bien doi va tinh gia tri bieu thuc mu logarit bieu dien logarit qua cac logarit co so khac nhau

NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- BIẾN ĐỔI & TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ - LƠGARIT BIỂU DIỄN LÔGARIT QUA CÁC LÔGARIT CƠ SỐ KHÁC NHAU PHƯƠNG PHÁP Muốn rút gọn biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng quy tắc tính logarit đổi số logarit Ngồi ra, ta cịn cần sử dụng công thức lũy thừa học a = 1, ( a ≠ ) log a = 0, ( < a ≠ 1) • • log a a = 1, ( < a ≠ 1) a) = a ( • • log a aα = α , ( < a ≠ 1) −α • ( a) = α a • log aα a = , ( < a ≠ 1) α α ( a ) = a α −β • ( ) β log a bα = α log a b, ( a, b > 0, a ≠ 1) ( a) • • α β α +β ( a ) ( b ) = ( a ) log a β b = log a b • β • α α α a ) ( b ) = ( a.b ) ( • α log a β bα = log a b α α β ( a) =  a  , b ≠ • ( )  ÷ α log a b + log a c = log a ( bc ) , ( b, c > 0, a ≠ 1) ( b)  b  • • α α b a) β = β ( a) , β ∈ ¥* ( log a b − log a c = log a  ÷, ( b, c > 0, a ≠ 1) • c • αβ α β a ) = ( a) ( • log a b = log b a , ( a, b > 0, a ≠ 1) α • a ) = b ⇒ α = log a b ( • ( Câu ) log3 = 27, b log7 11 = 49, c log11 25 = 11 Giá trị Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a 2 log32 + b log7 11 + c log11 25 biểu thức T = a A 467 B 469 C 468 D 465 Lời giải Chọn B Có ( T = a log3 ) log3 ( + b log7 11 ) log 11 + ( c log11 25 ) log11 25 = ( 27 ) log3 log 11 + ( 11 ) log11 25   27 log3 = 33 log3 = 3log3 = 73 = 343 ( ) ( )  log 11 log 11 = ( 72 ) = log7 11 = 112 = 121 ( 49 )  log11 25 1 log11 25   12  log11 25 =  11 ÷ = 11 = 25 = 25 =  11 log a b   = b , ta  Áp dụng a Vậy T = 343 + 121 + = 469 c c T= + a b c a , b , c a b Cho số thực khác thỏa mãn = 25 = 10 Tính 1 T= T= 10 A B C T = D T = ( ) ( ( Câu + ( 49 ) CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 ) ) ( ) Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC Lời giải Chọn C  a = log t  = 25 = 10 = t ⇒  b = log 25 t c = log t 10  Giả sử Do a, b, c số thực khác nên t > 0, t ≠ c c log10 t log10 t log t log t 25 T= + = + = + = log10 + log10 25 a b log t log t log 10 log 10 25 t t Ta có a b c = log10 ( 4.25 ) = log10 100 = Câu Cho số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời với số log a x, log a y, log a z thực dương a ≠ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị 3x y 2020 z P= + + y z x biểu thức A 2029 B 2030 C 2031 Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có 2  xz = y  xz = y  xz = y ⇔ ⇔ ⇒ x = y = z >    3 4 log x z = log y xz = y  log a x + log a z = log a y a   a x y 2020 z ⇒P= + + = + + 2020 = 2030 y z x Cho x = log , y = log 337 Từ tính giá trị biểu ( Câu D 2033 ) thức 2021 − ln − ln − ln − − ln 2022 P= ln1348 theo x, y 1+ x + y 1+ x + y x+ y 1+ x + y P= P= P= P=− 2+ y 2y 2y 2+ y A B C D Lời giải Chọn A 2021 −  ln + ln + ln + + ln 2021  − ln − ln − ln − − ln  ÷ 2022  2022 =  P= ln1348 ln1348 − ln 2022 = ln 2022 = log 2022 = log ( 2.3.337 ) = log 2 + log + log 337 = + x + y = ln1348 ln1348 log 1348 log ( 22.337 ) log 22 + log 337 2+ y Câu 2 Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn: log b ≠ −1011 log a + log b = log a.log b Giá 3033 + log a + log b L= 2021 + log ( a + 9b ) trị biểu thức 3 L=− L= L= A B L = C D Lời giải Chọn D Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- 2 Ta có log a + log b = log a.log b ⇔ log a + log b − log a.log b = ⇔ ( log a − log b ) = ⇔ log a = log b ⇔ a = b Vậy Câu 3033 + log a + log b 3033 + log b + log b 3033 + 3log b ( 1011 + log b ) L= = = = = 2021 + log ( a + 9b ) 2021 + log ( b + 9b ) 2022 + log b ( 1011 + log b ) Cho x, y, m ba số thực dương khác x > y thỏa mãn P= Khi biểu thức 25 P= A log m x + 3y 1 = + log x m log y m x + xy + y ( x + y)2 có giá trị bằng: 25 59 P= P= 100 50 B C D P= 59 Lời giải Chọn C log m Ta có: x + 3y 1 x + 3y = + log x m log y m ⇔ log m = log m x + log m y ⇔ x + y = xy ⇔ ( x + y ) = 16 xy ⇔ x − 10 xy + y = ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = ⇔ x = y ( x > y ) P= Như vậy: Câu x + xy + y 81 y + 36 y + y 118 y 59 = = = ( x + y)2 (9 y + y ) 100 y 50 + log a = + log b = log ( a + b ) Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn Tính giá trị 1 + a b A B 108 C 216 D 324 Lời giải Chọn B x y log a = x log b = y Đặt , Ta có a = , b = + x = + y ⇔ y = x − ; log ( a + b ) = + x ⇔ a + b = 62+ x = 36.6 x 1 a + b 36.6 36.6 108.6 x + = = x y = x x −1 = x x = 108 a.b 3 Khi a b log 27 = a log = b log = c log 35 Cho , , Tính theo a , b , c ( 3a + b ) c ( 3a + b ) c ( 3a + b ) c A + c B + b C + a Lời giải Chọn C log 27 = a ⇔ log = a ⇔ log = 3a Theo giả thiết ta có log = log ×log = 3ac log = log ×log = bc Ta lại có log 35 log + log 3ac + bc ( 3a + b ) c log 35 = = = = log log + log + c 1+ c 2 Vậy x Câu CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 x ( 3b + a ) c D 1+ c Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Câu MŨ - LOGARIT- VD_VDC A = log a (b ).log b ( bc ) − log a (c) Cho a, b, c > 0; a, b ≠ Tình A log a c B C log a b Lời giải Chọn C Ta có A = log a (b ).log b ( bc ) − log a (c) D log a bc = log a b log b ( bc ) − log a ( c ) = log b ( log b + log c ) − log ( c ) a b b a = log a b ( + log b c ) − log a c = log a b + log a b.log b c − log a c = log a b + log a c − log a c = log a b log x2 w = 15 Câu 10 Cho x , y z số thực lớn gọi w số thực dương cho , log z w = 20 log xyz w = 15 Tính log y w A −60 C 60 B 60 D − 60 Lời giải Chọn A ⇒ log x = w log x2 w = 15 ⇒ log x w = 30 30 Ta có ⇒ log w z = log z w = 20 20 Lại ⇔ = 15 log w ( xyz ) log xyz w = 15 1 1 ⇔ log w x + log w y + log w z = ⇔ + + log w y = ⇔ log w y = − 15 30 20 15 60 ⇔ log y w = −60 Câu 11 Cho log9 = a, log = b log = c Biết log 24 175 = mb + nac pc + q với m, n, p, q ∈ ¢ q số nguyên tố Tính A = mnpq A 24 B 42 C 12 D Lời giải Chọn A Ta có log = a ⇒ log = 2a log = c ⇒ log = 2b log = c log = log 3.log = 2ac Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- log 175 = log ( 7.5 ) log + log 52 log + log 2b + 4ac = log 24 175 = = = log ( 23.3) log 23 + log log 24 + log c+3 Khi m = n =   p =1  Suy q = Do A = m.n p.q = 2.4.1.3 = 24 Câu 12 Cho a = log b = log c = log11 15 , Biết log 66 120 = mc + nac + pabc a + c + ab + ac với m, n, p ∈ ¢ Tính T = m + n + p A T = B T = D T = C T = Lời giải Chọn A log = log 3.log = a.b Ta có log 11 = log 15.log15 11 = [ log (3.5) ] log 66 120 = Do 1 a + ab = (log + log 5) = log11 15 log11 15 c log 120 log ( 3.5 ) + log + log = = log 66 log ( 2.3.11) + log + log 11 + a + ab 3c + ac + abc = = a + ab a + c + ab + ac 1+ a + c Suy ra: Câu 13 Cho log 27 = a, log = b, log = c m =  n = p =1  Vậy T = , biểu diễn log 35 = ( xa + yb ) c m + nc giá trị biểu thức P = x + y − 3m + n bao nhiêu? A P = 2 B P = C P = Lời giải D P = Chọn B Ta có log 35 = log + log = 1 + ( 1) log + log log + log log 27 = a log = c Từ giả thiết: ; ⇒ log = 3a ⇒ log = log 3.log = 3ac log = log 3.log = bc , 1 ( 1) ⇔ log 35 = 1 + 1 3ac bc ( 3a + b ) c + = + + = 3ac 3a bc b + c + c 1+ c Do đó, ⇒ x = 3; y = 1; m = 1; n = 2 Vậy P = x + y − 3m + n = CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC 1 + = 2021 log b log a a , b a > b > a b Câu 14 Cho số thực thỏa mãn Tìm giá trị tham số thực m để giá trị biểu thức A m = 2017 B P= m= m m − = 2022 log ab b log ab a 2022 2017 C m = 2020 Lời giải D Đáp án khác Chọn B Do a > b > ⇒ log a b > , log b a > , log b a > log a b 1 + = 2021 ⇔ log a b + logb a = 2021 Ta có: log b a log a b P = 2022 ⇔ m ( log b a + 1) − m ( + log a b ) = 2022 ⇔ m ( log b a − log a b ) = 2022 ( *) Do đó, Mặt khác ( log b a − log a b ) Do vậy, = ( log b a + log a b ) − = 2021 − = 2017 ⇒ log b a − log a b = 2017 ( *) ⇔ m = 2022 2022 2017 = 2017 2017 a + log 2021 a + log 2021 a + log81 2021 Câu 15 Gọi a số thực cho số , , theo thứ tự lập thành q cấp số nhân Tìm cơng bội cấp số nhân A q= B q = C q = Lời giải D q= Chọn A Do số a + log3 2021; a + log9 2021; a + log81 2021 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên công bội q cấp số nhân là: − log3 2021 = a + log 2021 a + log81 2021 log81 2021 − log 2021 q= = = = − log 2021 a + log 2021 a + log 2021 log9 2021 − log 2021 Câu 16 Biết b số nguyên thỏa mãn  a −3  b( a + a ) + 3− a log  = log ( 4a + a + ) ÷− b b   Số giá trị thực a A B C D Lời giải Chọn D b ∈ ¢  a − >0  Điều kiện :  b Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TOÁN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT-  a −3  b( a + a ) + 3− a log  = log ( 4a + 4a + ) ÷− b  b  Từ giả thiết, ta có: b ( a + a2 ) + − a  a −3 ⇔ log  ÷ = log ( 4a + 4a + ) + b  b  a −3  a −3 2 ⇔ log  ÷ = log  ( a + a + )  − 2a + a − b  b   a −3 a −3 ⇔ log  = log ( a + a + ) + a + a + ÷+ b  b  a −3 ( a; b ) thỏa mãn đề b > Nếu tồn cặp y = f ( t ) = log t + t ( : +∞ ) ( 