Đs9 chuyên đề 1 biến đổi đại số (191 trang)

ĐS9-CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Căn thức bậc hai -Căn bậc hai số thực a số thực x cho x2  a -Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu a số thực khơng âm x mà bình phương a :  x  a     ax x  a  -Với hai số thực không âm a, b ta có: a  b  a  b -Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: + A A A2  A   A  A + A2B  A B  A B với A, B  0; A2 B  A B   A B với A  0; B  + A  B + M  A + A.B  B2 A.B với AB  0, B  B M A với A  0; (Đây gọi phép khử thức mẫu) A M A B  M  A B A B  với A, B  0, A  B (Đây gọi phép trục thức mẫu) Căn thức bậc ba, bậc n a Căn thức bậc Căn bậc số a kí hiệu -Cho a  R; a  x  x3  a số x cho x3  a  a  a 3 -Mỗi số thực a có bậc -Nếu a  a  1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên -Nếu a  a  -Nếu a  a  a 3a  với b  b 3b -3 - ab  a.3 b với a, b - a  b  a  b - A B  A3B A  B -3 AB2 với B  B - - A A  B B3 A B  A2 AB  B2 với A   B A B b Căn thức bậc n Cho số a  , n  , n  Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a -Trường hợp n số lẻ: n  2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: 2k 1 a  x  x2k1  a a  0, 2k 1 a  0, a  2k 1 a  0, a  2k 1 a0 -Trường hợp n số chẵn: n  2k, k  N Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k bậc 2k số học a) Căn bậc chẵn âm kí hiệu 2k a, 2k a  x  x  x2k  a; 2k a  x  x  x2k  a II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU Dạng 1: Thu gọn biểu thức đại số tính giá trị biểu thức Phƣơng pháp: 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên a (gọi Biến đổi biểu thức dấu dạng A2  A sau dựa vào dấu A để mở dấu giá trị tuyệt đối có Ngồi cần nắm đẳng thức quen thuộc:  ab  bc  ca  m  a2  m  a2  ab  bc  ca   a  b a  c ;  a  b  c  n  na  bc   a  b  c a  bc   a  b a  c ;  Với abc   1  1 1 Nếu a  b  c  a  b  c  3abc,        với abc  a b c  a b c 1    1; a  ab  b  bc  ca  c  a 3 Ví dụ Rút gọn biểu thức: a A  x  x  x  x  b B  4x  4x   4x  4x  x  c C     10  Lời giải:  1 a A  x  x  x   x   x    x  2  + Nếu x 1  x  + Nếu x 1   x  x x 1  x   A 2 x 1   x   A x  2 b B  4x  4x   4x  4x   B  4x  1 4x    4x  1 4x   3.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên  Hay B    4x     4x    + Nếu 4x     4x    x  + Nếu 4x     4x      4x    4x    4x    x   4x    4x   suy B  4x  1  x  4x     4x   suy B  2 c Để ý rằng:        Suy C     10(2  3)    28  10   9  5  Hay C    5(5  3)   25     Ví dụ Chứng minh: a Tính A     b B  1 84 84  1 số nguyên 9 (Trích đề Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) c Chứng minh rằng: x  a   a  8a  a  8a  với a  số tự nhiên  a 3 3   d Tính x  y biết x  x2  2019 y  y2  2019  2019    e Cho số thực x, y thỏa mãn: x  y2  y  x2   Tính giá trị x  y Lời giải: a Dễ thấy A  0, 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Cách 1: Ta có A2               16  2.4    Suy A    2 Cách 2: Ta viết lại A  6    6           2 b Áp dụng đẳng thức:  u  v  u3  v3  3uv(u  v) Ta có:  84 84  B3     1  9     1   84 84 84 84   1 84 1 84   1  3  1  9 9  9      84  84  84 Hay B3   33  1  1  B  B3   33  B  B3   B  B3  B        81   1   B  1 B  B   mà B  B    B     suy B  Vậy B số nguyên 2    c Áp dụng đẳng thức:  u  v  u3  v3  3uv  u  v   Ta có x3  2a  1 2a x  x3   2a  1 x  2a    x  1 x2  x  2a  (1) Xét đa thức bậc hai x2  x  2a với   1 8a  + Khi a  1 ta có x    8 1 + Khi a  , ta có   1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x  Vậy với a  8 5.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên a  8a  a  8a   a  số tự nhiên 3 3 Ta có: x  a  d Nhận xét:  x2  2019  x   x2  2019  x  x2  2019  x2  2019 x2  2019  x  y2  2019  y Kết hợp với giả thiết ta suy  y2  2019  y  x2  2019  x  x2  2019  x  y2  2019  y  x  y  Tổng quát ta có:  x2  a  x   y2  a  y  a x  y   e Nhân vế đẳng thức với: x  1 y2 x  x x  y2  x   y2  y   x2  y   y   1 x2 ta có:   x2   x   y2  y    x2   1 x 1 y   y  1 y  x  1  2xy  1  x 1  y    x   y  y  1 x     x  y   2xy  1  x 1  y    1  xy    x  y   1  x 1  y  2  y2  y2  x2   xy  x 1 x2  y 1 y2  2 2 2 2  Hay 1 xy   x2  y2  2 2 2 2  xy  1   x  y 2  1 xy   2 2  xy  1   x  y 2  xy  Dấu đẳng thức xảy  x  y    x  y hay x  y  Ví dụ a Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: P x4  4x3  x2  6x  12 x2  2x  12 b Cho x  1 Tính giá trị biểu thức B  x4  2x4  x3  3x2  1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015 – 2016) c Cho x  1  Tính giá trị biểu thức: P  x5  4x4  x3  x2  2x  2015 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm khơng nên Lời giải:   a Ta có: x    10    10      10   10     x2        1      1  x   Từ suy  x  1   x2  4x  x Ta biến đổi: P      2x  x2  2x  12 x2  2x  12  42  3.4  12   12 b Ta có x  1   x  1   x3  3x2  3x   Ta biến đổi biểu thức P thành: P  x2 ( x3  3x2  3x  3)  x( x3  3x2  3x  3)  ( x3  3x2  3x  3)  1945  1945 c Để ý rằng: x  22   ta nhân thêm vế với a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) Khi ta có:     3  1để tận dụng đẳng thức:   1 x   1  22    x   2x  x    x  1  x3  3x2  3x      Ta biến đổi: P  x3  4x4  x3  x2  2x  2015  x2  x  x3  3x2  3x   2016  2016 Ví dụ a Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a 1 b2  b 1 c2  c 1 a2  Chứng minh rằng: a2  b2  c2  b Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x 1 y2  y  z2  z  x2    c Tìm số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x y   y x   xy 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên  d Giả sử  x; y  số thực thỏa mãn x   x2  y    y2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x2  xy  y2 e Tìm GTLN, GTNN biểu thức: P  1 x  1 x  1 x2 Lời giải: a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có a 1 b2  b 1 c2  c 1 a2  a2  1 b2 b2  1 c2 c2  1 a2    2 2 a   b2 a2   b2    Đẳng thức xảy b   c2  b2  1 c2  a2  b2  c2  (đpcm)  c2   a2 c   a   b Ta viết lại giải thiết thành: 2x 1 y2  2y  z2  2z  x2  Áp dụng bất đẳng thức: 2ab  a2  b2 ta có: 2x 1 y2  2y  z2  2z  x2  x2  1 y2  y2   z2  z2   x2  Suy VT  VP Dấu đẳng thức xảy khi:  x2  y2  z2  3; x, y, z   x, y, z   x   y2    2  x  y  x  y    x  1; y  0; z  y  y  z   2 y  z   y2  z2    2 z   x   z  x  z  x  c a x  4, b  y  với a, b  phương trình cho trở thành:           a2  b  b2  a  a2  b2  Chi vế cho a2  b2  phương trình trở thành 2b 2a   Để ý a  b  khơng thỏa mãn phương trình b 4 a 4 Xét a, b  Theo bất đẳng thức AM  GM ta có: b2   4b2  4b.a2   4a Suy 8.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên VT  2a 2b   1, dấu đẳng thức xảy 4a 4b  a   a  b   x  y  Vậy  b    x  8, y  nghiệm phương trình d Đặt a  x   x2   a  x   x2  a2  2ax  x2   x2  x  Tương tự đặt b  y   y2   x  Theo giả thiết ta có: ab   x  y  x2  xy  y2  a2  2a b2  a b 3 Khi x  y     2b 2 2a 2b a a a a        Lại có 2a 2a a a 2 3 x  y    x  y    x  y   x2  xy  y2  Dấu đẳng thức xảy  4   x  y  Vậy x2  xy  y2   e Đặt a  1 x , b  1 x  a, b  0, a4  b4  Ta có: P  a  b  ab Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có    a b  a b 4 2  2  a  b  a  b  a4  b4  16  a  b  1    a  b     2  2  a  b Suy P  a  b     Dấu xảy a  b   x   Ta có: a4  b4  a4  2a2b2  b4  a2  b2   a2  b2  2, mà a2  b2  a2  2ab  b2   a  b với a, b  Suy a  b  a2  b2  Vậy P  a  b  ab  a  b  dấu xảy a  b  tức x  x  1 Ví dụ Cho x, y, z  xy  yz  zx  9.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên 1 y 1 z   y 1 z 1 x   z 1 x 1 y  a Tính giá trị biểu thức: P  x b Chứng minh rằng: 2  x2 2  y2 x y z    2 1 x 1 y 1 z2 1 z2 2xy 1 x 1 y 1 z  2 Lời giải: a Để ý rằng: 1 x2  x2  xy  yz  zx   x  y  x  z Tương tụ 1 y2;1 z2 ta có 1 y 1 z   x  y  x y  z z  x z  y  x y  z   x  x  y  x  z  x2 Suy P  x  y  z  y  z  x   z x  y   2 xy  yz  zx   b Tương tự câu a) Ta có:  x y z x y z      2 1 x 1 y 1 z  x  y  x  z  x  y  y  z  z  y  z  x  x  y  z  y  z  x   z x  y   x  y y  z z  x   2xy   x  y  y  z z  x  2xy 1 x 1 y 1 z  2 Ví dụ a Tìm x1, x2 , , xn thỏa mãn: b Cho f (n)  x12  12  x22  22   n xn2  n2  4n  4n2  2n   2n   x1  x22   xn2 với n nguyên dương Tính f (1)  f (2)   f (40) Lời giải: a Đẳng thức tương đương với:   x12  12   x22  22     xn2  n  n Hay x1  2, x2  2.22 , , xn  2.n2 10.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên  0     x  2  x   x 1 x  x  1 x  x  x 1 Ta có với điều kiện x  0, x   x  x   x   0 P x 2  x  x 1 x 2  1 2 x 1 x 1 Do P nguyên nên suy P   x 2   x  (loại) x  x 1 Vậy khơng có giá trị x để P nhận giá trị nguyên Chú ý 1:Có th làm theo cách sau P x 2  Px   P  1 x  P   , coi phương trình bậc hai x  x 1 x Nếu P    x   vơ lí, suy P  nên để tồn x phương trình có 4 2    P  1  4P  P     3P  P    P  P     P  1  3 Do P nguyên nên  P  1 +) Nếu  P  1   P   x  không thỏa mãn P  2  P   x  x   x  không thỏa mãn +) Nếu  P  1    P   Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Tính giá trị biểu thức : P  x  1 x 2018  x 2017  x  Vì x  nên x  x  3x x   32 2 3 1   2 32 2 1 nghiệm đa thức x2  x  Do P  x 2017  x  x  1  x   2x  x  1  x   2x 1   x 1 (Đề thi HSG TỈNH AN GIANG 2017-2018 ) 178.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên 1   2x  x 1 2x x  x  x     Cho biểu thức P    với x  0, x  1, x   :   x x  1 x x  1 x  10 Tính giá trị P x   3  3  Lời giải   2x  x 1 2x x  x  x     a) Ta có P    : x    x 1 x x  1 x   P      x     x         x  x  1 x  1   1  x  x  x  1    x 1  x   x  x 1 :  x 1 x   1 x 1 x     x 1   :  x    1 x x   x            x 1   x 1 : 1 x   1 x x  x 1         x  x        x  x 1 x ại có : x  10  3  3 5 1  1 Vậy P   4 10  1  (Đề thi HSG TỈNH BẾN TRE - 2017-2018 ) Rút gọn biểu thức: A   3  2  3   3  2  3 Lời giải Ta có: A   3  2  3   3  2  3 179.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên  3 A  4 62     1 5   3 4 62   1   4  1    1  4  1   1 2 5 5 1 1   2 5  (Đề thi HSG TỈNH BẮC NINH 2017-2018 ) Rút gọn biểu thức: P  x  x 1  x  x 1 x  2x 1  x  2x 1 , với x  Lời giải x x 1 P x x 1 2x 2x 1 2x 2x 1 x 1 2x 1 2 x 1 2x 1 x 1 2x 1 2.2 x 2 x (Đề thi HSG HẠ HÒA 2015 -2016 ) 2015 a) Cho f ( x)  ( x  12 x  31) Tính f (a) với a  16   16  x 1 Lời giải a  16   16  3  a  32  3 (16  5)(16  5).( 16   16  )  a3  32  3.(4).a  a3  32  12a  a3  12a  32   a3  12a  31   f (a)  12015  (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018)  a  2018 a  2018  a   Rút gọn biểu thức P    a   a  a  a 1 Lời giải a  Điều kiện:  a  180.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên 2x 1  a  2018 Khi đó: P     a 1    a  2018 a 1     a  1      a  2018 a  1  a  1 a 1 2.2017 a  a 1   a 1 a   a  a  2018  a 1  a 1 a a  2017  a 1 a (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018)  x  y  z , z x z  y  z z Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  y  z Chứng minh đẳng thức  y  x Ta có:  x 2  2 x   y x x y x y  z 2 Lời giải    x  y  z  y x  z y  z  x  y  z  x y  z y  z  x  z    x  z   x  z    y  z  y  z  y  z    y  z  x z 2 2 2  x x 2 y 2 z x 2 y 2 x z y z (Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2017-2018)  x  x 1  x  x 1 Rút gọn biểu thức: P  x  2x 1  x  2x 1 Lời giải , với x  x x 1 P x x 1 2x 2x 1 x 1 2x 2x 1 2x 1 2 x 1 x 1 2.2 x 2 x 2x 1 2x 1 (Đề thi HSG tỉnh Bến Tre 2017-2018) Rút gọn biểu thức: A   3  2  3   3 x 1  2  3 Lời Giải 181.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên 2x 1  3 A     5 4 62  1  1   3  4 62   4  1    1  4  1   1 1 1   2 5  5 (Đề thi HSG tỉnh Hải Dƣơng 2017-2018) x x x Rút gọn biểu thức A x 1 x :1 với x x x x 0; x Lời Giải A x x x x : Với x x x x x A x x x x x x x x 1 x x x x x x A A x 1 x : a  x x x x x A x 1 1 , ta có : x x 2 x Vậy với x  x  , ta có (Đề thi HSG tỉnh Hà Nam 2017 - 2018) Cho biểu thức M = : x x x x 1 x    a  2a - 3b  3b a - 3b - 2a a a  3ab a) Tìm điều kiện a b để M xác định rút gọn M 11 b) Tính giá trị M a =  , b = 10  Lời giải a) M  a     a  2a - 3b  3b a - 3b - 2a a a  3ab  a, b  a   ĐK xác định M:  a  b  M a     a  2a - 3b  3b a - 3b - 2a a a  3ab 182.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên  2a  3b ( 2a  3b )( 2a  3b ) 2a  3b   a  3ab a ( 2a  3b ) a b) Ta có M    3b 11 với a   , b  10  a 3b 30  22 (30  22 2)(3  1) 102  68    a 17 1 (1  2)(3  1) Vậy 3b  64  a 2    2 Từ M   (2  2)  2 (Đề thi HSG tỉnh Hải Dƣơng 2017 - 2018) x2  x x2  x Cho A  Rút gọn B   A  x  với  x   x  x 1 x  x 1 Lời giải Ta có     x x x 1 x x x 1 x2  x x2  x A    x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x   x 1  x   x 1  2x 1  B   A  x    4x  x    x 1  x   x   4  (Thi THPT Chuyên- TP HCM năm học 2010- 2011 ) 7+ + 7- Thu gọn biểu thức: A= - 3- 2 + 11 Giải: Xét M = 7+ + 7- + 11 Ta có M > M  14  44  11  , suy M = A= M- - 2 = -( -1)=1 (Thi HSG cấp TP Thanh Hóa năm học 2016- 2017)  x2 x  x 1   Với x  0, x  : x x  x  x  1  x   Cho biểu thức: P   183.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm khơng nên a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P  c) So sánh: P2 2P iải: a) Điều kiện: x  0, x   x2 x  P   :  x x 1 x  x 1 1 x   x   x ( x  1)  ( x  x  1)    x 1 x  x 1 :  x 1     x 1   x2 x   x  x  x 1   x  x 1   x 1 x  x 1 b) Với x  0, x  Ta có: P  2  x  x 1  x  x 1  x x 60  ( x  2)( x  3)  Vì x   nên x    x  (t/m) x = c) Vì x   x  x   Vậy P = 2 x  x 1 0 P2 0  P ( P  2)   P2  2P   P2  2P 184.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên   x 1 : x    2  x 1 x  x 1 Dấu “=” xảy P =  x = Vậy P2  2P (Thi chun tỉnh Hịa Bình năm học 2013- 2014) a/ Rút gọn biểu thức P  ( x 2 x 2 1 x  ).( ) x 1 x  x 1 b/ Tìm giá trị x nguyên để biểu thức M  x2  nhận giá trị nguyên x 1 Giải: a) ĐK: x  0, x   x 2 x   (1  x) P  2  ( x  1)( x  1) ( x  1)   2 x ( x  1)2 ( x  1)2  x  x ( x  1)2 ( x  1) b) Ta có M  x   x 1 M nhận giá trị nguyên  x  ước x    x   1  x    K …  x   2  x    x  1 (Thi chuyên Toán tỉnh Hịa Bình năm học 2015- 2016) 1) Tính giá trị biểu thức sau: 15 a) A     1 5 b) B  22 1  2 1 2) Rút gọn biểu thức: C a2  a a2  a   a 1 a  a 1 a  a 1 iải: a) A  15 4(3  5) 8(1  5) 15       3     4  1 5 185.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên b) B 22 1  2 1  (   1)  (   1)  1 1 1  1  c) ĐK a  a ( a )3  1 a ( a )3  1    a   a ( a  1)  a ( a  1)  a  a  a 1 a  a 1  a  a  a  a  a   ( a  1) (Đề thi HSG huyện Kim Thành 2019-2020) x  x x  x  x  1 P    1) Rút gọn biểu thức: x  x 1 x x 1  2) Cho x y hai số thỏa mãn: x  x   y   x  0; x  1  y   Hãy tính giá trị biểu thức M  x2017  y 2017 Lời giải x 1) P   x   x  x 1    x 2 x 1 x  x       x 1  x 1    2 x 1 x  x 1  x 1 x 1 x 1  x  x  x 1 x   x  x 1  2) Nhân vế x  x   y   y  y     x    x   x     y  y     x  x    5  y  y     x  x   x    x2  x  x2  2 2 1 với  x  y2   x2   x  ta được:  2 2  y  y    x  x2    2 Tương tự nhân vế (1) với y  y  ta được: x  x    y  y  Cộng vế với vế (2) (3) ta được: y  y   x  x2    x  x2   y  y   2x  y    x  y    x  y   x   y 2017 2017 0 Vậy M  x  y (Đề thi HSG trƣờng THCS Lƣơng Thế Vinh 2019-2020) 186.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên  3  x 9 x2 x   1    Cho biểu thức A    :  với x  0; x  x  x  x  x  x  x       125 125  3 9 Tính giá trị biểu thức x   3    27 27      Lời giải Ta có:  x 9 x2 x   1  A    :  x 1   x  x  x  x    x 1  =       x  1 x 3   x  x  2  :  x  x  3  x  1 x      x  1 x  1     x   x  1 x  1 3  x  1 x  1   x 3  x 3 =    x  1  x 1 x x 1 x x 1 x Có:  125 125  125 125 x   3 9 x  4 3    3 9  3 9   27 27  27 27   x3    x  x3  80x  384    x    x  4x  96   64 x  x      x  4(tm)  x    92  (vn)  x  4x  96  Thay x  ( tmđk) vào A, ta được: A   1  4 (Đề thi HSG Huyện Hà Trung 2008 - 2009) Rút gọn biểu thức sau a b  15   15   13  48 6 sin x cos x  c 11  cot gx  tgx Lời giải a  15   15 = (  3)  (  ) 187.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên     2 = b = =   (2  1) 2   13  48 = 6 2   1 = 6 2  (  1) = 6 2 (  1) = (  1) 6 2 3 42 6 2  1 = 6 2 2 6 = 42 6 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x    c 1= 1=1cos x sin x sin x  cos x sin x  cos x  cot gx  tgx 1 1 sin x cos x =1- (sin x  cos x)(sin x  cos x  sin x cos x) (sin x  cos x) = 1- (1-sinx.cosx)= sinx.cosx (Đề thi HSG Huyện Hà Trung 2008 - 2009) x2 x 1   A= x x 1 x  x 1 x 1 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị biểu thức A x=33-8 c Chứng minh A< Lời giải ĐKXĐ: x  0; x  A= = x2 x x 1  x 1 x  x 1 x x ( x  1)( x  x  1)   x 1 = x   x 1 x  x 1 ( x  1)( x  x  1) x ( x  1) ( x  1)( x  x  1)  x x  x 1 A x=33-8   Ta cã x=33-8 =   x  1 188.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên  A= 1 33     d Chứng minh A< Xét A-  1 33   ( x  1) x x  x  x   ( x  x  1)    = = x  x 1 3( x  x  1) 3( x  x  1) 3( x  x  1) Do x  0; x    ( x  1)  3( x  x  1)    ( x  1) 3( x  x  1) 0 1  A-   A< 3 ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐẮC LẮC NĂM HỌC 2016-2017   a  1 a    a  1 a     Câu 1: Cho số thực a mà a  Rút gọn biểu thức A    a  a  a  a  a   Lời giải   a  1 a    a  1 a    A     a  a  a  a  a       a      a      a 1    a 1 1   a   a        3    a 1  a 1  a 1  a 1 1   a 1 1 a 1 a 1 1    a 1 1    a  a   a  a   (do a   a   0; a    0) a (2 i mĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HƢNG YÊN NĂM HỌC 2016-2017 1 1 7 ;b  Cho a  Tính a  b 2 Lời giải 1 2 Ta có : a  b  ; ab  ; a  b   a  b   2ab    2 7 3 4 3 Lại có a  b   a  b  a  b   a b  a  b  189.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên   a  b   3ab(a  b)   a  b   2a 2b   a 3b3 (a  b)       1 17 169   3   23           16  16 64 64     ĐỀ THI CHỌN HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NAM TRỰC x2  x x  x  x  1   Rút gọn biểu thức: P  , với x  0; x  x  x 1 x x 1 Cho x   , tính giá trị biểu thức A   x  x  100   x  x   2016 50 Lời giải x2  x x  x  x  1 Ta có P    x  x 1 x x 1  x  x  x 1  x    x 2 x 1   2  x 1 x     x 1  x   x 1  x 1 x 1  x 1 x  x 1 2 Ta có: x    x      x     x  x    x  x  1 Suy ra: A   1 100   1  2016  2024 50 ĐỀ THI HSG QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019 3 3  1) Rút gọn biểu thức: A   3  3 2) Cho A  x2  x x2  x  x  x 1 x  x 1 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B  A  x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Lời giải 1) Ta có A  3  3  3  3 190.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên 3 A=  3 = 2     1 3 2 3  =  3     1 3  2   3  2 62  3 3  3  2 62   3   3 = 2 A  x2  x x2  x  x  x 1 x  x 1 a) ĐKXĐ: x      x x3 1 x x3 1 x2  x x2  x A    x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x  x     x   x 1 x  x 1 x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x 1  x   x   x  x  x  x  2 x b) B  A  x – = 2 x  x   x  x     x    2 Dấu “=” xảy  x    x  ( thỏa mãn ) ĐỀ THI HSG VINH NĂM HỌC 2016-2017 x3  x  x   Tính giá trị biểu thức: P  Ta có x    1     x    x  2x  x  Lời giải 1  1   Suy x  x   x3   x  1 hay x3  3x2  3x  Do P 3x  3x   x  x   3x  3x   x  x   x  1    x  2  x 1  x2   x2  8x   x2  4x   x  1  x    x2 x2 (vì x     2) Vậy P  x    191.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên 192.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên