Cđ1 biến đổi đại số

Chuyên đề 1: Biến đổi đại số 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai số thực a số thực x cho x a  Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu là số thực khơng âm x mà bình phương a :  a 0   a  x   a  x 0   x a  Với hai số thực khơng âm a, b ta có: a  b  a b  Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: + A 0 A A2  A  A0  A A2 B  A B  A B với A, B 0 ; A  0; B 0 + + A2 B  A B  A B với A A.B A.B   với AB 0, B 0 B B B + M M A  với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) A A + M A B M với A, B 0, A  B (Đây gọi phép  A B A B   trục thức mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc số a kí hiệu  Cho a  R; a x  x  a        3 a số x cho x a a Mỗi số thực a có bậc Nếu a  a  Nếu a  a  Nếu a 0 a 0 a a với  b 0 b 3b ab  a b với a, b    a b   a3b A B  A3 B   3 A AB với B 0  B B A A  B B A2  AB  B với A B  A  B A B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a  R, n  N ; n 2 Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n 2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k 1 a x  x k 1 a , a  k 1 a  , a  k 1 a  , a 0 k 1 a 0  Trường hợp n số chẵn: n 2k , k  N Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu  2k a , k a x  x 0 x 2k a ;  k a  x  x 0 x 2k a Mọi số thực a  bậc chẵn Bài tập 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P  x  b) P 8 x3  3 c) P  x  x  Lời giải:     4x  2 a) P  x    x    x  x   x   b) P  x      x  2 c) P  x  1  x  x  x  1  x  x  1 Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: a) A  x  x x x 0   3x  b) B  x  x   x  x  x  c) C     10  Lời giải: x  x 1  a) A  x  x   x   x x 2  1 1 + Nếu x   x  x   x   A  2 2 1 1 + Nếu x    x  x   x   A 2 x  2 2 b) B  x  x   x  x   x   x  1  x   x  1 Hay B     4x     x  1  x    x  1  x    x  1 + Nếu x   0  x  1  x  x    x   suy B 2 x  + Nếu 1  x  4x     4x    x    x   suy B 2   c) Để ý rằng:      2  Suy C     10(2  3)    28  10  9 C  9 5   3  5(5  Hay 3)   25    2 Bài tập 3: Chứng minh: a) A     số nguyên b) B   84  1 84 số nguyên c) Chứng minh rằng: x  a  a a  8a  a  8a  với  a 3 3 số tự nhiên    2 d) Tính x  y biết x  x  2015 y  y  2015 2015 Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó  A2  7  72  7       14  2.5 4 Suy A  b) Áp dụng đẳng thức:  u  v  u  v3  3uv  u  v  Ta có:  84 B    1    84 84  1  1  9  84  84  1  1     84 84  3  1  9  84       Hay    84   B 2  3        84  84 B  B 2  B  B  B  0  B  B 2  3   81   B  1  B  B   0 mà B  B   B     suy B 1 2  Vậy B số nguyên c) Áp dụng đẳng thức:  u  v  u  v3  3uv  u  v  3 Ta có x 2a    2a  x  x   2a  1 x  2a 0   x  1  x  x  2a  0 Xét đa thức bậc hai x  x  2a với  1  8a 0 + Khi a  1 ta có x   1 8 8 + Khi a  , ta có  1  8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x 1 Vậy với a  x 3 a  ta có: a  8a  a  8a   a 1 số tự nhiên 3 3 d) Nhận xét:  x  2015  x Kết hợp với giả thiết ta suy    x  2015  x x  2015  x 2015 x  2015  x  y  2015  y y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0 Bài tập 4: a) Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: x  x  x  x  12 P x  x  12 b) Cho x 1  Tính giá trị biểu thức B  x  x  x  3x  1942 c) Cho x 1   Tính giá trị biểu thức: P x  x  x3  x  x  2015 Giải: a) Ta có:   x   10    10   8   10   10     x 8   8    51 8      6   1  2  x   Từ ta suy  x  1 5  x  x 4 x Ta biến đổi: P  2  x    x  x   12 42  3.4  12 1 x  x  12  12 b) Ta có x 1    x  1 2  x3  3x  3x  0 Ta