Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐÈ 2 PHẦN II GIẢI QUYÉT VẤN ĐÊ 3 2 1 Cơ sờ lý luận 3 2 2 Thực trạng của van đề 3 2 3 Các biện pháp mới đã thực hiện đê giải quyết van đề 3 2 4 Hiệu quả của SKKN 17 PHẦN III KẾT[.]
MỤC LỤC: PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐÈ .2 PHẦN II: GIẢI QUYÉT VẤN ĐÊ 2.1 Cơ sờ lý luận: .3 2.2 Thực trạng van đề: .3 2.3 Các biện pháp thực đê giải van đề 2.4 Hiệu SKKN 17 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐÈ NGHỊ 18 3.1 Kết luận : 18 3.2 Kiến nghị: 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 PHẦN I : ĐẠT VẤN ĐẺ Trong chương trình mịn tốn trường THCS ta thấy tập toán nhiều đa dạng “ Giãi toán lả nghệ thuật thực hành, giống bơi lội, trượt tuyết, hay chơi đàn, có thê học nghệ thuật đó, chi can bat chước theo mẫu mực đan thường xun thực hành.Khơng có chia khố thần kỳ đê mờ cùa ngõ, khơng có hịn đá thần kỳ đê biến kim loại thành vàng (Đe - Các Leibnitz ) Tim lời giài hay cùa toán tức đà khai thác đặc diêm liêng cùa tốn Điều làm cho học sinh “có thê biết quyến rũ cùa sáng tạo mềm vui thang lợi” (Polia-1975 ) Giãi tập tốn lả q trình suy luận, nham khám phá quan hệ logic giừa đà cho (giã thiết) VỚI phải tìm (kết luận) Nhưng quy tắc suy luận phương pháp chứng minh chưa dạy tường minh Do học sinh thường gặp nhiều khó khăn giài tập Phương pháp chung tìm lời giài tốn : Bước 1: Tìm hiểu nội dung bải tốn Bước 2: Xây dựng chương trình giãi Bước 3: Thực chương trình giãi Bước 4: Kiêm tra nghiên cứu lời giài Trong bước cơng việc thực là: Nghiên cứu tốn tương tự, mờ rộng hay lật ngược van đề Đó khai thác tập toán Thực tiễn dạy học cho thấy đê có kỳ giãi tập phải qua q trình luyện tập Tuy rang khơng phải giài nhiều bải tập lả có kỳ Việc luyện tập sè có hiệu biết khéo léo khai thác hr tập sang loại tập tương tự, nham vận dụng tính chất Trong q trình giăng dạy giáo viên cần khai thác tập sách giáo khoa giúp học sinh hiên sâu kiến thức, có kỳ giãi tập, nham nâng cao chất lượng dạy học việc làm đặc biệt quan trọng còng tác bồi dường học sinh giói học.Vì tịi đà rút kinh nghiệm “ Khai thác phát triên số tốn hình học” PHẤN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐÈ 2.1 Cơ sớ ìý luân: Qua nghiên cứu thực tế giảng dạy trường THCS, năm qua tòi đà nghiên cứu lút số kinh nghiệm việc khai thác bải tập toán đê xây dựng hệ thống tập bồi dường học sinh giòi là: Chuyên điều chưa biết thành tốn Thay địi hình thức phát triên tốn Tìm tốn liên quan Mờ rộng tập khác 2.2 Thưc trang van đề: Học sinh trường THCS ngại học mịn tốn cho rang đày mịn học khó lả hình học địi hỏi học sinh tịng hợp kiến thức, có kỳ trình bày logic, chặt chè, chi học học khố lớp khó có thè giãi tốn nâng cao, khơng đù