CĐ1 BIẾN đổi đại số

Chuyên đề 1: Biến đổi đại số 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc hai số thực a số thực x cho x = a Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu • số thực khơng âm x mà bình phương a : a ≥ x ≥  ⇔   a=x x = a  Với hai số thực không âm a, b ta có: a ≤ b ⇔ a ≤ b • Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: • + A≥0 A A2 = A =  A ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) A A ( ) M Am B M với A, B ≥ 0, A ≠ B (Đây gọi phép = A − B A± B trục thức mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC + Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc số a kí hiệu • Cho a ∈ R; a = x ⇔ x = • Mỗi số thực a có bậc Nếu a > a > • ( a) 3 a số x cho x = a =a • • Nếu a < Nếu a = 3 a , a < • a < , a = k +1 a = Trường hợp n số chẵn: n = 2k , k ∈ N k +1 • Mọi số thực a > có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu − 2k a , 2k a = x ⇔ x ≥ x 2k = a ; − k a = x ⇔ x ≤ x 2k = a Mọi số thực a < khơng có bậc chẵn Bài tập 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P = x − b) P = x3 + 3 c) P = x + x + Lời giải: ( )( ) ( 4x ) 2 a) P = ( x − ) ( x + ) = x − x + ( x + ) b) P = ( x ) + ( ) = ( 2x + ) − 3x + c) P = ( x + 1) − x = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: a) A = x − x − x + x ≥ b) B = x − x − + x + x − x ≥ c) C = − + + 10 − Lời giải: a) 1  A= x − x− x + = x −  x − ÷ = x − 2  + Nếu x≥ 1 ⇔ x ≥ + Nếu x< 1 ⇔ ≤ x < x− x− 1 = x − ⇒ A= 2 x− 1 =− x + ⇒ A=2 x − 2 b) B = x − x −1 + x + 4x −1 = x −1 − 4x −1 + + 4x −1 + 4x − + Hay B = = ( ) 4x −1 −1 + ( ) 4x −1 +1 = 4x −1 −1 + 4x −1 +1 4x −1 −1 + 4x −1 + + Nếu 4x −1 −1 ≥ ⇔ x −1 ≥ ⇔ x ≥ x − − = x − − suy B = x − + Nếu 4x −1 −1 < ⇔ 4x −1 < ⇔ 1 ≤ x < 4 x − − = − x − + suy B = c) Để ý rằng: ( 7−4 = 2− ) ⇒ 7−4 = 2− Suy C = − + + 10(2 − 3) = − + 28 − 10 = 9− +5 ( − 3) Hay C = − + 5(5 − 3) = − 25 = − = = Bài tập 3: Chứng minh: a) A = − − + số nguyên b) B = + 84 84 số nguyên + 1− 9 c) Chứng minh rằng: x = a + a≥ a + 8a − a + 8a − với + a− 3 3 số tự nhiên ( d) Tính x + y biết x + x + 2015 )( y+ ) y + 2015 = 2015 Lời giải: a) Dễ thấy A < 0, Tacó A2 = ( 7−2 − 7+2 ) = − + + − − + = 14 − 2.5 = Suy A = −2 b) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v + 3uv ( u + v ) Ta có:   84 84  84 84 84 84  ÷ = 1+ ÷ B3 =  + + 1− +1− + 3 + 1−   9 ÷ 9 9 ÷      84 84   1+ ÷ Hay + 1−  9 ÷    84   84  84 B = + 3 1 + − B ⇔ B = + 3 − B ⇔ B = − B ⇔ B + B − = ÷ ÷ ÷ ÷   81  ⇔ ( B − 1) ( B + B + ) = mà B + B + =  B + ÷ + > suy B = 2  Vậy B số nguyên 2 c) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v + 3uv ( u + v ) Ta có x = 2a + ( − 2a ) x ⇔ x + ( 2a − 1) x − 2a = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 2a ) = Xét đa thức bậc hai x + x + 2a với ∆ = − 8a ≥ + Khi a = 1 ta có x = + = 8 + Khi a > , ta có ∆ = − 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x = Vậy với a ≥ a + 8a − a + 8a − ta có: x = a + + a− = 3 3 số tự nhiên d) Nhận xét: ( x + 2015 + x )( ) x + 2015 − x = x + 2015 − x = 2015 Kết hợp với giả thiết ta suy ⇒ x + 2015 − x = y + 2015 + y y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y = Bài tập 4: a) Cho x = + 10 + + − 10 + Tính giá trị biểu thức: x − x3 + x + x + 12 x − x + 12 b) Cho x = + Tính giá trị biểu thức B = x − x + x − x + 1942 c) Cho x = + + Tính giá trị biểu thức: P = x − x + x − x − x + 2015 Giải: P= a) Ta có:   x =  + 10 + + − 10 + ÷ = + + 10 + − 10 +   ⇔ x2 = + − = + ( ) −1 =8+2 ( ) −1 = + = ( ) +1 2 ⇒ x = + Từ ta suy ( x − 1) = ⇔ x − x = x Ta biến đổi: P = ( − x ) − ( x − x ) + 12 42 − 3.4 + 12 = =1 x − x + 12 + 12 b) Ta có x = + ⇒ ( x − 1) = ⇔ x − 3x + 3x − = Ta biến đổi biểu thức P thành: P = x ( x − 3x + x − 3) + x ( x − 3x + 3x − 3) + ( x − 3x + 3x − 3) + 1945 = 1945 c) Để ý rằng: x = 22 + + ta nhân thêm vế với − để tận 3 2 dụng đẳng thức: a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) Khi ta có: ) ( − 1) ( + + 1) ⇔ ( − 1) x = ⇔ x = x + ⇔ x ( −1 x = Ta biến đổi: 3 3 = ( x + 1) ⇔ x − x − x − = P = x − x + x − x − x + 2015 = ( x − x + 1) ( x − 3x − 3x − 1) + 2016 = 2016 ⇒ y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y = Bài tập 5: Cho x, y, z > xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức: a) ( 1+ y ) ( 1+ z ) + y ( 1+ z ) ( 1+ x ) + z ( 1+ x ) ( 1+ y ) P=x 2 1+ y2 x y z Chứng minh rằng: + − = 2 1+ x 1+ y + z2 b) + x2 1+ z2 xy ( 1+ x ) ( 1+ y ) ( 1+ z ) 2 Lời giải: 2 a) Để ý rằng: + x = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Tương tự + y ;1 + z ta có: ( 1+ y ) ( 1+ z ) x 1+ x 2 =x ( y + x) ( y + z) ( z + x) ( z + y) ( x + y) ( x + z) = x( y + z) Suy P = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = ( xy + yz + zx ) = b) Tương tự câu a) Ta có: x y z x y z + − = + − 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y) ( x + z) ( x + y) ( y + z) ( z + y) ( z + x) = x( y + z) + y ( z + x) − z ( x + y) ⇒ ( x + y) ( y + z) ( z + x) = ( x + y) ( xy = y + z) ( z + x) xy ( 1+ x ) ( 1+ y ) ( 1+ z ) 2 y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y = Bài tập 6: a) Tìm x , x , , x thỏa mãn: n x12 − 12 + x2 − 22 + + n xn − n = x1 + x2 + + xn ) ( 4n + 4n − với n nguyên dương Tính b) 2n + + 2n − f (1) + f (2) + + f (40) Cho f ( n) = Lời giải: Đẳng thức tương đương với: a) ( ) ( x12 − 12 − + ) x2 − 22 − + + ( xn − n − n ) =0 2 Hay x1 = 2, x2 = 2.2 , , xn = 2.n  x + y = 4n  Đặt x = 2n + 1, y = 2n − ⇒  xy = 4n −  b)  x2 − y =  Suy x + xy + y x − y 3 = = ( x − y3 ) = x+ y x −y 2 Áp dụng vào tốn ta có: f ( n) = f ( 1) + f ( ) + + f ( 40 ) = = ( ⇒ 1  ( ) ( 33 − 13 + ( ( 2n + 1) ) ( 2n − 1) − 53 − 33 + + ( ) ) 813 − 793   ) 813 − 13 = 364 y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y = Bài tập a) Chứng minh rằng: 1 + + + > Chứng 1+ 3+ 79 + 80 1 1   + + + + > 1 − ÷ 2 3 n n +1 n +1   1 1 + + + + + < n − với b) Chứng minh: n − < n số nguyên dương n ≥ minh rằng: Lời giải: a) Xét A = 1 , + + + 1+ 3+ 79 + 80 1 + + + 2+ 4+ 80 + 81 Dễ thấy A > B B= 1 1 + + + + + 1+ 2+ 3+ 79 + 80 80 + 81 Ta có A + B = Mặt khác ta có: Suy A + B = ( k + k +1 = ) ( 2− + ( ( k +1 − k k +1 + k ) − + + )( ( ) k +1 − k ) = k +1 − k ) 81 − 80 = 81 − = Do A > B suy A > A + B = ⇔ A > 1 Để ý rằng: − = với < k k + k k + k ( k + 1) k + + k b) ( ) k nguyên dương Suy   1       VT > 1 − − − ÷+  ÷+ +  ÷ = 1 − ÷ 2  3 n +1  n +1    n  Đặt P = + + + + + c) n Ta có: n + n +1 < 2 = < với số tự nhiên n ≥ n n n + n −1 Từ suy ( n +1 − n = ) ( n +1 − n < ) ( T < + (  Do đó:  2 < < =2 n +1 + n n n + n −1 x ≠ ÷ x +  x −1  x+2 x 1) Tính giá trị biểu thức A = x +1 x b) Tìm giá trị x để P = x + a) Chứng minh P = Câu 17) Cho a = + + + − + Chứng minh a − 2a − = Câu 18) Cho a = + 10 + + − 10 + a − 4a + a + 6a + Tính giá trị biểu thức: T = a − 2a + 12 Câu 19) Giả thiết x, y, z > xy + yz + zx = a Chứng minh rằng: ( a + y ) ( a + z ) + y ( a + z) ( a + x) x a + x2 2 a + y2 (a+x )(a+ y ) +z a + z2 = 2a Câu 20 Cho a = + − 61 + 46 + a) Chứng minh rằng: a − 14a + = b) Giả sử f ( x ) = x + x − 14 x − 28 x + x + 19 Tính f ( a ) Câu 21 Cho a = 38 + 17 + 38 − 17 Giả sử có đa thức f ( x ) = ( x3 + x + 1940 ) 16 2016 Hãy tính f ( a ) Câu 22 Cho biểu thức f ( n ) = 2n + + n ( n + 1) n + n +1 Tính tổng S = f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2016 ) Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1≤ 1 1 + + + + < 2 n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n > , ta có 1 1 65 + + + + < 3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44 < + + + < 44 + + 2002 2001 + 2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1 + + + < 1− 2 +1 3 + 2 n +1 ( n + 1) n + + n n Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n > , ta có: 10 3n − 3n + 1 < 12 3n 3n + 3 n + LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHUYÊN ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x = 64 ta có A = + 64 + = = 64 17 B= ( )( ) ( ) x −1 x + x + x +1 x ( x x + x ) = x x + 2x = 1+ = x x+x x +1 x +2 x +1 A 2+ x 2+ x x +1 > ⇔ : > ⇔ > B 2 x x +1 x ⇔ x + > x ⇔ x < ⇔ < x < (do x > ) Với x > , ta có: Lời giải: Với 1) 2) x = 36 , ta có A= 36 + 10 = = 36 + Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có: ( ) ( ) ÷  x x −4 x +4 B= +  x − 16 x − 16  Biểu thức B A − = x +  ( )  3) x − 16  ( ) x + ( x + 16 ) x + x +2 = = ÷ x + 16 ( x − 16 ) ( x + 16 ) x − 16  x +4− x −2 = ÷ ÷ x +2  x − 16 B ( A − 1) nguyên, x nguyên x − 16 ước , mà U ( ) = { ±1; ±2} Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B ( A − 1) nguyên