f(x):(x+1) d -6 f(-1) =-6 2(-1)3 + a(-1)+b = -6 -a+b = -4 f(x): (x-2) d 21 f(2) = 21 2.2 + a.2 + b = 21 2a +b = Để tìm a , b ta giải hệ phơng trình sau :   a  b     a  b 5   a  b    a  b      a 3   3a     a 3   b  Vậy đa thức cần tìm f(x) = 2x3+3x-1 Bài toán 2: Đa thức f(x) chia cho x + d , chia cho x2 + d 2x + T×m sè d chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) ( §Ị thi BDTX giáo viên THCS - Năm học 1999 - 2000 ) Lời giải: Theo định lý Bơ - zu , ta cã : f(x) : (x+1) d f(-1) =4 Do bậc đa thức chia nên bậc đa thức d bậc Vì ,đa thức d có dạng ax2 + bx + c Theo định nghĩa phép chia d ta cã : f(x) = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + bx + c = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + a - a + bx + c = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + a(x2 + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x2 + 1) + bx + c - a Mµ f(x) : (x2 + 1) d 2x + VËy ta ph¶i cã :   b 2  b 2  b 2       c  a 3   c   c  a 3  a  b  c 4  a  c 6      a  VËy đa thức d cần tìm : x 2x 2 Bài toán : -3- Cho ®a thøc A = x4 + ax2 + b a/ Hãy xác định hệ số a , b cđa ®a thøc A biÕt A chia hÕt cho ®a thøc B = x2 - 3x + b/ X¸c định thơng phép chia ( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng A- Lớp8 - năm học 1997-1998 ) Lời giải : a) Ta có : B = x2 - 3x +2 = (x -1)(x-2) Theo định lý Bơ-zu , A(1) 14 a.12  b 0  a  b   a  AB           a.22  b 0  A( 2) 0  4a  b   16  b 4 ta cã : VËy ®a thøc A = x4 - 5x2 + b) §Ĩ tìm thơng phép chia trên, ta đặt : x4 - 5x2 +4 x2-3x+2 x4 - 3x3 + 2x2 x2 + 3x + 3x3 - x2 +4 3x - x + 6x 2x2 - 6x + 2x2 - 6x + Th¬ng cđa phÐp chia A cho B lµ x2 + 3x + @ Nhận xét : Qua toán ta cã thĨ rót mét lêi nhËn xÐt : sử dụng định lý Bơ-zu giúp ta giải nhanh việc tìm hệ số đa thức cần tìm Thông thờng, nhờ định lý Bơ-zu đa việc tìm hệ số đa thức việc giải hệ phơng trình , ẩn Đối với hệ phơng trình ẩn trở lên cần trang bị thêm cho học sinh cách giải hệ phơng pháp Gau-xơ Thông qua việc giải dạy trực tiếp mình, nhận thấy học sinh dễ dàng nắm bắt tốt giải tốt số toán nh xác định hệ số đa thøc biÕt sè d chia cho mét ®a thøc khác hay tìm số d phép chia đa thức cho đa thức -4- Phần : Phơng pháp hệ số bất định *) Nhận xét chung: Theo định nghĩa hai đa thức f(x) g(x) chúng nhận giá trị giá trị cđa biÕn x Râ rµng nÕu f(x) vµ g(x) có bậc với i hệ số xi tơng ứng f(x) g(x) Ngời ta chứng minh điều ngợc lại ®óng Cơ thĨ : f(x) = anxn + an-1xn-1 + .+ a1x1 + a0 g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + .+ b1x1 + b0 f(x) = g(x) = bi với i = o,n Sau số toán xác định đa thức có sử dụng định nghĩa hai đa thức đợc gọi phơng pháp dùng hệ số bất định Bài toán : Xác định a , b để đa thøc ax + 12x2 + bx + lµ luỹ thừa bậc đa thức khác ( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng B-Lớp 8-Năm học 1998-1999) Lời giải: Vì đa thức ax3 + 12x2 + bx + lµ luü thõa bËc đa thức khác , nên bậc đa thức cần tìm phải bậc Hay đa thức cần tìm có dạng: mx + n Theo bµi ta cã : ax3 + 12x2 + bx + = ( mx + n )3 = m3x3 + 3m2x2n + 3mxn2 + n3 Theo phơng pháp hệ số bất định ta phải có : -5- a  m3   3m n 12   mn  b   n3 1   a  m3   m  thi a 8 ; b 6  m 4     m   thi a   ; b    3m b n Vậy có hai đa thức thoả mãn điều điện toán : 8x3 + 12x2 + 6x2 + = (2x + 1)3 hc - 8x3 + 12x2 - 6x2 + = (-2x + 1)3 Bài toán : Tìm số a , b ,c ®Ĩ x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c) (§Ị thi học sinh giỏi thành phố -Bảng A-Lớp 8-Năm học 1999-2000) Lời giải: Theo ta có : x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c) = (x2 - bx - ax + ab)(x - c) = x3 - bx2 - ax2 + abx - cx2 + bcx + acx - abc = x3 - (a + b + c)x2 +(ab + bc + ca)x abc -6- Dùng phơng pháp hệ số bất định, ta phải có : a a b  c   b  ab  bc  ca   c  abc   b  c 0   b  a (b  c)  bc   c  abc   b  c 0   b bc  c  abc  Do b = bc nªn b(1 - c) = vËy cã hai trêng hỵp xÈy : *) Nếu b =0 c = a tuỳ ý **) Nếu b c = vµ a = -1 ; b = -1 Bài toán : Cho đa thức A = ax3 + 6x2 + bx - 10 a/ H·y x¸c ®Þnh hƯ sè a , b cđa ®a thøc A biÕt A chia hÕt cho ®a thøc B = x2 - 3x + b/ Xác định thơng phép chia ( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng B- Lớp8 - năm học 1997-1998 ) Lời giải : *) Do bậc đa thức A bậc đa thức B nên bậc đa thức thơng phải bậc có dạng : mx + n Theo ta cã : AB ax3 + 6x + bx - 10 = (x2 - 3x + 2)(mx + n) = mx3-nx2-3mx2-3nx+2mx+2n = mx3 +(-n-3m)x2+(2m3n)x+2n Dùng phơng pháp hệ số bất định,ta phải có : 11 a   a m  a m  m   11    n  3m     3m          b  m  n b  m  15     11    10   2n  n 5  b  2    15  3   n 5 11   a    m   11    67  b  n Vậy đa thức cần tìm : 11 67 x  x2  x 10 3 **) Đa thức thơng phép chia A cho B lµ : A   11 x -7- @Nhận xét: Đây phơng pháp chủ lực học sinh lới giải toán xác định đa thức Cần lu ý cân bậc đa thức giải hệ phơng trình Phần : Phơng pháp néi suy NEWTON *) NhËn xÐt chung : Trong bé môn phơng pháp tính - Toán cao cấp - có phơng pháp xác định nhanh hệ số đa thức phơng pháp nội suy NEWTON Nội dung phơng pháp nội suy NEWTON : Để tìm đa thức P(x) bậc không n biết giá trị đa thức n+1 ®iÓm : C ,C2 , , Cn+1 ta cã thĨ biĨu diƠn P(x) díi d¹ng: P(x)= b0 + b1(x - C1)+ b2(x - C1)(x - C2) + + bn(x -C1) (x -C2) (x - Cn) B»ng c¸ch thÕ x lần lợt giá trị C1 , C2 , , Cn+1vào biểu thức P(x) ta lần lợt tính đợc hệ số b0 , b1 , , bn ta không diễn giải việc tìm tòi chứng minh phơng pháp mà vận dụng để giải toán xác định đa thức Bài toán : Tìm đa thức bậc , P(x) biÕt : P(0) = 10 ; P(1) = 12 ; P(2) = ; P(3) = ( §Ò thi häc sinh giái CHDC §øc - 1979 ) Lời giải : Đặt : P(x) = d + cx + bx(x - 1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(0) = d , suy d = 10 P(x) = 10 + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(1) = 10 + c , suy c = P(x) = 10 + 2x + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(2) = 10 + + 2b , suy b = -5 P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(3) = 10 + - 30 + 6a , suy a = 5/2 P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + 5/2 x(x-1)(x-2) Rút gọn ta đợc đa thức cần tìm : 25 P( x)  x3  x- 8 12 - x  10 2 Bài toán : Cho đa thức P(x) bậc thoả mãn : P(-1) = P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1) Xác định P(x) Suy giá trị tổng sau (n số nguyên dơng) S = 1.2.3 + 2.3.4 + +n(n+1)(2n+1) (§Ị thi häc sinh giái TP Hå ChÝ Minh - 1992) Lêi gi¶i : Cho x = ,Suy P(0) - P(1) = mµ P(-1) =0 , vËy P(0) = Cho x lần lợt giá trị x = -1 ; x = ; x = , ta nhận đợc P(-2) = ;P(1) = ; P(2) = 36 ĐặtP(x) = e + d(x+2) + c(x+2)(x+1) + b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1) Cho x = , P(-2) = e , suy e = Cho x = -1 , P(-2) = d , suy d = Cho x = , P(0) = 2c , suy c = VËy P(x) = b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1) Cho x = , P(1) = 6b , vËy b = Cho x = , P(2) = 24 + 24a = 36 vËy a = 1/2 Đa thức cần tìm : P( x )  x x  1  x   **) Theo bµi : P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1) Cho x = ; ; ;n ta cã : P(1) - P(0) = 1.2.3 P(2) - P(1) = 2.3.4 P(n) - P(n-1) = n(n+1)(2n+1) Cộng vế với vế ta đợc : P(n) - P(0) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(2n+1) Do S  P(n)  n(n  1) (2n 1) Bài toán : x2 Xác định đa thức bậc , f(x) thoả m·n f(x) - f(x-1) = n2 Tõ ®ã suy c«ng thøc tÝnh tỉng S = + 22 + + (Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng A-Lớp - Năm học 19981999) -9- Lời giải : *) Đặt f(x) = d + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , suy f(0) = d Cho 1c x==1 , suy f(1) = d+c f(1) - f(0) = nên (d+c)-d = Khi ®ã f(x) = d+x+bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , suy f(2) = d+2+2b v× f(2) - f(1) = nªn (d+2+2b)-(d+1) = 4b = 3/2 Khi ®ã f(x) = d+x+3/2 x(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x= , suy f(3) = d +3+9+6a = d + 12 + 6a v× f(3) f(2) = nên (d+12+6a)-(d+5) = a = 1/3 **) Theo ta cã :f(x) - f(x-1) = n2 Khi P( x)  d  x  x( x  1)  x( x  1)( x  2) 1 Vay P( x)  x  x  x  d (d  R) Cho x = , , , n ta đợc f(1) - f(0) = 12 f(2) - f(1) = 22 Cộng vế với vế ta đợc : f(n) - f(n-1) = n2 f(n) - f(0) = 12 + 22 + +n2 2n  3n  n 1  Suy S  n  n  n  d   d  6 3  n n  1 2n  1 S @NhËn xÐt : ph¬ng pháp nội suy NewTơn hay toán xác đa thức Nhờ phơng pháp đặt khéo léo f(x) tính giá trị điểm mà ta nhẩm đợc thuận tiện,giúp ta nhanh chóng việc xác định hệ số đa thức Trong chơng trình toán không đề cập vấn đề nhng trình giải dạy tham khảo sách nhận thấy tỉnh phía nam đặc biệt thành phố Hồ Chí Minh giáo viên học sinh đợc học làm theo phơng pháp - 10 - mạnh Tôi dạy thử nhận thấy kết mỹ mãn, học sinh tin tởng vào phơng pháp nội suy NewTon Chỉ có băn khoăn có đợc áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp không ? sách giáo khoa không đề cập số sách tham khảo nh để học tốt, chuyên đề , toán chọn lọc không đề cập phơng pháp C - Lời kết : Trên suy nghĩ ban đầu vấn đề lớn : toán xác định đa thức mà đối tợng học sinh lớp Hy vọng chuyên đề đợc phát triển hoàn thiện năm học tới Rất mong bạn đồng nghiệp quan tâm góp ý kiến Xin chân thành cám ơn ! Bài tập đề nghị : 1) Tìm đa thức bậc hai biÕt : f(0) =19 ; f(1) = 85 ; f(2) = 1985 2) Cho biÕt ®a thøc bËc hai f(x) cã ba nghiÖm  ,  ,  Chøng minh : f(x) = víi mäi x 3) Cho f(x) đa thức bậc thoả mãn : f(1) = f(-1) ; f(2) = f(-2) Chøng minh : f(x) = f(-x) víi mäi xQ (§Ị thi häc sinh giỏi vòng - Quận Hồng Bàng năm học 1998 - 1999) 4) Tìm tất đa thức f(x) với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện : 16 f(x2) = f2(2x) - 11 - (§Ị thi häc sinh giỏi thành phố -Bảng A-Lớp -Năm học 19992000) 5) Xác định đa thức f(x) = x2 + ax + b tho¶ m·n :  f ( x) voi x    1; 1 (§Ị thi học sinh giỏi thành phố - Bảng B - Lớp - Năm học 1999 - 2000) - 12 -