PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO TRONG TRƯỜNG GALOA MỞ RỘNG

Tạp chí Khoa học Kỹ thuật - ISSN 1859-0209 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO TRONG TRƯỜNG GALOA MỞ RỘNG Phạm Khắc Hoan1*, Trần Thái Hà1, Vũ Sơn Hà2 1Khoa Vô tuyến điện tử, Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn 2Viện Khoa học Cơng nghệ qn Tóm tắt Bài báo đề xuất phương pháp trực tiếp giải phương trình bậc 3, bậc trường hữu hạn dựa biến đổi đại số phương trình cho phương trình tắc bậc Kết nhận tổng qt hóa để giải phương trình trường hữu hạn kích thước đồng thời cho phép giảm độ phức tạp độ trễ xử lý đáng kể so với phương pháp truyền thống, nhờ ứng dụng hệ thống thông tin tốc độ cao Từ khóa: Trường Galoa; phép nhân trường hữu hạn; mã hóa sửa lỗi; sở đa thức; sở chuẩn hóa Đặt vấn đề Trường hữu hạn ứng dụng rộng rãi kỹ thuật khoa học máy tính mã hóa chống nhiễu, mật mã học [1] Một số trường hợp yêu cầu giải phương trình trường hữu hạn, ví dụ cần giải phương trình khóa giải mã mã BCH, ReedSolomon, Goppa giải mã hệ mật dựa mã hóa hệ mật Mc-Eliece Berlekamp tác giả có đóng góp đáng kể việc nghiên cứu vấn đề phân tích thừa số trường hữu hạn, sở tìm nghiệm đa thức bậc cao thơng qua nhân tử [2] Giải phương trình bậc cao trường hữu hạn tốn cổ điển ln nhận quan tâm cộng đồng nghiên cứu nhiều thách thức Một số phương pháp gián tiếp để giải phương trình trường hữu hạn bao gồm: thực thuật toán lặp thủ tục Chien, thực thông qua biến đổi Fourier trường Galoa… [2, 3] Tuy nhiên, phương pháp thường có độ trễ tính tốn lớn tính chất lặp chúng Thủ tục Chien thực chất cần phải kiểm tra tất phần tử trường có độ trễ xử lý lớn đa thức có bậc cao trường có kích thước lớn Các phương pháp trực tiếp giải phương trình bậc cao trường hữu hạn nghiên cứu từ sớm có độ phức tạp cao trường có kích thước lớn Trong [4] Berlekamp trình bày phương pháp tìm nghiệm cho phương trình bậc dựa khơng gian tuyến tính GF(2n) tính chất hàm vết, điều * Email: hoanpk@lqdtu.edu.vn https://doi.org/10.56651/lqdtu.jst.v17.n04.405 83 Journal of Science and Technique - ISSN 1859-0209 kiện để phương trình bậc có nghiệm phân biệt GF(2n), nhiên chưa xây dựng cơng thức tìm nghiệm Chen tác giả xây dựng cơng thức tính nghiệm cho phương trình bậc 2, nhiên công thức nhận phức tạp, đặc biệt n lớn [5] Các tác giả [6] sâu nghiên cứu cấu trúc trường hữu hạn dựa việc phân chia thành lớp kề cyclotomic sử dụng thuật toán lặp để tìm ước chung lớn đa thức Tuy nhiên, thuật tốn có cấu trúc lặp có độ phức tạp cao có độ trễ lớn Yiu trình bày phương pháp lai cải tiến dựa vào việc tính tốn trước nghiệm phương trình bậc 2, bậc tắc với tham số cho trước lưu trữ bảng tra [7], nhiên kích thước bảng tra lớn n lớn Gần Trifonov cộng đề xuất phương pháp tìm nghiệm đa thức trường hữu hạn dựa vào việc biến đổi đa thức affine tìm nghiệm đa thức affine [8] Tuy nhiên, phương pháp phù hợp với tính tốn phần mềm bậc đa thức affine lớn nên có nhiều khó khăn thực phần cứng Trong số trường