BIẾN ĐỔI CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ và cách giải bài tập

BIẾN ĐỔI CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ I Phương pháp giải  Một biểu thức phân thức biểu thị dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức gọi biểu thức hữu tỉ  Nhờ quy tắc phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức ta biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức  Điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác điều kiện để giá trị phân thức xác định II Một số ví dụ Ví dụ Rút gọn biểu thức: A x x 2 x x Giải Tìm cách giải Đối với biểu thức phức tạp, nhiều tầng lớp phân thức, nên biến đổi tử thức phân thức trước Sau biểu thức đơn giản hơn, rút gọn tiếp Trình bày lời giải Ta có: A x x 3 x x x 12 x 2 x x 2x x x x 1 12 23x 69 24 Ví dụ Cho biểu thức A x x4 x2 x x 4x x2 29x 78 : x7 6x6 x 3x2 12x 36 a) Rútt gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị nguyên x cho A có giá trị ngun Giải Tìm cách giải Những biểu thức có nhiều ngoặc, thực ngoặc trịn trước, sau thực đến ngoặc vuông Khi thực nên rút gọn biểu thức nhằm đưa phân thức đơn giản Trình bày lời giải a) Ta có x6 A x4 x4 x3 4x2 x x x 26 : x2 3x x x x6 2 x6 x x x x x2 x x6 x x 26 x x x x x x 26 x x x x 26 3x 18 2x x x 26 x x 2 x x x 26 b) Tập xác định x A Z 2A 3x 2x 1;2; 3; 6; 26 6x 12 2x 3x x 15 x 3 Z Suy trường hợp sau: x -1 -3 -5 15 -15 -2 -4 -6 -8 12 -18 x So sánh với tập xác định thử lại x a2 an Ví dụ Cho biểu thức M a 3an 2; 4;0; 8;12; 18 A Z a 2 4a a2 a a n N* a) Rút gọn M b) Với a Chứng minh rằng: M Giải a a a) Ta có: M n a a a a n a a a a n a a b) Ta có: M 4a 4a a 4a 4a a 12 4a a a aa a an a an a a (vì a ) an aa M 2a an an 2n mặt khác: a 0; an M Từ ta có điều phải chứng minh x y y x x2 y2 y2 x2 Ví dụ Rút gọn biểu thức P x x y y y x Giải x2 y2 xy x y xy xy 2 x y x y2 y2 x2 xy Ta có: P x2 x4 xy xy y2 x2 xy xy y2 x y x4 2 : xy x2 xy xy y2 x y 2 xy x xy xy y2 x y 2 xy x x2 x y : x2 y2 y4 x2 y2 xy x2 y2 y4 x2 y2 y x3 x3 y y3 x x2 y2 y3 x2 y2 y x xy xy y Ví dụ Giả sử x, y, z số thực khác không, thỏa mãn hệ đẳng thức: x x3 y z y3 y z3 z x z x y Hãy tính giá trị biểu thức: P x y z (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 2001 – 2002) Giải Tìm cách giải Bài tốn thuộc dạng tính giá trị biết điều kiện biến số Quan sát, nhận thấy tốn có hai điều kiện có ba biến số (số biến nhiều số điều kiện) Do điều kiện hai đơn giản, khơng phân tích tiếp Với điều kiện thứ nhất, biến đổi nhận thấy phân tích thành nhân tử được, tìm mối quan hệ hai ba biến Từ tìm cách giải sau Trình bày lời giải 1 y Từ đẳng thức: x z y z x x z y Ta có: 2xyz x2z x2 y y2z z2 y z2 x x2 z xyz x y2z xyz y y z z x x2 y y2 x z2 x z2 y x3 y3 x y y z z x 0 Không tổng quát, giả sử x y Từ x3 y3 z3 z3 1 x Vậy P y z x y z 1 xy 0 1 III Bài tập vận dụng 1.1 Rút gọn A a a3 : 0,5a a 2 2a a2 1.2 Rút gọn biểu thức: a) A b b) B y a 2 c2 c a b c.b a 2bc b c yz z x 1.3 Cho A x y 3 x y z 3x : z a b c b c y xy x2 27 3x2 2 z yz x xz y z x a) Rút gọn A b) Tìm x để A 1.4 Cho biểu thức M x3 2x2 x x x3 2x2 3x x2 x2 Rút gọn biểu thức M tính giá trị x M 1.5 Cho biểu thức: A a) Rút gọn biểu thức A x x2 x x x x : x 10 x2 x 2 b) Tính giá trị A Biết x c) Tìm giá trị x để A d) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên 12x 45 x 7x 12 1.6 Cho Q x x 2x 3 x a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị Q x c) Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên 1.7 Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điêu kiện: x 0, y x y y a) Rút gọn biểu thức: A x xy b) Chứng minh rằng: A y2 : x y 1.9 Cho a x6 x3 y6 y3 y2 y2 x z xyz 1 y a ; x2 a x1 ; x3 x1 x2 ; x2 x x 1.10 Cho M x x6 x x6 x3 x3 a) Rút gọn M b) Cho x , tìm giá trị nhỏ M 1.11 Cho biểu thức A x3 x x3 x x x : Chứng tỏ biểu thức A dương với x 1.12 Cho P Và Q x2 y2 x2 2xy y2 x y x x2 x2 z6 z3 0;1; x1 Tìm a x2020 x2 1.8 Cho x, y, z thỏa mãn x y z Tính giá trị M x2 y 2xy y2 x : xy x y x y 2x x2 1 x x2 y Với giá trị x; y P – Q đạt giá trị nhỏ y 1.13 Rút gọn A y x2 25 ;z 10x 25 x x x y xy x z xy y x x z xy x2 25 15x 25 x x Hướng dẫn giải – đáp số 1.14 Ta có: A a2 2a a A a2 a3 : 0,5a a a a : a a2 aa a 2a a2 2a a aa a 2;0 aa a 2 2a a a 2a : a a 2 aa a 1.15 a) A a2 b c a b2 2bc b c a b c c2 b2 2bc c2 a b c b c a b c a b c a 2bc 2bc b c aa b c b) B y yz z x y z y2 x yz z2 x y 3yz yz x y z y z xyz y z x3 3xy 2x x x y z y3 x z3 x3 3xyz x y y z x2 y2 x x2 2y2 2z2 3x2 3y2 3z2 1.16 z2 a b c z y x y z x y z x x y z x2 y z y z 2 xy yz zx 2xy 2yz 2zx x y2 y z z2 2xy 2yz 2zx a) Ta có A x : 3x x2 27 3x2 x2 3x x2 : 3x x 3x x x x 0; x A x 0; x x x x A 3x 3x x x2 3x x2 3x : 3x x 3x x b) A x x 1.17 x2 x Ta có: M 2 x x x x x M 3x x x x x x x x x x x TXĐ x x x x 0;1; x x x2 3x x 3x x x 1(lo¹ i) (tháa m· n) 1.18 x a) Ta có: A A x x x x với x với x 2 x x x x x x 2 x x2 : x x x x b) x 2 x x A A x2 : 2 x (tháa m· n) (tháa m· n) A A 1,5 2,5 10 x2 x x x x2 : x x x 10 x2 x x 2 : x 2 10 x2 x c) A x x Vậy với x A d) A Z Vậy với x x x 3;1 3;1 A Z 1.19 a) TXĐ: x 3; x 12x 45 x x Ta có: Q 12x 45 x x x 2x x 2x x x x x 12x 45 x2 3x 5x 15 2x2 x x 3x2 15x 18 x x b) x x x x 8x 3x 12 x x 3 x x x x 3 (loại) Với x 15 Q 3x x c) Q Q Z x Mà Ư(6) x x Z x x Ư(6) 1;2;3;6; 1; 2; 3; 6 -1 -2 -3 -6 10 -2 Kết hợp với tập xác định, ta có: x 2;1;2;5;6;7;10 Q nhận giá trị nguyên 1.20 a) Do x y suy x2 y2 x y y2 x2 x y y suy ra: A x : xy y x y : xy y2 x x2 y y x2 x2 y x x x y y x y2 x2 : xy x y b) Ta có: A y yz zx x6 y6 x x x xy x3 z6 x3 y3z3 y3 z3 2x y x3 x y xy 3xyz x2 y y 2 y y xy x3y3 y x2 xy 4xy 1.21 Ta có: x y z xy y2 x2 x y x y : xy y x x y xy y x x y2 y x y2 : xy y y x y2 x3 x2 y : xy x y x2 y3 z3 z3x3 3xy.yz.zx 2x3y3 2y3z3 theo giả thiết x 2z3x3 2.3 Vậy M x1 x1 1.22 Ta có: x2 a a x4 Vậy xk x2020 xk x4 xk 2a 2a ; x5 ; x3 2a 2a a ; a a a 2a 3 3 Vậy a 1.23 a) Ta có: x x x x M x x x 3 x b) M 3x x3 x x3 x3 x3 3x x x x3 x x3 x3 x x3 x3 x3 x x 3x x x3 x3 x3 x 3x x x3 0, y dấu xảy Vậy giá trị nhỏ M x x 1.24 Ta có x2 x x A x x x2 x x x x x2 x2 x2 2 x2 x2 x : x2 x : x x2 x x x2 x x x2 x x2 2 Vì x2 A x2 với x 1.25 x Ta có: P P x y y y x x y y x y y x 2xy x Suy P Q x x y : xy x2 y2 2 x2 y2 xy x y x x P y x y 2x x x y y y x x y 2xy x y y x y x 2 x 1 x y 2xy y2 x y Vậy giá trị nhỏ P Q -3 x 1; y tùy ý khác 1;0; x x x 10x x 1.26 Ta có y x x x 5x 15x 25 x z Từ suy ra: xy x2 5x x y x y x xy y x x x x x x x 5 5 x x x x x x2 x x x2 5x x 10x x x : x x x2 5x x x x x x2 x2 5x 10x x 10x x x x2 x 5x x2 x 5x 2x x 10 x x y 2x2 x x : x x x xy Do A 2 10 x x 10 x x x x 20 x 20x 20 x x 2 x x x x 20 x x 2x2 x x x x 5 4x2 x 4x2 x 5 2 x x x 2 20 x x 40x 100 x x 2 x x x x 4x 2 20 x 4x x ... điều kiện có ba biến số (số biến nhiều số điều kiện) Do điều kiện hai đơn giản, khơng phân tích ti? ??p Với điều kiện thứ nhất, biến đổi nhận thấy phân tích thành nhân tử được, tìm mối quan hệ hai