Cđ1 biến đổi đại số

Chuyên đề 1: Biến đổi đại số 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:     Căn bậc hai số thực a số thực x cho x a Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu số thực khơng âm x mà bình phương a : a   x 0 a 0     x a  a x Với hai số thực không âm a, b ta có: a  b  a b Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: + A 0 A A2  A  A0  A + A2 B  A B  A B với A, B 0 ; A2 B  A B  A B với A  0; B 0 + + A A.B A.B   với AB 0, B 0 B B B M M A  với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) A A   M A B M với A, B 0, A B (Đây gọi phép  A B A B trục thức mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC + Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc số a kí hiệu  Cho a  R; a x  x   Mỗi số thực a có bậc  a 3 a số x cho x a a  Nếu a  a 0  Nếu a  a 0  Nếu a 0 a 0  a a với  b 0 b 3b ab  a b với a, b  a b   A B  A3 B   3  a3b A AB với B 0  B B A A  B B A2  AB  B với  A B A B A 3 B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a  R, n  N ; n 2 Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n 2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất:  k 1 a x  x k 1 a , a  k 1 a  , a  a  , a 0 k 1 a 0 Trường hợp n số chẵn: n 2k , k  N k 1  Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu  2k a , 2k a  x  x 0 x 2k a ;  k a  x  x 0 x 2k a Mọi số thực a  khơng có bậc chẵn Bài tập 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P  x  b) P 8 x  3 c) P  x  x  Lời giải:  2 a) P  x    x    x  b) P  x      x    x    x  2   x  3x  3 2 2 c) P  x  1  x  x  x 1  x  x  1 Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: a) A  x  x x x 0 b) B  x  x   x  x  x  c) C     10  Lời giải: a) A  x  x  x x + Nếu 1 x   x  + Nếu x x 1   x  1   x   x 2  x 1  x  A 2 x 1  x   A 2 x  2 b) B  x  x   x  x   x   x  1  x   x  1 Hay B    4x      x  1  x    x  1  x    x  1 x   0  x  1  x  + Nếu x    x   suy B 2 x  1  x  4x     4x    + Nếu x    x   suy B 2  c) Để ý rằng:     Suy C     10(2   9   3 5 C  9  5(5  2   2  3)    28  10 Hay 3)   25    2 Bài tập 3: Chứng minh: a) A    b) B    số nguyên 84  1 84 số nguyên c) Chứng minh rằng: x  a  a a  8a  a  8a  với  a 3 3 số tự nhiên  d) Tính x  y biết x  x  2015 Lời giải: a) Dễ thấy A  0,  y   y  2015 2015 Tacó  A2  7  72  7       14  2.5 4 Suy A  b) Áp dụng đẳng thức:  u  v  u  v  3uv  u  v  Ta có:  84 B    1    84  1  1   84 84  84  1  1     84 84  3  1  9  84       Hay    84   B 2  3    1    84  84 B  B 2  B  B  B   B  B 2  3   81   B  1  B  B   0 mà B  B   B     suy B 1 2  Vậy B số nguyên c) Áp dụng đẳng thức:  u  v  u  v  3uv  u  v  Ta có x3 2a    2a  x  x3   2a  1 x  2a 0   x  1  x  x  2a  0 Xét đa thức bậc hai x  x  2a với  1  8a 0 + Khi a  1 ta có x   1 8 + Khi a  , ta có  1  8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x 1 Vậy với a  a  8a  a  8a  ta có: x  a   a 1 3 3 số tự nhiên d) Nhận xét:  x  2015  x   x  2015  x x  2015  x 2015 x  2015  x  y  2015  y Kết hợp với giả thiết ta suy  y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0 Bài tập 4: a) Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: x  x  x  x  12 x  x  12 b) Cho x 1  Tính giá trị biểu thức P B  x  x  x  3x  1942 c) Cho x 1   Tính giá trị biểu thức: P x  x  x3  x  x  2015 Giải: a) Ta có:   x   10    10   8   10   10     x 8   8    51 8      6   1  2  x   Từ ta suy  x  1 5  x  x 4 x Ta biến đổi: P   2  x    x  x   12 x  x  12  42  3.4  12 1  12 b) Ta có x 1    x  1 2  x  3x  x  0 Ta biến đổi biểu thức P thành: P x ( x3  3x  3x  3)  x  x3  3x  3x     x  3x  3x  3  1945 1945 c) Để ý rằng: x  22   ta nhân thêm vế với  để tận 3 2 dụng đẳng thức: a  b  a  b   a  ab  b  Khi ta có:    1   1    1 x 1  x  x 1  x  21 x 3 3 3  x 1  x  3x  3x  0 Ta biến đổi: P  x  x  x  x  x  2015  x  x  1  x  3x  3x  1  2016 2016  y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0 Bài tập 5: Cho x, y, z  xy  yz  zx 1 a) Tính giá trị biểu thức: 1 y  1 z   y 1 z  1 x   z 1 x  1 y  P x 2  x2 2 1 y2 x y z b) Chứng minh rằng:  x   y   z  1 z2 xy 1 x  1 y  1 z  2 Lời giải: a) Để ý rằng:  x  x  xy  yz  zx ( x  y )( x  z ) Tương tự  y ;1  z ta có:   y    z  x  y  x   y  z   z  x   z  y  x y  z   x  x2  x  y  x  z Suy P x  y  z   y  z  x   z  x  y  2  xy  yz  zx  2 b) Tương tự câu a) Ta có: x y z x y z      2 1 x 1 y 1 z  x  y  x  z  x  y  y  z  z  y  z  x  x  y  z  y  z  x  z  x  y  xy    x  y  y  z  z  x  x  y  y  z   z  x xy 2 1 x  1 y  1 z  y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0  Bài tập 6: a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: x12  12  x2  22   n xn  n2   x1  x22   xn2  n  4n  với n nguyên dương Tính 2n   2n  f (1)  f (2)   f (40) b) Cho f (n)  Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với:    x12  12    x2  22     xn  n  n  0 2 Hay x1 2, x2 2.2 , , xn 2.n  x  y 4n  b) Đặt x  2n  1, y  2n    xy  4n   x  y 2  Suy x  xy  y x  y 3 f ( n)     x  y3   x y x  y 2 Áp dụng vào toán ta có: f  1  f     f  40          33  13   2n 1 53    2n  1  33    813    793    813  13 364 y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0 Bài tập   1     Chứng 1 3 79  80 a) Chứng minh rằng: minh rằng: 1 1       1 2 3 n n 1    n 1  1 1       n  với n số nguyên dương n 2 Lời giải: b) Chứng minh: n   1    , 1 3 79  80 a) Xét A  1    2 4 80  81 Dễ thấy A  B B 1 1      1 2 3 79  80 80  81 Ta có A  B  Mặt khác ta có: k  k 1     Suy A  B  2    3 k 1  k 1  k      k  k 1  81  k   k 1  k  80  81  8 Do A  B suy A  A  B 8  A  b) Để ý rằng:  k 1   k 1 2k k  với k (k  1) k   k   k nguyên dương Suy      VT        2     2 3    n c) Đặt P     2   n 1     n 1  1 1      n Ta có: n  n 1  2   với số tự nhiên n 2 n n n  n Từ suy  n 1  n   n 1  n   T 1    Do đó:    2   2 n 1  n n n  n 2 n  n n  n  n  hay         n 1  n    T  1       n  n     2  Hay n   T  n   y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0 Bài tập a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  b  c  c  a  Chứng minh rằng: a  b2  c  a) Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  y  z  z  x 3 (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có a  b2  b  c  c  a  10 a 1  b2 b2 1  c c 1  a    2 2  x   x 3   Cho biểu thức A   :  x  2 x  x  x   x  10 x  x  0, x 4  1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 1) Tính giá trị biểu thức A  x 1 , x 9 x1  x 1  x  2) Cho biểu thức P  với x  x 1  x 2 x   x2 x x 1 x a) Chứng minh P  b) Tìm giá trị x để P 2 x  Câu 17) Cho a       Chứng minh a  2a  0 Câu 18) Cho a   10    10  Tính giá trị biểu thức: T  a  a  a  6a  a  2a  12 Câu 19) Giả thiết x, y, z  xy  yz  zx a Chứng minh rằng: x a  x2 Câu 20 Cho a    16  a  y   a  z   y  a  z  a  x a  y2  a  x   a  y  2a z 61  46  a  z2 a) Chứng minh rằng: a  14a  0 b) Giả sử f  x  x  x  14 x  28 x  x  19 Tính f  a  Câu 21 Cho a  38  17  38  17 Giả sử có đa thức f  x   x  x  1940  Câu 22 Cho biểu thức f  n   2016 Hãy tính f  a  2n   n  n  1 n  n 1 Tính tổng S  f  1  f    f  3   f  2016  Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1       n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có 1 1 65      3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44      44 1  2002 2001  2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1     1 2 1 3  2  n 1 n 1  n n n 1 Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có: 10 3n  3n  1  12 3n 3n  3 n  17 LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHUYÊN ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x 64 ta có A  B    64    64    x  x  x  x 1 x  x x  x Với x  , ta có:   x x  2x x 2 1   x x x x 1 x 1 A 2 x 2 x   :   B x x 1  x 2 3 x  x 1  x x    x  (do x  ) Lời giải: 1) Với x 36 , ta có A  36  10   36  2) Với x 0, x 16 ta có:     x x  4 x 4 B    x  16 x  16  3) Biểu thức B  A  1      x   x  16  x  x 2    x  16  x  16   x  16  x  16  x 2 x 4 x  2    x  16  x 2  x  16 B  A  1 nguyên, x nguyên x  16 ước , mà U    1; 2 Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B  A  1 nguyên x   14;15;16;17 3) Lời giải: A 18 x 10 x   x  x  25 x  x 5     x  5  x  5 x   10 x  x    x  x  10 x  x  25    x x x A    x 5   x  10 x  25  x  x 5  x 5  x Với x 9 ta có: x 5  A x 3 Vậy 3    35 4) Lời giải: 1) P  x   x  2 x  x    x   3x  x 3   x 3 2) P   3   x  9  x 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 3  1  Pmax 1 x 0 (TM) 3) Với x 0, P  x 3 03 Lời giải: A  5 5   2  3  5 5    2  3     2  5   1  51  3    3 5 3 5 1   15    15  3   4 3     x     B     : 1   x  0 x 3   x x 3 x   x 3 x 19   x   x   :   x 3  x x x 3  x 3    x 1   : x 3      x  3      x  x  3  x       x 1 x x x 1 Lời giải: Với x 0 x 9 ta có:   x  x 3 x 9  x 3 A     x 3 x x   x 9    B 21    42  6 21  1    15   3    2    3 4  62    15 15     15 15  15 15 60 7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: P x 2x  2 x    x  x   x   x  1 2 x x Lời giải: 1 1     Ta có: A  1 2 3 120  121  20 1  1  1   2 2  2    120  121  120  121  120  121 