CHUYÊN ĐỀ TOÁN DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ĐA THỨC.. Lý thuyết Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về đa thức chiếm một số lượng
Trang 1CHUYÊN ĐỀ TOÁN DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC HOẶC
TÍNH GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ĐA THỨC.
Thời gian: ngày tháng năm 2016
Người báo cáo: Nguyễn Thị Thu Hoài
Nội dung
I Lý thuyết
Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về đa thức chiếm một số lượng rất nhiều Trong đó việc xác định một đa thức có ý nghĩa thực tiễn rất lớn và cũng mang lại nhiều ứng dụng trong quá trình giải các bài toán liên quan đến đa thức
Các nhiều phương pháp để giải bài toán xác định đa thức chủ yếu là dùng đa thức thuần nhất; hai đa thức đồng nhất; định lý Bơ du; hệ số bất định khi xác định
đa thức bậc n mà đã biết n + 1 giá trị của nó Song có nhiều bài toán không thể tìm được đa thức bằng cách trực tiếp mà phải dùng phương pháp dùng đa thức phụ để xác định đa thức hoặc tính giá trị riêng của đa thức
II Bài tập
Bài toán 1:
Cho đa thức f(x) bậc 4 với hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = 30
Tính: f(12) + f(-8)+15
10
Phân tích bài toán:
- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x)
= f(x) + h(x)
- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x)
Thuật toán tìm đa thức phụ.
Bước 1:
Đặt g(x) = f(x) + h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x)
Trang 2Trong đề bài bậc của h(x) nhỏ hơn 3 nghĩa là:
g(x) = f(x) + ax2 + bx + c
Bước 2:
Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0
Tức là:
0 = 1+ a + b + c
0 = 20 + 4a + 2b + c
0 = 30 + 9a + 3b + c
Giải hệ phương trình được : a = 0; b = -10; c = 0
Theo phương pháp hệ số bất định:
Suy ra: h(x) = - 10x
Hay: g(x) = f(x) – 10x
Giải:
Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x g(1) = g(2) = g(3) = 0
Do bậc f(x) là bậc 4 nên bậc của g(x) là 4 và g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – 3 suy ra:
g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0)
f(x) = g(x) + 10x = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) + 10x
Ta có f(12) = (12 – 1)(12 – 2)(12 – 3)(12 – x0) + 10.12
= 11.10.9 (12 – x0) + 10.12 = 10.[99.(12 – x0) + 12]
f(-8) = (-8 – 1)(-8 – 2)(-8 – 3)(-8 – x0) + 10.(-8)
= (-11).(-10).(-9) (-8 – x0) + 10.(-8) = -10.[99.(-8 – x0) + 8]
Suy ra: f(12) + f(-8) = 10.[99.(12 – x0) + 12] + (-10).[99.(-8 – x0) + 8]
= 10(1200 – 99x0 + 784 + 99x0)
= 10.1984
Ta tính được: f(12) + f(-8)+15 = 1984 +15 = 1999
10
Bài toán 2:
Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6)
Phân tích bài toán:
Trang 3- Đa thức bậc 4 mà mới biết ba giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x)
= f(x) + h(x)
- Bậc của f(x) là 4 nên bậc của g(x) là 4 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x)
Giải:
+ Tìm đa thức phụ:
Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = 0
a, b, c là nghiệm của hệ phương trình
0 = 3 + a + b + c
0 = 11+ 9a + 3b + c
0 = 27 + 25a + 5b + c
Giải hệ ta được: a = - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – 2
+ Tính giá trị f(x):
Bậc f(x) là bậc 4 nên g(x) là bậc 4 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0)
0
Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112
Bài toán 3:
Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là một số nguyên, thoả mãn f(1999) = 2000 và f(2000) = 2001
Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số
Phân tích bài toán:
- Đa thức bậc 3 mà mới biết hai giá trị của đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x)
= f(x) + h(x)
- Bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị của f(x)
Giải:
+ Tìm đa thức phụ
Đặt g(x) = f(x) + ax + b Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 tương đương với
a, b là nghiệm của hệ: 0 = 2000 +1999.a + b
0 = 2001+ 2000.a + b
Trang 4Giải hệ ta được : a = b = - 1
Nên đặt g(x) = f(x) – x – 1
+ Tính giá trị của f(x):
Giả sử kZ là hệ số của x3 của đa thức f(x) Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên:
g(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0); f(x) = g(x) – (–x – 1)
f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + 1
Ta có f(2001) = k 2 1 2001 + 2002 = 2k 2001 + 2002
f(1998) = k (-1) (-2) 1998 + 1999 = 2k 1998 + 1999
f(2001) – f(1998) = 2k 2001 + 2002 – 2k 1998 + 1999
Tính được f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1)
Vì 3(2k + 1) là hợp số Vậy f(2001) – f(1998) là hợp số
Bài toán 4:
Tìm đa thức bậc 3 biết rằng khi cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x – 3 đều dư
6 và f(-1) = -18
Phân tích bài toán:
- Đa thức cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x –3 đều dư 6, theo định lý Bơ du ta có f(1) = f(2) = f(3) = 6 Tìm đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) với h(x) có bậc là 2
- Bậc của f(x) là 3, có ba giá trị của đa thức nên hệ số của f(x) phụ thuộc vào tham số
Giải:
+ Tìm đa thức phụ:
Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) = 6
Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0
c
b
a, ,
là nghiệm của hệ
0 6 a b c
0 6 4a 2b c
0 6 9a 3b c
Giải ra ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – 6
Với g(1) = g(2) = g(3) = 0
+ Xác định f(x):
Trang 5Do bậc f(x) là 3 nên bậc g(x) là 3 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 2); (x – 3) g(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3)
(n là hệ số của x3 trong đa thức f(x))
f(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) + 6
Mặt khác f(-1)= -18 n = 1 f(x) = x3 – 6x2 + 11x
III Bài tập đề nghị
Bài 1: Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 Tìm số
dư khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1)
Bài 2: Xác định a, b để đa thức: ax3 + 12x2 + bx + 1 là lũy thừa bậc 3 của một đa thức khác
Bài 3: Tìm các số a, b, c để x3 –ax2 + bx – c = (x – a)(x – b)(x – c)
Bài 4: Tìm đa thức dư của phep chia x30 + x4 + x2015 + 1cho x21
Bài 5: Tìm giá trị của a để đa thức f(x) = x4 + 5x3 – 2x2 + ax + 40 chia hết cho đa thức x2 – 3x + 2 khi đó giá trị nhỏ nhất của thương là bao nhiêu?