Một trong những biện pháp khá hiệu quả, đó làhướng dẫn học sinh phát triển, khai thác các bài toán cơ bản thường gặp, giúp các emsớm hình thành, phát triển khả năng nghiên cứu- năng lực
Nội dung nghiên cứu và kết quả
Cơ sở lý thuyết
Để thuận lợi cho việc theo dõi các ví dụ cho các bài giảng ở chương sau Chúng ta đi tổng hợp các kiến thức thường dùng trong hình học phẳng
1.1 Phương tích , trục đẳng phương
Phương tích của một điểm đối với đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn, tâm đẳng phương của ba đường tròn có lẽ là một sản phẩm đẹp nhất của góc nội tiếp và tam giác đồng dạng Nó có vị trí rất quan trọng trong hệ thống các phương pháp tiếp cận hình học, đặc biệt là các bài toán định tính Vì vậy, để nó đứng thành một mục độc lập, ta sẽ cảm nhận rõ hơn được vẻ đẹp và sức mạnh của chúng.
1.1.1 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B Khi đó MA MB MO 2 R 2 d 2 R 2
(Đây là bài toán quen thuộc trong SGK Hình học 10 – Nâng cao, NXB GD 2008)
1.1.1.2 Định nghĩa Đại lượng không đổi MA MB d 2 R 2 trong Bài toán 12.1.1.1 được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O), kí hiệu P M/(O)
Điểm M nằm ngoài đường tròn (O) khi và chỉ khi P(M, O) > 0 Điểm M nằm trên đường tròn (O) khi và chỉ khi P(M, O) = 0 Điểm M nằm bên trong đường tròn (O) khi và chỉ khi P(M, O) < 0.
Trong mặt phẳng, cho đường tròn O R ; và một điểm M nằm bên ngoài ( ) O Qua M kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MT tới ( ) O Khi đó
Cho hai đường thẳng AB CD , phân biệt cắt nhau tại M ( M không trùng A B , , C D , ) Khi đó, nếu MA MB MC MD thì bốn điểm A B C D , , , cùng nằm trên một đường tròn.
Cho hai đường thẳng AB MT , phân biệt cắt nhau tại M (M không trùng , ,A B T) Khi đó, nếu MA MB MT 2 thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại T
1.1.2 Trục đẳng phương của hai đường tròn
1.1.2.1 Định lý và định nghĩa
Trục đẳng phương của hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) không đồng tâm là đường thẳng chia đôi hiệu số bình phương các bán kính và hiệu số bình phương các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đến hai tâm đường tròn.
Cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ).
Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm
Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng.
Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O 1 ) và (O 2 ) thì đường thẳng qua M vuông góc với O O 1 2 là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.
Nếu (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với O O 1 2 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Cho AB là tiếp tuyến chung của (O 1), (O 2) Khi đó trục đẳng phương của hai đường tròn đó luôn đi qua trung điểm AB
1.1.3 Tâm đẳng phương của ba đường tròn
1.1.3.1 Định lý và định nghĩa
Cho 3 đường tròn (C 1 ), (C 2 ) và (C 3 ) Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn này hoặc trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm Nếu các trục đẳng phương cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn
Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các đường thẳng chứa ba dây cung đó hoặc đồng quy hoặc trùng nhau hoặc song song với nhau.
Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng.
1.2 Một số định lý cổ điển
Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên các đường thẳng chứa cạnh BC, CA,
AB của tam giác BAC Lúc đó, ba đường thẳng AE, BF, CG đôi một song song hoặc đồng quy khi và chỉ khi
* Định lý Ceva ở dạng lượng giác: Cho tam giác ABC Gọi E,F,G là ba điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác BAC Lúc đó, ba đường thẳng AE, BF, CG đôi một song song hoặc đồng quy khi và chỉ khi
AE AB BF BC CG CA
AE AC BF BA CG CB
Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB, ta lấy các điểm P,
Q, R sao cho mỗi điểm không trùng với đỉnh tam giác Khi đó, ba điểm P,Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi
*Mở rộng định lý Menelaus cho tứ giác: Cho tứ giác lồi ABCD và đường thẳng d cắt AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q Khi đó
Việc chứng minh các định lý trên khá đơn giản Chúng ta có thể tìm thấy ở hầu hết các tài liệu viết về hình học sơ cấp
Cho các điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (có thể hoán đổi thứ tự) Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và DE, BC và EF, CD và FA Khi đó các điểm P, Q, R thẳng hàng.
Cho A, B, C thẳng hàng, D, E, F thẳng hàng Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AE và BD; AF và CD; BF và CE Khi đó M, N, P thẳng hàng.
Nhận xét : Thực chất định lý Pappus là một trường hợp đặc biệt của định lý Pascal khi đường conic suy biến thành cặp đường thẳng.
Trong mặt phẳng cho hai tam giác ABC và A B C ' ' ' Nếu các đường thẳng AA ' , BB ' ,
CC đồng quy tại một điểm và các cặp đường thẳng BC và B C ' ' , CA và C A ' ' , AB và A B ' ' cắt nhau thì các giao điểm của chúng thẳng hàng
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy một điểm P nằm trên (O) sao cho P không trùng với các đỉnh A, B, C Gọi A0, B0, C0 lần lượt là hình chiếu của P trên các cạnh BC, CA, AB Khi đó A0, B0, C0 thẳng hàng và nằm trên đường thẳng qua tâm O và P.
A 0, B 0, C 0 được gọi là đường thẳng Simson của P đối với tam giác ABC
1.2.7 Định lí Steiner (Đường thẳng Steiner)
Cho tam giác ABC, P là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi A 1, B 1, C 1 là các điểm đối xứng của P qua BC, CA, AB Khi đó A 1, B 1, C 1 thuộc một đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC Đường thẳng chứa A 1, B 1, C 1 được gọi là đường thẳng Steiner của P đối với tam giác ABC.
Lazare Nicolas Marguerite, Hầu tước Carnot (1753-1823) là nhà toán học, kỹ sư, chính trị gia, nhà chỉ huy quân sự người Pháp.
Henri Brocard (1845 - 1922) là nhà Toán học Pháp Ông sinh năm 1845 tại Meuse –
Pháp và mất tại Luân Đôn – Anh
Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P Các đường thẳng x, y, z theo thứ tự đi qua
M, N ,P và theo thứ tự vuông góc với BC, CA, AB
Khi đó x, y, z đồng quy khi và chỉ khi
(MB 2 – MC 2 ) + (NC 2 – NA 2 ) +( PA 2 – PB 2 ) = 0.
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp (O) Đường thẳng AD cắt BC tại M, đường thẳng
AB cắt CD tại N, đường thẳng AC cắt BD tại I Khi đó điểm O là trực tâm của tam giác MIN.
1.3 Các phép biến hình trong mặt phẳng
Các phép biến hình trong mặt phẳng có vai trò đặc biệt trong hình học Nó thể hiện cái nhìn động, cũng giống như ánh xạ, hàm số trong giải tích vậy Nếu như phương pháp cổ điển mang đậm vẻ đẹp tĩnh tại, sâu xa thì phép biến hình lại mang vẻ đẹp hiện đại, năng động và thường xuyên biến đổi, chuyển hoá Tuy nhiên, trong một chương nhỏ của chuyên đề này thì không thể khai thác hết được những vẻ đẹp sâu xa đó Ở đây, chỉ xin đưa ra những nét chấm phá khái quát nhất về các phép biến hình, làm cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo sau này của mình
Phép biến hình là một song ánh trong mặt phẳng vào chính nó và được chia làm ba loại:
- Các phép biến hình đẳng cự: là những phép biến hình giữ nguyên hình dạng và kích thước.
- Các phép biến hình đồng dạng: là những phép biến hình chỉ giữ lại hình dạng các vật.
- Phép biến hình bảo giác: là những phép biến hình chỉ giữ nguyên góc giữa các đường.
1.4 Hàng điểm điều hoà - Cực và đối cực
1.4.1 Định nghĩa tỉ số kép
- Bộ bốn điểm đôi một khác nhau, có kể đến thứ tự , cùng thuộc một đường thẳng được gọi là một hàng điểm.
- Tỉ số kép của hàng điểm , , ,A B C D là một số, kí hiệu là ABCD và được xác định như sau: ABCD CA DA :
1.4.2 Các tính chất của tỉ số kép:
1.4.2 Các định nghĩa và tính chất hàng điểm điều hòa
Nếu ABCD 1 thì hàng điểm , , ,A B C D được gọi là hàng điểm điều hòa.
ABCD 1 IA 2 IC ID ( I là trung điểm của đoạn AB)
ABCD 1 AC AD AB AJ (J là trung điểm của đoạn CD)
1.4.3 Tỉ số kép của chùm đường thẳng - Chùm điều hòa
1.4.3.1 Chùm đường thẳng và tỉ số kép của nó: Định lí 1
Cho , , ,a b c d là chùm đường thẳng tâm O Đường thẳng không đi qua O theo thứ tự cắt , , ,a b c d tại , , ,A B C D Đường thẳng ' không đi qua O theo thứ tự cắt , ,a b c tại ', ', 'A B C Khi đó '/ / ' '
Cho , , ,a b c d là chùm đường thẳng tâm O Đường thẳng không đi qua O theo thứ tự cắt , , ,a b c d tại , , ,A B C D Đường thẳng ' không đi qua O theo thứ tự cắt , , , a b c d tại ', ', ',A B C D' Khi đó ABCD A B C D ' ' ' '
Từ định lí 2, ta nhận thấy, tỉ số kép ABCD không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng Khi đó giá trị không đổi của tỉ số kép ABCD được gọi là tỉ số kép của chùm đường thẳng , , ,a b c d kí hiệu là abcd hoặc O abcd với O là tâm của chùm.
Từ đó ta suy ra
OA OC OB OC abcd ABCD
Chùm điều hòa: Định nghĩa: Chùm , , ,a b c d được gọi là chùm điều hòa nếu abcd 1
Tính chất: Với chùm điều hòa , , ,a b c d , các điều kiện sau là tương đương: a) c d b) c là một phân giác của góc tạo bởi ,a b. c) d là một phân giác của góc tạo bởi ,a b.
Một số hàng điểm điều hòa cơ bản
Bài toán 1 Cho tam giác ABC Gọi AD AE, tương ứng là đường phân giác trong, đường phân giác ngoài của tam giác ABC Khi đó BCDE 1
Sử dụng tính chất đường phân giác và định nghĩa.
Bài toán 2 Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đường thẳng BC CA AB, , Các đường thẳng AO BO CO, , theo thứ tự cắt các đường BC CA AB, , tại M N P, , Hai đường thẳng BC NP, cắt nhau tại Q Khi đó BCMQ 1
Sử dụng định lý Ceva và Menelaus.
Bài toán 3 Từ điểm S bên ngoài đường tròn O , kẻ tới O các tiếp tuyến
SA SB A B O Một đường thẳng qua S, cắt đường tròn O tại M N, và cắt AB tại I Khi đó SIMN 1
1.4.3 Định nghĩa và tính chất của tứ giác điều hòa Định lý mở đầu
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), khi đó với mọi M (O) thì M(ABCD) không đổi Tỉ số đó được gọi là tỉ số kép của bốn điểm trên đường tròn, kí hiệu (ABCD).
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), ta nói ABCD là tứ giác điều hoà nếu (ACBD) =- 1.
Các tính chất của tứ giác điều hoà
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), khi đó
Tứ giác ABCD điều hoà khi và chỉ khi các tiếp tuyến của (O) tại A và C cắt nhau trên đường thẳng BD.
Tứ giác ABCD điều hoà khi và chỉ khi
Tứ giác ABCD điều hoà khi và chỉ khi các đường phân giác trong của góc BAD và BCD cắt nhau trên BD.
5.1.2 Các ví dụ áp dụng
Phần này, các ví dụ tôi đưa ra sẽ chỉ tập trung vào việc vận dụng các hàng điểm điều hoà cơ bản trên và các bài toán liên quan tới tứ giác điều hoà.