bien doi va tinh gia tri bieu thuc mu logarit bieu dien logarit qua cac logarit co so khac nhau

NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC BIẾN ĐỔI & TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ - LƠGARIT BIỂU DIỄN LÔGARIT QUA CÁC LÔGARIT CƠ SỐ KHÁC NHAU PHƯƠNG PHÁP Muốn rút gọn biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng quy tắc tính logarit đổi số logarit Ngồi ra, ta cịn cần sử dụng công thức lũy thừa học  a  1,  a    log a  0,   a  1  a  a  log a a  1,   a  1 a    log a a   ,   a  1 a   a   a      a   a  b    a  b   a  b  a  a   a  a  log a a        Câu ,   a  1    log a b   log a b,  a, b  0, a  1  a    log a  b  log a b    log a  b  log a b    a.b    a    , b  0 b  log a b  log a c  log a  bc  ,  b, c  0, a  1 b  log a b  log a c  log a   ,  b, c  0, a  1 c  log a b  ,  a, b  0, a  1 log b a    a  ,    *         b    log a b Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a log3  27, b log7 11  49, c log11 25  11 Giá trị biểu 2 thức T  a log3  blog7 11  c log11 25 A 467 B 469 C 468 Lời giải D 465 Chọn B  Có T  a log3  log3   blog7 11  log7 11   c log11 25  log11 25   27  log3   49  log7 11   11 log11 25   27 log3  33 log3  3log3  73  343      log 11 log 11  log7 11  112  121 Áp dụng a log a b  b , ta  49      log11 25 1 log11 25   12   11   11log11 25   25  25   11    Vậy T  343  121   469 c c Cho a , b, c số thực khác thỏa mãn a  25b  10c Tính T   a b 1 A T  B T  C T  D T  10 Lời giải Chọn C       Câu CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC a  log t  Giả sử  25  10  t   b  log 25 t Do a , b, c số thực khác nên t  0, t  c  log t 10  a Ta có T  b c c c log10 t log10 t log t log t 25       log10  log10 25 a b log t log 25 t log t 10 log t 10  log10  4.25   log10 100  Câu Cho số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời với số thực dương a  log a x, log a y, log a z theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức 3x y 2020 z   y z x A 2029 B 2030 P C 2031 D 2033 Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có  xz  y  log a x  log a z  log P Câu Cho a  xz  y  xz  y    x  y  z  4 y  xz  y log a  x.z   log a y 3x y 2020 z      2020  2030 y z x x  log , y  log 337 Từ tính giá trị biểu thức 2021  ln  ln  ln   ln 2022 theo x, y P ln1348 1 x  y 1 x  y x y 1 x  y A P  B P  C P  D P   2 y 2y 2y 2 y Lời giải Chọn A 2021   ln  ln  ln   ln 2021   ln  ln  ln   ln   2022  2022   P ln1348 ln1348  ln 2022  ln 2022  log 2022  log  2.3.337   log 2  log  log 337   x  y  ln1348 ln1348 log 1348 log  22.337  log 22  log 337 2 y Câu Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn: log b  1011 log a  4log b  log a.log b Giá 3033  log a  log b trị biểu thức L  2021  log  a  9b  A L   B L  C L  D L  Lời giải Chọn D Ta có log a  log b  log a.log b  log a  4log b  log a.log b    log a  log b    log a  log b  a  b Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC 3033  log a  log b 3033  log b2  log b 3033  3log b 1011  log b   Vậy L     2021  log  a  9b  2021  log  b  9b  2022  log b 1011  log b  Câu Cho x, y, m ba số thực dương khác x  y thỏa mãn log m Khi biểu thức P  A P  25 x  3y 1   log x m log y m x  xy  y có giá trị bằng: ( x  y )2 B P  25 100 C P  59 50 D P  59 Lời giải Chọn C Ta có: log m x  3y 1 x  3y    log m  log m x  log m y 2 log x m log y m  x  y  xy   x  y   16 xy  x  10 xy  y    x  y  x  y    x  y  x  y  Như vậy: P  Câu x  xy  y 81y  36 y  y 118 y 59    ( x  y )2 (9 y  y )2 100 y 50 Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn  log a   log b  log  a  b  Tính giá trị 1  a b A B 108 C 216 D 324 Lời giải Chọn B Đặt log a  x , log b  y Ta có a  x , b  y  x   y  y  x  ; log  a  b    x  a  b  62 x  36.6 x 1 a  b 36.6 x 36.6 x 108.6 x    x y  x x 1  x x  108 a b a.b 3 Cho log 27  a , log  b , log  c Tính log 35 theo a , b , c Khi Câu A  3a  b  c 1 c B  3a  b  c 1 b C  3a  b  c 1 a D  3b  a  c 1 c Lời giải Chọn C Theo giả thiết ta có log 27  a  log  a  log  3a Ta lại có log  log  log  3ac log  log  log3  bc Vậy log 35  Câu log 35 log  log 3ac  bc  3a  b  c    log log 2  log 1 c 1 c Cho a , b, c  0; a, b  Tình A  log a (b2 ).log b ( bc )  log a (c) A log a c B C log a b Lời giải Chọn C Ta có CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 D log a bc Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC A  log a (b2 ).log b ( bc )  log a (c)  2log a b log b  bc   log a  c   log a b  log b b  log b c   log a  c   log a b 1  log b c   log a c  log a b  log a b.log b c  log a c  log a b  log a c  log a c  log a b Câu 10 Cho x , y z số thực lớn gọi w số thực dương cho log x w  15 , log z w  20 log xyz w  15 Tính log y w A 60 B 60 C 60 D  60 Lời giải Chọn A Ta có log x2 w  15  log x w  30  log w x  log z w  20  log w z  30 20 Lại log xyz w  15  log w  xyz   15 1 1    log w y   log w y    log y w  60 15 30 20 15 60 mb  nac Câu 11 Cho log  a, log  b log  c Biết log 24 175  với m , n, p , q   q số pc  q  log w x  log w y  log w z  nguyên tố Tính A  mnpq A 24 B 42 C 12 D Lời giải Chọn A Ta có log  a  log  2a log  c  log  2b log  c log  log 3.log  2ac log 175 log  7.5  log  log 52 log  log 2b  4ac Khi log 24 175      log 24  log c3 log  23.3 log 2  log m  n   Suy  Do A  m.n p.q  2.4.1.3  24 p 1 q  Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC Câu 12 Cho a  log , b  log c  log11 15 Biết log 66 120  mc  nac  pabc với m, n, p   a  c  ab  ac Tính T  m  n  p A T  B T  D T  C T  Lời giải Chọn A Ta có log  log 3.log  a.b log 11  log 15.log15 11   log (3.5)  Do log 66 120  1 a  ab  (log  log 5)  log11 15 log11 15 c log 120 log  3.5  log  log   log 66 log  2.3.11  log  log 11  a  ab 3c  ac  abc   Suy ra: a  ab a  c  ab  ac 1 a  c m    n  Vậy T  p 1  Câu 13 Cho log 27  a, log3  b, log  c , biểu diễn log 35   xa  yb  c giá trị biểu thức m  nc P  x  y  3m  n bao nhiêu? A P  B P  C P  Lời giải D P  Chọn B 1  1 log  log log  log Ta có log 35  log  log  Từ giả thiết: log 27  a ; log  c  log  3a  log  log 3.log  3ac , log  log 3.log  bc Do đó, 1  log 35  1  3ac 3a  x  3; y  1; m  1; n   1  bc b  3ac bc  3a  b  c   1 c 1 c 1 c Vậy P  x  y  3m2  n  Câu 14 Cho số thực a , b thỏa mãn a  b  thực m để giá trị biểu thức P  A m  2017 1   2021 Tìm giá trị tham số log a b log b a m m   2022 log ab b log ab a B m  2022 2017 C m  2020 D Đáp án khác Lời giải Chọn B Do a  b   log a b  , log b a  , log b a  log a b CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Ta có: MŨ - LOGARIT- VD_VDC 1   2021  log a b  log b a  2021 log b a log a b Do đó, P  2022  m  log b a  1  m 1  log a b   2022  m  log b a  log a b   2022 * Mặt khác  log b a  log a b    log b a  log a b    2021   2017  log b a  log a b  2017 Do vậy, *  m  2022 2022 2017  2017 2017 Câu 15 Gọi a số thực cho số a  log 2021 , a  log 2021 , a  log 81 2021 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm cơng bội q cấp số nhân A q  B q  C q  D q  Lời giải Chọn A Do số a  log 2021; a  log 2021; a  log 81 2021 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên công bội q cấp số nhân là: Câu 16  log 2021 a  log 2021 a  log 81 2021 log 81 2021  log 2021  q    a  log 2021 a  log 2021 log 2021  log 2021  log 2021 2 Biết b số nguyên thỏa  a   ba  a    a log   log  4a  4a   Số giá trị thực a  b  b  mãn A C Lời giải B D Chọn D b    Điều kiện :  a   b   a   ba  a    a Từ giả thiết, ta có: log   log  4a  4a    b  b  b  a  a2    a  a 3  log   log a  a    2  b  b  a 3  a 3 2  log    log   a  a     2a  a  b  b   a 3 a 3  log   log  a  a    a  a   b b   a 3 Nếu tồn cặp  a; b  thỏa mãn đề 0 b Xét hàm số y  f  t   log t  t , hàm số xác định đồng biến  :   1 Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  a 3 Do 1  f    f  a  a  2 b   a 3   a  a   ba   b  1 a  2b   b Phương trình ba   b  1 a  2b    2 có nghiệm    b  1  4b  2b  3   7b  14b    7  14 7  14 b 7 Vì b  , b  nên b  2; 1 1  Nếu b  2 thay vào   ta có: a  1;   2    Nếu b  1 thay vào   ta có: a  1  2; 1  Vậy có giá trị a thỏa mãn toán Câu 17 Biết hai số a, b  2021 a  b 1 thực dương thỏa mãn đẳng thức  2021a  2b 1   20213a  4b 3  20211 a b   4.20212 a 3b  Tìm giá trị biểu thức a  b3 2021 2022 A T  2021 T B T  2021 C T  2021 D T  2021 Lời giải Chọn C Từ giả thiết :  2021a b 1  2021a  2b 1   20213a  4b   20211 a b   4.20212 a 3b   20214 a  5b   20214 a  6b   2021b   4.20212 a  3b   20212 a  b   20212 a  3b   20212 b  a   20212 a  3b   1 Áp dụng bất đẳng thức (AM_GM) ta có: 20212 a  2b  20212b  a   20212 a  2b  2.20212b  a   20210  20212 a 3b   20212 a 3b   20212 a 3b  2.20212 a 3b  Suy 20212 a  b   20212 a  3b   20212b  a  20212 a 3b  Đẳng thức 1 xảy khi: 20212 a  2b  20212b  a  2a  2b   2b  2a  a  b     a  1; b      a  3b   20212 a 3b  2021 2a  3b   2a  3b   2a  3b  Vậy T  a  b3  2021 2021 Câu 18 Cho số thực dương x , y thỏa mãn log x  log y  log x  log y  100 log x , log y , log x , log y số nguyên dương Khi kết xy A 10164 B 10100 C 10200 Lời giải D 10144 Chọn A CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC a  log x  x  10a log x  a 2 Đặt       xy  10 a b b2 log y  b b  log y  y  10  a2 a2 log x  log 10  a2 b2 Ta có :  thỏa điều kiện số nguyên dương 2 log y  log 10b2  b  Vậy a b số chẵn dương Do a b số chẵn dương log x  log y  log x  log y  100 Ta có : 2  a  b  log 10 a  log 10b  100 a  b2  100  a  2a   b  2b  200   (*) Ta coi   phương trình bậc 2, ẩn a tham số b  ab Do   có    201  b  2b Để   có nghiệm      b  202  (Do b nguyên dương) Như b  1; 2;3; ;13 Mà b số chẵn dương nên b  2; 4;6;8;10;12 b  Vì a số chẵn , dương với b  2; 4;6;8;10;12 , thay vào phương trình (*) ta có   a  10 b  10  a  Vậy xy  10a Câu 19 Cho b2 32 x  y 1  10164 số  33 y  z 1 x, y , z thực  34 z  A 288 x 1 thỏa x   y   z   15 mãn  330 Giá trị x y.z B 864 C 1152 Lời giải D 576 Chọn D Điều kiện x  Ta có: 152   1 1 1 ; y  ;z   2 x   y   z    x   y   z  1   x  y  z  3 152   72 Mặt khác, từ giả thiết chứng minh trên, ta có Suy x  y  z  330  32 x  y 1  32 x  y 1  y  z 1  z  x 1 Trang  33 y  z 1  34 z  x 1  32 x  3 y 1 33 y  z 1 34 z  x 1  3 32 x 3 y  z 15  3 37215  330 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  2x 1  y 1  4z 1  x  12   x  y 1 y  z 1 z  x 1 3 3  y  Dấu “=” xảy 3 2 x  y  z  72  z   Ta x y.z  12.8.6  576 Câu 20 Giả sử a , b số thực cho x3  y  a.103 z  b.102 z với số thực dương x , y , z thoả mãn log  x  y   z log  x  y   z  Giá trị a  b A 29 B  31 C 31 D  25 Lời giải Chọn A Ta có: x3  y   x  y   x  y   xy  x  y  xy  1  x  y    x2  y  2 Từ giả thiết, ta có: z  x  y  10  x3  y  10 z.10 z 1  102 z  10 z 1  10 z  2 z 1  x  y  10 Vì x3  y  a.103 z  b.102 z với số thực dương x , y , z nên 10 z  10 z 1  10 z  a.103z  b.102z , z  1  102z 1  103z  102z 1  a.103z  b.10 2z , z 2 1    a   103z   b  15  102z  0, z 2  10 z.10 z 1  1   29 a   a     2  ab  b  15  b  15  109  Câu 21 Cho hàm số f ( x)  log  x   x  x   Tính        2020  T f  f     f    2021   2021   2021  A 4042 C 3030 B 4040 D 6060 Lời giải Chọn C  Ta có: f (1  x)  log 1  x    1  x   1  x    109  109     x      log  x  x        109  109 f  x   f 1  x   log3  x   x  x    log  x  x         x       109   109     log  x   x  x    x      log 27    x  x        CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT   T f   2021       f   2021  MŨ - LOGARIT- VD_VDC    2020  f    f    2021   2021   2020    f     2021      f   2021    2019   f       2021     1010  f   2021   1011   f   2021        3.1010  3030 Câu 22 Biết x x  log 14   y   y   x  Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  A B C Lời giải D Chọn B Ta có: x  x 1  x   x  x x 1 Lại có: 14   y   y   14   y  1 y   y  Đặt t  y 1  Xét hàm số f  t   t  3t  14  0;   , ta có max f  t   f 1  16 t 0;    14   y   y   16  log 14   y   y    Từ 1   ta có: x x  2 x   log 14   y   y      P  y  Câu 23 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn n log a 2017   i 1 log a 2017 , với  a  log 2i 2017  log a 2017  2i a 22018 A n  2016 B n  2017 C n  2018 Lời giải D n  2019 Chọn C Gọi vế trái vế phải hệ thức đề cho A B Ta có 2n log 2017  log a 2017 2n a 22 n 22 n Do A  log a 2017  2n log 2017  log 2017  log 2017   log a 2017 a a a 22 24 26 22n  2n        n  2   log a 2017  2n Ta có : Dãy số 1; ; ; ; ; n lập thành cấp số nhân với công bội q   2 2 2 1 1   n n 1 1 q       n  u1    2 2 1 q 1 Như vậy: Trang 10 n 1  2 2n TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  A  2 n    log a 2017  log a 2017 B  log a 2017   log a 2017  2018 log a 2017 2018 2 1 Từ   n   2018  n  2018 2 Câu 24 Cho x  Biết biểu thức A  x x 3   a a phân số tối giản Tính giá  , với b b x x   3   1   trị S  a  b B 2.3 x A 2.3x D 32 x C Lời giải Chọn A Ta có  x x 1 2x x x      32 x   32 x     32 x     3   4 4   3x  3 x  x x 3  1   3x  3 x   3x  3 x    x  3 x  1   3x  3 x     3x  3 x  1   Suy A  32 x  2.3x   2x   2.3x  3 3 x x  1  1 2  3x  (Vì x  nên 3x   ) x 1 Vậy S  a  b  2.3 x Câu 25 Cho a , b số thực hàm số f ( x )  a log 2021   x   x  b sin x.cos  2020x   Biết f  2020 ln 2021   12 Tính P  f  2021ln 2020  A P  B P  C P  2 D P  10 Lời giải Chọn B Xét hàm số g  x   f  x    a log 2021 Do   x   x  b sin x.cos  2020 x  x   x  x  x  nên hàm số g  x  có tập xác định D   Ta có: x  D   x  D g   x   a log 2021  g   x   a log 2021     x      x   b sin   x  cos  2020   x   x   x  b sin x.cos  2020 x     g   x   a log 2021    b sin x.cos  2020 x   x 1  x  CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  g   x    a log 2021   x   x  b sin x.cos  2020 x   g   x    g  x  Vậy hàm số g  x  hàm số lẻ Lại có: 2020ln 2021  2021ln 2020  g  2020 ln 2021    g  2021ln 2020   f  2020ln 2021      f  2021ln 2020     12    f  2021ln 2020    f  2021ln 2020     Câu 26 Cho hàm số f  x   log 1   Cho biểu thức S có dạng  x  a a S  f    f  3   f  2020  Biết tổng S viết dạng log   với phân b b số tối giản a , b  Khi giá trị  b  a  A 2020 B 2019 C 2018 D 4040 Lời giải Chọn B  x2 1    Ta có: f  x   log 1    f  x   log    log  x  1  log  x  1  log x  x   x  Suy ta có: f    log1  log  log f  3  log  log  log f    log  log  log f    log  log  log f  2019   log 2018  log 2020  log 2019 f  2020   log 2019  log 2021  log 2020  2021  Suy S  log1  log  log  log 2020  log 2021  log 2020  log    4040  a  2021 Như suy   b  a  4040  2021  2019 b  4040 Câu 27 Cho f  x   e 1 x2   x 12 m Biết f 1 f   f   f  2017   e n với m , n số tự nhiên m tối giản Tính m  n n A m  n  1 B m  n  C m  n  2018 Lời giải D m  n  2018 Chọn A 2 x  x  1   x  1  x  x  x  1 1 1   2 x  x  1 x  x  1 x  x  1 f  x  e Trang 12 1 x2  x  x 1 1  x 12 e x  x 1 , x  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN VDC&HSG THPT Xét dãy số  uk  : uk  MŨ - LOGARIT- VD_VDC k  k  1  k  k  1  1 1 ,  k   *  1  k  k  1 k k 1 1 1 1 1  , u3    , …, u2017    2 3 2017 2018 f 1 f   f  3 f  2017   eu1 u2 u3  u2017 Ta có u1    , u2   1 20182  m u1  u2  u3   u2017  2017     2018 2018 n Vậy m  n  1 log11 2.log11 log11  n  1 với số tự nhiên n  Số hạng nhỏ dãy số có 22 n giá trị m Hỏi có số hạng dãy số đạt giá trị m A B C D Lời giải Chọn B Xét ba số hạng liên tiếp sau đây: log11 2.log11 log11  n  log11 2.log11 log11  n  1 log11 2.log11 log11  n   un1  ; un  ; un 1  ; 2n 2n 2 22 n Để số hạng un nhỏ Câu 28 Cho dãy số un   log11 2.log11 log11  n  log11 2.log11 log11  n  1  un  ; un 1  2n 22 n  u  log11 2.log11 log11  n  1  u  log11 2.log11 log11  n   ; n 1  n 22 n 22 n  log11  n  1 1  log11  n  1     114   n  114  log11  n    1  log11  n    Suy có hai giá trị nguyên dương n thỏa mãn, ứng với hai số hạng dãy số đạt  n  114  giá trị nhỏ nhất, tương ứng   n  11  Câu 29 Lần lượt gọi a , b, c, d số nguyên dương thỏa mãn log a b  b  d A 80 B 93 C 50 Lời giải log c d  ; Khi a  c  D 97 Chọn B 3   log a b  b  a  b  a Ta có:     5 c  d log d  c  d c    a  k  3 6  b  k b  a  m m  k b  a  k  Đặt  với m, n, k , l  Z     20 20 c  d  n n  l c  d  l c  l   d  l CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 13 NHĨM TỐN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  a  c  k  l  (*) Suy  Từ (*)   k  l  k  l   b  d  k  l (**)  Do m, n, k , l  Z    k  l  ,  k  l   Z k  l  Do k  l  nên suy  ;k  l2  k  l2 2 k  l  k  l k   k  l  k    Suy phương trình (*)   k  l  k  l       l    l   k  l   l   Từ suy (**)  b  d  k  l  53  25  93 Câu 30 Chọn hai số a , b đôi khác tập hợp sau A  2; 22 ; 23 ; ; 225  Tính xác suất để log a b số nguyên 31 A B 300 60 C 37 300 D 11 100 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: A  2; 22 ; 23 ; ; 225 suy A có 25 phần tử   Do log a b số nguyên nên suy b  a Như a có 25 cách chọn b có 24 cách chọn tức n     25.24  600 cách log  2n  n log n a  2m n n Đặt  Suy log a b  log 2m      ; log a b  Z   Z m n m log   m log m b  Khi m  n có 24 cách chọn Khi m  n có 11 cách chọn Khi m  n có cách chọn Khi m  n có cách chọn Khi m  n có cách chọn Khi m  n có cách chọn Khi m  n có cách chọn Khi m  n có cách chọn Khi m  n có cách chọn Khi m  10 n có cách chọn Khi m  11 n có cách chọn Khi m  12 n có cách chọn Như tổng biến cố thỏa mãn đề là: n  A  24  11            62 cách Như xác suất cần tìm P  n  A 62 31   n    25.24 300 _ TOANMATH.com _ Trang 14 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA