khao sat ve su bien thien va ve do thi cua mot ham so phan thuc huu ti

3 Đồ thị hàm số: Đ Điểm uốn: y'' = 12x2 - 2, y'' = Û 12x2 - = x = Vì y" đổi dấu x qua điểm nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn Đ Ta tìm thêm vài điểm đồ thị A(-1; 0), B(1; 0) b Đồ thị y = |f(x)| gồm: Phần từ trục hoành trở lên đồ thị y = f(x) Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành qua trục hoành Đ7 khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm phân thức hữu tỉ Dạng toán 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức bậc bậc Phơng pháp Với hàm số: (C): y = , víi c ¹ 0, D = ad - bc ta lần lợt có: a b Tập xác định Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: y= nên y = y = Ơ nên x = Đ Bảng biến thiên: đờng tiệm cận ngang đờng tiệm cËn ®øng NÕu D = ad - bc > ị hàm số đồng biến D Nếu D = ad - bc < ị hàm số nghịch biến D Lập bảng biến thiên: Trờng hợp D > x -¥ - d/c + ¥ y' + + +Ơ y -Ơ Trờng hợp D < x y' -¥ - d/c - + ¥ - +¥ y -Ơ Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng nghịch biến hàm số hàm số cực trị c Đồ thị: Đ Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ (nếu có) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Do có hai trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm số có hai dạng sau đây: Với D > Với D < Thí dụ a Cho hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy b đồ thị hàm số Chứng minh r»ng giao ®iĨm I cđa hai ®êng tiƯm cËn cđa đồ thị tâm đối xứng c Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị giao ®iĨm A cđa ®å thÞ víi trơc tung d ViÕt phơng trình tiếp tuyến đồ thị đà cho, biết tiếp tuyến song song với tiếp tuyến điểm A Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với (H) A, chứng tỏ A A đối xøng víi qua giao ®iĨm I cđa hai ®êng tiệm cận ? Giải a Ta lần lợt có: Hàm số xác định Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: nên y = đờng tiệm cận ngang nên x = đờng tiệm cận đứng Đ Bảng biến thiên: với xẻD ị hàm số nghịch biến D x -Ơ y' + +Ơ y -Ơ Đồ thị hàm số: Lấy thêm điểm: + Ơ + B(-1; 0) Hàm số đợc viết lại dới dạng , nên đồ thị đợc suy cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Ox (đờng nét đứt) b Bạn đọc tự thực phép tịnh tiến toạ độ c Phơng trình tiếp tuyến A có dạng: d TiÕp tun song song víi (dA) nªn cã hệ số góc Hoành độ tiếp điểm A tiếp tuyến với đồ thị (H) nghiệm phơng trình: (x - 2)2 = ị ị A A đối xứng với qua I Khi đó, phơng trình tiếp tuyến điểm A có dạng: F Nhận xét: Các em học sinh quan sát hình vẽ rút đợc phơng pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc bậc nhất, cụ thể dạng hàm số đơn điệu miền xác định nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đồ thị cđa nã c¸c em häc sinh h·y thùc hiƯn nh sau: a Trong phần (Đồ thị hàm số) lấy hai điểm A, B thuộc nhánh đồ thị (có hoành độ lớn nhỏ giá trị tiệm cận đứng) b Vẽ hệ toạ độ với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I hình c Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiƯm cËn d LÊy hai ®iĨm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, thực vẽ nhánh đồ thị chứa A, B ThÝ dơ a Cho hµm sè (Hm): y = Khảo sát vẽ đồ thị hàm số víi m = Chøng minh r»ng víi mäi m , đờng cong (Hm) qua hai điểm cố định A B c Chứng minh r»ng tÝch c¸c hƯ sè gãc cđa c¸c tiÕp tun với (Hm) hai điểm A B số m biến thiên b ? Giải a