hợp cần giải mã sửa lỗi cho nhớ dung lượng lớn, sửa lỗi thông tin quang, hệ thống thông tin độ trễ cực thấp với đặc điểm số lỗi không lớn (không 4), việc giải mã cần giải phương trình bậc khơng lớn trường hữu hạn có kích thước lớn đặt u cầu cao thông lượng độ trễ xử lý [9-11] Trên sở kế thừa kết nghiên cứu có liên quan, báo sâu nghiên cứu phương pháp trực tiếp giải phương trình bậc cao trường hữu hạn dựa biến đổi đại số phương trình bậc cao phương trình tắc bậc nhờ phép ngược cho phép tìm nghiệm phương trình bậc 3, bậc ban đầu Đồng thời sở phân chia trường hữu hạn thành lớp cyclotomic, báo đề xuất cải tiến để tìm nghiệm phương trình bậc tắc cho phép rút gọn không gian lưu trữ đáng kể Phương pháp đề xuất có tính hệ thống tạo tiền đề cho việc thực thi thiết bị giải nhiệm vụ cách hiệu Các kết nhận mở rộng cho trường với kích thước trường phi nhị phân Phần lại báo tổ chức sau: Mục khái quát vấn đề trường hữu hạn Mục phân tích trường hợp giải phương trình có bậc khác Cuối số kết luận Một số vấn đề trường hữu hạn 2.1 Khái niệm, tính chất trường hữu hạn Với số nguyên tố p cho, định nghĩa trường hữu hạn bậc p, ký hiệu GF(p) (hoặc Fp ) tập Zp số nguyên 0,1, , p  1 với phép tốn mod p 84 Tạp chí Khoa học Kỹ thuật - ISSN 1859-0209 Các tính chất trường hữu hạn: - Trường hữu hạn Fq gồm q  p n phần tử (ký hiệu GF( p n ) ) bao gồm gồm nghiệm phương trình: xq  x  (1) - Nhóm nhân trường hữu hạn nhóm cyclic, phần tử sinh nhóm nhân phần tử nguyên thủy trường  Tất phần tử trường bao gồm phần tử  , , , p n1 , p n   - Với phần tử c  GF( p n ) vết phần tử c định nghĩa: Tr (c)  c  c p  c p   c p Tính chất: n1 (2) + Tr (c)  Fp ; + Tr (c1  c2 )  Tr (c1 )  Tr (c2 ); + Tr (c p )  Tr p (c)  Tr (c); + Nếu c  Fp Tr (c)  nc; + Tr (1)  n mod p với p = 2, Tr (1)  n lẻ Tr (1)  n chẵn [12, 13] 2.2 Biểu diễn phần tử trường hữu hạn Trường hữu hạn GF(pn) sinh đa thức bất khả quy ( x) bậc n Chú ý trường hữu hạn bậc đẳng cấu thực tế sử dụng hai dạng biểu diễn thông dụng sở đa thức sở chuẩn hóa * Cơ sở đa thức Định nghĩa: Xét trường hữu hạn GF(pn) cho   GF( p n ) phần tử nguyên thủy Cơ sở đa thức GF(pn) GF(p) 1,  ,  , ,  n1 Một phần tử GF(pn) tổ hợp tuyến tính chúng với hệ số thuộc GF(p) Mọi phần tử khác trường GF(pn) tạo thành nhóm nhân cyclic Nhóm nhân biểu diễn số thứ tự thập phân N gọi logarit biến dạng [12]: N  log ( i )   i   log( i ) (3) * Cơ sở chuẩn hóa Định nghĩa: Cho số nguyên dương n bất kỳ, tồn sở chuẩn hóa (normal basic) cho trường hữu hạn GF(pn) GF(p) Nếu γ ∈ GF(pn) phần tử sinh  GF(p), sở chuẩn hóa có dạng  ,  p ,  p , ,  p n1  Ví dụ với trường GF(2 ) với 85 Journal of Science and Technique - ISSN 1859-0209 đa thức sinh  ( x)  x  x  có sở chuẩn hóa sinh phần tử nguyên thủy    phần tử phi nguyên thủy    2.3 Các phép toán trường hữu hạn nhị phân Các phép toán số học GF(2n) thường thực theo modulo đa thức bất khả quy ( x) GF(2) Các phép cộng trừ số học thực theo modulo 2, phép tốn nhân trường GF(2n) có độ phức tạp cao tốn nhiều thời gian Độ phức tạp thực thi phụ thuộc vào việc lựa chọn đa thức bất khả quy sở để biểu diễn phần tử trường hữu hạn Với sở chuẩn hóa phép bình phương phần tử phép dịch vòng, phép nhân phức tạp Phép nhân hai phần tử trường với biểu diễn đa thức thực phép nhân hai đa thức kết nhận lấy theo modulo đa thức sinh ( x) Trong thực tế, thường sử dụng thiết bị nhân nhờ bảng logarit - antilogarit hàm Zech Phép nhân phần tử biểu diễn lũy thừa thực phép nhân, phép chia lũy thừa với số mũ lấy theo modulo (2n  1) Trong q trình tính tốn xen kẽ thực phép cộng phép nhân cần chuyển từ biểu diễn vectơ biểu diễn lũy thừa ngược lại nhờ bảng logarit antilogarit Để đánh giá chi tiết độ phức tạp thực thi toán trường hữu hạn cần tính đến vấn đề biểu diễn thực thi phép toán trường hữu hạn [14, 15] Giải phương trình bậc cao trường GF(2n) 3.1 Phương trình bậc Mục trình bày kết biết tìm nghiệm phương trình bậc trường hữu hạn tiền đề để giải phương trình bậc cao mục sau Ngồi ra, mục cịn xem xét vấn đề phân lớp trường hữu hạn thành lớp kề cyclotomic để đơn giản hóa việc tính nghiệm phương trình bậc Cho phương trình bậc trường hữu hạn: a2 x2  a1 x  a0  0, a2  (4) Khơng tính tổng qt, phương trình (4) đưa dạng: x2  Ax  B  (5) đó, A  a1 / a2 , B  a0 / a2 Nếu AB  dễ dàng tìm nghiệm phương trình (5) Khi AB  0, nhờ thay x  Ay đưa dạng phương trình tắc: y2  y  D  đó: D  B / A2  (a0 / a2 ) / a12 86 (6) Tạp chí Khoa học Kỹ thuật - ISSN 1859-0209 Phương trình (6) xem xét trường tùy ý, xét trường GF(2n) Mệnh đề [4, 12, 13] Phương trình (6) trường GF(2n) có hai nghiệm y, y  GF(2n ) Tr ( D)  Trong [5] Chen xây dựng công thức tính nghiệm áp dụng với sở đa thức, nhiên n lớn việc tính nghiệm có độ phức tạp cao Dưới khảo sát với trường hợp biểu diễn trường với sở chuẩn hóa Trong ứng dụng thực tế xây dựng mạch điện để thực thi chuyển đổi sở cho phù hợp với ứng dụng cụ thể Trong trường GF(2n) tồn sở chuẩn hóa  ,  ,  , ,    ,   2n1 với phần tử sinh  Phần tử trường GF(2n) biểu diễn dạng sở chuẩn hóa: D  d0  d1   d  (7) Vết có dạng: Tr ( D)  d0  d1   d (8) Nhận xét với phương trình (6) tổng hai nghiệm phương trình 1, cần tìm nghiệm y  , nghiệm thứ hai tính theo cơng thức y  y   L( y) Khi Tr ( D)  0, nghiệm y, y phương trình (6) tính theo công thức [12]: n 1 n 1 y   yi , y   yi i 0 i i (9) i 0 đó: yi   yi , yi 0,1 Các hệ số yi xác định theo biểu thức: n 1 y0  0; y1  d1 ; y2  d1  d ; ; yn1   di (10) i 1 Ví dụ Tìm nghiệm phương trình trường GF(24) với đa thức sinh x  x  1, hệ số biểu diễn theo logarit biến dạng biểu thức (3): (11) x2  x  12  Thay x  y phương trình (11) biến đổi dạng tắc (6) với D  12 / 42  Biểu diễn D  với sở chuẩn hóa  ,  ,  ,   ,    nhận D  (0101)  Vì Tr ( D)  d3  d2  d1  d0  0, phương trình (11) có nghiệm xác định theo cơng thức (9) (10): y  ( y4 , y3 , y2 , y1 )  (1100)  5; y  ( y4 , y3 , y2 , y1 )  (0011)  87 Journal of Science and Technique - ISSN 1859-0209 Trong [7] Yiu đề xuất xây dựng bảng tra tính tốn nghiệm phương trình tắc (6) cho trường hữu hạn với tham số D thay đổi (tính tốn trước nghiệm theo cơng thức Chen đề xuất [5] với tham số D có vết 0) Dung lượng nhớ với trường cho 2n.n Trên sở phân chia trường hữu hạn thành lớp kề cyclotomic đề xuất giải pháp hiệu xây dựng bảng tra kết hợp với biểu diễn orbit phần tử trường Ký hiệu y  nghiệm (6), nâng lên bình phương đẳng thức y2  y  D  ta có: y   y 2  D  (12) Như vậy, y2 nghiệm phương trình tắc (6) với tham số D Xét trường GF(24) ví dụ 1, trường lớp kề cyclomic với đại diện lớp kề 1, 2, có vết Tham số D  1, 2,6 có cặp nghiệm tương ứng (6,11); (8, 10); (2,5) Do đó, biểu diễn orbit cho trường GF(24) mô tả bảng Bảng Biểu diễn orbit phần tử trường GF(24) nghiệm y y 11 10 15 14 12 13 11 D 1 2,3,5,9 6,11 Chú ý rằng, D  phương trình có nghiệm y  8, y  10, D  22 nghiệm y  82  15, y  102  4, Như vậy, ta cần tính tốn cặp nghiệm với giá trị đại diện lớp kề D  1, 2,6 Các nghiệm với tham số D khác lớp kề cyclotomic xác định thông qua lũy thừa 2, 4, 8… nghiệm tương ứng với đại diện lớp kề tương ứng Khi sử dụng biểu diễn orbit theo lớp kề cyclotomic số lượng phần tử cần xét giảm từ 2n xuống khoảng n đại diện lớp kề Do vậy, so sánh với phương pháp lưu trữ [7] dung lượng nhớ giảm từ 2n.n xuống khoảng n , nghĩa dung 88 Tạp chí Khoa học Kỹ thuật - ISSN 1859-0209 lượng nhớ cần lưu trữ giảm 2n / n lần Bảng trình bày biểu diễn orbit với tham số D theo đại diện lớp kề nghiệm tương ứng trường GF(2n) với đa thức sinh x3  x  1; x4  x  1; x5  x2  1; x6  x  1; x7  x  Bằng cách tương tự xây dựng orbit cho trường kích thước lớn lưu trữ nhớ dùng để tính tốn nghiệm phương trình tắc bậc Bảng Biểu diễn orbit theo tham số D trường GF(2n) nghiệm n D y y 3 D y 22 11 2 10 16 y y D y 43 17 113 18 48 26 106 15 53 127 10 27 111 30 10 23 57 12 45 95 14 31 47 16 37 107 22 26 28 37 55 24 72 80 30 43 115 56 81 103 n n Như vậy, phương pháp tìm nghiệm phương trình bậc gồm bước sau: Bước 1: Biến đổi phương trình dạng tắc (6) Bước 2: Biểu diễn tham số D theo sở chuẩn hóa tìm nghiệm phương trình tắc theo cơng thức (9), (10) Bước 3: Với tham số D có vết 0, xây dựng lớp kề cyclotomic nó: n1 D, D2 , D4 , , D2 Bước 4: Xây dựng bảng tra nghiệm phương trình tắc với đại diện lớp kề 3.2 Phương trình bậc Trong mục đề xuất phương pháp biến đổi đại số để biến đổi phương trình bậc phương trình tắc bậc sử dụng kết nói để tìm nghiệm 89 Journal of Science and Technique - ISSN 1859-0209 phương trình bậc biến đổi ngược để tìm nghiệm phương trình bậc Xét phương trình trường GF(2n) x3  Ax2  Bx  C  (13) Nếu B  A2  dễ dàng biến đổi để tìm nghiệm giống x  A  C  A3 Nếu B  A2  nhờ thay biến x  y B  A2  A (14) biến đổi phương trình (13) dạng tắc y3  y  E  (15) E  (C  AB) / ( B  A2 )3  (C  AB) / ( B  A2 ) ( B  A2 )    (16) đó, Nếu E  phương trình (15) có nghiệm nghiệm Vì hệ số y nên tổng nghiệm (nếu có) 0, phương trình (15) có nghiệm, có nghiệm vô nghiệm Mệnh đề [4, 12] Phương trình (15) có nghiệm GF(2n) Tr (1/ E )  Tr (1) (17) Từ suy quan hệ điều kiện cần (không phải điều kiện đủ) để phương trình (15) có nghiệm (18) Tr (1/ E )  Tr (1) Tiếp theo, ta biến đổi phương trình bậc tắc (15) phương trình bậc xét trường hợp có nghiệm phân biệt Ta đưa vào biến y  z  1/ z, phương trình (15) chuyển dạng: z  Ez   (19) Ký hiệu z  u, u  z ta nhận phương trình: 3 u  Eu   Thay u  Ev, ta nhận phương trình bậc tắc: v2  v  D  0, D  1/ E (20) (21) Chú ý GF(2n) ta có: Tr (1/ E )  Tr (1/ E )   Tr (1/ E ) Xét trường hợp sau: Nếu n lẻ, Tr (1)  , điều kiện (18) mâu thuẫn với điều kiện có nghiệm phương trình (21) nên phương trình (21) khơng có nghiệm 90 Tạp chí Khoa học Kỹ thuật - ISSN 1859-0209 GF(2n) (có nghiệm trường mở rộng) Trường hợp n chẵn tìm nghiệm phương trình (15) thơng qua nghiệm phương trình (21) Phương pháp giải phương trình bậc gồm bước sau: Bước 1: Biến đổi phương trình (13) dạng tắc (15) sử dụng phép (14) Bước 2: Sử dụng phép y  z  1/ z, biến đổi phương trình (15) phương trình (19) Bước 3: Sử dụng phép z  u biến đổi phương trình (19) dạng (20) Bước 4: Sử dụng phép u  Ev, biến đổi phương trình (20) dạng phương trình tắc (21) Bước 5: Tìm nghiệm phương trình tắc (21) theo biểu diễn orbit, sử dụng phép ngược để tìm nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ Giải phương trình sau trường GF(24) với đa thức sinh  ( x)  x4  x  1: x3  x2  10 x  10  (22) Thế x  y B  A  A  y  7, ta nhận phương trình tắc (15) với E  11 Bởi Tr (1)   Tr (1/ E)  Tr (6), điều kiện (18) đảm bảo, phương trình (15) có nghiệm Tiếp tục thay y  u  1/ u  Ev  1/ Ev , ta nhận phương trình (21) với D  (1/ E )2  62  11 Theo bảng xét lớp cyclotomic tương ứng phương trình có nghiệm v  Từ ta có: u  Ev  13; z  u  5,10,15 ; y  z  1/ z  14, 6,8 ; B  A2  5; x  y B  A2  3,10,12 ; x  x  A  4, 6, 2 Sau ta đánh giá độ phức tạp giải phương trình bậc theo phương pháp đề xuất Để tính giá trị E theo (16) cần sử dụng phép bình phương, phép nhân, phép cộng, phép bậc 2, phép nghịch đảo Sau xác định nghiệm (21) cần tính z  u  Ev cần phép nhân phép tính bậc Ví dụ với n chẵn, n  2m phần tử khác trường thặng dư bậc tính gián tiếp bậc thông qua phần tử nguyên thủy trường, bậc có dạng: z  u   i , với giá trị i  i  k , k  22 m  , hai giá trị khác  i  k  i  k Để tính y  z  1/ z cần phép cộng, phép nghịch đảo để tìm nghiệm theo (14) cần phép nhân, phép cộng Như vậy, tổng cộng phép biến đổi trung 91 Journal of Science and Technique - ISSN 1859-0209 gian cần phép cộng, phép bình phương, phép nhân, phép nghịch đảo, phép tính bậc phép tính bậc trường hữu hạn Độ phức tạp phép toán phụ thuộc vào phương pháp thực thi sở biểu diễn, ước lượng phép cộng phép bình phương, phép tính bậc có độ phức tạp (n) , độ phức tạp phép nhân phép tính bậc có dạng O(n2 ), phép nghịch đảo có độ phức tạp O(n3 ) Với phương pháp truyền thống độ phức tạp thực thi thủ tục Chien tìm nghiệm đa thức bậc t GF(2n ) có dạng O(2n t ) Độ phức tạp thời gian thủ tục Chien [8]: Tch  ( add   mul )t (2n  1) (23) Độ phức tạp thời gian thực phương pháp đề xuất: T  (4 add  3 mul   sq  2 inv   sqr   cubr ) (24) Trong biểu thức  add ,  mul ,  sq ,  inv ,  sqr ,  cubr tương ứng độ trễ phép tốn cộng, nhân, bình phương, nghịch đảo, bậc 2, bậc Độ trễ phép toán phụ thuộc vào phương pháp thực thi, nhiên phụ thuộc tuyến tính theo n Như vậy, độ phức tạp thực thi độ trễ xử lý phương pháp truyền thống tăng hàm mũ theo n với phương pháp đề xuất độ phức tạp thực thi có dạng hàm bậc n, độ trễ xử lý tuyến tính theo n 3.3 Phương trình bậc Mục trình bày phương pháp biến đổi phương trình bậc dạng khơng có thành phần bậc sau sử dụng bảng tra để tìm nghiệm phân tích đa thức bậc thành tích hai đa thức bậc Xét phương trình bậc trường GF(2n) x4  Ax3  Bx2  Cx  D  (25) Nhờ phép x  y 1  C / A, A  0, đưa phương trình a3 y  a2 y  a1 y  a0  (26) a3  D  BC / A  (C / A)2 ; a2  B  AC ; a1  A; a0  (27) đó: Khi a3 , a2  thay y  z a2 / a3 ta nhận phương trình z  z  E1 z  E2  đó: E1  a1 a3 / a23 ; E2  a3 / a22 92 (28) Tạp chí Khoa học Kỹ thuật - ISSN 1859-0209 Phương trình (28) có tham số xây dựng bảng nghiệm theo tham số Tương tự phương trình bậc sử dụng biểu diễn orbit dựa lớp cyclotomic để giảm dung lượng bảng Ngồi ra, giảm bớt u cầu lưu trữ nghiệm phương trình bậc dạng (28) nhờ phân tích thành tích hai đa thức bậc sau: z  z  E1 z  E2  ( z  A1 z  B1 )( z  A1z  C1 ) (29) Dùng phương pháp đồng thức nhận được: A12  B1  C1  1; A1 ( B1  C1 )  E1; B1C1  E2 (30) Sau biến đổi nhận biểu thức: A13  A1  E1  (31) B12  (1  A12 ) B1  E2  (32)     D1  (33) D1  E2 / (1  A12 )2 ;   B1 / (1  A12 ) (34) đó: Phương pháp giải phương trình bậc gồm bước sau: Bước 1: Sử dụng phép x  y 1  C / A, A  0, biến đổi phương trình (25) dạng (26) Bước 2: Sử dụng phép y  z a2 / a3 biến đổi phương trình (26) dạng (27) Bước 3: Tìm nghiệm A1 phương trình bậc dạng tắc (31) (sử dụng phương pháp mục 3.2) Bước 4: Tìm nghiệm phương trình (33) sử dụng quan hệ (34) để tính B1 tính C1   A12  B1 Bước 5: Giải phương trình z  A1 z  B1  0, z  A1 z  C1  sử dụng phép y  z a2 / a3 ; x  y 1  C / A để tìm nghiệm phương trình ban đầu Kết luận Bài báo đề xuất cải tiến công thức tính nghiệm phương trình tắc bậc nhằm giảm dung lượng lưu trữ bảng tra nhờ biểu diễn orbit theo lớp kề cyclotomic khoảng 2n / n lần Đồng thời báo đề xuất phương pháp trực tiếp giải phương trình bậc 3, bậc trường hữu hạn nhờ biến đổi phương trình tắc 93 Journal of Science and Technique - ISSN 1859-0209 bậc Phương pháp giải phương trình trường hữu hạn sử dụng thủ tục tìm kiếm Chien cách thử tất phần tử trường có độ phức tạp hàm mũ theo n Phương pháp trực tiếp giải phương trình đề xuất tính nghiệm với vài phép toán để biến đổi ngược có độ phức tạp thực thi thấp hơn, ví dụ với phương trình bậc có dạng hàm bậc theo n, độ trễ xử lý tuyến tính theo n Vì vậy, phương pháp trực tiếp tìm nghiệm phương trình trường hữu hạn cho phép xây dựng thiết bị thực thi có tốc độ xử lý cao, độ trễ thấp, cho phép ứng dụng hệ thống thông tin tốc độ cao, mạch sửa lỗi thiết kế chip, nhớ, xây dựng hệ mật mã dựa mã hóa Tài liệu tham khảo [1] Bijan