Hsg đs9 cđ1 biến đổi đại số

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ I BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Dạng Thu gọn biểu thức đại số tính giá trị biểu thức Dạng Các câu hỏi liên quan giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số 10 Dạng Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên .15 Dạng Bài toán tổng hợp 16 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊN 32 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ I BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn thức bậc hai -Căn bậc hai số thực a số thực x cho x a -Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu phương a : -Với hai số thực khơng âm a, b ta có: a số thực khơng âm x mà bình a  b  a b -Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A A 0 A2  A   A A  + A2B  A B  A B + A A.B A.B   B B B + M A +  A, B 0; A2B  A B  A B với A  0; B 0 với AB 0, B 0 M A A với A  0; (Đây gọi phép khử thức mẫu) M A B + với  M  A B A B  với A, B 0, A B (Đây gọi phép trục thức mẫu) Căn thức bậc ba, bậc n a Căn thức bậc Căn bậc số a kí hiệu -Cho a số x cho x3 a  a a a R; a x  x3  3 -Mỗi số thực a có bậc -Nếu a  a  -Nếu a  a  -Nếu a 0 a 0 a 3a  b b với b0 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ 3 - ab  a b với a, b - a b a  b 3 - A B  A B A AB2  B B với B 0 3 A A  B - B A2  AB  B2  3 A B - A B với A B b Căn thức bậc n Cho số a , n , n 2 Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a -Trường hợp n số lẻ: n 2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: 2k1 a x  x2k1 a a  0, 2k1 a  0, a  2k1 a  0, a 0 2k1 a 0 -Trường hợp n số chẵn: n 2k, k  N Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k 2k 2k 2k số học a) Căn bậc chẵn âm kí hiệu  a, a x  x 0 x a;  2k a x  x 0 x2k a B PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng Thu gọn biểu thức đại số tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức dấu dạng A2  A sau dựa vào dấu A để mở dấu giá trị tuyệt đối có Ngồi cần nắm đẳng thức quen thuộc:  ab  bc  ca m a2  ma2  ab  bc  ca a  ba  c;  a  b  c n  na  bc a  b  ca  bc a  ba  c;  1   1; Với abc 1 a  ab  b  bc  ca  c  a  1  1 1 a  b  c 3abc,       a b c  a b c  với abc 0 Nếu a  b  c 0 3 Ví dụ File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Rút gọn biểu thức: a A x x x 0 x b B  4x  4x   4x  4x  c C  9 x  8 10 7 Lời giải: A x x a 1 x   x + Nếu x + Nếu  1  x   x 2  x  x x 1  x  x 1  x  A 2 x 1  x   A 2 x  2 b B  4x  4x   4x  4x  B  4x  1 4x  1  4x  1 4x   Hay B   4x    4x    4x    4x    4x   4x   10  4x  11  x  + Nếu 4x   1  4x  1 1 + Nếu c Để ý rằng: Suy   4x     7   C  9  9    8 10(2    5  4x    4x   suy B 2 4x  1 x  4x    4x   7 2  3)  9 suy B 2  28 10 3 Hay C  9  5(5 3)  9 25  9  2 Ví dụ Chứng minh: a Tính A  8  b B  1 84  1 8 84 số nguyên (Trích đề Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ c Chứng minh rằng: x 3 a a  8a  a  8a  1  a a 3 3 với số tự nhiên  x  e Cho số thực x, y thỏa mãn:   x  x2  2019 y  y2  2019 2019 x  y d Tính biết   y2  y  x2  1 Tính giá trị x  y Lời giải: a Dễ thấy A  0, A  8   Cách 1: Ta có 8  8  8  8 8 16  