Đs9 chủ đề 1 biểu thức đại số và các vấn đề liên quan ( 3 buổi )

Toán Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199 ĐS9-CHỦ ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN (3 BUỔI ) CẦN NHỚ Điều kiện xác định A có nghĩa Û A ³ Cơng thức ïì A A ³ A2 = A = ïí ïïỵ - A A < Khai phương tích Nếu A1 ; A2 ; A3 ; ; An ³ A1 A2 A3 An = A1 A2 A3 An Khai phương thương A A = B B Nếu A ³ 0; B > Đưa thừa số ngồi dấu A B = A B ( B ³ 0) Khử mẫu biểu thức lấy A = B B AB với A ³ 0; B ¹ B Đưa thừa số vào dấu  A B = A2 B với A ³ 0; B ³  A B =- A2 B với A < 0; B ³ Trục thức mẫu  A A B = ( B > 0) B B  A B C A = B ³ 0; B ¹ C ) ( B- C B ±C  A B C A = ( B ³ 0;C ³ 0; B ¹ C ) B- C B± C ( ) ( ) Khi biến đổi biểu thức đại số ta thường sử dụng đẳng thức đáng nhớ: ( A + B ) = A2 + AB + B 2 ( A - B) = A2 - AB + B A2 - B = ( A - B ) ( A + B ) ( A + B ) = A2 + A2 B + AB + B3 ( A - B) = A3 - A2 B + AB - B 3 SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022 Toán Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199 A3 + B = ( A + B ) ( A2 - AB + B ) A3 - B = ( A - B ) ( A2 + AB + B ) A CÁC DẠNG BÀI TOÁN Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số Phương pháp giải Đối với biểu thức số: Ta cần nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán:  Vận dụng phép biến đổi cách hợp lí thành thạo  Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc hai đưa đẳng thức Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích  + Sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân, chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu ,… Đối với biểu thức chứa chữ: Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác khơng, … tóan chưa cho) Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép biến đổi thức)  Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lí để làm xuất nhân tử chung  Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác khơng Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để kết luận Bài tập mẫu Ví dụ 1: Khơng sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức: A = 3+ 5 + +2 - 3+ Lời giải Ta có: A = = 3+ 5 + +2 - 3+ ( + 5)( ( + 2)( = - 1+ = 4- )+ 2) ( 5- 5- ( ) +1 )( 5- - ) ( 3- +1 ( 3- )( ) 3+ ) 20 - 5 Vậy A = - 2x  x  Tính giá trị A x 4  x SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022 Ví dụ 2: Cho biểu thức A  Tốn Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199 Hướng dẫn     2x  x  x  2 x Với x 0, x 4 ta có: A  x  x    x x   3 Khi x 4       2 x  2 x 1 x    3.1  12  3    x  x  x x 1 x   , thay vào A ta được: A 2 x  2     2     2  Vậy x 4  A 2  Ta thấy x 4  rút gọn cách đưa bình phương hiệu Do vậy, ta cần rút gọn x trước thay vào biểu thức A Ví dụ 3: Cho biểu thức B  2 x 2 x  , điều kiện x 0, x 1 x 1 x1 a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B x  17  12 Hướng dẫn a) Với x 0, x 1 ta có: B 2 x  x 1  Vậy B    2 x x  1  x  1  x1   x  x  1   x 1 x    x x 2 x  2 x x x với x 0, x 1 x b) Ta có: x  17  12   2.3.2    32  3  2 (thỏa mãn điều kiện x 0, x 1 ) x   2   2.1   Thay x   vào B ta được: B    1   1  1 32   1 1 1   Vậy x  17  12 B 1 Ví dụ 4: Cho biểu thức: SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022 Toán Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199  x 1   1 x x  x B    x  với x 0 x 1    x x  x  x 1    x  a) Rút gọn B b) Tìm x để B 5 Hướng dẫn a) Rút gọn B Với x 0 x 1  x 1   1 x x x B       x x  x  x 1    x B B   x   x  x 1    x    x x  x 1   1 x x  x  x 1    x 1     x     x  x  x 1   x1  x   B x1 Vậy với x 0 x 1 B  x  b) Tìm x để B 5 B 5  x  5  x 6  x 36 (Thỏa mãn x 0 x 1 ) Vậy x 36 B 5 Ví dụ 5:  x 1  Cho biểu thức A  x   x 3  x  ; với  x 1  x   x  a) Tính giá trị biểu thức A x 4 b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để A  Hướng dẫn a) Tính giá trị biểu thức A x 4 Thay x 4 vào biểu thức A , ta được:  1 A    41     1   5 3           4 4   5     5  b) Rút gọn biểu thức A SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022 Toán Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199   x  1  x  3  x  x 5  x  1  x  2 x  x   x  x   x  1  x  1 x 1    x 5 x 2  x  1  x   A   x 1 x 2  c) Tìm x để A  Để A   x 1  x 2  x  4 x   x 3  x 9 (thỏa mãn) Vậy x 9 x2 y2 x2 y Ví dụ 6:Rút gọn biểu thức: P = ( x + y ) ( 1- y ) ( x + y ) ( + x) ( + x) ( 1- y ) Lời giải Điều kiện xác định: x ¹ - 1; y ¹ 1; x ¹ - y x ( + x) - y ( 1- y ) - x y ( x + y ) Ta có: P = ( x + y ) ( 1- y ) ( + x ) x + x3 - y + y - x y ( x + y ) = ( x + y ) ( 1- y ) ( + x ) ( x + y ) ( x - y + x - xy + y - x y ) = ( x + y ) ( 1- y ) ( + x ) = ( + x ) ( x - y + y ( 1- x ) ) ( 1- y ) ( + x ) = x - y2 x - y + y2 = x ( + y ) - y = xy + x - y 1- y Vậy P = xy + x - y æa + a - b a - a - b ö a - a 2b ữ ỗ ữ ỗ P = : Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức: với a > b > ữ ỗ 2 2 ữ ỗ b ữ a a b a + a b è ø Lời giải Với a > b > ta có: ỉa + a - b a - a - b ö a - a 2b ữ ỗ ữ P =ỗ : ữ ỗ ữ 2 b2 ữ ỗ a + a2 - b2 ø èa - a - b SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022 Toán Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199 a+ ( = a - b2 (a+ = a - b2 - a + a - b2 a + a - b2 + a - = = ) - ( a2 a2 - b2 a2 - ( a2 - b2 ) ) b2 a2 ( a - b2 ) )( b2 a - b2 ) b2 a2 ( a2 - b2 ) a - b 2a a a - b2 a a Do P = a > P = - a < Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức: + ax 1- bx 2a - b với x = < a < b < 2a 1- ax + bx a b Lời giải Ta có: + ax = Suy ra: b + 2a - b b,1- ax = b 2a - b b + ax b + 2a - b = 1- ax b - 2a - b Tương tự ta được: Từ đó, Q = a - b ( 2a - b ) 1- bx = + bx a + b ( 2a - b ) b + 2a - b a - b ( 2a - b ) b - 2a - b a + b ( 2a - b ) Do < a < b < 2a nên b + 2a - b >0 b - 2a - b æ b + 2a - b ÷ a - b ( 2a - b ) ữ ỗ Do vy Q = ỗ ữ ỗ ỗ ố b - 2a - b ữ ø a + b ( 2a - b ) Thu gọn ta Q = Vậy Q = Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức biết điều kiện cho trước Phương pháp giải Sử dụng điều kiện cho trước để biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái biến đổi hai vế biểu thức trung gian Bài tập mẫu SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022 Toán Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199 x x 1   x  x x x Ví dụ 1: Chứng minh với x  x 1 Hướng dẫn Với x  x 1 ta có: x x    x  x x x1 VT   x x   x1    x1 x  x  x 1  x1 Vậy với với x  x 1   x1  x x1 x   x1 x 1 x x x 1   x  x x x  1  a 1  Ví dụ : Cho biểu thức: A  : a   a  a 1  a a ( với a >0; a 1 ).Chứng minh rằng: a1 a A Hướng dẫn Với a  0; a 1 ta biến đổi biểu thức A sau:  1  a 1 A   : a   a  a 1  a a  1 a   a ( a  1)   a 1 a   a1  a  a 1  a 1    a1 a 1 a1 a Vậy A  a1 a  x 1   x  4  Ví dụ 3: Cho biểu thức P    x    (với x  x 4 ) x   x  x 4  Chúng minh P  x  Hướng dẫn Với x  x 4 ta có: SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022 Toán Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199  x 1   x  4 P     x    x   x  x 4        x 1 x 2 x      x  4     x1  x  4 x   x  x x x  x  x 3 x x    x x x x2 x  x 2 x x    x 3 x  x 3 Vậy P  x  với x  0, x 4    a 5  Ví dụ 4: Cho biểu thức P   a  a a  a  a        a 1 a   1 với a  0, a 1   a) Rút gọn P   b) Đặt Q  a  a  P Chứng minh Q  Hướng dẫn a) Với a  0, a 1 ta có:  P   a a     a1  a  1 a    a  1   a 5    a1  a 1   a 1 a1  Vì     a1 a  a a 1 a  1 a a 4  a  1   a1   a1 a  a 4 a  a a a1  a a a 1 P  a     b) Ta có: Q  a  Xét Q       a 5   ( a  a 1)  a    a a1     a   a  1 a    a a 1 a a 1  a a a  a 1   a   a1 a a  0, a  0, a 1 nên Q    Q  Vậy Q  với a  0, a 1  x x  x x 1  x  x 1  Ví dụ 5: Cho biểu thức A  : x x  x   x x a) Rút gọn biểu thức A SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022    a  a 1  a  Toán Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199 b) Tìm x để A  A c) Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên Hướng dẫn a) Điều kiện: x  0, x 1  x x  x x 1  x  x 1 A   : x x  x   x x        x   x  x  x 1  x1  x  x 1  :  x 1  x 1 x       x1  x1  x 1  x  x 1  x  x  x 1 x 1  x x1 x1 Vậy A    x 1 x1 với x  0, x 1 b) A  A  A     0 x 1 x1 x  1  x 1 Kết hợp với điều kiện ta  x  A  A c) Ta có: A    2  x 1 x1 Để A nguyên x1 x  1 U   hay x  1   1;1;  2; 2;  4; 4 Ta có bảng sau: x1 x x,( 4 2 1 3 1 loại loại (loại) 25 (thỏa mãn) (thỏa mãn) (thỏa mãn) x  0, x 1 ) Vậy x   4;9; 25 Nhận xét Muốn tìm giá trị nguyên x để biểu thức A  P  x Q x mẫu) đạt giá trị nguyên ta cần phân tích A  A1  x   (trong bậc tử lớn bậc m với m số Q x SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022 Toán Học Sơ Đồ - ĐT, Zalo 0945943199 m Khi A nguyên  nguyên  Q  x  ước m Q x  x   x 3   Ví dụ 6: Cho biểu thức A   :  x  2 x 1 x  x   x  10 x  x  0, x 4  a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Hướng dẫn a) Với x  0, x 4 biểu thức có nghĩa ta có:  x   3 A     :  x  2 x  x  x   x  10 x    2 x 1      x  x   x  2 x 1 với x  0, x 4 A  b) Ta có A : x 3 x  x    x 3   x  2 x 1 x  x 2 x 3  x Vậy x 1 x x 1 x  0, x  0, x 4 nên A  x  0, x  0, x 4 x 1 x 5    , x  0, x 4   A  , kết hợp với A nhận giá trị số x 1 2 x 1 2   nguyên A  1, 2 A 1  x 2 x   1 x   x  thỏa mãn điều kiện A 2  x 4 x   Vậy với x  x 2  x 4 không thỏa mãn điều kiện A nhận giá trị ngun Ví dụ 7: Cho biểu thức M  1 x  x  , x 1 N  x1 x x1 x x a) Tính giá trị biểu thức M x 9 b) Rút gọn biểu thức N c) Tìm giá trị x để biểu thức P M N có giá trị nguyên Lời giải a) Thay x 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức M ta có: SẢN PHẨM MỚI -70 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ 2021-2022