Với m = hàm số có dạng: y= Hàm số xác định Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: y = nên y = đờng tiệm cận ngang y = Ơ nên x = đờng tiệm cận đứng Đ Bảng biến thiên: y' = x -Ơ y' > với xẻD ị Hàm số đồng biến D +Ơ + + +Ơ b 1/2 y 1/2 -Ơ Đồ thị hàm số - Bạn đọc tự vẽ hình Giả sử M(x0; y0) điểm cố định họ (Hm) Khi ®ã: y0 = , "m Û 2(x0y0 + 2)m - x0 - 2y0 = 0, "m Û Û Þ Vậy, họ (Cm) qua hai điểm cố định A(-2; 1) M2(2; -1) c Trớc tiên, ta có: y' = Khi đó, tích hệ số góc tiếp tuyến với (H m) hai điểm A B đợc cho bởi: kA.kB = y'(-2).y'(2) = = = Dạng toán 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai bậc Phơng pháp Với hàm số: y= , với ad 0, tử, mẫu nghiệm chung ta lần lợt có: Viết lại hàm số dới d¹ng y = f(x) = ax + b + a b Tập xác định Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: y = Ơ y = Ơ nên x = - đờng tiệm cận đứng [y - (ax + b)] = nên y = ax + b đờng tiệm cận xiên Đ Bảng biến thiên: y' = a = Dấu đạo hàm dấu tam thøc g(x) = a(dx + e)2 - gd VËy ph¬ng trình y' = vô nghiệm có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt Do đó, hàm số cực trị có hai cực trị Lập bảng biến thiên: x -Ơ - e/d + Ơ y' y Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng đồng biến nghịch biến cực trị (nếu có) hàm số d Đồ thị: Đ Tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ (nếu có) Nhận xét: Đồ thị hàm sè nhËn giao ®iĨm I cđa hai ®êng tiƯm cËn làm tâm đối xứng Do có bốn trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm số có bốn dạng Thí dụ a Cho hàm số (H): Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Từ đó, suy đồ thị hàm số (H): Chứng minh giao điểm I hai đờng tiệm cận đồ thị tâm đối xứng c Viết phơng trình tiếp tuyến ®å thÞ ®· cho, biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua điểm A(3; 3) b ? Giải a Viết lại hàm số dới dạng Hàm số xác định Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: y = -Ơ , y = +Ơ y = Ơ nên x = ®êng tiƯm cËn ®øng (y - x) = nªn y = x đờng tiệm cận xiên Đ Bảng biến thiên: y' = + x -Ơ y' > "xẻD ị hàm số đồng biến +Ơ + + +Ơ +Ơ y -Ơ -Ơ Đồ thị hàm số: Lấy thêm hai điểm A(0; 2) B(-1; 0) Ta có: Từ đó, đồ thị hàm số (H) gồm hai phần: Đ Phần đồ thị (H) với x > Đ Lấy đối xứng phần đồ thị (H) víi x < qua trơc Ox b B¹n đọc tự thực phép tịnh tiến toạ độ c Giả sử hoành độ tiếp điểm x = x 0, phơng trình tiếp tuyến có dạng: (d): y = y’(x0)(x - x0) + y(x0) Û (d): y = Điểm Aẻ(d) nên: (x - x0) + 3= (3 - x0) + Û = - x0 + [2 + (1 - x0)] + Û = Û x0 - = Û x0 = Khi đó, phơng trình tiếp tuyến điểm có hoành ®é x0 = cã d¹ng: (d): y = y'(2).(x - 2) + y(2) Û (dA): y = 3(x - 2) F NhËn xÐt: C¸c em häc sinh quan sát hình vẽ rút đợc phơng pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai bậc nhất, cụ thể dạng hàm số nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng nên để vẽ đồ thị nã c¸c em häc sinh h·y thùc hiƯn nh sau: Khả 1: Nếu hàm số có cực trị phần (Đồ thị hàm số) lÊy hai ®iĨm A, B ®èi xøng víi qua I, từ đó: a Vẽ hệ toạ độ với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I hình b Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm A cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận c Vẽ nhánh đồ thị chứa điểm B cực trị tơng ứng tựa theo hai tiệm cận Khả 2: Nếu hàm số cực trị lấy hai điểm A, B thuộc nhánh đồ thị (có hoành độ lớn nhỏ giá trị