2.4 8  Suy A   2 Cách 2: Ta viết lại A  6    6   6 u v b Áp dụng đẳng thức:  84 B3  1  1   1 84  1 84    2 6  6 u3  v3  3uv(u  v) 2 6  2 Ta có: 84  84  1 1  9   84   B3 2 33  1   1     Hay 84   84 1 1   84    84  84 B  B3 2 B  B3  B  0  B  B3 2  33 1  81  1 B  B   B     0  B  1 B  B  0   mà suy B 1 Vậy B số nguyên   u v c Áp dụng đẳng thức: Ta có u3  v3  3uvu  v   x3 2a  1 2a x  x3  2a  1 x  2a 0  x  1 x2  x  2a 0 (1) Xét đa thức bậc hai x  x  2a với  1 8a 0 + Khi a 1 x   1 8 ta có 1 a , a ta có  1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x 1 Vậy với + Khi File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Ta có: a  8a  a  8a   a 1 3 3 số tự nhiên x 3 a   d Nhận xét:  x2  2019  x x2  2019  x x2  2019 x2 2019 x2  2019  x  y2  2019  y Kết hợp với giả thiết ta suy y2  2019  y  x2  2019  x  x2  2019  x  y2  2019  y  x  y 0   Tổng quát ta có:  x2  a  x  y2  a  y a x  y 0 x 1 y y 1 x  ta có: e Nhân vế đẳng thức với: x  y 1x  1 y y  1 x y  x 1 x  1 y y  2 2 2  1 x2 x  y  1y  x  1 xy  x 1 x  y 1 y  1 x 1 y  x  y  1y  x  1 2xy  1 x 1 y   x  1 y y  1 x   1  x  y  2xy  1 x 1 y   1 21 xy x  y   1 x 1 y  2 2 2 2 Hay 2 2  2 2 2  2 21 xy  x2  y2   xy  1  x  y  1 xy  2 x  y Dấu đẳng thức xảy 0  x  y 2 2 xy  1  x  y 2  xy  hay x  y 0 Ví dụ a Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: x4  4x3  x2  6x  12 P x2  2x  12 4 3 b Cho x 1 Tính giá trị biểu thức B x  2x  x  3x  1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015 – 2016) 3 c Cho x 1  Tính giá trị biểu thức: P x  4x  x  x  2x  2015 Lời giải:   x   10    10   8  10   10    a Ta có:  x2 8  8     6    1 2  x   Từ suy  x  1 5  x  4x 4 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ x  2x  2x  2x  12   3.4 12 1 P Ta biến đổi: 2 x2  2x  12  12 x 1   x  1 2  x3  3x2  3x  3 b Ta có Ta biến đổi biểu thức P thành: P x2 (x3  3x2  3x  3)  x(x3  3x2  3x  3)  (x3  3x2  3x  3)  1945 1945 3 c Để ý rằng: x    ta nhân thêm vế với a3  b3 (a  b)(a2  ab  b2 ) Khi ta có:     x 1 Ta biến đổi:  3  1để tận dụng đẳng thức:   2 x  2  22   2x  x  1 x  1  x3  3x2  3x  10    P x3  4x4  x3  x2  2x  2015  x2  x  x3  3x2  3x   2016 2016 Ví dụ a 1 b2  b 1 c2  c 1 a2  Chứng minh rằng: a Cho ba số thực dương a, b,c thỏa mãn a2  b2  c2  x 1 y2  y  z2  z 3 x2 3 b Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:   x y   y x  xy c Tìm số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x; y số thực thỏa mãn x  d Giả sử 3 x2 y   3 y2 9 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x2  xy  y2 4 e Tìm GTLN, GTNN biểu thức: P  1 x  1 x  1 x Lời giải: a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có a 1 b2  b 1 c2  c 1 a2  a2  1 b2 b2  1 c2 c2  1 a2    2 2  a  1 b2 a2 1 b2    2 2  b  1 c   b 1 c  a  b  c   c2 1 a2 c   a   Đẳng thức xảy  (đpcm) b Ta viết lại giải thiết thành: 2x 1 y2  2y  z2  2z 3 x2 6 2 Áp dụng bất đẳng thức: 2ab a  b ta có: 2x 1 y2  2y  z2  2z 3 x2 x2  1 y2  y2   z2  z2  3 x2 6 File word: Zalo_0946 513 000 Suy VT VP File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Dấu đẳng thức xảy khi:  x2  y2  z2 3; x, y, z 0  2  x  y 1  x 1; y 0; z   