Chuyên đề Biến đổi Đại số

BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc hai số thực a số thực x cho x = a • Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu số thực khơng âm x mà bình phương a : x ≥ a ≥ ⇔  x = a  a = x • Với hai số thực khơng âm a, b ta có: • Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A≥0 A + A= A =  A ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) = A A ( ) M A B M = với A, B ≥ 0, A ≠ B (Đây gọi phép A− B A± B trục thức mẫu) + 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: THCS.TOANMATH.com • Căn bậc số a kí hiệu • Cho a ∈ R; a =x ⇔ x3 = a • Mỗi số thực a có bậc • Nếu a > a > • Nếu a < a , a < a =0 Trường hợp n số chẵn: = n 2k , k ∈ N Mọi số thực a > có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu − 2k a , 2k a = x ⇔ x ≥ x 2k = a ; − k a = x ⇔ x ≤ x 2k = a THCS.TOANMATH.com Mọi số thực a < khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P = x4 − b) = P x3 + 3 c) P = x + x + Lời giải: ( )( x + ) ( x + 2) )( x − x + 3) a) P = ( x − )( x + ) = x − b) P =( x ) + c) P= (x ( ) =( x + + 1) − x 2= (x 2 − x + 1)( x + x + 1) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: x ≥ a) A = x − x− x + b) B = x − x − + x + x − x ≥ c) C = − + + 10 − Lời giải: a) A = 1  x−  x−  = 2  x − x− x + = + Nếu x≥ 1 ⇔ x ≥ + Nếu x< 1 ⇔ ≤ x < THCS.TOANMATH.com x− = x− x− x− x− 1 ⇒ A= 2 1 = − x+ ⇒ A= x− 2 b) = B x − x − + x + x −= Hay = B = ( ) ( 4x −1 −1 + 4x −1− 4x −1 +1 + 4x −1+ 4x −1 +1 ) x − + 1= 4x −1 −1 + 4x −1 +1 4x −1 −1 + 4x −1 +1 4x −1 −1 ≥ ⇔ 4x −1 ≥ ⇔ x ≥ + Nếu x − −= x − − suy = B 4x −1 4x −1 −1 < ⇔ 4x −1 < ⇔ + Nếu 1 ≤ x < 4 x − − =− x − + suy B = ( c) Để ý rằng: − =2 − ) ⇒ − =2 − Suy C =9 − + + 10(2 − 3) =9 − + 28 − 10 =9 − + C= (5 − ) − + 5(5 − 3) = Hay − 25 = 9−5 = 4= Ví dụ 3) Chứng minh: a) A = − − + số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp + 1− 9 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B = + THCS.TOANMATH.com c) Chứng minh rằng: x = a + a≥ a + 8a − a + 8a − với + a− 3 3 số tự nhiên ( d) Tính x + y biết x + x + 2015 )( y + ) y + 2015 = 2015 Lời giải: a) Dễ thấy A < 0, Tacó A = ( 7−2 − 7+2 ) = − + + − − + =14 − 2.5 =4 Suy A = −2 b) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v3 + 3uv ( u + v ) Ta có: 3   84 84  84 84 84 84   = 1+  B =  1+ 1− + 1− +1− + 3 +   9  9 9       84 84   1+  Hay + 1−  9     84   84  84 3 B =2 + 3 1 +  1 −  B ⇔ B =2 + 3 − B ⇔ B =2 − B ⇔ B + B −   81  1  ⇔ ( B − 1) ( B + B + ) = mà B + B + =  B +  + > suy B = 2  Vậy B số nguyên 2 c) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v3 + 3uv ( u + v ) THCS.TOANMATH.com Ta có x = 2a + (1 − 2a ) x ⇔ x + ( 2a − 1) x − 2a = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 2a ) = Xét đa thức bậc hai x + x + 2a với ∆ = − 8a ≥ + Khi a = 1 ta có x = + = 8 + Khi a > , ta có ∆ = − 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x = Vậy với a ≥ a + 8a − a + 8a − 1 + a− = ta có: x = a + 3 3 số tự nhiên d) Nhận xét: ( x + 2015 + x )( ) x + 2015 − x = x + 2015 − x = 2015 Kết hợp với giả thiết ta suy x + 2015 − x = y + 2015 + y ⇒ y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y =0 Ví dụ 4) a) Cho x = + 10 + + − 10 + Tính giá trị biểu thức: P= x − x3 + x + x + 12 x − x + 12 b) Cho x = + Tính giá trị biểu thức B = x − x + x − x + 1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x =+ + Tính giá trị biểu thức: P = x − x + x − x − x + 2015 Giải: THCS.TOANMATH.com a) Ta có:   x = + + 10 + − 10 +  + 10 + + − 10 +  =   ⇔ x =8 + − =8 + ⇒ x= ( ) −1 =8 + ( ) ( ) − =6 + = +1 + Từ ta suy ( x − 1) =5 ⇔ x − x =4 Ta = biến đổi: P (x − x ) − ( x − x ) + 12 42 − 3.4 + 12 = = x − x + 12 + 12 2 b) Ta có x =1 + ⇒ ( x − 1) = ⇔ x − x + x − = Ta biến đổi biểu thức P thành: P= x ( x − x + x − 3) + x ( x3 − x + x − 3) + ( x3 − x + x − 3) + 1945 = 1945 c) Để ý rằng: x = 22 + + ta nhân thêm vế với − để tận dụng đẳng thức: a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) Khi ta có: ) ( − 1) ( + + 1) ⇔ ( − 1) x = ⇔ x = x + ⇔ x ( −1 x = 3 3 Ta biến đổi: P = x − x + x3 − x − x + 2015 = (x = ( x + 1) ⇔ x3 − x − x − = − x + 1)( x3 − x − x − 1) + 2016 = 2016 Ví dụ 5) Cho x, y, z > xy + yz + zx = a) Tính giá trị biểu thức: (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) P= x + x2 b) Chứng minh rằng: 2 1+ y2 2 1+ z2 x y z xy + − = 2 1+ x 1+ y 1+ z (1 + x )(1 + y )(1 + z ) Lời giải: THCS.TOANMATH.com a) Để ý rằng: + x = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Tương tự + y ;1 + z ta có: (1 + y )(1 + z=) x 1+ x x y) ( y + x )( y + z )( z + x )( z + = ( x + y )( x + z ) x( y + z) Suy P= x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y )= ( xy + yz + zx )= b) Tương tự câu a) Ta có: x y z + −= 2 1+ x 1+ y 1+ z2 x y + z − ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( z + y )( z + x ) x ( y + z ) + y ( z + x) − z ( x + y) xy xy = = ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x ) (1 + x )(1 + y )(1 + z ) Ví dụ 6) a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: ( x1 + x22 + + xn ) x12 − 12 + x2 − 22 + + n xn − = n2 4n + 4n − với n nguyên dương Tính 2n + + 2n − f (1) + f (2) + + f (40) b) Cho f (n) = Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với: ( ) ( x12 − 12 − + ) x2 − 22 − + + ( xn − n − n ) = Hay= x1 2,= x2 2.22 , ,= xn 2.n THCS.TOANMATH.com b) Đặt = x  x2 + y = 4n  2n − ⇒  xy = 4n −  x2 − y =  2n + 1, = y Suy ( x + xy + y x − y 3 f (n)= x − y )= = = ( 2n + 1) − ( 2 x+ y x −y Áp dụng vào tốn ta có: f (1) + f ( ) + + f = ( 40 )  33 − 13 + 53 − 33 + + = 813 − 13= 364 ( ) ( ) ) ( ( 2n − 1) ( ) ) 813 − 793   Ví dụ 7) 1 + + + > Đề thi 1+ 3+ 79 + 80 a) Chứng minh rằng: chuyên ĐHSP 2011 b) Chứng minh rằng: 1 1   + + + + > 1 −  2 3 n n +1 n +1   1 1 + + + + + < n − với n số nguyên dương n ≥ c) Chứng minh: n − < Lời giải: 1 , + + + 1+ 3+ 79 + 80 1 + + + 2+ 4+ 80 + 81 a) Xét = A = B Dễ thấy A > B Ta có A + B = 1 1 + + + + + 1+ 2+ 3+ 79 + 80 80 + 81 THCS.TOANMATH.com Mặt khác ta có: = k + k +1 ( Suy A + B = ) ( 2− + ( ( k +1 − k k +1 + k ) − + + )( ( ) k +1 − k = k +1 − k ) ) 81 − 80= 81 −= Do A > B suy A > A + B =8 ⇔ A > 1 b) Để ý rằng: = − k k +1 k (k + 1) ( k +1 + k ) < với 2k k + k nguyên dương Suy   1       VT > 1 − − −  + +  = 1 −   + 2 2  3 n +1  n +1    n  c) Đặt P = Ta có: 1 1 + + + + + n n + n +1 < 2 với số tự nhiên n ≥ = < n n n + n −1 Từ suy ( n +1 − = n ) ( ) 2 < < = n +1 + n n n + n −1 n +1 − n < < n − n −1 n ( T < + (  Do đó:   ( ( ) n − n − hay ) ) ( − ) + + ( n + − n ) < T − 1) + ( − ) + ( n − n − )   2− + Hay n − < T < n − Ví dụ 8) THCS.TOANMATH.com 10 Câu 15 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)  x −7  x +3 Cho biểu thức A =   x − + x + − x − x −  : x − 10 x   ( x > 0, x ≠ ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) 1) Tính giá trị biểu thức A = x +1 , x = x −1  x +1  x−2 2) Cho biểu= thức P  với x > x ≠ +  x +  x −1  x+2 x a) Chứng minh P = x +1 x b) Tìm giá trị x để = 2P x + Câu 17) Cho a = + + + − + Chứng minh a − 2a − = Câu 18) Cho a = + 10 + + − 10 + Tính giá trị biểu thức: T = a − 4a + a + 6a + a − 2a + 12 a Câu 19) Giả thiết x, y, z > xy + yz + zx = Chứng minh rằng: ( a + y )( a + z ) + y ( a + z ) ( a + x ) x a + x2 THCS.TOANMATH.com a + y2 ( a + x )( a + y ) = 2a +z a + z2 17 Câu 20 Cho a = + − 61 + 46 + a) Chứng minh rằng: a − 14a + = b) Giả sử f ( x ) = x + x − 14 x − 28 x + x + 19 Tính f ( a ) Câu 21 Cho a = 38 + 17 + 38 − 17 Giả sử có đa thức f ( x ) = (x + x + 1940 ) Câu 22 Cho biểu thức f ( n ) = 2016 Hãy tính f ( a ) 2n + + n ( n + 1) n + n +1 Tính tổng S= f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2016 ) Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1≤ 1 1 + + + + < 2 n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n > , ta có 1 1 65 + + + + < 3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44 < + + + < 44 + + 2002 2001 + 2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1 + + + < 1− 2 +1 3 + 2 n +1 ( n + 1) n + + n n THCS.TOANMATH.com 18 Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n > , ta có: 10 3n − 3n + 1 < 12 3n 3n + 3 n + LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x = 64 ta có = A ( )( ) ( + 64 + = = 64 ) x −1 x + x + x +1 x x x + 2x x +2 1+ B= = = = x x+x x +1 x +1 x x + x ( Với x > , ta có: ) 2+ x 2+ x A : > ⇔ > ⇔ B x x +1 x +1 > x ⇔ x + > x ⇔ x < ⇔ < x < (do x > ) Lời giải: 36 + 10 = = 36 + 1) Với x = 36 , ta có = A 2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có: ( ) (  x x −4 x +4  B= +  x − 16 x − 16  3)= Biểu thức B ( A − 1) )  ( ) x + ( x + 16 ) x + x +2 = =  x + 16 ( x − 16 )( x + 16 ) x − 16  x +2 x +4− x −2 =   x − 16  x +2  x − 16 B ( A − 1) nguyên, x nguyên x − 16 ước , mà U ( ) ={±1; ±2} Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B ( A − 1) nguyên x ∈ {14;15;16;17} THCS.TOANMATH.com 19 3) Lời giải: A= x 10 x x − − = x − x − 25 x +5 x + x − 10 x − x + 25 = x −5 x +5 ( ( A= ( )( ) ) ) ( ( x − 5)( x + 5) x + − 10 x − x − 10 x + 25 x −5 )( x +5 x −5 ) ) x −5 = ⇒A x −5 x +5 )( ( ( x −5 Với x = ta có: x +5 ) x = Vậy − −2 = = − 3+5 4) Lời giải: 1) P ( ) ( ) x x − + x x + − 3x − = x −3 x +3 ( )( ) x +3 = ⇒ x + = ⇔ x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x +3 3 3) Với x ≥ 0, P = ⇒ Pmax = x = (TM) ≤ = x +3 0+3 2) P = ⇔ Lời giải: A= = 5+ 5 + − 5+2 −1 + (5 + )( ( + 2)( = −5+ )+ − 2) ( 5−2 ( ) +1 )( −1 − ( 3− ) ) (3 + )(3 − ) +1 + − 15 + − + 15 − = −5+ 4 THCS.TOANMATH.com 20 = − + − 5= x     = B  + +  : 1 −  ( x > 0) x +3  x x+3 x   x+3 x   x   x −2 =+ +   : x +3  x x x +3  x +3  (  x +1 = : x +3   ( )     )( x + 3) +  = x = x + 1) (  x+ x x ( x + 3)  x −2 Lời giải: Với x ≥ x ≠ ta có:   x −3 x +3 x +9 x +3  A = =  x +3 x −3  x +9   ( )( −3 x ) ) ( ( 21 4+ + 6−2 −3 4−2 + + 6+ 2 21 = + + − − 3 − + + − 15 15 2 15 = + − 15 15 = 60 = B ( ( ) ( ) −15 15 ) ) 7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: P= 2x ( x 2+ x + ) ( ( x− x− )( ) x+ ) = x + = 2+ x x+ Lời giải: 1 1 Ta có: A = + + + + 1+ 2+ 3+ 120 + 121 THCS.TOANMATH.com 21 1− + (1 + )(1 − ) ( = 2− 2+ )( 2− ) + + ( 120 − 121 120 + 121 )( 120 − 121 1− 2− 120 − 121 + + + −1 −1 −1 = − + − + + 121 − 120 =−1 + 121 =10 (1) Với k ∈ * , ta có: = k 1 Do B =1 + + + 35 2 > = k+ k k + k +1 ( k +1 − k ) ( − + − + − + + 36 − 35 ) ⇒ B > ( − + 36 ) = ( −1 + ) = 10 (2) Từ (1) (2) suy B > A ⇒B>2 Lời giải: 1) P x3 + y x+ y x+ y = 2 x − xy + y ( x − y )( x + y ) x − y 2) Với x =7 − = − y = − = − Thay vào P ta được: P = − + −1 (2 − 3) − ( ) −1 = 3+ = − 3− 10.Lời giải: THCS.TOANMATH.com 22 ) ( Ta có: Q ( a+ b ) − b b + 2a a + a a −b b a− b ( (a − b) )( a+ b a− b ( ) ) 3 − b b + 2a a )( a − b a + ab + b − ) a a + 3a b + 3b a + b b + 2a a ( 3a + ab b−a )( a − b a + ab + b ) − ( ( ( ) a+ a+ b = a− b a+ b a a− b )( ) ) 3a a + 3a b + 3b a − 3a a − 3a b − 3b a = (ĐPCM) a − b a + ab + b ( )( ) 11 Lời giải: x + x − x − x + 19 x − x + − A= x −9 x + x − 12 x + x x −2 x − x + 19 x −5 = + − x −3 x +4 x −3 x +4 ( = )( ) x + x − + x − x + 19 − x + x − 15 = x −3 x +4 ( )( ) x − 1)( x + ) (= ( x − 3)( x + 4) x −1 x −3 12 Lời giải: ( ) 1 x x 2− x + − = − = = Với 4− x 2+ x 2− x 4− x 4− x 4− x 2+ x 1 ⇔ x = ⇔ x = 16 (nhận) Vậy A = x = 16 A= ⇔ = 3 2+ x A= 13 Lời giải: THCS.TOANMATH.com 23 1) ĐKXĐ: x ≥ 3 x x+x + + x −3 − x x −3 + x x +1 = ⇒P ( ) x − + 3 + x − − x x x +1 x −3 + = + x = x −2 x −3 −3 ( x − 3) − x x +1 Vì P > ⇒ x − x − > ⇔ ( x − 3) − x − + > ⇔ ( ) x − − > ⇔ x − − ≠ ⇔ x − ≠ ⇔ x ≠ Vậy x ≥ x ≠ 2) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x + mx − =0 có ∆ = m + > với m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = −m x1 x2 = −1 ⇒ ( x1 + x2 ) =− ( m ) ⇒ x12 + x22 + x1 x2 =m2 2 ⇒ ( x1 − x2 ) + x1 x2 = m ⇒ ( x1 − x2 ) + ( −1) = m 2 ⇒ ( x1 − x2 ) = m + ≥ với m ⇒ x1 − x2 ≥ với m (ĐPCM) 14 Lời giải: a ≥ a ≥ a − 16 ≠   a ≠ 16 1) Biểu thức C có nghĩa khi:  ⇒ ⇒ a ≥ 0, a ≠ 16  a − ≠ a ≠ 16  a + ≠ ∀a ≥  Rút gọn 2 a C= − − = a − 16 a −4 a +4 = ( a a −4 )( a +4 ) − 2 − a −4 a +4 a + 4) − ( a − 4) a − a − − a + (= = ( a + 4)( a − 4) ( a + 4)( a − 4) ( a−2 THCS.TOANMATH.com a−4 a a +4 )( a −4 ) 24 ( ) a a −4 = a −4 a +4 ( )( ) a a +4 2) Giá trị C a= − Ta có: ( a = a = 9−4 = 4−4 +5 = 2− Vậy C= ( a a +4 5−2 = −2+4 = ) ) ⇒ a= (2 − ) = 5−2 5−2 = 9−4 5+2 15 Lời giải: 1) Với x > 0, x ≠ biểu thức có nghĩa ta có:  x −7  +3 A =  + −  : x x x x 2 − + − −   x − 10 x = ( ) ( ) ( ) : x +3 x ( x − 2) ( x − 2)( x + 1) x ( x − 2) x +3 x = + + x x 2 + + x x ( )( ) 2 x +1 + x −2 − x −7 Vậy với x > 0, x ≠ A = 2) Ta có x x +1 A x > 0, ∀x > 0, x ≠ nên = x > 0, x > 0, x ≠ x +1 5 x 5 =− < , x > 0, x ≠ ⇒ < A < , kết hợp với A A= 2 x +1 2 x +1 ( ) nhận giá trị số nguyên A∈ {1, 2} A = ⇔ x = x +1 ⇒ x = 1 ⇔ x = thỏa mãn điều kiện A = ⇔ x = x + ⇔ x = ⇔ x = không thỏa mãn điều kiện THCS.TOANMATH.com 25 Vậy với x = A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải: +1 = −1 1) Với x = ta có= A 2) a)   x − + x  x +1  P =  x x +  x −1   ( )     ( )( ) x −1 x +  x +1  =  x −1 x x +2  ( ) x +1 x x +1 x b) Theo câu a) P = x +2 = x +5 x x + = x + x ⇔ x + x − = x > ⇒ 2P = x +5 ⇔ ⇔ ( ) 1 1  x +2  x −  =0 ⇔ x = ⇔ x = 2  17 Giải: ( ) ) Do a > nên a2 = + + + − + + − + = + − ( =6 + = a ) −1 =6 + ( ) ( − =4 + = + + Do ( a − 1) = hay a − 2a − = 18 Giải: ( ) a =+ 16 − 10 + =+ − =+ =8 + ( ) − =6 + Vì a > nên = a diễn T = a − 2a = Biểu THCS.TOANMATH.com (a ( ) −1 + Do ( a − 1) = hay − 2a ) − ( a − 2a ) + 42 − 3.4 + = = a − 2a + 12 + 12 2 26 19 Giải: Ta có: a + x = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Tương tự ta có: a + y = ( y + x )( y + z ) ; a + z = ( z + x )( z + y ) Từ ta có: ( a + y )( a + z=) x a+x y) ( x + y )( y + z )( z + x )( z + = ( x + y )( x + z ) x ( x + y ) Tương ( a + z )( a + x ) = ( a + x )( a + y ) = y z+ x ;z z x + y Vậy tự: y x 2 ( a + y2 ) ( a + z2 ) VT = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y )= ( xy + yz + zx )= 2a 20 Giải: a) Vì Từ a= ⇒ a2 = ( ( 1+ 61 + 46 = + − − + 1= 2+ b) Do f ( x ) = ) ) = 1+ 2+ ⇒ a − = 10 ⇒ a − 14a + = (x nên ta − 14 x + ) ( x + ) + x − 14a + = f ( a ) = 21 Giải: Vì a = 38 + 17 + 38 − 17 + 3.3 38 + 17 38 − 17 ⇒ a = 76 − 3a ⇒ a + 3a = 76 ⇒ f ( a ) = ( 76 + 1940 ) 22 Nhân tử mẫu f ( n ) với THCS.TOANMATH.com 2012 = 20162016 n + − n , ta được: 27 f (n) = ( n + 1) n + − n n Cho n từ đến 2016 , ta được: f (1) =− 2 1; f ( ) =− 3 2; ; f ( 2016 ) = 2017 2017 − 2016 2016 Từ suy ra: S= f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2016= ) 2017 2017 − 23 Giải: Vì n số nguyên dương nên: ≤ 1 1 + + + + ≥ = (1) Mặt 2 n khác, với k ≥ ta có: 4   =2 < = − 2  