BIẾN đổi đại số lớp 9

Tổng hợp các chuyên đề biến đổi đại số c 9 ôn thi vào 10 Tài liệu phục vụ học sinh lớp 9 cũng như phục vụ kì thi ôn thi vào 10 cơ bản cũng như chuyên Tài liệu phân loại rõ ràng và giải chi tiết có các dạng toán và đáp án cụ thể

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc hai số thực a số thực x cho x = a Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu • số thực khơng âm x mà bình phương a : a ≥ x ≥  ⇔   a=x x = a  Với hai số thực khơng âm a, b ta có: a ≤ b ⇔ a ≤ b • Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: • + A≥0 A A2 = A =  A ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) A A ( ) M Am B M với A, B ≥ 0, A ≠ B (Đây gọi phép = A− B A± B trục thức mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC + Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc số a kí hiệu • Cho a ∈ R; a = x ⇔ x = • Mỗi số thực a có bậc ( a) 3 a số x cho x = a =a • Nếu a > Nếu a < • Nếu a = • a >0 a , a < • a < , a = k +1 a = Trường hợp n số chẵn: n = 2k , k ∈ N k +1 • Mọi số thực a > có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu − 2k a , 2k a = x ⇔ x ≥ x 2k = a ; − k a = x ⇔ x ≤ x 2k = a Mọi số thực a < khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P = x − b) P = x3 + 3 c) P = x + x + Lời giải: ( )( ) ( 4x ) 2 a) P = ( x − ) ( x + ) = x − x + ( x + ) b) P = ( x ) + ( ) = ( 2x + ) − 3x + c) P = ( x + 1) − x = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A = x − x − x + x ≥ b) B = x − x − + x + x − x ≥ c) C = − + + 10 − Lời giải: a) 1  A= x − x− x + = x −  x − ÷ = x − 2  + Nếu x≥ 1 ⇔ x ≥ + Nếu x< 1 ⇔ ≤ x < x− x− 1 = x − ⇒ A= 2 x− 1 =− x + ⇒ A=2 x − 2 b) B = x − x −1 + x + 4x −1 = x −1 − 4x −1 + + 4x −1 + 4x − + Hay B = = ( ) 4x −1 −1 + ( ) 4x −1 +1 = 4x −1 −1 + 4x −1 +1 4x −1 −1 + 4x −1 + + Nếu 4x −1 −1 ≥ ⇔ x −1 ≥ ⇔ x ≥ x − − = x − − suy B = x − + Nếu 4x −1 −1 < ⇔ 4x −1 < ⇔ 1 ≤ x < 4 x − − = − x − + suy B = c) Để ý rằng: ( 7−4 = 2− ) ⇒ 7−4 = 2− Suy C = − + + 10(2 − 3) = − + 28 − 10 = 9− +5 ( − 3) Hay C = − + 5(5 − 3) = − 25 = − = = Ví dụ 3) Chứng minh: a) A = − − + số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 + 1− 9 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B = + c) Chứng minh rằng: x = a + a≥ a + 8a − a + 8a − với + a− 3 3 số tự nhiên ( d) Tính x + y biết x + x + 2015 )( y+ ) y + 2015 = 2015 Lời giải: a) Dễ thấy A < 0, Tacó A2 = ( 7−2 − 7+2 = 14 − 2.5 = Suy A = −2 ) = − + + − − + b) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v + 3uv ( u + v ) Ta có:   84 84  84 84 84 84  ÷ = 1+ ÷ B3 =  + + 1− +1− + 3 + 1−   9 ÷ 9 9 ÷      84 84   1+ ÷ Hay + 1−  9 ÷    84   84  84 B = + 3 1 + − B ⇔ B = + 3 − B ⇔ B = − B ⇔ B + B − = ÷ ÷ ÷ ÷   81  ⇔ ( B − 1) ( B + B + ) = mà B + B + =  B + ÷ + > suy B = 2  Vậy B số nguyên 2 c) Áp dụng đẳng thức: ( u + v ) = u + v + 3uv ( u + v ) Ta