2  y  z 2  z2  x2 3   x, y, z 0  x  1 y2  2    x  y 1  y  y  z   2 y  z 2   z  3 x  z2  x2 3  c a x  4, b  y  với a, b0 phương trình cho trở thành:        a2  b  b2  a  a2  b2  a  4b  4 phương trình trở thành Chi vế cho 2 2b 2a  1 b 4 a 4 Để ý a 0 b0 khơng thỏa mãn phương trình 2  4a Suy Xét a, b  Theo bất đẳng thức AM  GM ta có: b  2 4b 4ba 2a 2b VT   1, 4a 4b dấu đẳng thức xảy  a2 4  a b 2  x y 8   b 4 Vậy x 8, y 8 nghiệm phương trình a2  a x  3 x   a  x  3 x  a  2ax  x 3 x  x  2a d Đặt Tương tự đặt b y  3 y2   x  2 b2  a b 3 x y     2b Khi 2 2a 2b a a a a ab 9  x  y       2 2 2a 2a a a Theo giả thiết ta có: Lại có x2  xy  y2  2 3 x  y  x  y  x  y  x2  xy  y2 3  4 Dấu đẳng thức xảy  2  x y 1 Vậy x  xy  y  3 4 4 e Đặt a  1 x,b  1 x  a,b 0,a  b 2 Ta có: P a  b  ab Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có  4   2 a b  a b  2 a  b  a  b 8 a4  b4 16  a  b 2 1  a  b     2  a  b P a  b    Suy Ta có: 3 Dấu xảy a b 1 x 0  a4  b4 a4  2a2b2  b4  a2  b2 a2  b2 a2  2ab  b2 a  b   a2  b2  2, mà 2 với a, b0 Suy a  b  a  b  Vậy P a  b  ab a  b  dấu xảy a 0 b0 tức x 1 x  File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Ví dụ Cho x, y, z  xy  yz  zx 1 1 y 1 z   y 1 z 1 x   z 1 x 1 y  P x 1 x2 a Tính giá trị biểu thức: b Chứng minh rằng: 2 1 y2 x y z    2 1 x 1 y 1 z2 1 z2 2xy 1 x 1 y 1 z  2 2 Lời giải: a Để ý rằng: 1 x2 x2  xy  yz  zx x  y x  z 2 Tương tụ 1 y ;1 z ta có 1 y 1 z  x y  xy  zz  xz  y x y  z   x x  yx  z 1 x2 P xy  z  yz  x  zx  y 2xy  yz  zx 2 Suy b Tương tự câu a) x y z x y z      2 1 x 1 y 1 z  x  yx  z x  yy  z z  yz  x Ta có:  xy  z  yz  x  zx  y x  yy  zz  x  2xy  x  yy  zz  x 2xy 1 x 1 y 1 z  2 Ví dụ a Tìm b Cho x1, x2, , xn f (n)  thỏa mãn: x12  12  x22  22   n xn2  n2  2 x1  x2   xn2   4n  4n2  2n   2n  với n nguyên dương Tính ff(1)  (2)   f (40) Lời giải: a Đẳng thức tương đương với: Hay   x12  12   x22  22     xn2  n  n  0 x1 2, x2 2.22, , xn 2.n2  x2  y2 4n  x  2n  1, y  2n    xy  4n2   x2  y2 2  b Đặt File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Suy có:  f n  ff1  x2  xy  y2 x3  y3 3   2 x  y   x y 2 x  y  2   f 40  12    2n 1  2n 1        81  33  13  3    Áp dụng vào toán ta  793    81   364 3 Ví dụ a Cho số nguyên dương n2 Tính giá trị biểu thức sau theo n P  1 1 1 1   1    1  2 2 3 n 2 n 3 b Cho số thực dương a, b,c thỏa mãn: a  b  c  a  b  c 2 Chứng minh: a b c    1 a 1 b 1 c 1 a1 b1 c Lời giải: a Với số thực a, b,c khác cho: a  b  c 0  1 1 1 2      2 2 2    a b c ab bc ca  a b c  1 1 1 2a  b  c 1  2 2      2 2 2 abc a b c a b c  a b c Áp dụng vào tốn ta có:  1 1 1 1      1    2  3  3 1 1 1  1  2 3 Áp dụng với số hạng lại ta được:  1 1 1   1  1 P 1   1     1      1  n   3 n n   n  n  3 n  b Đặt   x  a, y  b, z  c  x2  y2  z2 x  y  z 2  2xy  yz  zx x  y  z  x2  y2  z2 2 1 a xy  yz  zx  x2 x  y x  z, Suy xy  yz  zx 1 dẫn đến tương tự 1 b y  zy  z,1 c z  xz  y VT   x  y  suy z  x  y  x  z   y  z  y  z  z  x z  y   x  yy  zz  x  x  y  z   y z  x   z x  y  x  y  y  z z  x  1 a1 b1 c đpcm Dạng Các câu hỏi liên quan giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000