biến đổi  biểu thức P thành: P x ( x3  3x  3x  3)  x  x  3x  3x     x  3x  3x  3  1945 1945 c) Để ý rằng: x  22   ta nhân thêm vế với  để tận 3 2 dụng đẳng thức: a  b  a  b   a  ab  b  Khi ta có:    1   1    1 x 1  x  x   x  21 x 3 3 3  x  1  x  3x  3x  0 Ta biến đổi: P  x  x  x  x  x  2015  x  x  1  x  3x  3x  1  2016 2016 y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0 Bài tập 5: Cho x, y, z  xy  yz  zx 1  a) Tính giá trị biểu thức: 1 y  1 z   y 1 z  1 x   z 1 x  1 y  P x 2  x2 2 1 y2 x y z   2 b) Chứng minh rằng:  x  y  z  1 z2 xy 1 x  1 y  1 z  2 Lời giải: a) Để ý rằng:  x  x  xy  yz  zx ( x  y )( x  z ) Tương tự  y ;1  z ta có:   y    z  x  y  x   y  z   z  x   z  y   x  y  z  x  x2  x  y  x  z Suy P x  y  z   y  z  x   z  x  y  2  xy  yz  zx  2 b) Tương tự câu a) x y z x y z Ta có:  x   y   z  x  y x  z  x  y y  z  z  y z  x            x y  z  y  z  x  z  x  y xy    x  y  y  z  z  x  x  y  y  z   z  x xy 2 1 x  1 y  1 z  y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0 Bài tập 6: a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: x12  12  x2  2   n xn  n  x1  x2   xn   n  4n  với n nguyên dương Tính 2n   2n  f (1)  f (2)   f (40) b) Cho f (n)  Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với:    x12  12    x2  22     xn  n  n  0 Hay x1 2, x2 2.22 , , xn 2.n  x  y 4n  b) Đặt x  2n  1, y  2n    xy  4n   x  y 2  Suy f ( n)  x  xy  y x  y 3    x  y3   x y x  y 2   2n 1 3   2n  1 Áp  dụng vào tốn ta có: f  1  f     f  40      813  13 364   33  13  53   33    813   793       y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0 Bài tập 1    4 1 3 79  80 1 1        21 b) Chứng minh rằng:  2 3 n n 1 n 1   1 1      n  với c) Chứng minh: n    n số nguyên dương n 2 a) Chứng minh rằng: Lời giải: 1    , 1 3 79  80 1 B    2 4 80  81 Dễ thấy A  B a) Xét A  Ta có A  B  1 1      1 2 3 79  80 80  81 Mặt khác ta có: k  k 1       k 1  k 1  k  Suy A  B       A  B suy A  A  B 8  A  b) Để ý rằng: k    k  k 1  k   k 1  k  81  80  81  8 Do 1   k 1 2k k 1 với k (k  1) k   k   k nguyên dương  Suy VT     c) Đặt P  Ta có:         2     2 3   n    2   n 1     n 1  1 1      n n  n 1  2   với số tự nhiên n 2 n n n  n Từ suy 2   2 n 1  n n n  n n  2 n  n n  n 1  n    n 1   n  n  hay         T      1       n   Do đó:     2  n 1   n   T   n   Hay n   T  n   y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y 0 Bài tập a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn 3 a  b  b  c  c  a  Chứng minh rằng: a  b  c  2 a) Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  y  z  z  x 3 (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có a  b2  b  c  c  a  a 1  b2 b2 1  c c 1  a    2 2 Đẳng thức xảy a   b  a 1  b    2 2 b   c  b 1  c  a  b  c  (đpcm)  c 1  a 2 c   a   b) Ta viết lại giả thiết thành: x  y  y  z  z  x 6 Áp dụng bất đẳng thức : 2ab a  b ta có: x  y  y  z  z  x x   y  y   z  z   x 6 Suy VT VP Dấu xảy khi:  x, y , z 0 x  1 y2  2    x  y 1  y  2 z   y  z 2    z   x  z  x 3  Bài tập 9) Cho A  x   x  y  z 3; x, y, z 0  2  x  y 1  x 1; y 0; z   2  y  z 2  z  x 3  x4 x  x x  với x  x  x  16 a) Rút gọn A Tìm x để A đạt giá trị nhỏ b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Lời giải: a) Điều kiện để biểu thức A xác định x   x A  x   x 2 x 2     x  4 x 4   x 4  x    x 2  x + Nếu  x  A x  x 22 x x    nên x   4x x 4  16 x x x   Do  x  nên  x    A  + Nếu x 8 A x  x   0 nên x 2 x  x  2x x 2x  2 x   2 16 8 