x ∈ { 14;15;16;17} 3) Lời giải: A= 18 x 10 x − − = x − x − 25 x +5 x ( ) ( ( x − 5) ( x + 5) x + − 10 x − x −5 ) = = x + x − 10 x − x + 25 ( ( ( x −5 x −5 x −5 A= )( ) )( x +5 ) = ( x − 10 x + 25 x −5 )( x +5 ) x +5 ) x −5 Với x = ta có: x +5 ⇒ A= x = Vậy − −2 = =− 3+5 4) Lời giải: 1) P= x ( ) x −3 +2 x ( x −3 )( ( ) x + − 3x − x +3 ) = x +3 = ⇒ x + = ⇔ x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2) x +3 Với x ≥ 0, P = ≤ = ⇒ P = (TM) x=0 max 3) x +3 0+3 P= ⇔ Lời giải: A= = 5+ 5 + − 5+2 −1 + ( 5+ 5) ( ( + 2) ( = −5+ )+ − 2) ( 5−2 ( )( −1 ) +1 − ( 3− ) ) ( 3+ 5) ( 3− 5) +1 + − 15 + − + 15 − = −5+ 4 = −5+5−2 = x     B= + + ÷: 1 − ÷( x > ) x +3  x x+3 x   x+3 x 19   x   x −2 =  + : + ÷ x +3÷ x x x +3  x +3   (  x +1  : x +3   = ( )( x( ) x +3 +6 ÷= ÷ x +3  x −2 ) ( )  ÷ ÷  ) x +1 x x+ x = Lời giải: Với x ≥ x ≠ ta có:   x −3 x +3 x +9 ÷ x +3 A= = −3  x +3 x x −3 ÷ x+9   ( B= )( 21 ( ) 4+2 + 6−2 = 21 ( + + −1 − ) = 15 ( 3+ ) 2 ( ) ( −3 4−2 ++ 6+2 ) ) − 15 15 − + + − 15 15 − 15 15 = 60 7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: P= 2x ( x 2+ x + ) ( ( x− x− )( ) x+ ) = x + = 2+ x x+ Lời giải: Ta có: A = = 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 120 + 121 1− + ( 1+ ) ( 1− ) ( 20 2− 2+ )( 2− ) + + ( 120 − 121 120 + 121 )( 120 − 121 ) = 1− 2− 120 − 121 + + + −1 −1 −1 = − + − + + 121 − 120 = −1 + 121 = 10 (1) 2 = > =2 k k+ k k + k +1 Với k ∈ ¥ * , ta có: ( k +1 − k ) 1 + + 35 Do B = + ( − + − + − + + 36 − 35 ) ⇒ B > ( − + 36 ) = ( −1 + ) = 10 (2) Từ (1) (2) suy B > A ⇒B>2 Lời giải: x3 + y x+ y x+ y P = = 2 1) x − xy + y ( x − y ) ( x + y ) x − y 2) Với x = − = − y = − = − Thay vào P ta được: P = − + −1 ( − 3) − ( ) −1 = 3+ =− 3− 10.Lời giải: Ta có: ( Q= ( ( a+ b ) − b b + 2a a + a a −b b a− b = = ( ( a − b) )( a+ b a− b ) ) − b b + 2a a )( a − b a + ab + b )( a − b a + ab + b ) − ) a a + 3a b + 3b a + b b + 2a a ( 3a + ab b−a − ( ( a+ ( a− b a a− b )( a+ b ) a+ b ) =0 ) 21 = 3a a + 3a b + 3b a − 3a a − 3a b − 3b a ( )( a − b a + ab + b = (ĐPCM) ) 11 Lời giải: A= x + x − x − x + 19 x − x + − x −9 x + x − 12 x + x = x −2 + x −3 = ( x − x + 19 x −3 )( x +4 ) − x −5 x +4 x + x − + x − x + 19 − x + x − 15 ( x −3 )( x +4 ) = ( ( )( x − 3) ( )= x + 4) x −1 x +4 x −1 x −3 12 Lời giải: ( ) A= 1 x x 2− x Với + − = − = = 4− x 2+ x 2− x 4− x 4− x 4− x 2+ x A= 1 ⇔ = ⇔ x = ⇔ x = 16 (nhận) Vậy A = x = 16 2+ x 3 13 Lời giải: 1) ĐKXĐ: x ≥ 3 x x+x ⇒P= + + x −3 − x x −3 + x x +1 = ( ) x −3 x − + 3 + x − − x x x +1 = + x = x−2 x−3 + −3 ( x − 3) − x x +1 Vì P > ⇒ x − x − > ⇔ ( x − 3) − x − + > ⇔ ( x ≠ 22 ) x − − > ⇔ x − − ≠ ⇔ x − ≠ ⇔ x ≠ Vậy x ≥ 2) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x + mx − = có ∆ = m + > với m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = −m x1 x2 = −1 ⇒ ( x1 + x2 ) = ( − m ) ⇒ x12 + x22 + x1 x2 = m 2 ⇒ ( x1 − x2 ) + x1 x2 = m ⇒ ( x1 − x2 ) + ( −1) = m 2 2 ⇒ ( x1 − x2 ) = m + ≥ với m ⇒ x1 − x2 ≥ với m (ĐPCM) 14 Lời giải: a ≥ a ≥  a − 16 ≠   a ≠ 16 ⇒ ⇒ a ≥ 0, a ≠ 16 1) Biểu thức C có nghĩa khi:   a − ≠ a ≠ 16  a + ≠ ∀a ≥  Rút gọn C = = ( a 2 − − a − 16 a −4 a +4 a a −4 a +4 ) 2 − a −4 a +4 ) ( a − 4) = a − a − − a + = ( a + 4) ( a − 4) ( ( a + 4) ( a − 4) a ( a − 4) a = = ( a − 4) ( a + 4) a + = a−2 ( )( − a +4 −2 2) Giá trị C a = − ( Ta có: a = a = − = − + = − ( ⇒ a= Vậy C = ( 2− a a +4 ) ) = ) a−4 a a +4 )( a −4 ) = 5−2 −2 −2 = = 9−4 −2+4 5+2 23 15 Lời giải: Với x > 0, x ≠ biểu thức có nghĩa ta có: 1)  x −7  +3 A =  + − ÷ ÷: x − 10 x x − 2 x + x − x −   = = ( ) ( 2 x +1 + ( )( )( ) x + 2 x +1 A= x ( x −2 x +3 ): )= x +3 x ( x −2 ) x Vậy với x > 0, x ≠ x +1 x x +1 Ta có 2) A= ) x − 2 x +1 x +3 ( ) ( x −2 − x −7 x > 0, ∀x > 0, x ≠ nên A= x > 0, x > 0, x ≠ x +1 x 5 = − < , x > 0, x ≠ ⇒ < A < , kết hợp với A x +1 2 x +1 2 ( ) nhận giá trị số nguyên A∈ { 1, 2} 1 A = ⇔ x = x + ⇒ x = ⇔ x = thỏa mãn điều kiện A = ⇔ x = x + ⇔ x = ⇔ x = không thỏa mãn điều kiện Vậy với x = A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải: 1) Với x = ta có A = 2) a)  x−2+ x P=  x x +2  ( 24 ) +1 = −1   ÷ x + =  ÷ x −1    ( )( x −1 x ( ) x +  x +1 ÷ = ÷ x −1 x +2  ) x +1 x Theo câu a) b) ⇒ 2P = x + ⇔ x +1 x P= x +2 = x +5 x x + = x + x ⇔ x + x − = x > 1 1  ⇔ x +  x − ÷= ⇔ x = ⇔ x = 2  ( ) 17 Giải: ( ) a2 = + + + − + + − + = + − ( = 6+2 ) −1 = 6+2 ( ) ( ) − = + = + Do a > nên a = + Do ( a − 1) = hay a − 2a − = 18 Giải: ( ) a = + 16 − 10 + = + − = + =8+2 a ( ( ) −1 ) − = + Vì a > nên a = + Do ( a − 1) = hay (a − 2a = Biểu diễn T = − 2a ) − ( a − 2a ) + a − 2a + 12 = 42 − 3.4 + = + 12 19 Giải: 2 Ta có: a + x = x + xy + yz + zx = ( x + y ) ( x + z ) Tương tự ta có: a + y2 = ( y + x ) ( y + z ) ; a + z2 = ( z + x ) ( z + y ) Từ ta có: (a+ y )(a+ z ) x a+x 2 =x ( x + y) ( y + z ) ( z + x) ( z + y) ( x + y) ( x + z) = x ( x + y ) Tương tự: 25 (a+z )(a+x ) y a + y2 = y ( z + x) ; z (a+x )(a+ y ) a + z2 = z ( x + y ) Vậy VT = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = ( xy + yz + zx ) = 2a 20 Giải: a) Vì 61 + 46 = ( 1+ ) = 1+ Từ a = + − − + = + ⇒ a2 = b) ( 2+ ) ⇒ a − = 10 ⇒ a − 14a + = Do f ( x ) = ( x − 14 x + ) ( x + ) + nên ta x − 14a + = f ( a ) = 21 Giải: Vì a = 38 + 17 + 38 − 17 + 3.3 38 + 17 38 − 17 ⇒ a = 76 − 3a ⇒ a + 3a = 76 ⇒ f ( a ) = ( 76 + 1940 ) 22 Nhân tử mẫu f ( n ) với 2012 = 20162016 n + − n , ta được: f ( n ) = ( n + 1) n + − n n Cho n từ đến 2016 , ta được: f ( 1) = 2 − 1; f ( ) = 3 − 2; ; f ( 2016 ) = 2017 2017 − 2016 2016 Từ suy ra: S = f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2016 ) = 2017 2017 − 23 Giải: Vì n số nguyên dương nên: ≤ khác, với k ≥ ta có: 26 1 1 + + + + ≥ = (1) Mặt 2 n 1 4   = < = 2 − ÷ Cho k = 2,3, 4, , n ta có: k 4k 4k −  2k − k +  4 2 2 = < = − = − 2 2 4.2 4.2 − 2.2 − 2.2 + 4 2 2 = < = − = − 2 4.3 4.3 − 2.3 − 2.3 + 4 2 2 = < = − = − 2 4.4 4.4 − 2.4 − 2.4 + ………… 4 2 2 = 2< = − = − n 4n n − 2n − 2n + 2n − 2n + Cộng vế với vế ta được: 1 1 2 + + + + < + − < 1+ = (2) Từ (1) (2) suy 2 n 2n + 3 điều phải chứng minh 24 Giải: 1 1 + + + + Thực làm trội phân số vế trái 3 n cách làm giảm mẫu, ta có: Đặt P = 2 1 < = = − , ∀k > k k − k ( k − 1) ( k + 1) ( k − 1) k k ( k + 1) Cho k = 4,5, , n  1   1   1 1  P <  + + ÷+  − − −  ÷+  ÷+ +     3.4 4.5   4.5 5.6   ( n − 1) n n ( n + 1)  = 251 1 251 65 65 + − < + = Do P < (đpcm) 108 3.4 n ( n + 1) 108 3.4 27 64 25 Giải: 27 Đặt S n = 1 + + + +1 + ( n + 1) n + n n + Để ý : ( k + 1) ( k + 1) k − k k + = ( k + 1) k − k k + = − , ∀k ≥ = k ( k + 1) k + k k + ( k + 1) k − k ( k + 1) k k +1 Cho k = 1, 2, , n cộng vế với vế ta có: 1 1 1 − + − + + − = 1− 2 n n +1 n +1 Sn = Do S 2001 = − 2002 Như ta phải chứng minh: 43 44 1 < 1− < ⇔ < < 44 45 2002 45 2002 44 ⇔ 44 < 2002 < 45 ⇔ 1936 < 2002 < 2025 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh 26 Giải: Để giải toán ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: với số thực dương x, y ta có: x y + y x ≤ x x + y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương x y + y x ≤ x x + y y ⇔ x x + y y −x y −y x ≥0 ⇔x ⇔ 28 ( ( ) ( x− y +y x+ y )( ) y − x ≥ ⇔ ( x − y) x− y ) ≥ ( ) x− y ≥0 Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có: ( n + 1) ⇒ ( n + 1) Vì thế: < n + + n n > n n + + ( n + 1) n 1 < n + + n n n n + + ( n + 1) n 1 + + + < 2 +1 3 + 2 ( n + 1) n + + n n 1 + + + n + Mà theo kết câu 25 +1 + ( n + 1) n + n thì: 1 1 + + + = 1− Vậy +1 + n +1 ( n + 1) n + n n + toán chứng minh Câu 27) Giải: Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức n n −1 < ⇔ n < n + n − ⇔ n > ) Kí hiệu ( n+2 n 10 3n − 3n + P = Ta có: 12 3n 3n +  10 3n − 3n +   10 3n − 3n +  P =  ÷ ÷ 3n 3n +   12 3n 3n +   12  3n − 3n  10 3n − 3n +  <  ÷ ÷ 3n 3n +   10 3n − 3n +  12 29 1 1 3n − 3n − 3n 3n + = = < 3 10 3n − 3n 3n + 3n + 3 ( 3n + 3) ( n + 1) Từ suy P < 30 Bất đẳng thức chứng minh n +1 ... ±B = 3 A ± B A± B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a ∈ R, n ∈ N ; n ≥ Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a • Trường hợp n số lẻ: n = 2k + 1, k ∈ N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k +1 a = x ⇔ x k... suy ( x − 1) = ⇔ x − x = x Ta biến đổi: P = ( − x ) − ( x − x ) + 12 42 − 3.4 + 12 = =1 x − x + 12 + 12 b) Ta có x = + ⇒ ( x − 1) = ⇔ x − 3x + 3x − = Ta biến đổi biểu thức P thành: P = x (... = − = = Bài tập 3: Chứng minh: a) A = − − + số nguyên b) B = + 84 84 số nguyên + 1− 9 c) Chứng minh rằng: x = a + a≥ a + 8a − a + 8a − với + a− 3 3 số tự nhiên ( d) Tính x + y biết x + x + 2015