(SKKN 2022) Dạy HS khai thác,phát triển một số bài toán trong chương I Đại số 8 tại trường THCS Trung Chính

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY HỌC SINH KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHƯƠNG I - ĐẠI SỐ LỚP TẠI TRƯỜNG THCS TRUNG CHÍNH Người thực hiện: Nguyễn Thị Nam Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Trung Chính SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2022 MỤC LỤC TT I II 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 III Tên mục PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp thực Khai thác tốn phân tích đa thức thành nhân tử để giá trị biểu thức số nguyên tố Khai thác phát triển tốn phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh chia hết, số phương Khai thác phát triển tốn phân tích đa thức thành nhân tử để giải phương trình nghiệm nguyên: Khai thác phát triển tốn phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh bất đẳng thức từ vận dụng giải tốn tìm giá trị nhỏ Khai thác phát triển chia hai đa thức biến Một số tập phát triển: Hiệu sáng khiến kinh nhiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Trang 1 2 3 5 10 15 16 16 17 I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Nâng cao chất lượng dạy học nói chung mơn Tốn nói riêng, chất lượng mũi nhọn việc không dễ dàng số trường khu vực nông thôn, “vùng trũng”, xa trung tâm huyện, điều kiện kinh tế khó khăn, trình độ dân trí thấp Điều này, minh chứng rõ qua kì thi khảo sát chất lượng, thi vào lớp 10 đặc biệt thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp huyện hàng năm Nâng cao chất lượng đại trà, bồi dưỡng mũi nhọn vấn đề có tính chiến lược vơ cần thiết nhà trường THCS Bởi cấp học “trung gian”, em trang bị hệ thống kiến thức kĩ để học xong cấp học em vận dụng vào lao động sản xuất, học nghề tiếp tục học bậc THPT Đối với mơn Tốn, có vai trị khơng nhỏ, góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn học khác Nhưng dạy học để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà cịn giải tốn khó chương trình Để giúp người học nắm kiến thức mơn học có tính hệ thống hiểu chất vấn đề Đây việc đặt cho giáo viên dạy Toán Nhất việc giải toán mang tính vận dụng địi hỏi người học phải nắm vững hệ thống kiến thức khả vận dụng linh hoạt , đặc biệt công cụ toán học, kĩ thực việc giải toán Trong giải toán học sinh phải biết nhận dạng từ nhanh chóng đưa cách giải phù hợp Để làm điều này, mà dạy học người dạy hướng cho học sinh cách khai thác phát triển toán Việc khai thác phát triển toán thể đa dạng phong phú, tiết luyện tập, ơn tập, hoạt động dạy học Toán Nhưng nhiều giáo viên chưa trọng tới(!) Vì mà giải số tốn khó học sinh hay lúng túng, khơng tìm cách giải giải q nhiều thời gian Chính lẽ q trình giảng dạy đặc biệt bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tốn , tơi nhận thấy điểm quan trọng mà học sinh cấp THCS nên biết để vận vào việc giải tốn Tơi mạnh dạn nêu lên vấn đề: “Dạy học sinh khai thác, phát triển số toán chương I - Đại số trường THCS Trung Chính" Đây phần nhỏ tồn chương trình dạy học Tốn Với đề tài này, hi vọng giúp em nắm vững kiến thức mơn học có thêm kĩ giải toán để làm tảng cho em chuẩn bị cho lớp học cao tự tin kì thi Tuy khn khổ đề tài kinh nghiệm nhiều hạn chế, cịn gặp thiếu xót khơng mong muốn, mong nhận góp ý xây dựng quí đồng nghiệp Mục đích nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu để phục vụ cho công tác giảng dạy thân sau đồng nghiệp đơn vị, nhằm giúp em học sinh nắm vững kiến thức, có kĩ giải toán, phát triển tư duy, rèn luyện cho em tính cẩn thận, cần cù, sáng tạo, có niềm tin hứng thú học tập, nghiên cứu Qua góp phần nâng cao hiệu dạy học, cải thiện chất lượng giáo dục Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu “Dạy học sinh khai thác, phát triển số toán chương I - Đại số lớp trường THCS Trung Chính" tính