Đs9 chuyên đề 1 biến đổi đại số (191 trang)

ĐS9-CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Căn thức bậc hai -Căn bậc hai số thực a số thực x cho x a -Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu bình phương a : a 0    a x a số thực không âm x mà  x 0   x a -Với hai số thực khơng âm a, b ta có: a  b  a b -Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: + + + A A 0 A  A   A A  A2B  A A A.B A.B   B B B M + A  với A, B 0; A B  A B  A B với A  0; B 0 với AB 0, B 0 M A A với A  0; (Đây gọi phép khử thức mẫu) M + B A B A B M    A B A B với A, B 0, A B (Đây gọi phép trục thức mẫu) Căn thức bậc ba, bậc n a Căn thức bậc Căn bậc số a kí hiệu -Cho   a  R; a  x  x  a 3 a số x cho x a a -Mỗi số thực a có bậc 1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm khơng nên -Nếu a  a  -Nếu a  a  -Nếu a 0 a 0 a 3a  b b với b 0 3 3 - ab  a b với a, b -a  b  a  b 3 - A B  A B A AB  B B với B 0 A A  B - B A  AB  B  3 A B - A B với A B b Căn thức bậc n Cho số a  , n  , n 2 Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a -Trường hợp n số lẻ: n 2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k 1 a x  x k 1 a a  0, k 1 a  0, a  k 1 a  0, a 0 k 1 a 0 -Trường hợp n số chẵn: n 2k , k  N Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k 2k 2k 2k bậc 2k số học a) Căn bậc chẵn âm kí hiệu  a , a x  x 0 x a;  k a x  x 0 x k a II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU Dạng 1: Thu gọn biểu thức đại số tính giá trị biểu thức 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên a (gọi Phương pháp: Biến đổi biểu thức dấu dạng A2  A sau dựa vào dấu A để mở dấu giá trị tuyệt đối có Ngồi cần nắm đẳng thức quen thuộc:  ab  bc  ca m  a2  m a  ab  bc  ca  a  b   a  c  ;  a  b  c n  na  bc  a  b  c  a  bc  a  b   a  c  ;  1   1; Với abc 1 a  ab  b  bc  ca  c  a  1  1 1 a  b  c 3abc,       a b c  a b c  với abc 0 Nếu a  b  c 0 3 Ví dụ Rút gọn biểu thức: a A x x x x 0 b B  x  x   x  x  c C  9 x   10  Lời giải: A x a + Nếu + Nếu x x  x 1 x   x x x 1  x   1  x   x 2  x 1  x  A 2 x 1  x   A 2 x  2 3.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên b B  x  x   x  x  B  x   x    x   x   Hay B    4x  1 x   0  x  1  x  + Nếu 4x     4x    + Nếu c Để ý rằng: Suy  4x     7  2 C  9  9 5     Hay 4x    4x   suy B 2 x  1 x  x    x    2    10(2  5  4x    4x  1  4x    4x  1 3)   C  9 suy B 2  28  10  5(5  3)   25    2 Ví dụ Chứng minh: a Tính A    b B 3 1 84  1 84 84 số nguyên (Trích đề Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) x 3 a  c Chứng minh rằng: a  8a  a  8a  1  a a 3 3 số tự nhiên với    x  x  2019 y  y  2019 2019 x  y d Tính biết e Cho số thực x , y thỏa mãn: x   y  y  x  1 Tính giá trị x  y 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Lời giải: a Dễ thấy A  0, Cách 1: Ta có A       8       16  2.4 8  Suy A   2 Cách 2: Ta viết lại A  6    6   6  u  v b Áp dụng đẳng thức:  84 B    1   1  84 1  84     6  6 u3  v3  3uv(u  v ) 2 6  2 Ta có:  84 84  3 1 1    84   B 2  3    1     Hay 84   84 1 1   84    84  84 B  B 2  B  B  B  0  B  B3 2  3    81  1 B  B   B     0   B  1 B  B  0   mà suy B 1 Vậy B số nguyên    u  v c Áp dụng đẳng thức: Ta có u3  v  3uv  u  v  x 2a    a  x  x   2a  1 x  2a 0   x  1 x  x  2a 0   Xét đa thức bậc hai x  x  2a với  1  8a 0 5.