tiệm cận đứng): a Vẽ hệ toạ độ với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đối xứng I hình b Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tùa theo hai tiƯm cËn c LÊy hai ®iĨm A’, B’ theo thø tù ®èi xøng víi A, B qua I, thực vẽ nhánh đồ thị chứa A, B’ ThÝ dơ a b Cho hµm sè: (Cm): y = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = Tìm m để hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách từ hai điểm đến đờng thẳng x + y + = b»ng ? Giải Với m = 1, hàm số có dạng: a y= Ta lần lợt có: =x+1+ Hàm số xác định D = Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực, giới hạn vô cực đờng tiệm cận: ; y = Ơ nên x = -1 đờng tiệm cận đứng = nên y = x + đờng tiệm cận xiên Đ Bảng biến thiên: y' = x -Ơ = , y' = Û x2 + 2x = Û -2 -1 y ' b - + C§ -2 -¥ + ¥ + y - + Ơ -Ơ C T Đồ thị hàm số Hàm số có đạo hàm: y' = , y' = Û f(x) = x2 + 2x + 2m - = (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi: (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 m< (*) + Ơ Khi đó, phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mÃn: toạ độ hai điểm cực trị A(x1, 2x1 + 2m) vµ B(x2, 2x2 + 2m) Gäi d1, d2 theo thứ tự khoảng cách từ điểm cực trị A B đến đờng thẳng x + y + = 0, ta cã: d1 = d2 = Do đó: d1 = d2 |3x1 + 2m + 2| = |3x2 + 2m + 2| Û Û 4m - = Û m = VËy, víi m = , tho¶ m·n (*) tho¶ mÃn điều kiện đầu Đ8 số toán thờng gặp đồ thị Dạng toán 1: (ứng dụng đồ thị giải phơng trình): Biện luận theo m số nghiệm phơng trình F(x, m) = (1) Phơng pháp Giả sử ta đà có đồ thị (hoặc bảng bến thiên) hàm số (C): y = f(x), ta cã thĨ thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: Biến đổi phơng trình ban đầu dạng: f(x) = h(m) (2) Bớc 2: Khi đó, số nghiệm phân biệt phơng trình (1) số giao điểm đồ thị (C) đờng thẳng (d): y = h(m) Đ Bằng việc tịnh tiến (d) theo Oy song song với Ox, ta biện luận đợc số nghiệm phơng trình (1) Thí dụ a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = -x3 + 3x - b Tuú theo giá trị m hÃy biện luận số nghiệm phơng trình: -x3 + 3x2 - = m ? Giải a Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cùc: Û Û -28 < k < VËy, víi -28 < k Ê đờng thẳng (D) không cắt đồ thị hàm số c Với hàm số ta lần lợt có: Đ Đạo hàm: y' = - Đ Tiệm cận đứng x = ; Đ Tiệm cận ngang y = y = Đ Toạ độ giao điểm I hai tiệm cận I(1; 3) M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, giả sử M có hoành độ a, phơng trình tiếp tuyến M có dạng: y - y(a) = y'(a)(x - a) Û y = (x - a) + Ta lần lợt có: Đ Toạ độ giao điểm A tiếp tuyến M tiệm cận đứng nghiệm hệ phơng trình: Đ Toạ độ giao điểm B tiếp tuyến M tiệm cận ngang nghiệm hệ phơng trình: B(2a - 1; 3) Khi đó, ta lần lợt có: Đ Nhận xét rằng: xA + xB = + 2a - = 2a = 2xM M trung điểm AB Đ Diện tích tam giác IAB đợc xác định bởi: S= IA.IB = = VËy, ta thÊy DIAB cã diÖn tÝch không đổi Đ Ta có: d(M, tcđ).d(M, tcn) = = = 14 = VËy, ta thÊy tÝch c¸c khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận mét h»ng sè VÝ dơ 5: Cho hµm sè (C): y = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tìm m để đờng thẳng (d): y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến (C) hai điểm song song với Tìm điểm Mẻ(C) để: a Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang b Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ c Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ nhỏ ? Giải Đề nghị bạn đọc tự làm Phơng trình hoành độ giao điểm (d) với đồ thị hàm sè lµ: = x + m Û f(x) = x2 + (m - 3)x - 2m + = với x Khi đó, ta lần lợt có: Đ Đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d) hai điểm phân biệt khi: (1) Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác Mäi m Khi ®ã, hai giao ®iĨm A, B cã hoành độ thỏa mÃn: Đ Để hai tiếp tuyến A B đồ thị (C) song song với điều kiện là: y'(xA) = y'(xB) Û = xA + xB = - m Û m = -1 VËy, víi m = -1 tháa mÃn điểu kiện đầu Điểm M thuộc đồ thị hàm số, ta có Khi đó, ta lần lợt có: Đ Để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang điều kiện là: (x - 2)2 = Vậy, hai điểm M1(1; 0) M2(3; 2) thỏa mÃn điểu kiện đầu Đ Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đợc cho bởi: d= = = Vậy, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận có giá trị nhỏ 2, đạt đợc khi: (x - 2)2 = Vậy, hai điểm M1(1; 0) M2(3; 2) thỏa mÃn điểu kiện đầu Đ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ đợc cho d = |x| + NhËn xÐt r»ng: víi M0(0; |x| Ê Với ) ị d(M0) = Ê - Vậy, ta đợc Mind = Ví dụ 6: a b , nên cần xét khi: Ê x Ê , ta đợc d = -x + d' = -1 - , ta có đạo hàm: < 0, "xẻD ị d nghịch biến D , đạt đợc Cho hàm số (C): y = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Lựa chọn phép tịnh tiến song song với Ox để từ (C) suy đồ thị hàm số (C1): y = Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm A(-6; 5) d Tìm điểm trục tung mà từ điểm kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị hàm số c ? Giải a Đề nghị bạn đọc tự làm b Giả sư: = f(x + a) Û = Þ Û a = -2 Vậy, ta đợc = f(x - 2) Do (C1) đợc suy phép tịnh tiến theo Ox đồ thị (C) sang phải đơn vị c Ta có y = , tới ta lựa chọn hai cách: Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm x = x 0, phơng trình tiếp tuyến có dạng (d): y = y’(x0)(x - x0) + y(x0) Û (d): y = §iĨm (d) khi: (x - x0) + 5=.(-6 - x0) + - 24x0 = Khi đó: Đ Với x0 = thay vào (1) đợc tiếp tuyến (d1): y = -x - (1) § Với x0 = thay vào (1) đợc tiếp tuyến (d2): y = x+ Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đồ thị Cách 2: Đờng thẳng (d) qua điểm A có phơng trình: (d): y = k(x + 6) + Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số hệ sau cã nghiƯm: (2) Û Û Û Þ Khi đó: Đ Với k1 = -1 thay vào (2) đợc tiÕp tun (d1): y = -x - § Víi k2 = thay vào (2) đợc tiếp tuyến (d2): y = Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đồ thị x+ F Chú ý: Trong lời giải đà bớc đầu làm quen với phơng pháp lập phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm phân thức không dùng khái niệm nghiệm kép Cách biến đổi có ích với hàm số chứa tham số, cụ thể: Cho hàm sè (C): y = , víi bd ¹ 0, tư, mẫu nghiệm chung HÃy tìm điều kiện để đờng thẳng (d): y = kx + m tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) Phơng pháp Viết lại hàm số dới dạng y = a + Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hƯ sau cã nghiƯm: ViÕt l¹i (1) díi d¹ng: a+ = (cx + d) - + m Thay (2) vµo (3) víi lu ý chØ thay vµo biĨu thøc a+ =- Ûa+ =- (cx + d) - (3) (cx + d), đợc: +m +m = (4) Thay (4) vào (2), đợc (k) = Ak2 + Bk + C = (5) Khi yêu cầu cụ thể toán đợc đa việc giải biện luận điều kiện cho phơng trình (5) d Các điểm thuộc Oy có dạng M(0; b) Đờng thẳng (d) qua M(0; b) có phơng trình y = kx + b Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm sè hƯ sau cã nghiƯm: Û Thay (4) vµo (3), ta đợc: (5) Thay (5) vào (4), ta đợc: f(k) = 4k2 + 4k(b + 4) + b2 - 2b + = (6) §Ĩ từ M kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị hàm số điều kiện là: (1) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt có nghiệm Vậy, tồn hai điểm Ví dụ 7: M2(0; 1) thoả mÃn điều kiện đầu Cho hàm số (Cm): y = Với m = 1: a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tọa độ Tìm m để: a Đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Hàm số đồng biến khoảng [0; +Ơ) ? Giải a Với m = 1, hàm số có dạng y = Đề nghị bạn đọc tự làm: ta nhận đợc kết quả: Đ Đạo hàm y' = Đ Tiệm cận ®øng x = -1 Û x + = 0; b Ta lần lợt có: Đ Tiệm cận ngang y = y - = phơng trình tiếp tuyến A có dạng: (dA): y = y’(xA)(x - xA) + y(xA) Û Û (dA): y = 4x + Đ (C)ầOy = {B(0; 1)} phơng trình tiếp tuyến B có dạng: (dB): y = y’(xB)(x - xB) + y(xB) Û (dB): y = 1.x + Û (dB): y = x + Ta lần lợt: a Với câu hỏi "Đồ thị hàm số có hai tiệm cận" ta viết lại hàm số dới dạng: Từ đó, suy với m đồ thị hàm số có hai tiệm cận b Với câu hỏi "Hàm số đồng biến khoảng [0; +Ơ)" ta thực hiện: Đ Tập xác định , để hàm số đồng biến khoảng [0; +Ơ) trớc tiên cần xác định (0; +Ơ) tức là: -mẽ[0; +Ơ) -m < m > Đ Đạo hàm: > với m > Hàm số đồng biến Vậy, với m > thỏa mÃn điểu kiện đầu IV Hàm phân thức bậc hai bậc Một số tính chất hàm phân thức bậc hai bậc nhất: Tích chất 1: Hàm số đồng biến D khi: Tích chất 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi: Phơng trình y' = có hai nghiệm phân biệt khác Khi đó: Đ Giá trị cực trị hàm số x0 y(x0) = Đ Phơng trình đờng thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thị hàm số có dạng y = (2ax + b) TÝch chÊt 3: Hµm sè cã hai cực trị trái dấu Tích chất 4: Phơng trình y' = có hai nghiệm phân biệt khác phơng trình ax2 + bx + c = vô nghiệm Hàm số có hai cực trị dấu y' = có hai nghiệm phân biệt khác phơng trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Tích chất 5: Đồ thị nhận giao điểm I hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng Tích chất 6: M điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số Ta có: a Tích khoảng cách từ M tới hai đờng tiệm cận số b Nếu tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B M trung điểm AB DIAB có diện tích không đổi VÝ dơ 1: a b Cho hµm sè (C): y = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) hai trục toạ độ c Đồ thị (C) cắt trục hoành hai điểm A, B Viết phơng trình tiếp tuyến (C) A B, tìm toạ độ giao điểm hai tiếp tuyến ? Giải a Bạn đọc tự làm b Diện tích S phải tìm đợc cho bởi: c S= =( x2 - 3ln|x - 2|) =+ 3ln Hoµnh độ giao điểm A, B nghiệm phơng trình: (đvdt) =0 ị A(-1; 0) B(3; 0) Đ Phơng trình tiếp tuyến (C) A có dạng: (dA): y - = y'(-1)(x + 1) Û (dA): y = (x + 1) Đ Phơng trình tiếp tuyến cđa (C) t¹i B cã d¹ng: (dB): y - = y'(3)(x - 3) Û (dA): y = -4(x - 3) Hoành độ giao điểm K (dA) (dB) nghiệm phơng trình: (x + 1) = -4(x - 3) Û x = Þ K(5; -8) VÝ dụ 2: (Đề thi đại học khối A - 2005): Cho hµm sè: a b (Cm): y = mx + , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 1/4 Tìm m để hàm số (Cm) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên (Cm) 1/ ? Giải a Bạn đọc tự làm b Hàm số xác định D = \{0} Đạo hàm: y = m = , y’ = Û f(x) = mx2 - = Trớc hết, hàm số có cực trị khi: (1) có nghiệm phân biệt khác Û Khi ®ã, (1) cã hai nghiƯm x1,2 = ± Ta có bảng biến thiên: x -Ơ -1/ y Û m > + ¥ 1/ - (1) y + + CĐ CT Vậy, hàm số đạt CT điểm A( ,2 ) Đồ thị (Cm) có tiệm cận xiên (d): y = mx (d): mx - y = Để khoảng cách từ ®iĨm cùc tiĨu A cđa (C m) ®Õn tiƯm cËn xiên (Cm) 1/ điều kiện là: = m = VËy, víi m = tho¶ m·n điều kiện đầu Ví dụ 3: a b Cho hàm số (Cm): y = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = Xác định m để hàm số có cực đại khoảng (0; m) với m > c Xác định m để hàm số đạt cực đại x = ? Giải a Bạn đọc tự thực b Tập xác định Đạo hàm: y' = , y'' = 2 y' = Û x + 2mx + m - = Û x1,2 = -m ± Ta thÊy víi mäi m hàm số có cực đại bảng biến thiên: x -¥ x1 x2 m y - 0 ' + + y +Ơ C T + Ơ -Ơ Hàm số có cực đại khoảng (0; m) < -m + < m Û VËy, víi < m < hàm số đạt cực đại khoảng (0; m) c Hàm số đạt cực đại x = khi: + Ơ - CĐ -Ơ < m < Û Û m = -3 VËy, víi m = -3 hàm số đạt cực đại x = Ví dụ 8: (Đề thi đại học khối B - 2005): Cho hµm sè: (Cm): y = , với m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = b Chøng minh r»ng víi m bÊt kú, ®å thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai điểm ? Giải Bạn đọc tự làm Miền xác định D = Đạo hàm: \{-1} y' = , y' = Û x2 + 2x = Û Vậy, với m đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu A(-2, m - 3) B(0, m + 1) ị AB = = Ví dụ 9: (Đề thi đại học khối D - 2003): Cho hµm sè (C): y = a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm m để đờng thẳng (dm): y = mx + - 2m cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm phân biệt ? Giải a Bạn đọc tự làm b Phơng trình hoành độ giao điểm (dm) với đồ thị hàm số là: = mx + - 2m Û (m - 1)(x - 2)2 = với x (1) Để đồ thị hàm số (Cm) cắt (dm) hai điểm phân biệt phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 kh¸c Û m - > Û m > VËy, m > tho¶ m·n điều kiện đầu Ví dụ 10: a b (Đề thi đại học khối A - 2003): Cho hàm số: (Cm): y = , với m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = - Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dơng ? Giải a Bạn đọc tự làm b Phơng trình hoành độ giao điểm Ox với đồ thị hàm sè lµ: = Û f(x) = mx2 + x + m = với x (1) Để đồ thị hàm số (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hoành độ dơng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác < x1 < x2 Û Û Û - < m < VËy, víi < m < thoả mÃn điều kiện đầu Ví dụ 11: (Đề thi đại học khối A - 2004): Cho hµm sè: a b (C): y = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tìm m để đờng thẳng (d): y = m cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B cho AB = ? Giải a Bạn đọc tự làm b Phơng trình hoành độ giao điểm (d) vµ (C) lµ: =m f(x) = x2 + (2m - 3)x - 2m + = Tríc hÕt, để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt khác (1) (*) Khi đó, ta có (d)ầ(C) = {A(x A, m), B(xB, m)}, víi xA, xB lµ nghiƯm (1) thoả mÃn: Để AB = ®iỊu kiƯn lµ AB2 = Û (xA - xB)2 = Û (xA + xB)2 - 4xA.xB = Û (3 - 2m)2 - 4(3 - 2m) = Û m2 - m - = Û m = Vậy, với m = thoả mÃn điều kiện đầu , thoả (*) Ví dụ 4: a b Cho hàm số (C): y = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M đồ thị (C) đến đờng tiệm cận số không phụ thuộc vị trí điểm M c Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác đồ thị để khoảng cách chúng nhỏ ? Giải a Bạn đọc tự thực b Lấy điểm M(x0; )ẻ(C) Đồ thị hàm số cã hai ®êng tiƯm cËn: - TiƯm cËn ®øng x = = Ơ Tiệm cận xiên y = x + = Ta lần lợt có: Đ Khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng, đợc cho d1 = |x0 - 2| Đ Khoảng cách từ M tới tiệm cận xiên, đợc cho d2 = Suy ra: c d1.d2 = |x0 - 2| = số (đpcm) Xét hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị, ta có: A(2 - x1; f(2 - x1)), B(2 + x2; f(2 + x2)) víi x1, x2 > Suy ra: AB2 = [(2 - x1) - (2 + x2)]2 + [ f(2 - x1) - f(2 + x2)]2 = (x2 + x1)2 + = (x2 + x1)2 ³ 4x2x1 =4 VËy, ta đợc (AB)Min = x1 = x = 4(2 + 2) , đạt đợc khi: Vậy, hai điểm A, B cần tìm có hoành độ tơng ứng - ,2+ Ví dụ 5: a b Cho hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với a = (Đề 85 - Bộ đề 1996): Tìm a để hàm số đồng biến (1; + Ơ) ? Giải a Bạn đọc tự thực b Miền xác định D = \{2a} Trớc hết hàm số cần xác định với xẻ(1; +Ơ) 2a Ê a Ê (1) Đạo hàm: y' = Hàm số đồng biến với "xẻ(1; +Ơ) y' 0, "xẻ(1; + ¥) Û f(x) = x2 - 4ax + a2 0, "xẻ(1; +Ơ) (2) Để giải (2) ta có thĨ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: (Phơng pháp tam thức bậc hai): Ta có D' = 3a2 (do (1)), điều kiện (2) phơng trình f(x) = có nghiệm thoả x1 Ê x2 £ Û Û Û Ûa£2- KÕt hỵp (1) (3), ta đợc a Ê - (3) Vậy, hàm số đồng biến (1; + Ơ) a Ê Cách 2: (Phơng pháp hàm số): Ta cã: (2) Û f(x) ³ - B¹n đọc tự làm tiếp IV toán khác Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B - 2003): Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + ? Giải Điều kiện x Î [-2, 2] XÐt hµm sè y = x + y' = - , trªn [-2, 2], ta cã: , y' = Û =0Û =xÛ Ûx= Do đó, giá trị lớn nhỏ hàm số [-2, 2] đợc cho bởi: ymax = Max{y(-2), y(2), y( )} = Max{-2, 2, }= , đạt đợc x = ymin = -2, đạt đợc x = -2 Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối D - 2004): Chứng minh phơng trình sau có nghiệm: x5 - x2 - 2x - = ? Giải Biến đổi phơng trình dạng: x5 = (x + 1)2 x > 1, tức là, phơng trình có nghiệm x > XÐt hµm sè: y = x5 - x2 - 2x - miền D = (1, +Ơ) Đạo hàm: y' = 5x4 - 2x - = 2x(x3 - 1) + 2(x4 - 1) + x4 > 0, "x ẻ D ị hàm số đồng biến D Ta có: y(1) = -3 y = +Ơ, tức là, đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phơng trình có nghiệm Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối B - 2004): Xác định m để phơng trình sau có nghiệm: m( ? Giải Điều kiện |x| Ê Đặt t = Ta cã: § t= - § t2 = - - + 2) = , suy + - = - t2 ³ 0, đạt đợc x = Ê 2, đạt đợc x = ±1 Suy ®iỊu kiƯn cđa Èn t Ê t Ê Khi đó, phơng trình đợc chuyển dạng: (*) m(t + 2) = - t2 + t = m Khi đó, phơng trình ban đầu có nghiệm (1) có nghiệm thoả mÃn (*) Đờng thẳng y = m cắt phần đồ thị hàm số y = Xét hàm số y = Đạo hàm: y' = D = [0; ] Ê 0, "tẻD hàm số nghịch biến D (1) [0; ] Vậy, điều kiện là: y( ) £ m £ y(0) Û - £ m £ ... ®êng ti? ?m cận đồ thị tâm đối xứng c Viết phơng trình ti? ??p tuyến đồ thị giao điểm A đồ thị với trục tung d Viết phơng trình ti? ??p tuyến đồ thị đà cho, biÕt r»ng ti? ?p tun ®ã song song víi ti? ?p... dạng , nên đồ thị đợc suy cách lấy đối xứng ®å thÞ (H) qua trơc Ox (®êng nÐt ®øt) b Bạn đọc tự thực phép tịnh ti? ??n toạ độ c Phơng trình ti? ??p tuyến A có dạng: Û d Ti? ?p tun song song víi (dA) nªn... biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số Viết phơng trình ti? ??p tuyến đồ thị (C), biết ti? ??p tuyến vuông góc với ti? ??m cận xiên (C) ? Giải a Bạn đọc tự thực b Đồ thị hàm số cã ti? ?m cËn xiªn (dA): y = x - Ti? ??p