Cho k = 2,3, 4, , n ta có: k 4k 4k −  2k − 2k +  4 2 2 =2 < = − = − 2 4.2 4.2 − 2.2 − 2.2 + 4 2 2 =2 < = − = − 2 4.3 4.3 − 2.3 − 2.3 + 4 2 2 =2 < = − = − 2 4.4 4.4 − 2.4 − 2.4 + ………… 4 2 2 = 2< = − = − n 4n 4n − 2n − 2n + 2n − 2n + Cộng vế với vế ta được: 1 1 2 + + + + < + − < + = (2) Từ (1) (2) suy 2 n 2n + 3 điều phải chứng minh 24 Giải: 1 1 + + + + Thực làm trội phân số vế trái 3 n cách làm giảm mẫu, ta có: Đặt P = THCS.TOANMATH.com 28 2 < = 3 k k −k = ( k − 1)( k + 1) 1 − , ∀k > ( k − 1) k k ( k + 1) Cho k = 4,5, , n  1   1   1 1  2P <  + +  +  − − −  +  + +     3.4 4.5   4.5 5.6   ( n − 1) n n ( n + 1)  65 251 1 251 65 = + − < + = Do P < (đpcm) 108 3.4 n ( n + 1) 108 3.4 27 64 25 Giải: = Đặt S n 1 + + + +1 + ( n + 1) n + n n + Để ý : ( k + 1) = k + k k +1 ( k + 1) k − k k + 1= ( k + 1) k − k k ( k + 1) ( k + 1) k − k ( k + 1) k +1 = 1 − , ∀k ≥ k k +1 Cho k = 1, 2, , n cộng vế với vế ta có: Sn = 1 1 1 − + − + + − =1 − n n +1 n +1 2 Do S 2001 = − 2002 Như ta phải chứng minh: 43 44 1 < 1− < ⇔ < < 44 45 2002 45 2002 44 ⇔ 44 < 2002 < 45 ⇔ 1936 < 2002 < 2025 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh THCS.TOANMATH.com 29 26 Giải: Để giải toán ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: với số thực dương x, y ta có: x y + y x ≤ x x + y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương x y+y x ≤x x+y y ⇔ x x+y y−x y−y x ≥0 ⇔x ⇔ ( ( ) ( x− y +y x+ y )( ) y − x ≥ ⇔ ( x − y) x− y ) ( ) x− y ≥0 ≥ Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có: ( n + 1) ⇒ ( n + 1) Vì thế: < n + + n n > n n + + ( n + 1) n 1 < n + + n n n n + + ( n + 1) n 1 + + + < 2 +1 3 + 2 ( n + 1) n + + n n 1 Mà theo kết câu 25 + + + n +1 +1 + + + n n n ( ) thì: 1 1 + + + =1 − Vậy +1 + n +1 ( n + 1) n + n n + toán chứng minh Câu 27) Giải: THCS.TOANMATH.com 30 Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức n n −1 < ( ⇔ n2 < n2 + n − ⇔ n > ) Kí hiệu n+2 n 10 3n − 3n + P = Ta có: 12 3n 3n +  10 3n − 3n +   10 3n − 3n +  P =     3n 3n +   12 3n 3n +   12  3n − 3n   10 3n − 3n +  <     3n 3n +   10 3n − 3n +   12 1 3n − 3n − 3n 3n + 1 < = = 3 10 3n − 3n 3n + 3n + 3 ( 3n + 3) ( n + 1) Từ suy P < Bất đẳng thức chứng minh n +1 THCS.TOANMATH.com 31 ... B 3 3 a số x cho x3 = a =a AB với B ≠ B A B3 = A±3 B A2  AB + B với A ≠ ± B A± B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a ∈ R, n ∈ N ; n ≥ Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a • Trường hợp n số lẻ: n... 3) = Hay − 25 = 9−5 = 4= Ví dụ 3) Chứng minh: a) A = − − + số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp + 1− 9 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B = + THCS.TOANMATH.com c) Chứng... THCS.TOANMATH.com 29 26 Giải: Để giải toán ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: với số thực dương x, y ta có: x y + y x ≤ x x + y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương x y+y x ≤x x+y y ⇔ x x+y y−x