1) Xét hàm số , hàm số xác định đồng biến  a −3 ⇔ f ÷ = f ( a + a + 2) 1) ( b   Do a −3 ⇔ = a + a + ⇔ ba + ( b − 1) a + 2b + = b ba + ( b − 1) a + 2b + = ( ) Phương trình có nghiệm ∆ = ( b − 1) − 4b ( 2b + 3) ≥ −7 − 14 −7 + 14 ≤b≤ 7 b ∈ − 2; − { } Vì b ∈ ¢ , b ≠ nên 1  a ∈  −1; −  ( ) ta có:  2 Nếu b = −2 thay vào ⇔ 7b + 14b − ≤ ⇔ { } ( ) ta có: a ∈ −1 − 2; −1 + Nếu b = −1 thay vào Vậy có giá trị a thỏa mãn toán a, b Câu 17 Biết hai số thực dương ( 2021 a + b −1 + 2021a + 2b −1 ) ( 20213a + 4b −3 + 20211−a −b ) = 4.20212 a +3b − a3 + b3 2021 2022 T= 2021 A thỏa mãn đẳng thức Tìm giá trị biểu thức T= Chọn C B ( 2021 a + b −1 Từ giả thiết : T= 2021 T= C Lời giải 2021 D T= 2021 + 2021a + 2b −1 ) ( 20213a + 4b −3 + 20211− a −b ) = 4.20212a +3b − ⇔ 20214 a +5b −4 + 20214 a + 6b − + 2021b + = 4.20212 a +3b − ⇔ 20212 a + b −2 + 20212 a +3b −2 + 2021−2 b−2 a + + 2021−2 a −3b + = ( 1) Áp dụng bất đẳng thức (AM_GM) ta có: 20212 a + b−2 + 2021−2b− a + ≥ 20212 a + 2b− 2.2021−2b −2 a + = 20210 = 2021−2 a −3b + + 20212 a +3b − ≥ 2021−2 a −3b + 2.20212 a +3b − = 2 a + 2b− + 20212 a +3b− + 2021−2b− a + 2021−2 a −3b ≥ Suy 2021 CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Đẳng thức MŨ - LOGARIT- VD_VDC ( 1) xảy khi: a + b −2 = 2021−2 b−2 a +2 2a + 2b − = −2b − 2a + a + b = 2021 ⇔ ⇔ ⇔ a = 1; b =  −2 a − 3b + 2 a + 3b − = 2021 −2a − 3b + = 2a + 3b − 2a + 3b = 2021 Vậy T= a + b3 = 2021 2021 log x + log y + log x + log y = 100 Câu 18 Cho số thực dương x , y thỏa mãn log x , log y , log x , log y số nguyên dương Khi kết xy 164 A 10 100 B 10 C 10 Lời giải 200 144 D 10 Chọn A a = log x  b = log y ⇔ Đặt  log x = a  log y = b ⇔  x = 10a  2 b2  y = 10 ⇒ xy = 10a +b  a2 a2 log x = log 10 =   a2 b2 log y = log 10b2 = b thỏa điều kiện số nguyên dương Ta có :  2 Vậy a b số chẵn dương Do a b số chẵn dương log x + log y + log x + log y = 100 Ta có : 2 a b ⇔ a + b + log 10 + log 10 = 100 a + b2 a+b+ = 100 ⇔ a + 2a + ( b + 2b − 200 ) = ⇔ (*) ( ∗) phương trình bậc 2, ẩn a tham số b Ta coi ( ∗) có ∆′ = 201 − b − 2b Do ( ∗) có nghiệm ⇔ ∆′ ≥ ⇔ ≤ b ≤ 202 − (Do b nguyên dương) Để b ∈ { 1; 2;3; ;13} Như b ∈ { 2; 4;6;8;10;12} Mà b số chẵn dương nên b =  b ∈ { 2; 4; 6;8;10;12} a Vì số chẵn , dương với , thay vào phương trình (*) ta có a = 10 b = 10  a = a Vậy xy = 10 Câu 19 Cho 32 x + +b2 y +1 A 288 Trang + 33 y + = 10164 số z +1 thực + 34 z + x +1 x, y , z thỏa mãn x + + y + + z + = 15 = 330 Giá trị x y.z B 864 C 1152 D 576 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Lời giải Chọn D x≥ Điều kiện Ta có: 152 = ( −1 −1 −1 ; y ≥ ;z ≥ ) 2 x + + y + + z + ≤ ( x + + y + + z + 1) = ( x + y + z + ) 2x + 3y + 4z ≥ 152 − = 72 Suy Mặt khác, từ giả thiết chứng minh trên, ta có 330 = 32 x + y +1 = 32 x + y +1 + y + z +1+ z + x +1 + 33 y + z +1 + 34 z + x +1 ≥ 32 x + 3 y +1 33 y + z +1 34 z + x +1 = 3 32 x +3 y + z +15 ≥ 3 372+15 = 330  2x +1 = 3y +1 = 4z +1  x = 12   x + y +1 y + z +1 z + x +1 =3 =3 ⇔ y = 3 2 x + y + z = 72 z =    Dấu “=” xảy Ta x y.z = 12.8.6 = 576 3 3z 2z Câu 20 Giả sử a , b số thực cho x + y = a.10 + b.10 với số thực dương x , y , 2 z thoả mãn log ( x + y ) = z log ( x + y ) = z + Giá trị a + b 29 31 31 25 − − A C D B Lời giải Chọn A xy = ( x + y ) − ( x + y )  x3 + y = ( x + y ) ( x + y ) − xy ( x + y )  2 Ta có: Từ giả thiết, ta có: z  x + y = 10 ⇒ x + y = 10 z.10 z +1 − ( 102 z − 10 z +1 ) 10 z  2 z +1  x + y = 10 3 3z 2z Vì x + y = a.10 + b.10 với số thực dương x , y , z nên 10 z.10 z +1 − 10 z − 10 z +1 ) 10 z = a.103z + b.10 2z ( , ∀z 1 ⇔ 102z +1 − 103z + 10 2z +1 = a.103z + b.102z , ∀z 2 1  ⇔  a + ÷.103z + ( b − 15 ) 10 2z = 0, ∀z 2  1   a + = a = − ⇔ ⇔ 2 29 b − 15 = b = 15 ⇒ a + b =  109  f ( x) = log3  x − + x − x + ÷ ÷   Tính Câu 21 Cho hàm số CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC   T= f ÷+  2021  A 4042 B 4040    2020  f ÷+ + f  ÷  2021   2021  C 3030 D 6060 Lời giải Chọn C  f (1 − x ) = log  − x − +  Ta có: ( 1− x) − ( 1− x ) +  109  109   = log x − x + − x − ÷   ÷÷  ÷  ÷      109  109   f ( x ) + f ( − x ) = log  x − + x − x + + log3  x − x + −  x − ÷÷ ÷ ÷   ÷     109  109    = log  x − + x − x + x − x + − x − ÷  ÷÷ ÷   ÷ = log3 27 =        2020  T= f ÷+ f  ÷+ + f  ÷  2021   2021   2021      2020    = f  ÷+ f  ÷÷+  f  2021      2021  = + + + = 3.1010 = 3030 Câu 22 Biết x+ x    ÷+  2021  = log 14 − ( y − )   2019   f ÷÷+ +   2021    y +   1010  f ÷+  2021   1011   f ÷÷  2021   x > Tính giá trị biểu thức P = x + y − xy + A B C Lời giải D Chọn B Ta có: Lại có: x+ x+ 1 ≥ x = ⇒ x ≥ x x ( 1) 14 − ( y − ) y + = 14 − ( y + 1) y + + y + Đặt t = y + ≥ f ( t ) = f ( 1) = 16 [ 0; +∞ ) , ta có t∈max [ 0;+∞ ) ⇒ 14 − ( y − ) y + ≤ 16 ⇒ log 14 − ( y − ) y +  ≤ ( 2) x = 1 x+ ⇔ ⇒P=2  x   = log 14 − ( y − ) y +  1) 2) ( ( y =  Từ ta có: Xét hàm số f ( t ) = −t + 3t + 14 Câu 23 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn n log a 2017 + ∑ i =1 A n = 2016 log a 2017 log 2i 2017 = log a 2017 − 2i a 22018 , với < a ≠ B n = 2017 C n = 2018 Lời giải D n = 2019 Chọn C Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- Gọi vế trái vế phải hệ thức đề cho A B 2n log 2017 = log a 2017 2n a 2n 22 n Ta có Do A = log a 2017 + 2n log 2017 + log 2017 + log 2017 + + log a 2017 a a a 22 24 26 22n  2n  = 1 + + + + + n ÷log a 2017   2 Ta có : Dãy số 1; 2n q= = ; ; ; ; 2n 2 2 2 lập thành cấp số nhân với công bội n +1 1 1−  ÷ n n +1 1− q ⇒ + + + + + n = u1 =   2 2 1− q 1− = 2− 2n Như vậy:   A =  − n ÷log a 2017   log a 2017 B = log a 2017 − = log a 2017 − 2018 log a 2017 2018 2 1 ⇒ − n = − 2018 ⇒ n = 2018 2 Từ A= Câu 24 Cho x > Biết biểu thức trị S = a + b x −x ( −3 ) a = b x −x a 1+ 1+ ( − ) , với b phân số tối giản Tính giá −1 + + −x B 2.3 x A 2.3 C Lời giải 2x D Chọn A Ta có 1+ A= Suy x −x 1 2x x −x − ) = + ( 32 x − + 3−2 