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên (1) + Khi a 1 x   1 8 ta có 1 a , a ta có  1  8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x 1 Vậy với + Khi a  8a  a  8a   a 1 3 3 số tự nhiên x 3 a  Ta có:  d Nhận xét: x  2019  x   x  2019  x x  2019  x 2019 x  2019  x  y  2019  y Kết hợp với giả thiết ta suy y  2019  y  x  2019  x  x  2019  x  y  2019  y  x  y 0   Tổng quát ta có: x2  a  x   y  a  y a x e Nhân vế đẳng thức với: x x x  y2 1 x   y2  y  1 y2 1 x2  y   y  x  y 0 1 x2   x2 1  x  1 y2  y  y  x  xy  x  x  y  y   y2   1  y  1 x2  y2  Hay  ta có:  y   1 x2  1 x  1 y   x  1 2 xy    x    y    x   y  y   x   2 xy    x    y      xy   x  y     x    y  2 2 2   xy   x  y   2 2 2  xy  1   x  y   x  y Dấu đẳng thức xảy 2    xy   0  x  y 2 2  xy  1   x  y  hay x  y 0 Ví dụ a Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên 2  xy  P x  x  x  x  12 x  x  12 4 3 b Cho x 1  Tính giá trị biểu thức B x  x  x  3x  1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015 – 2016) 3 c Cho x 1   Tính giá trị biểu thức: P x  x  x  x  x  2015 Lời giải:   x   10    10   8   10   10    a Ta có:  x 8   8    5   6   1 2  x   Từ suy  x  1 5  x  x 4 Ta biến đổi: x P  2x   x  x  12    x  x  12 42  3.4  12 1  12 b Ta có x 1    x  1 2  x  3x  3x   Ta biến đổi biểu thức P thành: P x ( x  x  3x  3)  x ( x  3x  3x  3)  ( x  x  3x  3)  1945 1945 3 c Để ý rằng: x    ta nhân thêm vế với a3  b3 (a  b)(a  ab  b2 ) Khi ta có:     x 1  Ta biến đổi:  3  để tận dụng đẳng thức:   21 x  21  22   x  x    x  1  x  3x  3x  0 P x  x  x  x  x  2015  x  x  x  3x  3x   2016 2016   Ví dụ 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên  a  b2  b  c  c  a2  Chứng minh rằng: a Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  c  2 2 b Tìm số thực x , y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  y  z  z  x 3   x y   y x  xy c Tìm số thực x , y thỏa mãn điều kiện:  x; y  d Giả sử x số thực thỏa mãn  x2  y    y 9 Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức P x  xy  y 4 e Tìm GTLN, GTNN biểu thức: P   x   x   x Lời giải: a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có a  b2  b  c2  c  a2  a2   b2 b2   c c2   a2    2 2 a   b2 a 1  b2    2 2  b   c  b 1  c  a  b  c   c 1  a 2 c   a   Đẳng thức xảy  (đpcm) 2 b Ta viết lại giải thiết thành: x  y  y  z  2z  x 6 2 Áp dụng bất đẳng thức: 2ab a  b ta có: x  y  y  z  2z  x x   y  y   z  z   x 6 Suy VT VP Dấu đẳng thức xảy khi: 8.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên  x , y , z 0 x  1 y2     x  y 1 y  y  z     2 y  z    z   x  z  x 3   x  y  z 3; x , y , z 0  2  x  y 1  x 1; y 0; z   2 y  z    z  x 3  c a x  4, b  y  với a, b 0 phương trình cho trở thành: a2  b  b2  a  a2  b2         a Chi vế cho  b2    phương trình trở thành 2b 2a  1 b 4 a 4 Để ý a 0 b 0 khơng thỏa mãn phương trình 2 2 Xét a, b  Theo bất đẳng thức AM  GM ta có: b  2 4b 4b.a  4a Suy 2a 2b VT   1, 4a 4b dấu đẳng thức xảy  a 4  a b 2  x y 8   b 4 Vậy x 8, y 8 nghiệm phương trình d Đặt a x   x   a  x   x  a  2ax  x 3  x  x  Tương tự đặt b y   y   x  a2  2a b2  a b 3 xy     2b Khi 2 a 2b a a a a ab 9  x  y       2 2 2 a 2a a a Theo giả thiết ta có: Lại có x  xy  y  2 3 x  y    x  y    x  y   x  xy  y 3  4 Dấu đẳng thức xảy 2  x y 1 Vậy x  xy  y   3 4 4 e Đặt a   x , b   x  a, b 0, a  b 2 Ta có: P a  b  ab Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có 9.Đường gắn khơng khơng đến-Việc nhỏ không làm không nên a b  Suy   a b   a  b P a  b  Ta có: 2  a  b   a  b 8 a4  b4 16  a  b 2 1   a  b      2    3 Dấu xảy a b 1  x 0 a  b a  2a b2  b  a  b2  a  b a  2ab  b  a  b    a  b  2, mà 2 với a, b 0 Suy a  b  a  b  Vậy P a  b  ab a  b  dấu xảy a 0 b 0 tức x 1 x  Ví dụ Cho x , y, z  xy  yz  zx 1 P x 2 2  x2 a Tính giá trị biểu thức: x y z    2  x  y  z2 b Chứng minh rằng: 1 y2  z2 xy 2 1 x  1 y  1 z  Lời giải: a Để ý rằng:  x x  xy  yz  zx  x  y   x  z  2 Tương tụ  y ;1  z ta có x   y    z   x  y  x   y  z   z  x   z  y  x y  z   Suy 1 x2 1 y  1 z   y 1 z   1 x   z 1 x  1 y   x  y  x  z P x  y  z   y  z  x   z  x  y  2  xy  yz  zx  2 b Tương tự câu a) 10.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên