CHUYÊN ĐỀ TOÁN DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ĐA THỨC.

CHUYÊN ĐỀ TOÁN DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ĐA THỨC Thời gian: ngày tháng năm 2016 Người báo cáo: Nguyễn Thị Thu Hoài Nội dung I Lý thuyết Trong chương trình Toán THCS, toán đa thức chiếm số lượng nhiều Trong việc xác định đa thức có ý nghĩa thực tiễn lớn mang lại nhiều ứng dụng trình giải toán liên quan đến đa thức Các nhiều phương pháp để giải toán xác định đa thức chủ yếu dùng đa thức nhất; hai đa thức đồng nhất; định lý Bơ du; hệ số bất định xác định đa thức bậc n mà biết n + giá trị Song có nhiều toán tìm đa thức cách trực tiếp mà phải dùng phương pháp dùng đa thức phụ để xác định đa thức tính giá trị riêng đa thức II Bài tập Bài toán 1: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số bậc cao thoả mãn f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = 30 f(12) + f(-8) +15 10 Tính: Phân tích toán: - Đa thức bậc mà biết ba giá trị đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) - Bậc f(x) nên bậc g(x) bậc h(x) nhỏ số giá trị f(x) Thuật toán tìm đa thức phụ Bước 1: Đặt g(x) = f(x) + h(x) h(x) đa thức có bậc nhỏ bậc f(x) đồng thời bậc h(x) nhỏ số giá trị biết f(x) Trong đề bậc h(x) nhỏ nghĩa là: g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Bước 2: Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) =  = 1+ a + b + c  Tức là: 0 = 20 + 4a + 2b + c  = 30 + 9a + 3b + c  Giải hệ phương trình : a = 0; b = -10; c = Theo phương pháp hệ số bất định: Suy ra: h(x) = - 10x Hay: g(x) = f(x) – 10x Giải: Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x ⇒ g(1) = g(2) = g(3) = Do bậc f(x) bậc nên bậc g(x) g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – suy ra: g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) ⇒ f(x) = g(x) + 10x = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) + 10x Ta có f(12) = (12 – 1)(12 – 2)(12 – 3)(12 – x0) + 10.12 = 11.10.9 (12 – x0) + 10.12 = 10.[99.(12 – x0) + 12] f(-8) = (-8 – 1)(-8 – 2)(-8 – 3)(-8 – x0) + 10.(-8) = (-11).(-10).(-9) (-8 – x0) + 10.(-8) = -10.[99.(-8 – x0) + 8] Suy ra: f(12) + f(-8) = 10.[99.(12 – x0) + 12] + (-10).[99.(-8 – x0) + 8] = 10(1200 – 99x0 + 784 + 99x0) = 10.1984 Ta tính được: f(12) + f(-8) +15 = 1984 +15 = 1999 10 Bài toán 2: Cho đa thức f(x) bậc có hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị f(-2) + 7.f(6) Phân tích toán: - Đa thức bậc mà biết ba giá trị đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) - Bậc f(x) nên bậc g(x) bậc h(x) nhỏ số giá trị f(x) Giải: + Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = ⇔ a, b, c nghiệm hệ phương trình  = 3+a + b + c   = 11+ 9a + 3b + c 0 = 27 + 25a + 5b + c  Giải hệ ta được: a = - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – + Tính giá trị f(x): Bậc f(x) bậc nên g(x) bậc g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0) ⇒ f (x) = g(x) − ( − x − 2) = (x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − x ) + x + Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112 Bài toán 3: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x số nguyên, thoả mãn f(1999) = 2000 f(2000) = 2001 Chứng minh f(2001) – f(1998) hợp số Phân tích toán: - Đa thức bậc mà biết hai giá trị đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) - Bậc f(x) nên bậc g(x) bậc h(x) nhỏ số giá trị f(x) Giải: + Tìm đa thức phụ Đặt g(x) = f(x) + ax + b Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = tương đương với  = 2000 +1999.a + b a, b nghiệm hệ:  0 = 2001+ 2000.a + b Giải hệ ta : a = b = - Nên đặt g(x) = f(x) – x – + Tính giá trị f(x): Giả sử k ∈ Z hệ số x3 đa thức f(x) Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên: g(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0); f(x) = g(x) – (–x – 1) ⇒ f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + Ta có f(2001) = k 2001 + 2002 = 2k 2001 + 2002 f(1998) = k (-1) (-2) 1998 + 1999 = 2k 1998 + 1999 ⇒ f(2001) – f(1998) = 2k 2001 + 2002 – 2k 1998 + 1999 Tính f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1) Vì 3(2k + 1) hợp số Vậy f(2001) – f(1998) hợp số Bài toán 4: Tìm đa thức bậc biết cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x – dư f(-1) = -18 Phân tích toán: - Đa thức cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x –3 dư 6, theo định lý Bơ du ta có f(1) = f(2) = f(3) = Tìm đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) với h(x) có bậc - Bậc f(x) 3, có ba giá trị đa thức nên hệ số f(x) phụ thuộc vào tham số Giải: + Tìm đa thức phụ: Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) = Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) =  0=6+a +b+c  ⇔ a, b, c nghiệm hệ 0 = + 4a + 2b + c  + + 9a + 3b + c  Giải ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – Với g(1) = g(2) = g(3) = + Xác định f(x): Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 2); (x – 3) ⇒ g(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) (n hệ số x3 đa thức f(x)) ⇒ f(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) + Mặt khác f(-1)= -18 ⇒ n = ⇒ f(x) = x3 – 6x2 + 11x III Bài tập đề nghị Bài 1: Đa thức f(x) chia cho x + dư chia cho x + dư 2x + Tìm số dư chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) Bài 2: Xác định a, b để đa thức: ax + 12x2 + bx + lũy thừa bậc đa thức khác Bài 3: Tìm số a, b, c để x3 – ax2 + bx – c = (x – a)(x – b)(x – c) Bài 4: Tìm đa thức dư phep chia x30 + x4 + x2015 + 1cho x21 Bài 5: Tìm giá trị a để đa thức f(x) = x + 5x3 – 2x2 + ax + 40 chia hết cho đa thức x2 – 3x + giá trị nhỏ thương bao nhiêu?