kiến thức tham gia thi học sinh giói mịn tốn Các em học sinh việc học tồn diện mịn học cịn tham gia hoạt động xà hội thời gian học thêm, chưa say mè VỚI môn học, không thấy điều kỳ diệu cùa tốn học, địi hỏi giáo viên giảng dạy phải nghiên cứu tìm tịi, sáng tạo xây dựng chuyên đề bám sát chường trình, theo chuân kiến thức, kỳ năng, phát huy tính tích cực cùa học sinh 2.3 Các biện pháp thực đê giải quvet van đề Trong sách giáo khoa, sách tập có nhiều tập vận dụng kiến thức lý thuyết rat hay kin giài tập cần khai thác theo nhiều khía cạnh khác cách giãi khác nhau, thay địi dừ kiện toán ta số toán khác tương tự liên quan từ bải toán ban đầu ta gọi tốn “chìa khố” ta có thè giải dược nhiều tập khác , cố nhiều kiến thức, nít ngan thời gian học tập, học sinh luyện tập nhiều, thay tính logic cùa tốn học say mê học toán Sau số tập minh hoạ Từ tốn nịi tiếng mà hình vè in trang đầu cùa số sách nâng cao lóp 8, là: Bài tốn A: Cho hình vng ABCD Đặt hình vng A B c D bên hình vng cho tàm trùng Chứng minh : trung điểm cùa AA ; BB ; cc : DD đinh hình vng khác Lời giải: A B Cách 1: i-AOA = ABƠB' ( c.g.c ) => AÁ = BB Tương tự => A A = BB =cc = DD Z =>AAOM = iBOM =ầCOP=àDOỌ => OM = ON = OP = OQ => tứ giác MNPQ hình bình hành => o trung điểm cùa MP NQ = MP = NQ => MNPQ hình chữ nhật ACỠP = LŨOO = *AOM =iBON =■ COP = DOO => POQ = 90° => tứ giác MNPQ hình vuông Cách 2: Nối B c ; CD; D A; AB gọi E, F, G, H lần hrợt trung điểm cùa cạnh B c ; C D; D A; A B EP // B Ờ EP = Ị B Ờ, FQ // c D EQ = Ị c D GM// Á D GM = Á D, HN A B HN= A B 2 EP = FQ = GM = HN NE// BC NE = BC, PF // CD PF = 1CD 2 QG// AD QG = AD, MH AB MH = ỈAB ^NE = PF = QG = MH A.VEJ> = ^PFQ- LQGM = AMH.V ( c.g.c) MN = NP = PQ = QM MỌP = 90 = MNPQ hình vng Cách 3: Thực phép quay tàm o góc quay 90° chiều kim đồng hồ thi OA s OB ; OÁ= OBZ ^AA s BBZ ;BB s CỜ; CỜ DDZ; DD = AAZ =^M=N;N = P;P = Q;Q=M=> MNPQ hình vng *Từ nhận xét: AM BN CP _ DO AA BB cc DD Đặt ẢM TTk(k°) Chứng minh rang : MNPQ hình vng Khi k = tốn la chỉnh toán A *Neu khai thác toán theo cách giài thứ phép quay ta có toán sau: Bài toán 2a: Cho đa giác A1A? ,An đạt bên đa giác đa giác A, A7 A„ cho tâm cùa đa giác trùng Gọi A, A, tiling điểm cùa Al A , A:A^ AnA'n- Chứng minh rang: Al A7 A đa giác *Thêm vào bải toán 2a yếu tố tỷ lệ ta có tốn sau: Bài tốn 3a: Cho đa giác A1A2 An đạt bên đa giác đa giác A7 An cho tâm cùa đa giác tiling Gọi A1 A2 An điêm nam đoạn AIẶ', AỊA2, AnAAao cho AÌẦÌ _ A2A2 = AM _ A4A4 AỉAỉi ~ A2Ả2 Chúng minh rằng: A A A đa giác n AM3 ~ A4A4 Khi k = tốn toán 2a * Neu khai thác theo cách giãi 1,2 khơng cần đến tàm o ta có tốn sau Bài tốn 4a: Đặt hình bình hành A B c D hình bình hành ABCD cho đinh cùa hình bình hành A B C D nằm hình bình