x ) = + + 3−2 x ) = ( ( (3 +3 ) 4 4 = ( 3x + 3− x ) x −x −3 ) −1 + ( 3x + 3− x ) ( 3x + 3− x − = = x −x +3 +2 1 + ( 3x + 3− x ) + + ( 3x − 3− x ) −1 + + 32 x − 2.3x + = 2x = + 2.3x + (3 (3 x x − 1) + 1) 2 = 3x − 3x + x (Vì x > nên − > ) x Vậy S = a + b = 2.3 CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC Câu 25 Cho a, b số thực hàm số f ( x) = a log 2021 ( ) x + + x + b sin x.cos ( 2020x ) + P = f ( −2021 ln 2020 Biết ) A P = B P = f ( 2020ln 2021 ) = 12 C P = −2 Tính D P = 10 Lời giải Chọn B Xét hàm số Do g ( x ) = f ( x ) − = a log 2021 x2 + + x > x + x ≥ nên hàm số Ta có: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D ⇔ g ( − x ) = a log 2021 ( ( ) x + + x + b sin x.cos ( 2020 x ) g ( x) g ( − x ) = a log 2021 ) có tập xác định D = ¡ ( ( −x) ) + + ( − x ) + b sin ( − x ) cos ( 2020 ( − x ) ) x + − x − b sin x.cos ( 2020 x )   ⇔ g ( − x ) = a log 2021  ÷− b sin x.cos ( 2020 x )  x +1 + x  ⇔ g ( − x ) = − a log 2021 ⇔ g ( −x ) = −g ( x ) ( ) x + + x − b sin x.cos ( 2020 x ) g ( x) Vậy hàm số hàm số lẻ ln 2021 ln 2020 2020 = 2021 Lại có: ⇒ g ( 2020ln 2021 ) = − g ( −2021ln 2020 ) ⇔ f ( 2020ln 2021 ) − = −  f ( −2021ln 2020 ) −  ⇔ 12 − = − f ( −2021ln 2020 ) + ⇔ f ( −2021ln 2020 ) =   f ( x ) = log 1 − ÷  x  Cho biểu thức S có dạng Câu 26 Cho hàm số a a log  ÷ S = f ( ) + f ( 3) + + f ( 2020 )  b  với b phân Biết tổng S viết dạng ( b − a ) số tối giản a, b > Khi giá trị A 2020 B 2019 C 2018 D 4040 Lời giải Chọn B  x2 −1    f ( x ) = log 1 − ÷ = f ( x ) = log  ÷ = log ( x − 1) + log ( x + 1) − log x  x   x  Ta có: Suy ta có: Trang 12 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- f ( ) = log1 + log − log f ( 3) = log + log − log f ( ) = log + log − log f ( ) = log + log − log f ( 2019 ) = log 2018 + log 2020 − log 2019 f ( 2020 ) = log 2019 + log 2021 − log 2020  2021  S = log1 − log + log + log 2020 + log 2021 − log 2020 = log  ÷  4040  Suy a = 2021 ⇒ b − a = 4040 − 2021 = 2019  b = 4040  Như suy Câu 27 Cho f ( x) = e 1+ x2 + ( x +1) m Biết f ( 1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = e n m tự nhiên n tối giản Tính m − n 2 A m − n = −1 B m − n = C m − n = 2018 Lời giải với m , n số D m − n = −2018 Chọn A 2 x ( x + 1) + ( x + 1) + x ( x + x + 1) 1 1+ = = 2 x ( x + 1) x ( x + 1) x ( x + 1) f ( x) = e 1+ x2 Xét dãy số + ( uk ) : x ( x +1) +1 ( x +1) 2 =e x ( x +1) , ∀x > k ( k + 1) + 1 1 uk = = 1+ = 1+ − k ( k + 1) k ( k + 1) k k +1 , ( k ∈ ¥ *) 1 1 1 1 u1 = + − u2 = + − u3 = + − u2017 = + − 2, 3, , …, 2017 2018 Ta có f ( 1) f ( ) f ( 3) f ( 2017 ) = eu1 +u2 +u3 + +u2017 1 20182 − m u1 + u2 + u3 + + u2017 = 2017 + − = = 2018 2018 n Vậy m − n = −1 log11 2.log11 log11 ( n + 1) 22 n Câu 28 Cho dãy số với số tự nhiên n ≥ Số hạng nhỏ dãy số có giá trị m Hỏi có số hạng dãy số đạt giá trị m A B C D Lời giải Chọn B Xét ba số hạng liên tiếp sau đây: log11 2.log11 log11 ( n ) log11 