x x x (Theo bất đẳng thức Cô si) Dấu xảy x   x  4  x 8 x Vậy GTNN A x 8 b) Xét  x  A 4  16 , ta thấy A  Z x 16  Z  x  ước số nguyên dương 16 Hay x x    1; 2; 4;8;16  x  5; 6;8;12; 20 đối chiếu điều kiện suy x 5 x 6  x m  2x A  x   m  + Xét x 8 ta có: , đặt ta có:  x  m 2 A  m2   m 2m  suy m   2; 4;8  x   8; 20;68 m Tóm lại để A nhận giá trị ngun x   5; 6;8; 20;68 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu Với x  , cho hai biểu thức A  2 x x  x 1  B  x x x x 1) Tính giá trị biểu thức A x 64 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tính x để A  B 10 Câu x 4 Tính giá trị biểu thức A x 2  x  x  16  2) Rút gọn biểu thức B  (với x 0, x 16 ) : x   x   x 4 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B  A  1 số nguyên 1) Cho biểu thức A  Câu Cho A  x 10 x   x  x  25 , với x 0, x 25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x 9 3) Tìm x để A  Câu Cho P  x x 3x    , với x 0, x 9 x 3 x  x 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P  3) Tìm giá trị lớn P Câu Thu gọn biểu thức sau: A 5 5   2  3 x     B     :  1  x 3   x x 3 x   x 3 x Câu Thu gọn biểu thức sau: 11  x  0  x  x 3 A    với x 0, x 9 x  x  x    B 21  2  3   6 Câu Rút gọn biểu thức P  2  3   15 15 x 2x   , với x  0, x 2 x 2 x x Câu 1 1     1 2 3 120  121 Cho A  B 1  1   35 Chứng minh B  A x3  y x y , x y Câu Cho biểu thức P  2 x  xy  y x  y 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị P x   y   Câu 10 Cho số thực dương a, b ; a b  a  b Chứng minh rằng:  a b   b b  2a a a a b b Câu 11 A   3a  ab 0 b a x  x  x  x  19 x  x   ; x  0, x 9 x x  x  12 x  x Câu 12 Cho biểu thức A  1 x   2 x 2 x 4 x 12  x 0, x 4  Rút gọn A tìm x để A  Câu 13 3 x x x   Tìm tất x 3 x x 3 x x 1 giá trị x để P  2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  P  : y  x đường thẳng 1) Cho biểu thức P   d  : y mx  ( m tham số) chứng minh với giá trị m , đường thẳng  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 2 Câu 14 Cho biểu thức C  a  a  16  a a 4 1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C a 9  Câu 15 x   x 3    :  x  2 x  x  x   x  10 x  Cho biểu thức A   x  0, x 4  1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 1) Tính giá trị biểu thức A  x 1 , x 9 x1  x 1  x  với x  x 1  x 2 x   x2 x 2) Cho biểu thức P  x 1 x b) Tìm giá trị x để P 2 x  a) Chứng minh P  Câu 17) Cho a       Chứng minh a  2a  0 13 Câu 18) Cho a   10    10  a  a  a  6a  Tính giá trị biểu thức: T  a  2a  12 Câu 19) Giả thiết x, y, z  xy  yz  zx a Chứng minh rằng: x  a  y   a  z   y  a  z  a  x a  x2 a  y2  a  x   a  y  2a z a  z2 Câu 20 Cho a    61  46  a) Chứng minh rằng: a  14a  0 b) Giả sử f  x  x  x  14 x  28 x  x  19 Tính f  a  Câu 21 Cho a  38 17  38  17 Giả sử có đa thức f  x   x  3x  1940  Câu 22 Cho biểu thức f  n   2016 Hãy tính f  a  2n   n  n  1 n  n 1 Tính tổng S  f  1  f    f  3   f  2016  Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1       n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có 1 1 65      3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44      44   2002 2001  2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) 14 Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1     1 2 1 3  2  n 1 n 1  n n n 1 Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có: 10 3n  3n  1  12 3n 3n  3 n  LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHUYÊN ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x 