hiệu việc thực đề tài Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu sơ sở lý thuyết phương pháp giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức, tìm dư phép chia đa thức cho đa thức, v.v… Học sinh biết khai thác, phát triển toán, nhận dạng, quy lạ quen, tương tự hoá,…khi làm toán Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Trường dạy thuộc xã nơng, trình độ dân trí thấp, điều kiện kinh tế khó khăn, chất lượng học tập cịn thấp, mơn Tốn phản ánh rõ qua điểm kiểm tra định kì, kiểm tra học kì, thi chọn học sinh giỏi huyện, thi vào lớp 10 Trong năm huyện tổ chức thi chọn học sinh giỏi lớp 8, kết đội tuyển trường đạt khiêm tốn (!) Qua chúng tơi nghiêm túc phân tích số liệu, tìm ngun nhân giải pháp cho thực trạng vấn đề II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận: Trên quan điểm Nghị Đại hội Đảng cụ thể hoá Luật Giáo dục: “Giáo dục trung học sở nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thơng trình độ sở hiểu biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổ thông, trung cấp, học nghề vào sống lao động.” (Khoản 3, điều 27, chương II, Luật Giáo dục – Nhà xuất Chính trị Quốc gia, năm 2006) Hay Nghị số 29 – NQ/TW ngày 04.11.2013 Ban chấp hành Trưng ương khóa XI “ Đổi tồn diện giáo dục” có nêu “Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, lực công dân, phát bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, lực kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả sáng tạo, tự học,…” (mục Mục tiêu cụ thể” Đối với học sinh lớp 8, đặc điểm tâm, sinh lí lứa tuổi em muốn tìm hiểu, khám phá, vươn lên để thể Trong năm qua thực đổi phương pháp dạy học trường THCS có chuyển biến tích cực góp phần nâng cao hiệu chất lượng dạy - học Từ sở địi hỏi người thày ln cần mẫn, nhiệt tình, sáng tạo hoạt động dạy học, khơng ngừng tích luỹ vốn kiến thức kinh nghiệm cho thân Dạy dỗ để đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh, kích thích tính tị mị khoa học em, phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo người học; phát triển tư duy, hình thành nhân cách cho học sinh…Xây dựng “Trường học thân thiện, học sinh tích cực” để em cảm nhận “mỗi ngày đến trường niềm vui” Thực trạng: Trong trình giảng dạy, tham khảo ý kiến đồng nghiệp qua phụ huynh học sinh qua tìm hiểu học sinh với tơi nhận rằng: Đa số học sinh học yếu toán hổng kiến thức, lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy, học tập dập khn, máy móc, tiếp thu kiến thức thụ động; em khơng có phương pháp học đắn; số giáo viên chưa thật tâm huyết, chưa chịu tìm tịi nghiên cứu; tập em cịn trình bày sơ sài, suy nghĩ giản đơn Nhất gặp khó em lúng túng, bối rối, nên đâu làm nào, tập mang tính vận dụng kiến thức Đó thực trạng chung mà trình giảng dạy người giáo viên dễ nhận thấy nơi học sinh Trước vấn đề đặt đòi hỏi người giáo viên phải làm nào? Đây câu hỏi cần trả lời người trực tiếp giảng dạy lớp Trong chưng trình Đại số 8, nhiều tốn phải vận dụng nhiều kiến thức, kĩ năng, trình bày chặt chẽ, logic Từ chương I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC, phần tập sau tiết lí thuyết hay tiết luyện tập ôn tập chương khai thác phát triển thành tập khó, thường có đề thi chọn học sinh giỏi Ví dụ: Chứng minh : x5 – x + khơng số phương với x ∈ Z+ (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2008 – 2009 huyện Nơng Cống, Thanh Hóa) Bài phát triển từ 58 (trang 25 – SGK Toán tập – Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, năm 2010): Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho với số nguyên n; Tìm số cặp số nguyên(x, y) thỏa mãn: x + y = xy Bài phát triển từ 47 48 (trang 22 – SGK Toán – Tập một) Tìm số nguyên a cho a4 + số nguyên tố (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán năm học 2013 – 2014 huyện Thủy Nguyên, Hải Phòng huyện Việt Yên, Bắc Giang) Bài khai thác từ 