hành ABCD Chứng minh : trung điểm cùa AA ; BB ; cc ; DD đinh cùa hình bình hành Tịng qt ta có tốn sau: Bài tốn 5a: Cho hình bình hành ABCD, đặt hình bình hành A B C D cho đinh cùa nam hình bình hành ABCD Gọi M, N, p, Q lần hrợt lả điểm nam áÀ BB cc _ Dũ' đoạn AA ; BB ; cc; DD cho -—— = —— = — = -= k ( AM BN CP DO A A/ ™ k > 0) Chứng minh rang : MNPQ lả hình bình hành *Khi k = toán 5a chỉnh toán 4a Khai thác từ tốn hình học lớp quen thuộc sau: Bài toán B: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Điêm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA = MB T MC LỜI giãi : Trên tia CM lấy điểm N cho MN = MB NC = MB + MC Mx = M2 = 60° (vì B = c = 60°) = M3 = 60° = A BMN = BN = BM Ta có: BC = BA ABM = ABC + CBM = 60° + CBM= MBC = A ABM = A CBN ( c.g.c) = AM = NC = MB + MC Nhận xét từ tốn B ta có tốn sau: Bài toán Ib: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điêm M thuộc cung nhò BC Chứng minh: MA < MB T MC Giữ nguyên đề bài, thay đơi câu hỏi ta có tốn sau Bài tốn 2b: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điêm M thuộc cung nhò BC Chứng minh: MC Lời giải: \MDB ~ AM CA MC MD MA = MB MC MB + MC MD MB.MC MD MB MC Từ tốn ta có thê giải toán sau Bài toán 3b Cho tam giác ABC dựng tam giác đền cạnh tam giác tam giác ACB , tam giác ABC tam giác BCA Chứng minh rang: đường tròn (ACB ); (ABC 7); (BCA) đồng quy I Lời giải: Gọi I giao cùa đường tròn (ACB ) đường tròn (ABC ) = AIC = 120°, AIB = 120° => B/C = 120° = I e (BCA) hay đường trịn đồng qưy Từ tốn 3b ta dễ dàng chứng minh toán sau: A' * Bài toán 4b: Cho tam giác ABC dựng tam giác đền cạnh tam giác tam giác ACB tam giác ABC7 tam giác BCA , đường tròn (ACB ); (ABC 7); (BCA) đồng quy I Chứng minh rang: đường thẳng AA ; BB ; cc đồng qưy Bài toán 5b: Cho tam giác ABC dựng tam giác đền cạnh tam giác tam giác ACB tam giác ABC tam giác BCA, đường tròn (ACB ); (ABC 7); (BCA) đồng qưy I Chứng minh rang: IA + IB + IC = Ị( LÁ + IB +IC7) Bài toán 6b: Cho tam giác ABC dựng tam giác đền cạnh tam giác tam giác ACB , tam giác ABC7 tam giác BCA, đường tròn (ACB ); (ABC ); (BCA) đồng qưy I Chứng minh rằng: -^—4 ^— + —^-= — ( —- F —+ —) Al Bl , Cl giáo IA IB IC IBX ICX với cạnh cừa tam giác Bài toán 7b: Cho tam giác ABC dựng tam giác đền cạnh tam giác tam giác ACB tam giác ABC tam giác BCA , đường tròn (ACB ); (ABC 7); (BCA) đồng quy I Chứng minh rang: IA + IB T IC nhỏ VỚI I tlmộc tam giác ABC Bài toán 8b: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Điêm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA2 + MB2 T MC2 = 2a2 VỚI a cạnh cùa tam giác Bài toán 9b: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Điêm M thuộc cung BC Tim 111 để MA + MB T MC lớn Bài toán IQb; Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Điêm M thuộc cung BC Tim 111 để MA + MB2 T MC2 lớn Bài toán llb; Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Điêm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA4 + MB4+ MC4 = 2a4 VỚI a cạnh cùa tam giác Bài toán c: Cho ,YỠT = 90° Tran Ox lÊy ®iĨm A cè ®Ị>nh cho OA = a Điểm B di động tran Oy v gác xOy mét hxnh vu«ng ABCD a) TÝnh khoSLng cyh tõ D ®Õn Ox b) Txm tẺp hỉp (qịy tÝch) ®iÓm D B di ®éng tran Oy H-ing dÉn: a) KĨ DH Ox E H Cã AAHD vu«ng t1 i H nan Jj+5] =90° + = 90° suy = Ậ 4+4=90° BÃO + = 90° Suy A2 = BAO Hay Dỵ=BAO XĐt A DHA vụ A AOB Cã: H = = 90° , = BÃO DA = AB (cxnh hxnh vu«ng) VE ỵ ADHA = AAOB = (T / h B»ng đ7Ec bit tho cha tam gi5c vuông) Vấ: DH = OA = a b) Theo chong minh tr an DH = a (const) Khi B di ®éng tran O thx D di động theo nh-ng csch Ox mét khoing DH = a VÊỵ quti tÝch cha D thc ®-êng thMng khoing b»ng a song song víi Ox vụ c ch Ox mét Giíi hJn; Khi B = thx thuéc ®-êng thMng khoing b»ng a, A KÕt lũÉn: H= A vụ D E= song song víi cè ®E>nh suy D' lụ mét D’ Ox vụ c ch Ox D’ cè ®ĩ>nh ®iĨ m mét Khi B di ®éng tran Oỵ thx quii tÝch cha D lụ tia D'z // Ox, D' c 4ch A mét khoing b»ng a Khai thác 1: Tõ lêi giSIi tran ta thÊỵ hxnh vu«ng OAD'C lụ nhá nhÊt tẼp c sc hxnh vu«ng ABCD B di ®éng tr an Oỵ Vụ ®—ing nhian tẼp C4C hxnh vu«ng Êỵ thx diốn tÝch hxnh vu«ng OAD'C lụ cã gi trh nhá nhÊt Tõ suy xĐt ®ã ta cã bụi to,n mỉi Bpi to^n la: Cho xỢy = 90° lÊy A thuéc tia Ox cho OA = a Mét ®iĨm B di ®éng tr an Oỵ vĩ gãc xOỵ hxnh vu«ng ABCD X 4C ®ĩ>nh vE> trÝ ®iĨm D ®Ĩ nhÊt SABCD lụ nhá Ch0ng minh ThẼt y AB2 vẼy Trong c AQAB ÃOB = 90° => Do A cè ®E>nh AB > OA ®éng nan SABCD SABCD Do SABCD — a ®ã o AH Hxnh nhá nhÊt Êy B = Khai, th c 2: Tõ kõt qu5I tran ta suy hxnh vuông OAD'C' l cố đE>nh c 1nh a Thõ thx OD' cè ®bnh nan trung ®ỈĨm I' lụ cè ®bnh VÊn ®Ị ®7Et lụ: NÕu B chuỵón ®éng tran Oỵ thx D chuỵón ®éng tr an tia D'D Khi ®ã trung ®iĨm I cha OD chun ®éng tr an ®-êng nụo vụ ta cã bụi to4n mỉi Bụi to2c: Cho gãc xỢy = 90° LÊỵ A tr an Ox cho OA = a, mét ®iĨm B di ®éng tr an Oỵ Trong gãc xỢv vỉ hxnh vu«ng ABCD Gãi I lụ trung ®iĨm cha OD Txm tẼp hĩp (qịy tÝch) ®iĨm I H-íngr dÉn; (H X nh 2) Theo kõt quĩ tran D' lụ giii han cha D vụ D' cè ®E>nh Gãi I' lụ trung ®iĨm OD' => I' cè ®ĩ>nh Trong AOD'D cã 1'1 lụ ®-êng trung bxnh => 1'1 // D' D Nan quũ tÝch I lụ tia 1’1 // Ox c4ch Ox mét khoĩng = y Suy xĐt: (hxnh 3) Qua thMng // Q c^t DH c Ox txi kĩ c^t p Theo tr an chong minh ®-ĩc AAOB huyũn đ-ờng O txi ta đ ã (C1nh nhón) r~ ADHA - gãc OA = DH a OB = AH Nh-ng CQ // Ox 1V CQB = CP = OA PD = OB VẼy OA + AH = DH + PD = CP + CQ = BQ + OB hay OH = HP = PQ = QO Mụ QOA = Iv Nên tứ giác OHPQ hình vng Ta cã bpi