64 ta có A  B    64    64    x  x  x  x 1 x  x x  x   x x  2x x 2 1   x x x x 1 x 1 A 2 x 2 x x 1   :    B 2 x x 1 x  x   x  x    x  (do x  ) Với x  , ta có: Lời giải: 1) Với x 36 , ta có A  36  10   36  2) Với x 0, x 16 ta có:     x x  4 x 4 B    x  16 x  16      x   x  16  x  x 2    x  16  x  16   x  16  x  16  x 2 x 4 x  2 3) Biểu thức B  A  1     x  16  x 2  x  16 B  A  1 nguyên, x nguyên x  16 ước , mà U    1; 2 Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B  A  1 nguyên x   14;15;16;17 3) Lời giải: 15 A   x  x 5 x 10 x   x  x  25 x  x  10 x  x  25    x x x A    x 5       x  5  x  5 x   10 x  x  x  10 x  25  x  x 5  x 5  x Với x 9 ta có: x 5  A x 3 Vậy 3    35 4) Lời giải: x 1) P    x  2 x  x    x   3x  x 3   x 3 3   x  9  x 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 3  1  Pmax 1 x 0 (TM) 3) Với x 0, P  x 3 03 2) P   Lời giải: A  5 5   2  3  5 5    2  3     2  5   1  51  3    3 5 3 5 1   15    15  3   4 3     x     B     : 1   x  0 x 3  x x 3 x   x 3 x 16   x   x     : x 3  x x x 3  x 3     x 1  : x 3      x  3      x  x  3  x       x 1 x x x 1 Lời giải: Với x 0 x 9 ta có:   x  x 3 x 9  x 3  A    x 3 x x   x 9   21 B 42  6  4  62 2 21      3     15 15 2 15    15 15 60             15 15   7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: P x 2x  2 x    x  x   x   x  1 2 x x Lời giải: 1 1     1 2 3 120  121 Ta có: A   1  1  1   2 2  2    120  121  120  121 1 2 120  121     1 1 1       121  120   121 10 17 (1)  120  121  2   2 k k k k  k 1 1   Do B 1  35 Với k  * , ta có:  k 1  k          36  35   B     36  2     10 (2) Từ (1) (2) suy B  A  B2 Lời giải: x3  y x y xy  2 x  xy  y  x  y   x  y  x  y 1) P  2) Với x   2  y     Thay vào P ta được: P  2 3 3   3    3  32  3 10.Lời giải:  a  b Ta có:  Q a     b  a b   b b  2a a  a a b b  a  a a b b   3  b b  2a a a  b a  ab  b   a a  3a b  3b a  b b  2a a  a 3a  ab b a  b a  ab  b    a a  b a  ab  b b a b   a b  a  a 3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a    11 Lời giải: 18 b  0 (ĐPCM) 0 x  x  x  x  19   x x  x  12 x x  x  19    x x x 4 A     x x x4 x x x 4 x  x   x  x  19  x  x  15  x  x 4      x  3   x  4 x1 x 4 x1 x 12 Lời giải:   1 x x 2 x Với       4 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 x 1 A    x 4  x 16 (nhận) Vậy A  x 16 3 2 x A 13 Lời giải: 1) ĐKXĐ: x 3  P  x 3 x  x x x  x 3 x x 1   x 3 x   3  x   x x x 1   x x  x   3  x  3  x x 1 Vì P   x  x     x  3  x       x 3 0 x   0  x  1  x 4 Vậy x 3 x 4 2) Phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  là: x  mx  0 có  m   với m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  m x1 x2  2   x1  x2    m   x12  x22  x1 x2 m 2   x1  x2   x1 x2 m2   x1  x2     1 m 2   x1  x2  m  4 với m  x1  x2 2 với m (ĐPCM) 14 Lời giải: 19  a 0  a  16 0   1) Biểu thức C có nghĩa khi:  a     a  0  a a 2    Rút gọn C  a a  16 a a 4      a  4 a  a   a    a  4  a  4   a  4  a  4 a  a  4 a    a  4  a  4 a  a   a 0  a 16  a 0, a 16  a  16  a 0 2   a a 4 a 4 a 4  a a a 4  a  2) Giá trị C a 9   Ta có: a a 9  4     Vậy C  a  a 4    a    5  5 5 5  9   24 2 15 Lời giải: 1) Với x  0, x 4 biểu thức có nghĩa ta có:  x   3 A     :  x  2 x  x  x   x  10 x    2 x 1       x  x   x  2 x 1 x 3    x  2 x 1 A x  x 2 x 3  x 3 x  x  x Vậy với x  0, x 4 x 1 x x 1 2) Ta có A : x  0, x  0, x 4 nên A  x  0, x  0, x 4 x 1 x 5    , x  0, x 4   A  , kết hợp với A x 1 2 x 1 2   nhận giá trị số nguyên A  1, 2 20