57d (trang 25 – SGK Tốn – Tập một): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + Đó vài ví dụ cho thấy tập đề thi không dễ dàng nhiều học sinh gặp phải Nhưng lại xuất phát từ tập sách giáo khoa mà đa số học sinh làm Tôi ln nghĩ tập dù khó đến đâu khơng ngồi chương trình, kiến thức phương pháp học Chỉ có điều dạy em mà thơi Trong q trình giảng dạy Tốn nhận thấy lực học tập nơi em nhìn chung cịn hạn chế, đặc biệt kĩ khai thác, phát triển toán Bên cạnh đó, phụ huynh chưa đầu tư nhiều chưa có quan tâm mực việc học tập em Vì việc học tập nâng cao khả học tập mơn tốn gặp khơng khó khăn Chính lẽ hàng năm, thực tế cho thấy khả tiếp thu, lĩnh hội mơn tốn chun đề tốn học nói chung vận dụng giải toán với tỉ lệ giỏi chưa cao Đề tài tơi tích luỹ, rút từ kinh nghiệm giảng dạy có định hướng thày cô dạy Đại học Tôi triển khai nhiều năm học trước (kết đạt đáng khích lệ) tiếp tục năm học 2016 2017 chương trình dạy học khóa ơn tập bồi dưỡng học sinh giỏi trường Kết kiểm tra khả tiếp thu chưa vận dụng cách khai thác, phát triển toán kết sau: Điểm -10 Sỉ Lớp số Tổng % số 8A 38 2,6 Điểm - Điểm - Điểm - Điểm - Tổng số % Tổng số % Tổng số % Tổng số % 10,1 21,1 19 51,2 15,8 Từ thực trạng khiến tơi ln băn khoăn suy nghĩ làm để học sinh biết cách sử dụng toán bản, toán gốc để giải toán nâng cao cách linh hoạt, sáng tạo Với trách nhiệm người thày thấy cần giúp em làm tốt phần Các giải pháp thực hiện: Trong chương I (Phép nhân phép chia đa thức) kiến thức vô quan trọng Nắm vững kiến thức chương học tốt chương trình Và kiến thức chương cịn cơng cụ, ứng dụng để giải nhiều dạng tập Các tập SGK em làm như: Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, vận dụng đẳng thức đáng nhớ để tính nhanh, tính nhẩm, biết cách phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức biến… Nhưng gặp số toán bồi dưỡng học sinh giỏi hay đề thi em gặp nhiều khó khăn, vướng mắc Mà thực toán lại toán Nếu ta vận dụng kiến thức hiểu chất tốn trở nên quen thuộc dễ giải Tất nhiên, điều để nâng cao chất lượng dạy học người học phải có hứng thú, có lòng say mê, ham học hỏi Muốn vậy, hết giáo viên phải người gây hứng thú, tạo ý, tính tị mị khoa học nơi em, phải tác động làm thay đổi mạnh mẽ nhận thức học sinh Người thày việc có kiến thức chun mơn giỏi cịn phải có phương pháp truyền thu tốt, kĩ phạm, nhà tâm tâm lí học… thực yêu nghề, mến trẻ 3.1 Khai thác tốn phân tích đa thức thành nhân tử để giải tốn tìm điều kiện để giá trị biểu thức số nguyên tố Ví dụ 1: (Bài 57d trang 25 - SGK Toán tập một) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + Lời giải Ta có: x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) Vậy, x4 + = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) Khai thác tốn: Vì (x2 - 2x +2) = (x - 1)2 + ≥ với x (x2 + 2x +2) = (x +1)2 + ≥ với x nên x4 + = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) số nguyên tố x nguyên x2 - 2x +2 =1 x2 + 2x +2 =1 Ta khai thác tốn phát triển thành sau: Bài Cho A = x4 + Tìm số nguyên x để A số nguyên tố Bài Cho M = a4 + Tìm số tự nhiên a để M số nguyên tố 4 Bài Cho M = a4 + Chứng minh rằng: Với số nguyên a ≥ M hợp số Lời giải: (Sử dụng kết toán gốc): A = x4 + = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) Có x ∈ Z => x2 - 2x +2 ∈ Z; x2 + 2x +2 ∈ Z Vì (x2 - 2x +2) = (x - 1)2 + ≥ với x (x2 + 2x +2) = (x +1)2 + ≥ với x Do đó, A = x4 + = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) số nguyên tố thị x - 2x +2 =1 x2 + 2x +2 =1 Nếu x2 - 2x +2 =1 => x = => A = (thỏa mãn) Nếu x2 + 2x +2 =1 => x = - => A = (thỏa mãn) Vậy với x = x = -1 A = x4 + số nguyên tố 2.