2.log11 log11 ( n + 1) log11 2.log11 log11 ( n + ) un −1 = ; un = ; un +1 = ; 2n 2n 2 22n u Để số hạng n nhỏ un = CHUN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 13 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  log11 2.log11 log11 ( n ) log11 2.log11 log11 ( n + 1) ≤ u = ; un −1 = n 22 n 22 n  u = log11 2.log11 log11 ( n + 1) ≤ u = log11 2.log11 log11 ( n + ) ; n +1  n 22 n 22 n  log11 ( n + 1) ≤1  log11 ( n + 1) ≤ 22 ⇔ ⇔ ⇔ 114 − ≤ n ≤ 114 − 1 ≤ log11 ( n + ) log11 ( n + ) ≥  Suy có hai giá trị nguyên dương n thỏa mãn, ứng với hai số hạng dãy số đạt  n = 114 −  n = 114 − giá trị nhỏ nhất, tương ứng  Câu 29 Lần lượt gọi a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn Khi a − c = b − d A 80 B 93 C 50 Lời giải Chọn B 3   log a b = b = a  b = a ⇒ ⇒  5 c = d log d = c = d c  Ta có:  log a b = log c d = 4; D 97 a = k  b = a = k  b = k ⇒ ⇔ 20 c = d = l c = l b = a = m m = k ⇒  d = l + c = d5 = n n = l 20   m , n , k , l ∈ Z    Đặt với  a − c = k − l = (*)  (*) ⇔ ( k − l ) ( k + l ) = b − d = k − l (**) Suy  Từ m, n, k , l ∈ Z + ⇒ ( k − l ) , ( k + l ) ∈ Z Do  k − l > ; k − l2 < k + l2  2 k −l ≠ k +l Do k + l > nên suy  k =  k − l = k =   (*) ⇔ ( k − l ) ( k + l ) = ⇔  ⇔ ⇒  l =    k + l = l = l >   Suy phương trình 5 Từ suy (**) ⇒ b − d = k − l = − = 93 { } A = 2; 22 ; 23 ; ; 225 a , b Câu 30 Chọn hai số đôi khác tập hợp sau Tính xác log a b suất để số nguyên 31 37 11 A 300 B 60 C 300 D 100 Lời giải Chọn A Trang 14 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC Cách 1: MŨ - LOGARIT- A = { 2; 22 ; 23 ; ; 225 } Ta có: suy A có 25 phần tử log a b Do số nguyên nên suy b > a n ( Ω ) = 25.24 = 600 Như a có 25 cách chọn b có 24 cách chọn tức cách n m log ( ) n log n n a = n log b = log = = = ;log a b ∈ Z ⇒ ∈ Z ( ) m  a m n m log ( ) m log m b=2 Đặt  Suy Khi m = n có 24 cách chọn Khi m = n có 11 cách chọn Khi m = n có cách chọn Khi m = n có cách chọn Khi m = n có cách chọn Khi m = n có cách chọn Khi m = n có cách chọn Khi m = n có cách chọn Khi m = n có cách chọn Khi m = 10 n có cách chọn Khi m = 11 n có cách chọn Khi m = 12 n có cách chọn Như tổng biến cố thỏa mãn đề là: n ( A ) = 24 + 11 + + + + + + + + + + = 62 cách n ( A) 62 31 P= = = n ( Ω ) 25.24 300 Như xác suất cần tìm _ TOANMATH.com _ CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 15 ... ( ) x + + x + b sin x.cos ( 2020 x ) g ( x) g ( − x ) = a log 2021 ) có tập xác định D = ¡ ( ( −x) ) + + ( − x ) + b sin ( − x ) cos ( 2020 ( − x ) ) x + − x − b sin x.cos ( 2020 x )   ⇔ g... = c ⇒ log = 2b log = c log = log 3.log = 2ac Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT- log 175 = log ( 7.5 ) log + log 52 log + log 2b + 4ac = log 24 175 =... giải Chọn D b ∈ ¢  a − >0  Điều kiện :  b Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT VD_VDC MŨ - LOGARIT-  a −3  b( a + a ) + 3− a log  = log ( 4a + 4a + ) ÷− b  b  Từ giả