to5n míi Bpi tosn 3c: Cho gãc vơv, tran tia Ox ĨÊỵ A cho OA = a, tr an Oỵ ®iĨm B di ®éng Dùng gãc xOy hxnh vuông ABCD; qua c k đ-ờng thMng // Ox, qua d kĩ ®-êng thMng // Oỵ Hai ®-êng thMng nụy c5ít txi p vụ ĨỌn 1-ĩt c^t Oy txi Q, c^t Ox txi H a) Chong minh tứ giác OHPQ lụ hxnh vu«ng b) Gãi I lụ trung ®iĨm AC, chong minh 0, I, p th^ng hụng Tõ suy xĐt tran dơ dụng suy ®iỊu chong minh Khai thòc 4: Suy xĐt tiõp ta thÊy Ta cã thó chun h-íng bụi to4n d-ii d1ng kh4c NÕu ta coi hxnh vuông OHPQ l cố đE>nh c1nh = a Tran C4C c1nh HO, OB, PQ, cho OA = PH ĨỌn 1-ĩt ĨÊy A, B, c, D QB = PC = DH Tiõp tôc: NÕu cho A di ®éng tr an OH vụ vÉn ch-a thoi m-n ABCD lụ hxnh vu«ng thx chu vi cha AAOB cã gi trl> thay ®aei nh- thõ nụo Cơ thó cã quan hồ gx vii a c1nh hxnh vu«ng OHPQ ADHA ThẼt vẼỵ dơ chong minh ®-ĩc A = ACPD = ABQC AOB = Tõ ®ã => tứ giác ABCD lụ hxnh Hxnh vu«ng AAOB lu«n cã: AB < OA + OB Nh-ng OB = AH => AB < OA + AH = OH = a Do A, B còng chuún động v thoi m-n ABCD l hxnh vuông Nan A = H, B = => AB = OH = a Do ®ã: OA + OB + AB < OH + OH = 2a VEy CAOB — 2a (CAOB : chu vi AAOB) (Chu vi cha AAOB cã gi4 trh lin nhÊt b»ng 2a) Ta cã bpi toòn míi Bụi to^n 4c: Cho hxnh vu«ng OHPQ cxnh lụ a Tran C5C c1nh HO, OQ, QP, PH ĨỌn 1-ĩt ĨÊy A, B, c, D cho OA = QB = PC = HD a) Chong minh: Tứ giác ABCD l hxnh vuông b) Khi A chuún động tran OH vụ thoSI m-n ABCD lụ hxnh vu«ng vụ (A 5* 0, A 5* H) Chong minh CA0B < 2a Tõ suỵ xĐt ta dơ chong minh ®-ĩc ®iỊu nụỵ Khai th ; c 5: Tiõp tơc kh«ng dõng ĩ1! ta suy xĐt tiõp Ta lu«n cã OB + OA = OH = a không đaei (vẫn nội dung bi tÊp 4) Nh- vẼỵ OA + OB = a (const) Suy OA.OB lín nhÊt OA = OB (Tang số ding không đai tích cha chúng ln hai số nhau) Để ý thx thÊỵ r»ng: OA OB = 2SA0B (SAOB diốn tÝch AAOB) O , Mụ hxnh vu«ng OHPQ cã SOHPQ = a (SOHPQ lụ diOn tYch tứ giác OHPQ) z Hay SABCD — a SAOB NÕu SA0B lỉn nhÊt thx SABCD nhá nhÊt lụ SAOB nhá nhÊt thx SABCD lin nhÊt Mụ SA0B lín nhÊt OA.OB lỉn nhÊt vx lý luẼn tr an OA.OB lỉn nhÊt OA = OB Tõ ®ã => OA = OB = Hay A lụ trung ®iĨm OH, B lụ trung ®iĨm OQ ? Ta cã bpi to^n míi Bụi tosn 5c: Cho hxnh vu«ng OHPQ c1nh lụ a Tran OH, OQ, QP, PH ĨỌn 1-ĩt ĨÊy A, B, D cho OA = QB = PC Chong minh ABCD lụ hxn b) A chuỵón ®éng tran OH /\ / (vÉn thoi m -n ABCD lụ hxn \ X5C ®ĩ>nh vE> trÝ A ®Ĩ SABCD / Txm gi5 tr& ®ã , H-íng đEn: ysZ-—— / B \ \/ \X / a) DÔ chong minh ®-ĩc: AAOB = ADHA z ^***>0/ X (c g c) => Hxnh AB = AD T >ng tù CB = CD = AB VẼy tứ giác ABCD lụ hxnh thoi (1) 4=Ậ mà + Ậ=90° suy 4+4 =90° (2) ABCD lụ hxnh vu«ng b) Ta cã SOHPQ = a Theo kõt quĩ tran AAOB = ABQC = ACPD = ADHA (c.g.c) —SABCD = a^ ~ SAOB = az ~ OA OB Do OA + OB = OA + AH (vx OB = AH) =5 OA + AH = OH Không đaei nan tích OA.OB lin OA = OB = — Nghùa lụ OA.OB < - T = — a2 /7/7 2 Z,2 VẼy SABCD > a2 - ^- = a2-^- = ^_ 4 „ Z,2 ^2 2 gi5 trh nhá nhÊt ®ã: OA Chong tá A lụ trung ®iĨm cfía OH 2.4 Hiệu SKKN Áp dụng kinh nghiệm dạy học vào việc giăng dạy mịn tốn THCS đà đạt số kết học sinh yêu thích mòn học, chất lượng mòn nâng cao, em có ựr tin tham gia đội tuyên học sinh khiếu mơn tốn PHẦN III: KÉT LUẬN VÀ ĐÉ NGHỊ 3.1.Kết luận : Trên số tập tìr SGK , SBT hình học lớp 8, lóp khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau, đà dạy cho học sinh học công tác bồi dường học sinh giỏi Lúc đầu em thấy mơn tốn hình q khó, khơng biết cách trình bày câm thấy ngại học mơn tốn hình , sau áp dụng kinh nghiệm đa số học sinh hiên bải thích học mịn tốn em thấy tự tin hơn, ựr có thê giãi tốn khó, đồng thời phần trình bày cừa em logic , chặt chè trường phị thơng , dạy tốn dạy hoạt động tốn học đối VỚI học S11111 có thê xem việc giãi tốn hình thức chữ yến cừa hoạt động toán học Trong dạy học toán, tập toán học sử dụng VỚI dụng ý khác nhan, có thê dùng đê tạo tiền đề xưất phát đê gợi động cơ, đè làm việc VỚI nội dưng mới, đê cứng cố kiêm tra thời diêm cụ thê đó, bải tập chứa đựng tường minh hay ân tàng chức khác nhùng chức hướng tới việc thực mục đích dạy học Giãi tốn vấn đề dược quan tâm nghiên cứu khai thác từ tốn đê tạo nhiêu tập làm phong phú thêm vốn kiến thức rèn khả suy luận hợp lý logic , khả qyuan sát dự đốn, phát triên trí ưrờng tượng, bồi dường phàm chất cừa tư hull hoạt, độc lập sáng tạo, hình thành thói qun ựr học, say mê VỚI mịn học Trong toán luyện tập cần khai thác tập sè luyện tập nhiều kiến thức khác sâư VỚI cách làm có thê áp dụng cho nhiên tập chương trình tốn THCS Thực dược chuyên đề làm tốt còng tác tự bồi dường giúp cho giáo viên nâng cao trình độ chun mịn, nàng cao chất lượng giáo dục, góp phần tích cực cịng tác bồi dường học sinh giói Trên đày chi kinh nghiệm nhị cùa tịi khơng có điều kiện trinh bày hết tất câ bải tập tòi chi xin trinh bàyl tập hình học lóp tập hình học lớp làm ví dụ minh hoạ cho chun đề cùa mình, mong muốn trao địi VỚI ý ưrờng tòi tiếp tục nghiên cứu nhiều chuyên đề 3.2 Kiến nghị: Phòng giáo dục đào tạo tiếp ựic tri việc làm SKKN đê cán giáo viên rèn luyện, học hòi, trao đòi kinh nghiệm nàng cao chất lượng giáo dục, phò biến rộng rãi sáng kiến, kinh nghiệm hay, sát thực tiễn cho tất câ cán giáo viên học tập TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi học sinh giói năm Sách giáo khoa toán lớp Sách tập toán lớp Sách nâng cao phát triên toán tập tập lớp 7,8,9 Tác già Vù Hừu Binh chù biên Bài tập Nàng cao số chuyên đề Toán Tác già Bùi Văn Tuyên chù biên Tài liệu chuyên toán THCS Toán 7,8,9 Tác giã Vù Hừu Bình biên Tốn tuòi thơ THCS - Nhả xuất bàn giáo dục Việt Nam