(Sử dụng kết toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2) Vì a số tự nhiên nên (a + 2a +2) = (a+1) + ≥ Do đó, muốn M số ngun tố phải có a2 – 2a + = => a =1 Khi M = số nguyên tố Vậy, với a = M = a4 + số nguyên tố (Sử dụng kết toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2) Vì (a-1)2 + ≥ với a ≥ (a+1)2 + ≥ 10 với a ≥ nên M hợp số (Lưu ý: Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước.) 3.2 Khai thác phát triển toán phân tích đa thức thành nhân tử để giải tốn chứng minh chia hết, số phương: Ví dụ (Bài 58 trang 25 - SGK Toán Tập một) Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho với n ∈ Z Lời giải: Ta có : n3 – n = n(n -1)(n + 1) tích số nguyên liên tiếp nên tồn số chia hết cho có số chia hết tích chia hết cho Khai thác phát triển toán: Vì n(n -1)(n + 1) M6 => n(n -1)(n + 1) ± (6k)n M6 (n, k ∈ Z) Ta phát triển thành toán: Bài Chứng minh rằng: n3 -13n chia hết cho (với n ∈ Z) Bài Cho số tự nhiên a1, a2, ., a2016 có tổng 20162017 3 Chứng minh rằng: a1 + a + + a 2016 chia hết cho Lời giải 2: Ta có: 2016M3 ⇒ 20162017 M3 ⇒ a1 + a2 + + a2016 ( = 20162017)M3 3 Xét hiệu: A = ( a1 + a2 + + a2016 ) – (a1 + a2 + + a2016) − a2016 ) = (a13 − a1 ) + ( a23 − a2 ) + + ( a2016 Dễ thấy a3 – a = a(a – 1)(a + 1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Suy ra: AM3 3 Mà a1 + a2 + + a2016 M3 nên a1 + a2 + + a2016 M3 Từ 2, ta phát triển thành sau: Cho số tự nhiên a 1, a2, ., a2016 có tổng 20162017 Chứng minh rằng: a1 + a + + a 2016 chia hết cho Vì n(n -1)(n + 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho => tích số nguyên liên tiếp chia hết cho nên chia hết cho 30 Phát triển thành toán sau: Bài Chứng minh rằng: n5 - n chia hết cho 30 (với n ∈ Z) Bài Tìm số tự nhiên n để n5 - n + số phương Bài Cho ba số a, b, c ∈ Z thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a + b5 + c5 chia hết cho 30 Đối với 3: Nhiều học sinh làm Nhưng , 5, cấp độ cao hơn, khó phải vận dụng nhiều kiến thức kĩ Bài 4: Vì n5 - n + = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n+1)(n2- + 5) = … = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n + 1) M5 nên có chữ số tận Do n - n + có chữ số tận Khơng có số phương có chữ số tận 7=> n - n + khơng phải số phương Vậy khơng có số tự nhiên n để n5 - n + số phương Bài Ta có: a5 + b5 + c5 = a5 + b5 + c5 – (a+b+c) (vì a+b+c =0) 5 = (a – a)+(b – b)+(c – c) M30 ( theo kết 2) mà a + b + c = M30 nên a5 + b5 + c5 M30 Và từ 2, khai thác phát triển thành nhiều tốn khác Đó điều thú vị Nó gây hứng thú cho học sinh, kích thích tính sáng tạo, tò mò khoa học, say mê cho người học 3.3 Khai thác phát triển tốn phân tích đa thức thành nhân tử để giải tốn phương trình nghiệm ngun: Khi gặp tốn phương trình nghiệm nguyên, học sinh thường “rất sợ” (!) Bởi lẽ, phương trình nghiệm nguyên đa dạng phong phú phương trình ẩn, nhiều ẩn phương trình bậc bậc cao Khơng có cách giải chung cho phương trình Tuy nhiên với việc vận dụng kiến thức chương I này, khai thác phát triển số tập SGK để đưa phương trình “dạng tích” giải số tập từ đơn giản đến phức tạp, bước đầu cho em làm quen, từ hình thành cách giải Nó góp phần khơng nhỏ để em học sinh vững tin gặp dạng toán 3 Ví dụ (Bài 53b trang 25 - SGK Tốn Tập một) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + x – Lời giải: Ta có x2 + x – = x2 - 2x + 3x – = (x2 - 2x) + (3x – 6) =x(x -2) + 3(x2) = (x-2)(x+3) Đối với tốn này, SGK (tiết học lí thuyết) khơng nêu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì khó cho học sinh diện đại trà Nhưng SGK gợi ý giải mẫu (ở ý a 53 - SGK) nên học sinh dựa vào làm Và tốn khơng cịn khó Vậy ta dạy học sinh khai thác tốn này? Như biết, (x-2)(x+3) ngun x nguyên Do ta phát triển thành sau: Bài Tìm số nguyên x, thỏa mãn: x2 + x – = Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + x - = y2 Với 1, nhiều học sinh làm được, không dễ dàng với đa số học sinh Lời giải: 2 ⇔ Bài Ta có: x + x - = y 4x + 4x - 24 = 4y2 ⇔ (2x + 1)2 – 4y2 = 25 ⇔ ( 2x – 2y + 1)(2x + 2y + 1) = 25 2x − y + = 2x − y + = 25 Suy ra:   2x+2 y + = 25 2x+2 y + = 2x − y + = 2x − y + = −5   2x+2 y + = 2x+2 y + = −5 Giải trường hợp kết hợp với điều kiện x, y nguyên ta nghiệm nguyên (x, y) (6; 6); (6; -6) ; (2; 0); (- 3; 0) Sau HS hiểu cánh làm tập 1, ta nâng cao cho HS luyện tập sau: Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a) 2(x + y) + = 3xy; b) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7; c) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Lời giải: a) Ta có: Ta có: 2( x + y ) + = 3xy ⇔ 3xy − x − y = ⇔ y (3x − 2) − (3x − 2) = + ⇔ (3x − 2)(3 y − 2) = 19 3 Do x, y nguyên dương nên x − ≥ 1; y − ≥ mà 19 = 1.19 = 19.1 nên ta có 3x − = 3 x − = 19 (II) (I) khả sau:   y − = y − = 19   Giải hệ phương trình trên, ta đươc nghiêm nguyên phương trình (x; y) ∈ { (1; 7); (7; 1)} b) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 =  2x2 + 4xy – xy -2y2 = ⇔ x( x + y) − y( x + y) = ⇔ (2 x − y)( x + y) = Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên ước Mà = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1) Ta có bảng sau: 2x-y x+2y x y 1,8 (loại) 2,6 (loại) -1 -7 -1,8 (loại) -2,6 (loại) -1 -7 -1 -3 Vậy nghiệm phương trình là: ( x, y ) ∈ { (3; −1);(−3;1)} c) Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1⇔ (x+1)4 – y2 = ⇔ [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1 Vì x, y nguyên dương nên (x+1)2 –y nguyên, (x+1)2+y nguyên (x+1)2+y ≥ Suy [(x+1)2 –y][(x+1)2+y] =1 vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm ngun dương: ( x, y ) ∈ ∅ Qua tập yêu cầu học sinh nêu nhận xét cách làm, kiến thức vận dụng Đó là: Biến đổi phương trình dạng: Vế trái tích của đa thức chứa ẩn, vế phải tích số nguyên Kiến thức vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp số kĩ biến đổi 3.4 Khai thác phát triển toán phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh bất đẳng thức từ vận dụng giải tốn tìm giá trị nhỏ (GTNN), giá trị lớn (GTLN) đa thức Ví dụ (Bài 82 trang 33 - SGK Toán Tập một) Chứng minh: a) x2 – 2xy + y2 + > , với số thực x y b) x – x2 – < 0, với số thực x Lời giải: a) Ta có x2 – 2xy + y2 + = (x – y)2 + Vì (x-y)2 ≥ nên (x – y)2 + > với x, y 1  1  x − x + − b) x – x – = - (x - x) - =  = −  x − ÷ − < với x ÷ 4  2  2 Khai thác phát triển toán trên: Bài a) Tìm GTNN biểu thức: A = x2 – 2xy + y2 + b) Tìm GTLN biểu thức: B = x – x2 – Vận dụng tập em học sinh giải (nó mức độ vận dụng thấp học trung bình khá; thơng hiểu đối vớí học sinh giỏi) Đáp số: a) Min A =  x = y; b) Max B = - x= Bài Tìm GTNN biểu thức: a) M = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2017; b) N = a4 + 2a3 + 3a2 – 4a + Giải: a) Ta có M = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + + 2013 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2013 Do (x-y)2 ≥ ; (y - 2)2 ≥ Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2013 ≥ 2013 Dấu ''='' xảy ⇔ x – y = y – = ⇔ x = y = Vậy GTNN M 2013 x = y =2 b) Ta có Ta có N = a4 + 2a3 + 3a2 – 4a + = a (a + 2) - 2a(a + 2) + (a + 2) + = (a + 2)(a - a+1) + = (a + 2)(a-1) + Vì a + > ∀a (a-1) ≥ 0, ∀ a nên (a + 2)(a-1) ≥ 0, ∀a Do đó: (a + 2)(a-1)2 + ≥ 3∀a Dấu xảy a − = ⇔ a = Vây MinN = a = 3.5 Khai thác phát triển toán chia hai đa thức biến: Ví dụ (Bài 74 trang 32 - SGK Tốn Tập một) Tìm số a để đa thức f(x) = 2x3 – 3x2 + x +a chia hết cho đa thức x + Giải: Cách Xét giá trị riêng: Ta có f(x) = 2x3 – 3x2 + x +a chia hết cho đa thức x +2 có đa thức q(x) cho q(x).(x +2) = f(x) Vì g(x).(x +2) = f(x) với x nên x = -2, ta có: f(-2) = 2.(-2)3 – 3.