có x = 2a + ( − 2a ) x ⇔ x + ( 2a − 1) x − 2a = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 2a ) = Xét đa thức bậc hai x + x + 2a với ∆ = − 8a ≥ + Khi a = 1 ta có x = + = 8 + Khi a > , ta có ∆ = − 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x = Vậy với a ≥ a + 8a − a + 8a − ta có: x = a + + a− = 3 3 số tự nhiên d) Nhận xét: ( x + 2015 + x )( ) x + 2015 − x = x + 2015 − x = 2015 x + 2015 − x = Kết hợp với giả thiết ta suy ⇒ y + 2015 + y y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y = Ví dụ 4) a) Cho x = + 10 + + − 10 + Tính giá trị biểu thức: x − x3 + x + x + 12 P= x − x + 12 b) Cho x = + Tính giá trị biểu thức B = x − x + x − x + 1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x = + + Tính giá trị biểu thức: P = x − x + x − x − x + 2015 Giải: a) Ta có:   x =  + 10 + + − 10 + ÷ = + + 10 + − 10 +   ⇔ x2 = + − = + ( ) −1 =8+2 ( ) −1 = + = ( ) +1 2 ⇒ x = + Từ ta suy ( x − 1) = ⇔ x − x = Ta biến đổi: P = ( x − x ) − ( x − x ) + 12 42 − 3.4 + 12 =1 x − x + 12 + 12 3 b) Ta có x = + ⇒ ( x − 1) = ⇔ x − 3x + 3x − = Ta biến đổi = biểu thức P thành: P = x ( x − 3x + x − 3) + x ( x − 3x + 3x − 3) + ( x − 3x + 3x − 3) + 1945 = 1945 c) Để ý rằng: x = 22 + + ta nhân thêm vế với − để tận 3 2 dụng đẳng thức: a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) Khi ta có: ) ( − 1) ( + + 1) ⇔ ( − 1) x = ⇔ x = x + ⇔ x ( −1 x = 3 3 3 = ( x + 1) ⇔ x − x − x − = Ta biến đổi: P = x − x + x − x − x + 2015 = ( x − x + 1) ( x − 3x − 3x − 1) + 2016 = 2016 Ví dụ 5) Cho x, y, z > xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức: a) ( 1+ y ) ( 1+ z ) + y ( 1+ z ) ( 1+ x ) + z ( 1+ x ) ( 1+ y ) P=x 2 1+ y2 x y z Chứng minh rằng: + − = 2 1+ x 1+ y + z2 b) + x2 1+ z2 xy ( 1+ x ) ( 1+ y ) ( 1+ z ) 2 Lời giải: 2 a) Để ý rằng: + x = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Tương tự + y ;1 + z ta có: ( 1+ y ) ( 1+ z ) x 1+ x 2 =x ( y + x) ( y + z) ( z + x) ( z + y) ( x + y) ( x + z) = x( y + z) Suy P = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = ( xy + yz + zx ) = b) Tương tự câu a) Ta có: x y z x y z + − = + − 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y) ( x + z) ( x + y) ( y + z) ( z + y) ( z + x) = x( y + z) + y ( z + x) − z ( x + y) ( x + y) ( y + z) ( z + x) = ( x + y) ( xy = y + z) ( z + x) xy ( 1+ x ) ( 1+ y ) ( 1+ z ) 2 Ví dụ 6) a) Tìm x , x , , x thỏa mãn: n x12 − 12 + x2 − 22 + + n xn − n = ( x1 + x22 + + xn2 ) 4n + 4n − với n nguyên dương Tính b) 2n + + 2n − f (1) + f (2) + + f (40) Cho f ( n) = Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với: ( ) ( x12 − 12 − + ) x2 − 22 − + + ( xn − n − n ) =0 2 Hay x1 = 2, x2 = 2.2 , , xn = 2.n  x + y = 4n  Đặt x = 2n + 1, y = 2n − ⇒  xy = 4n −  b)  x2 − y =  Suy x + xy + y x − y 3 f ( n) = = = ( x − y3 ) = x+ y x −y 2 Áp dụng vào tốn ta có: f ( 1) + f ( ) + + f ( 40 ) = = ( 1  ( ) ( 33 − 13 + ( ( 2n + 1) ) ( 2n − 1) − 53 − 33 + + ( ) ) 813 − 793   ) 813 − 13 = 364 Ví dụ 7) 1 + + + > Đề thi 1+ 3+ 79 + 80 a) Chứng minh rằng: chuyên ĐHSP 2011 b) Chứng minh rằng: 1 1   + + + + > 1 − ÷ 2 3 n n +1 n +1   1 1 + + + + + < n − với n số nguyên dương n ≥ Lời giải: c) Chứng minh: n − < a) Xét A = 1 , + + + 1+ 3+ 79 + 80 1 + + + 2+ 4+ 80 + 81 Dễ thấy A > B B= 1 1 + + + + + 1+ 2+ 3+ 79 + 80 80 + 81 Ta có A + B = Mặt khác ta có: Suy A + B = ( k + k +1 = ) ( 2− + ( ( k +1 − k k +1 + k ) − + + )( ( ) k +1 − k ) = k +1 − k ) 81 − 80 = 81 − = Do A > B suy A > A + B = ⇔ A > 1 Để ý rằng: − = với < k k +1 2k k + k (k + 1) k + + k b) ( ) k nguyên dương Suy   1       VT > 1 − − − ÷+  ÷+ +  ÷ = 1 − ÷ 2  3 n +1  n +1    n  Đặt P = + + + + + c) n Ta có: n + n +1 < 2 = < với số tự nhiên n ≥ n n n + n −1 Từ suy ( n +1 − n = ) ( n +1 − n < ) ( T < + (  Do đó:  2 < < =2 n +1 + n n n + n −1 0, x ≠ ) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) x +1 , x = x −1  x +1  x−2 + 2) Cho biểu thức P =  với x > x ≠ ÷ x +  x −1  x+2 x 1) Tính giá trị biểu thức A = x +1 x b) Tìm giá trị x để P = x + a) Chứng minh P = Câu 17) Cho a = + + + − + Chứng minh a − 2a − = Câu 18) Cho a = + 10 + + − 10 + Tính giá trị biểu thức: T = a − 4a + a + 6a + a − 2a + 12 Câu 19) Giả thiết x, y, z > xy + yz + zx = a Chứng minh rằng: ( a + y ) ( a + z ) + y ( a + z) ( a + x) x a + x2 2 a + y2 2 +z Câu 20 Cho a = + − 61 + 46 + a) Chứng minh rằng: a − 14a + = 16 (a+x )(a+ y ) a + z2 = 2a b) Giả sử f ( x ) = x + x − 14 x − 28 x + x + 19 Tính f ( a ) Câu 21 Cho a = 38 + 17 + 38 − 17 Giả sử có đa thức f ( x ) = ( x3 + x + 1940 ) Câu 22 Cho biểu thức f ( n ) = 2016 Hãy tính f ( a ) 2n + + n ( n + 1) n + n +1 Tính tổng S = f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2016 ) Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1≤ 1 1 + + + + < 2 n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n > , ta có 1 1 65 + + + + < 3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44 < + + + < 44 + + 2002 2001 + 2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1 + + + < 1− 2 +1 3 + 2 n +1 ( n + 1) n + + n n Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n > , ta có: 10 3n − 3n + 1 < 12 3n 3n + 3 n + 17 LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x = 64 ta có A = B= ( )( ) ( + 64 + = = 64 ) x −1 x + x + x +1 x ( x x + x ) = x x + 2x = 1+ = x x+x x +1 x +2 x +1 A 2+ x 2+ x x +1 > ⇔ : > ⇔ > B 2 x x +1 x ⇔ x + > x ⇔ x < ⇔ < x < (do x > ) Với x > , ta có: Lời giải: Với 1) 2) x = 36 , ta có A= 36 + 10 = = 36 + Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có: ( ) ( ) ÷  x x −4 x +4 B= +  x − 16 x − 16  Biểu thức B A − = x +  ( )  3) x − 16  ( ) x + ( x + 16 ) x + x +2 = = ÷ x + 16 ( x − 16 ) ( x + 16 ) x − 16  x +4− x −2 = ÷ ÷ x − 16 x +2  B ( A − 1) nguyên, x nguyên x − 16 ước , mà U ( ) = { ±1; ±2} Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B ( A − 1) nguyên x ∈ { 14;15;16;17} 3) Lời giải: A= 18 x 10 x − − = x − x − 25 x +5 x ( ) ( ( x − 5) ( x + 5) x + − 10 x − x −5 ) = = x + x − 10 x − x + 25 ( ( ( x −5 x −5 x −5 A= )( ) )( x +5 ) = ( x − 10 x + 25 x −5 )( x +5 ) x +5 ) x −5 Với x = ta có: x +5 ⇒ A= x = Vậy − −2 = =− 3+5 4) Lời giải: 1) P= x ( ) x −3 +2 x ( x −3 )( ( ) x + − 3x − x +3 ) = x +3 = ⇒ x + = ⇔ x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2) x +3 Với x ≥ 0, P = ≤ = ⇒ P = (TM) x=0 max 3) x +3 0+3 P= ⇔ Lời giải: A= = 5+ 5 + − 5+2 −1 + ( 5+ 5) ( ( + 2) ( = −5+ )+ − 2) ( 5−2 ( )( −1 ) +1 − ( 3− ) ) ( 3+ 5) ( 3− 5) +1 + − 15 + − + 15 − = −5+ 4 = −5+5−2 = x     B= + + ÷: 1 − ÷( x > ) x +3  x x+3 x   x+3 x 19   x   x −2 =  + : + ÷ x +3÷ x x x +3  x +3   (  x +1  : x +3   = ( )( x( ) x +3 +6 ÷= ÷ x +3  x −2 ) ( )  ÷ ÷  ) x +1 x x+ x = Lời giải: Với x ≥ x ≠ ta có:   x −3 x +3 x +9 ÷ x +3 A= = −3  x +3 x x −3 ÷ x+9   ( B= )( 21 ( ) 4+2 + 6−2 = 21 ( + + −1 − ) = 15 ( 3+ ) 2 ( ) ( −3 4−2 ++ 6+2 ) ) − 15 15 − + + − 15 15 − 15 15 = 60 7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: P= 2x ( x 2+ x + ) ( ( x− x− )( ) x+ ) = x + = 2+ x x+ Lời giải: Ta có: A = = 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 120 + 121 1− + ( 1+ ) ( 1− ) ( 20 2− 2+ )( 2− ) + + ( 120 − 121 120 + 121 )( 120 − 121 ) = 1− 2− 120 − 121 + + + −1 −1 −1 = − + − + + 121 − 120 = −1 + 121 = 10 (1) 2 = > =2 k k+ k k + k +1 Với k ∈ ¥ * , ta có: ( k +1 − k ) 1 + + 35 Do B = + ( − + − + − + + 36 − 35 ) ⇒ B > ( − + 36 ) = ( −1 + ) = 10 (2) Từ (1) (2) suy B > A ⇒B>2 Lời giải: x3 + y x+ y x+ y P = = 2 1) x − xy + y ( x − y ) ( x + y ) x − y 2) Với x = − = − y = − = − Thay vào P ta được: P = − + −1 ( − 3) − ( ) −1 = 3+ =− 3− 10.Lời giải: Ta có: ( Q= ( ( a+ b ) − b b + 2a a + a a −b b a− b = = ( ( a − b) )( a+ b a− b ) ) − b b + 2a a )( a − b a + ab + b )( a − b a + ab + b ) − ) a a + 3a b + 3b a + b b + 2a a ( 3a + ab b−a − ( ( a+ ( a− b a a− b )( a+ b ) a+ b ) =0 ) 21 = 3a a + 3a b + 3b a − 3a a − 3a b − 3b a ( )( a − b a + ab + b = (ĐPCM) ) 11 Lời giải: A= x + x − x − x + 19 x − x + − x −9 x + x − 12 x + x = x −2 + x −3 = ( x − x + 19 x −3 )( x +4 ) − x −5 x +4 x + x − + x − x + 19 − x + x − 15 ( x −3 )( x +4 ) = ( ( )( x − 3) ( )= x + 4) x −1 x +4 x −1 x −3 12 Lời giải: ( ) A= 1 x x 2− x Với + − = − = = 4− x 2+ x 2− x 4− x 4− x 4− x 2+ x A= 1 ⇔ = ⇔ x = ⇔ x = 16 (nhận) Vậy A = x = 16 2+ x 3 13 Lời giải: 1) ĐKXĐ: x ≥ 3 x x+x ⇒P= + + x −3 − x x −3 + x x +1 = ( ) x −3 x − + 3 + x − − x x x +1 = + x = x−2 x−3 + −3 ( x − 3) − x x +1 Vì P > ⇒ x − x − > ⇔ ( x − 3) − x − + > ⇔ ( x ≠ 22 ) x − − > ⇔ x − − ≠ ⇔ x − ≠ ⇔ x ≠ Vậy x ≥ 2) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x + mx − = có ∆ = m + > với m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = −m x1 x2 = −1 ⇒ ( x1 + x2 ) = ( − m ) ⇒ x12 + x22 + x1 x2 = m 2 ⇒ ( x1 − x2 ) + x1 x2 = m ⇒ ( x1 − x2 ) + ( −1) = m 2 2 ⇒ ( x1 − x2 ) = m + ≥ với m ⇒ x1 − x2 ≥ với m (ĐPCM) 14 Lời giải: a ≥ a ≥  a − 16 ≠   a ≠ 16 ⇒ ⇒ a ≥ 0, a ≠ 16 1) Biểu thức C có nghĩa khi:   a − ≠ a ≠ 16  a + ≠ ∀a ≥  Rút gọn C = = ( a 2 − − a − 16 a −4 a +4 a a −4 a +4 ) 2 − a −4 a +4 ) ( a − 4) = a − a − − a + = ( a + 4) ( a − 4) ( ( a + 4) ( a − 4) a ( a − 4) a = = ( a − 4) ( a + 4) a + = a−2 ( )( − a +4 −2 2) Giá trị C a = − ( Ta có: a = a = − = − + = − ( ⇒ a= Vậy C = ( 2− a a +4 ) ) = ) a−4 a a +4 )( a −4 ) = 5−2 −2 −2 = = 9−4 −2+4 5+2 23 15 Lời giải: Với x > 0, x ≠ biểu thức có nghĩa ta có: 1)  x −7  +3 A =  + − ÷ ÷: x − 10 x x − 2 x + x − x −   = = ( ) ( 2 x +1 + ( )( )( ) x + 2 x +1 A= x ( x −2 x +3 ): )= x +3 x ( x −2 ) x Vậy với x > 0, x ≠ x +1 x x +1 Ta có 2) A= ) x − 2 x +1 x +3 ( ) ( x −2 − x −7 x > 0, ∀x > 0, x ≠ nên A= x > 0, x > 0, x ≠ x +1 x 5 = − < , x > 0, x ≠ ⇒ < A < , kết hợp với A x +1 2 x +1 2 ( ) nhận giá trị số nguyên A∈ { 1, 2} 1 A = ⇔ x = x + ⇒ x = ⇔ x = thỏa mãn điều kiện A = ⇔ x = x + ⇔ x = ⇔ x = không thỏa mãn điều kiện Vậy với x = A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải: 1) Với x = ta có A = 2) a)  x−2+ x P=  x x +2  ( 24 ) +1 = −1   ÷ x + =  ÷ x −1    ( )( x −1 x ( ) x +  x +1 ÷ = ÷ x −1 x +2  ) x +1 x Theo câu a) b) ⇒ 2P = x + ⇔ x +1 x P= x +2 = x +5 x x + = x + x ⇔ x + x − = x > 1 1  ⇔ x +  x − ÷= ⇔ x = ⇔ x = 2  ( ) 17 Giải: ( ) a2 = + + + − + + − + = + − ( = 6+2 ) −1 = 6+2 ( ) ( ) − = + = + Do a > nên a = + Do ( a − 1) = hay a − 2a − = 18 Giải: ( ) a = + 16 − 10 + = + − = + =8+2 a ( ( ) −1 ) − = + Vì a > nên a = + Do ( a − 1) = hay (a − 2a = Biểu diễn T = − 2a ) − ( a − 2a ) + a − 2a + 12 = 42 − 3.4 + = + 12 19 Giải: 2 Ta có: a + x = x + xy + yz + zx = ( x + y ) ( x + z ) Tương tự ta có: a + y2 = ( y + x ) ( y + z ) ; a + z2 = ( z + x ) ( z + y ) Từ ta có: (a+ y )(a+ z ) x a+x 2 =x ( x + y) ( y + z ) ( z + x) ( z + y) ( x + y) ( x + z) = x ( x + y ) Tương tự: 25 (a+z )(a+x ) y a + y2 = y ( z + x) ; z (a+x )(a+ y ) a + z2 = z ( x + y ) Vậy VT = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = ( xy + yz + zx ) = 2a 20 Giải: a) Vì 61 + 46 = ( 1+ ) = 1+ Từ a = + − − + = + ⇒ a2 = b) ( 2+ ) ⇒ a − = 10 ⇒ a − 14a + = Do f ( x ) = ( x − 14 x + ) ( x + ) + nên ta x − 14a + = f ( a ) = 21 Giải: Vì a = 38 + 17 + 38 − 17 + 3.3 38 + 17 38 − 17 ⇒ a = 76 − 3a ⇒ a + 3a = 76 ⇒ f ( a ) = ( 76 + 1940 ) 22 Nhân tử mẫu f ( n ) với 2012 = 20162016 n + − n , ta được: f ( n ) = ( n + 1) n + − n n Cho n từ đến 2016 , ta được: f ( 1) = 2 − 1; f ( ) = 3 − 2; ; f ( 2016 ) = 2017 2017 − 2016 2016 Từ suy ra: S = f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2016 ) = 2017 2017 − 23 Giải: Vì n số nguyên dương nên: ≤ khác, với k ≥ ta có: 26 1 1 + + + + ≥ = (1) Mặt 2 n 1 4   = < = 2 − ÷ Cho k = 2,3, 4, , n ta có: k 4k 4k −  2k − k +  4 2 2 = < = − = − 2 2 4.2 4.2 − 2.2 − 2.2 + 4 2 2 = < = − = − 2 4.3 4.3 − 2.3 − 2.3 + 4 2 2 = < = − = − 2 4.4 4.4 − 2.4 − 2.4 + ………… 4 2 2 = 2< = − = − n 4n n − 2n − 2n + 2n − 2n + Cộng vế với vế ta được: 1 1 2 + + + + < + − < 1+ = (2) Từ (1) (2) suy 2 n 2n + 3 điều phải chứng minh 24 Giải: 1 1 + + + + Thực làm trội phân số vế trái 3 n cách làm giảm mẫu, ta có: Đặt P = 2 1 < = = − , ∀k > k k − k ( k − 1) ( k + 1) ( k − 1) k k ( k + 1) Cho k = 4,5, , n  1   1   1 1  P <  + + ÷+  − − −  ÷+  ÷+ +     3.4 4.5   4.5 5.6   ( n − 1) n n ( n + 1)  = 251 1 251 65 65 + − < + = Do P < (đpcm) 108 3.4 n ( n + 1) 108 3.4 27 64 25 Giải: 27 Đặt S n = 1 + + + +1 + ( n + 1) n + n n + Để ý : ( k + 1) ( k + 1) k − k k + = ( k + 1) k − k k + = − , ∀k ≥ = k ( k + 1) k + k k + ( k + 1) k − k ( k + 1) k k +1 Cho k = 1, 2, , n cộng vế với vế ta có: 1 1 1 − + − + + − = 1− 2 n n +1 n +1 Sn = Do S 2001 = − 2002 Như ta phải chứng minh: 43 44 1 < 1− < ⇔ < < 44 45 2002 45 2002 44 ⇔ 44 < 2002 < 45 ⇔ 1936 < 2002 < 2025 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh 26 Giải: Để giải tốn ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: với số thực dương x, y ta có: x y + y x ≤ x x + y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương x y + y x ≤ x x + y y ⇔ x x + y y −x y −y x ≥0 ⇔x ⇔ 28 ( ( ) ( x− y +y x+ y )( ) y − x ≥ ⇔ ( x − y) x− y ) ≥ ( ) x− y ≥0 Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có: ( n + 1) ⇒ ( n + 1) Vì thế: < n + + n n > n n + + ( n + 1) n 1 < n + + n n n n + + ( n + 1) n 1 + + + < 2 +1 3 + 2 ( n + 1) n + + n n 1 + + + n + Mà theo kết câu 25 +1 + ( n + 1) n + n thì: 1 1 + + + = 1− Vậy +1 + n +1 ( n + 1) n + n n + toán chứng minh Câu 27) Giải: Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức n n −1 < ⇔ n < n + n − ⇔ n > ) Kí hiệu ( n+2 n 10 3n − 3n + P = Ta có: 12 3n 3n +  10 3n − 3n +   10 3n − 3n +  P =  ÷ ÷ 3n 3n +   12 3n 3n +   12  3n − 3n  10 3n − 3n +  <  ÷ ÷ 3n 3n +   10 3n − 3n +  12 29 1 1 3n − 3n − 3n 3n + = = < 3 10 3n − 3n 3n + 3n + 3 ( 3n + 3) ( n + 1) Từ suy P < 30 Bất đẳng thức chứng minh n +1 ... ≠ ±B = A± B A±3 B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a ∈ R, n ∈ N ; n ≥ Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a • Trường hợp n số lẻ: n = 2k + 1, k ∈ N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k +1 a = x ⇔ x k... 10(2 − 3) = − + 28 − 10 = 9 +5 ( − 3) Hay C = − + 5(5 − 3) = − 25 = − = = Ví dụ 3) Chứng minh: a) A = − − + số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 + 1− 9 chuyên Trường THPT chuyên... có:   84 84  84 84 84 84  ÷ = 1+ ÷ B3 =  + + 1− +1− + 3 + 1−   9 ÷ 9 9 ÷      84 84   1+ ÷ Hay + 1−  9 ÷    84   84  84 B = + 3 1 + − B ⇔ B = + 3 − B ⇔ B = − B ⇔ B +