Ansari, “Finite field arithmetic and its application in cryptography,” Dissertation for the degree Doctor of Philosophy in Electrical Engineering, University of California, Los Angeles, 2012 [2] Elwyn R Berlekamp, Algebraic Coding Theory (Revised Edition), World Scientific Publishing Co Pte Ltd., 2015 [3] F J MacWilliams, N J A Sloane, The theory of error correction codes, Elselvier, 1977 [4] E.R Berlekamp, H Rumsey, G Solomon, “On the Solution of Algebraic Equations over Finite Fields,” Information and Control, Vol 10, 1967, pp 553-564 [5] R.P Chen, “Formulas for solutions of quadratic equations over GF(2m),” IEEE Transactions on Information Theory, Vol IT-28, N 5, 1982, pp 792-794 [6] K Huber et al., “Solving Equations in Finite Fields and Some Results Concerning the Structure of GF(pm), 5.1992 IEEE Trans on Information Theory, 38(3):1154-1162 [7] K.P Yiu, “On the root computation of polynomial over a finite field using a stored table approach,” Proceedings of the IEEE, Vol 71, No 4, April 1983 [8] Fedorenko S.V., Trifonov P.V., “Finding roots of polynomials over finite fields,” IEEE Transactions on Communications, Vol 50, Issue 11, 2002 [9] D Strukov, “The area and latency tradeoffs of binary bit-parallel BCH decoders for prospective nano electronic memories,” ACSSC Papers, 2007 [10] Bo Jeng et al., “High-Throughput Low-Latency Encoder and Decoder for a Class of Generalized Reed-Solomon Codes for Short-Reach Optical Communications,” IEEE Transaction on circuit and systems, Vol 67, Issue 4, April 2020 [11] X Zhang, Z Wang, “A low complexity three error correcting for optical transport network,” IEEE Transaction on Circuit and Systems, Vol 59, Issue 10, October 2012 [12] Муттер, В.М., Основы помехоустойчивой телепередачи Энергоатомиздат, Ленинградское отделение, 1990 информации, [13] Конопелько, В.К и др Теория прикладного кодирования Мн.: БГУИР, 2004 94 Л.: Tạp chí Khoa học Kỹ thuật - ISSN 1859-0209 [14] Hosseinzadeh Namin, Parham, “Efficient Implementation of Finite Field Multipliers over Binary Extension Fields,” Electronic Theses and Dissertations, 2016 [15] Chin-Chin Chen, Chiou Yng Lee, Erl-Huei Lu, Scalable and systolic montgomery multipliers over GF(2m), IEICE Transaction Fundamentals, Vol E91, No 7, July 2008 AN ALGERAIC TRANSFORMATION METHOD TO SOLVING EQUATIONS IN THE EXTENDED GALOIS FIELD Abstract: This article proposes a method to solve cubic and quartic equations over finite fields using its algebraic transformations on quadratic equations The obtained results can be generalized to solve equations over finite fields of any size and at the same time allow to reduce the complexity and processing delay significantly compared to traditional methods, so that it can be applied in high-speed communication systems Keywords: Galois field; finite field multiplier; error control coding; polynomial basis; normal basis Nhận bài: 15/02/2022; Hoàn thiện sau phản biện: 26/08/2022; Chấp nhận đăng: 16/09/2022  95