(-2)2 + (-2) + a = => a = 30 Vậy với x = 30 đa thức f(x) = 2x3 – 3x2 + x +a chia hết cho đa thức x + Cách Đặt thành cột dọc: 10 Ta có: 2x3 – 3x2 + x + a x +2 - + 4x2 2x 2x2 – 7x + 15 -7x2 + x + a 7x2 – 14x 15x + a -15x +30 a-30 Để f(x) = 2x – 3x + x +a chia hết cho đa thức x + a – 30 =0 => a = 30 Khai thác phát triển tốn: Bài Tìm a, b cho f(x) = ax3 + bx2 + 10x – chia hết cho đa thức g(x) = x2 + x – Bài Tìm dư chia f(x) = x + x3 + x9 + x27 cho g(x) = x2 – Bài Tìm dư chia (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2014 cho đa thức x2 + 8x + 12 (Đề thi chon học sinh giỏi Tốn lớp – Phịng GD&ĐT Nông Cống 2014 – 2015) Lời giải: Bài Ta có : g ( x ) = x + x − 2= ( x −1) ( x + ) Vì f ( x ) = ax + bx + 10x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − Nên tồn đa thức q(x) cho f(x)=g(x).q(x) => ax + bx + 10x − 4= ( x+2 ) ( x-1) q ( x ) với x Do đó: Với x=1 → a+b+6=0 → b=-a-6 ( 1) Với x= -2 → 2a -b +6= (2) Thay (1) vào (2) Ta tính : a = b = Vậy với a = b = đa thức f ( x ) = ax + bx + 10x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x2 + x − Bài Vì đa thức g(x) = x2 – có bậc 2, nên đa thức dư có dạng: r(x) = ax + b Gọi thương phép chia q(x), ta có: f(x) = x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b (*) Đẳng thức (*) với x Do : - Với x = ta có : a+b=4 (1) - Với x = - ta có : - a + b = -4 (2) Từ (1) (2) ⇒ b = a = Vậy dư phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – là: 4x Bài Cách giải tương tự ĐS: Dư 2009 Qua tập yêu cầu học sinh nêu khái quát cách giải: Xét giá trị riêng chia theo cột dọc - Khi gặp toán chứng minh đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) tìm dư phép chia f(x) cho g(x) học sinh thường làm theo cách “chia theo cột 11 dọc” Cách khơng khả thi f(x) có bậc cao Vậy ta trọng cho học sinh giải theo cách xét “giá trị riêng” Tuy nhiên, giải toán có nhiều cách, tùy mà vận dụng linh hoạt Một số toán phát triển, nâng cao Bài Cho biểu thức: A = n2 - 3n - (∈ ∈ ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Tìm n để biểu thức A nhận giá trị số phương (Đề thi học sinh giỏi lớp năm học 2015 – 2016, Phịng GD&ĐT Nơng Cống) Bài Cho a số tự nhiên a > Chứng minh rằng: A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 hợp số (Đề thi học sinh giỏi lớp năm học 2013 – 2014, Phòng GD&ĐT Thủy Nguyên, HP)     2 với ∀n∈Z Bài Chứng minh A =  n (n − 7) − 36n M (Đề thi học sinh giỏi lớp năm học 2014 – 205, Phòng GD&ĐT Việt Yên, Bắc Giang) Bài a) Gii phng trỡnh x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng b) Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố ( thi học sinh giỏi lớp năm học 2008 – 2009, Phịng GD&ĐT Nơng Cống) Bài a) Cho biểu thức A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 – b4 – c4 Chứng minh a, b, c ba cạnh tam giác A >0 b) Chøng minh r»ng : a5 a có chữ sè tËn ( a ∈ Z ) (Đề thi học sinh giỏi lớp năm học 2007 – 2008, Phòng GD&ĐT Tam Dương – P.Thọ) Bài Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, b c số nguyên Biết đa thức x4 + 6x2 + 25 3x4 + 4x2 + 28x + chia hết cho P(x) Tính P(-2) Bài a) Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x3 + ax + bx + chia cho đa thức B(x) = x+1 dư chia cho C(x) = x + dư b) Tìm đa thức dư cuối phép chia đa thức: f(x) = 1+ x2014+ x2015+ x2016+ x2017 cho đa thức g(x) = 1- x2 Bài a) Tìm số dư phép chia (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 2017 cho đa thức x2 + 10x+ 21; b) Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x4 – 3x2 +ax + b chia hết cho đa thức B(x) = x2 – 3x – Bài Chứng minh rằng: ( xm + xn + ) chia hết cho x2 + x + ( mn – 2)  Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 12 Bài 10 Tìm số tự nhiên n cho x2n + xn +1 chia hết cho x2 + x + Một số gọi ý lời giải vắn tắt: Bài Ta có : A = n − 3n − = (n − 2) + n − - Vì n số tự nhiên (n - 2)2 ln khơng âm nên n > A > - Các trường hợp lại n ∈ { 0;1;2;3;4;5} tính giá trị tương ứng A A∈ { −1; −3; −3; −1;3;9} Vậy giá trị nhỏ biểu thức A -3 Đạt n = n = Giả sử tồn số tự nhiên n để biểu thức A số phương Đặt : A = n − 3n − = y (y ≥ 0) ⇔ 4n − 12n − = y ⇔ (2n − 3) − 13 = (2 y ) ⇔ (2n − 3) − (2 y) = 13 ⇔ (2n − − y )(2n − + y ) = 13 (*) Vì ( 2n - - 2y ) + ( 2n - + 2y ) = 4n - > ( n = 0, n = không thỏa mãn) 2n - - 2y < 2n - + 2y ( y ≥ ) nên 2n - + 2y > Từ ta  2n − − y = n = ⇔ : (*) ⇔  2n − + y = 13  y = Vậy để A số phương n ∈ { 5} Bài Đặt x = a2 +a +1 ⇒ a2 +a +2 = x +1 A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3) Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2) Vì a ∈ N a > nên a số tự nhiên Ngoài ước ± A, cịn có thêm ước (a2 +a +5) (a2 +a – 2) Do A hợp số     2 Bài Ta có: A =  n (n − 7) − 36n  2 3 A = n  n( n − 7) −   n( n − 7) +  = n(n − 7n − 6)(n − 7n + 6)    = n(n3 − n − 6n − 6)(n3 − n − 6n + 6) = n  n(n2 −1) − 6(n + 1)   n(n − 1) − 6(n − 1)  ( ) ( )    = n(n + 1) n2 − n − ( n −1) n2 + n − = n ( n + 1) ( n + ) ( n − 3) ( n − 1) ( n − ) ( n + 3) Do A tích số nguyên liên tiếp => A M7 với ∀ n∈ Z Bài a) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 ®ã A=5 b) x2-y2+2x-4y-10 = ⇔ (x2+2x+1) - (y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng 13 Nªn x + y + > x – y - > ⇒ x + y + = vµ x – y - 1=1 ⇒ x = ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng nhÊt (x,y)=(3;1) Bài a) ) A = 2a b + 2b 2c + 2a 2c − a − b − c = a b2 - ( 2a b − 2b 2c2 − 2a 2c2 + a + b4 + c4 ) = (2ab)2 - ( a + b − c2 )2 = (2ab + a + b2 − c2 )( 2ab - a − b2 + c2 ) 2 2 =  (a + b) − c   c − (a − b)  = (a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(c − a + b) Do a, b, c cạnh tam giác nên a + b + c > 0;a + b − c > 0;c + a − b > 0;c − a + b > ⇒ A > b) Làm tương tự mục b Bài P(x) = x2 + bx + c, b c số nguyên Tìm hiệu: 3(x4 + 6x2 + 25) 3x4 + 4x2 + 28x + => đồng hệ số => a = -2; b = Rồi tính P(2) = Bài a) Tương tự 1, mục c; b) Tương tự 2, mục c Bài Tương tự 3, mục c Bài Đặt m = 3k + r với ≤ r ≤ ; n = 3t + s với ≤ s ≤ => xm + xn + = x3k+r + x3t+s + = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thấy: ( x 3k – 1)  ( x2 + x + 1) ( x3t –1 )  ( x2 + x + 1) vậy: ( xm + xn + 1)  ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1)  ( x2 + x + 1) với ≤ r ; s ≤ r = s = => m = 3k + n = 3t + r = s = => m = 3k + n = 3t + mn – = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2)  Điều phải chứng minh áp dụng: m = 7; n = => mn – = 12  => ( x7 + x2 + 1)  ( x2 + x + 1) => ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + Bài 10 Gợi ý: Vận dụng Nhận xét: Sau giải tốn dạng ta khơng thấy có vướng mắc lớn Bởi tồn toán mà học sinh khơng gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên sở để từ tiếp tục nghiên cứu dạng toán mức độ cao hơn, phức tạp chút chương trình học Đặc biệt, gieo hứng thú, say mê học 14 mơn Tốn cho học sinh Các em thấy mơn Tốn khơng cịn khơ khan, ln tự tin hình thành thói quen nghiên cứu khoa học nơi em học sinh Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với việc nghiên cứu đề tài chuyên đề: Dạy học sinh khai thác phát triển tập sách giáo khoa khối lớp thân trực tiếp giảng dạy năm qua nhận thấy: Đối với thân: Được trau dồi, củng cố, kiến thức chuyên môn thêm vững vàng, hệ thống kiến thức chương với chương khác, lớp với lớp khác gắn kết Tạo chuyển biến việc nâng cao chất lượng dạy học, học sinh mến phục đồng nghiệp hưởng ứng Đối với đồng nghiệp: Đây đề tài mà sinh hoạt chuyên môn thường đưa để thảo luận Khai thác phát triển toán ứng dụng rộng rãi tiết dễ thực hiện, giáo viên làm được, mang lại hiệu cao dạy học Góp phần thúc đẩy phong trào tự hay, say mê nghiên cứu đồng nghiệp trường Đối với học sinh: Việc chất lượng cải thiện, em có vốn kiến thức sâu rộng, có hệ thống Các em thêm tự tin có hứng thú học tập mơn Tốn hơn, phát huy tính chủ động, tích cực học tập, em ln say sưa tìm tịi; rèn luyện tính cần cù, sáng tạo, tư khoa học Bước đầu hình thành cho học sinh thói quen nghiên cứu khoa học Góp phần thúc đẩy phong trào học tập học sinh trường 15 III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Qua trình giảng dạy mơn tốn lớp bậc THCS, để giúp em có kĩ vận dụng kiến thức môn việc tiếp cận đề tài nhận thấy: Khai thác phát triển toán chương I Đại số lớp nội dung quan trọng, kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt ứng dụng hiệu toán chứng minh biểu thức số nguyên tó, số phương, giải phương trình, phương trình nghiệm nguyên, toán cực trị, toán chia hết… Từ để học sinh làm tốt dạng tốn học chương Để học sinh nắm kiến thức có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức, hệ thống tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học sinh phát huy khả suy luận tính độc lập sáng tạo Với dạng tốn khơng có quy tắc tổng qt song giải giáo viên đặc điểm mà có hướng giải để gặp tốn tương tự học sinh liên hệ Đối với học sinh em có khả vận dụng kiến thức vào việc giải toán tốt Từ chỗ đơn phân tích đa thức thành nhân tử hay chia hai đa thức biến em làm tập khó hơn, mức độ cao thường có đề thi học sinh giỏi Qua em em có hứng thú, tự tin mở cho em hướng tìm tịi, chủ động nghiên cứu khoa học giúp em phát huy tính tích cực, tư sáng tạo Rèn luyện cho khả tư tốn học, tự tìm tịi sáng tạo để biến tri thức thành tri thức Từ hình thành kĩ năng, kĩ sảo thực hành giải tốn Hình thành cho em có tư khoa học, tinh thần học hỏi phấn đấu vươn lên trước tình khó khăn học tập sống Kết triển khai đề tài sau kiểm tra đánh giá với mức độ kiến, hoàn cảnh em học sinh lớp 8A thực nhanh mặt thời gian có xác cao Cụ thể kết sau triển khai đề tài vào dạy toán lớp 8A sau: Lớp Sĩ số 8A 38 Điểm - 10 Điểm - Điểm - Điểm - Điểm - Tổng số % Tổng số % Tổng số % Tổng số % Tổng số % 15, 23,7 21 55,3 5,3 0 16 Đối với giáo viên qua việc giảng dạy trao đổi thêm kĩ vận dụng để tìm phương pháp giải tốn mới, hiệu Qua thấy ý nghĩa khai thác phát triển tốn q trình giảng dạy Trên kinh nghiệm xây dựng, rút từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy phần toán nhiều năm học Tuy nhiên, không tránh khỏi thiếu sót, tính khách quan Rất mong nhận thông tin phản hồi đánh giá để tiếp tục nghiên cứu, bổ sung đồng nghiệp đạt mục đích nâng cao chất lượng, hiệu cơng tác giáo dục Kiến nghị Chương trình SGK đổi mang lại chuyển biến mạnh mẽ trình dạy học, người học đóng vai trị chủ thể nhận thức người dạy người tổ chức, hướng dẫn học sinh thực nhiệm vụ Nên tơi mạnh dạn đề xuất cần bổ sung tài liệu thiết thực có hiệu vào thư viện nhà trường giúp học sinh tự tìm tịi nghiên cứu q trình học tập Và cần có Hội đồng giáo viên thường xuyên trao đổi kinh nghiệm dạy học SKKN đạt giải cấp huyện hay cấp tỉnh để học hỏi kinh nghiệm, nâng cao nghiệp vụ sư phạm Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG Nông Cống, ngày 26 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Nam 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK SGV Toán (Tập tập hai) - Nhà xuất GD 2003 Phương pháp dạy học Toán trường THCS – NXB Giáo dục 1996 Bồi dưỡng Toán - Nhà xuất GD 2006 Vũ Hữu Bình - Tốn nâng cao Đại số 8- Nhà xuất Đà Nẵng Vũ Hữu Bình - Nâng cao phát triển Toán (Tập tập hai - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 2016) 23 chuyên đề toán sơ cấp - Nhà xuất trẻ 2000 Một số tài liệu khác trang Violet 500 toán cao ( Nguyễn Đức Chí – Nhà xuất Đại học Sư phạm (2004) Thực hành giải Toán (Đặng Đình Lăng – Nguyễn Hữu Túc) 10 Đề thi học sinh giỏi huyện mơn Tốn năm học(từ 2007 đến huyện tỉnh Thanh Hóa số tỉnh bạn) 18 ... việc gi? ?i toán Trong gi? ?i toán học sinh ph? ?i biết nhận dạng từ nhanh chóng đưa cách gi? ?i phù hợp Để làm ? ?i? ??u này, mà dạy học ngư? ?i dạy hướng cho học sinh cách khai thác phát triển toán Việc khai. .. giảng dạy ngư? ?i giáo viên dễ nhận thấy n? ?i học sinh Trước vấn đề đặt đ? ?i h? ?i ngư? ?i giáo viên ph? ?i làm nào? Đây câu h? ?i cần trả l? ?i ngư? ?i trực tiếp giảng dạy lớp Trong chưng trình Đ? ?i số 8, nhiều... lên vấn đề: ? ?Dạy học sinh khai thác, phát triển số toán chương I - Đ? ?i số trường THCS Trung Chính" Đây phần nhỏ tồn chương trình dạy học Tốn V? ?i đề t? ?i này, hi vọng giúp em nắm vững kiến thức mơn