SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT số 1 Bố TRẠCH — rồ*>rồ*> — SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM ĐỂ TÀI ÚNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIÃI CÁC BÀI TOÁN TỔ HƠP ^iáo Mên //ufc /liên jVa/m /loc Bố Trach, tilling ,4 năm 2013 Toá[.]
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT số Bố TRẠCH — rồ*>rồ*> - — SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM ĐỂ TÀI ÚNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIÃI CÁC BÀI TỐN TỔ HƠP ^iáo Mên //ufc /liên: jVa/m /loc: Toán 2OỈ2-2O13 Bố Trach, tilling ,4 năm 2013 SKKN.vn MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 2 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .2 NỘI DUNG Nhị thức Newton Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 3 Các dạng tốn tị hợp ứng dụng tích phân 3.1 Tínli tích phân dựa vào hàm đa thức bàn .4 3.2 Giải bải tốn tơ hợp dựa vào tích phàn cho trước .9 3.3 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức bàn sau đà nhân thêm hàm số vang 12 Bài tập đề nghị 14 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .16 Ket quà từ thực tiễn 16 Ket quà thực nghiệm 16 KÉT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 PHẢN MỜ ĐÀU Lí chọn đề tài Trong nhùng năm gần đây, tốn cùa Đại số tị hợp thường xuất đề thi tuyên sinh vảo Đại học Cao đăng nhiều Trong nội dung có số bải tốn ứng dụng tích phân đê giãi Tuy nhiên, tích phàn học chương trình lớp 12, cịn tị hợp học chương trình lớp 11 Hệ thống tập sách giáo khoa sách tập ứng dụng tích phân dê giãi tốn tị họp thi khơng trình bày, học sinh khơng rèn luyện kỳ lớp Do đó, gặp toán đề thi Đại học Cao đăng, học sinh phan lớn không làm Nhăm giúp học sinh vận dụng tích phân đê giãi bải tốn tị hợp, chưân bị tốt cho kỳ thi tuyên sinh vào Đại học Cao đăng sap tới, tịi chọn đề tài “ứng dụng tích phân đê giải tốn tơ hợp ” làm sáng kiến kinh nghiệm cùa Đoi tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số Bố Trạch, Quãng Bình -Các tốn cùa Đại số tị họp có sử dụng tích phân đê giãi Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm SŨ dụng phương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên sờ phàn tích kỳ nội dưng chương trình Bộ giáo dục Đào tạo, cấu trúc đề thi tuyên vào Đại học Cao đăng cùa năm, phân tích kỳ đối tượng học sinh mà giảng dạy (đặc thừ trinh độ tiếp thư, khả tự đọc, tự tìm kiếm tài liệu học tập, ) Từ lựa chọn tập cụ thê giúp học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỳ vận dụng kiến thức cùa minh đê đưa lời giãi đứng cho toán Do khn khị sáng kiến, phan tịi xin không nhắc lại kiến thức bàn đại số tị hợp tích phân kiến thức trinh bày chi tiết sách giáo khoa trưng học phơ thơng, mà chi nhắc lại cịng thức khai tiiên nhị thức Newton trọng tập tị hợp có sừ dụng tích phàn đê giải qưyêt NỘI DƯNG Nhị thức Newton Cho n số nguyên dương, a b hai số thực / , L\n_/-iOn , /-,1 11-11 , /-,2 11-21 , 11 , /-,11111 V' n-ki k (a + b) — c J^a + c J^a b + Cna b + + cỊ|b — g c J^a b k=0 Nhận xét: - Trong khai triển (a + b )n có n + số hạng - Tồng số mũ số hạng cùa khai triển (a + b )n 11 -Các hệ số cùa số hạng có tính chất đối xứng: ck = c”_ Vk e N, k < 11 - Neu sap xếp theo hìy thừa giâm dần cùa a số hạng tòng quát thứ k T khai triển (a + b)n cka11_kbk Chú ý: 1) (a -b)n =C1°1a11 -Cj1a11_1b + C121a11_2b2 -C3a11_3b3 + + (-l)ncjjbn 2) 2n=cS+c;,+cỉ+cỉ+ +c;; 3) = cS-Ci+C;-Cj+ +(-l)"Cj Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân , , , < 1 , , - 1 1 Nêu tòng dầy tò hợp, sò hạng chứa phàn sò 1; —và Ấ 11 mẫu số xếp theo thứ tự tăng giâm theo quy luật đó, ta nghi đến việc sử dụng tích phân Khi đó, ta thực theo bước saư: Bước 1: Tìm hàm đê tính tích phàn VỚI cận thích hợp Bước 2: Tính tích phân hai vế: vế chưa khai triên nhị thức Newton vế đà khai triển Bước 3: Cho hai kết qưà bang nhan kết luận Chú ý: Khi hệ sổ tổ họp có dạng bk - ak, ta chọn cận từ a đến b, tức b Jf(x)dx a Trước vào toán cụ thê, ta cần nhớ đăng thức tích phân san: b b 1) J(1 + x) dx = J(Cfl + CJJX + C2X2 + + cjjx3 10 jdx n a a n+1 X3 x? 11 „ xn+1 n X ”7" 11 b í C? 11 n+1 x11+1 11 X 11 _ 11 + b b 3) J(x + l) dx =J(c°xn + CJJX11-1 + c2xn-2 + + C"ìdx n a / o (x+1) \H+1 n xn+1 -.0 X 11 + '11 b b a a “ 11 +1 11 11 1x x”-1 11 11 11 11-1 4) J(x - l)n dx =J cjx11 - c^x11"1 + C2X11-2 - + (-1)" C" dx / \11+1 (X~Ị) 11 + n v11+1 3„ , V11 „ vn_1 11 + 11 _ 411 + 11 11-1 5Ta sè gọi hàm sổ y = (X +1 )n y = (X -1 )n hàm đa thức bân 6Các dạng tốn tơ hợp ứng dụng tích phân 7Tính tích phân dựa vào hàm đa thức 8Bài Cho 11 e N Tính tịng: s = Cj! -“~Cn + + — - —cjj 92 11 +1 10(ĐH KhốiB-2003) X — „1 X X phàn, cận số thay vào cho biến Vi số hạng cuối có hệ số 11+1 _ I -, + (-l)nCỈỈ nên ta biết cận từ đến tổng không đan dấu nên ta sử dụng J(1 + x)n dx Giải Ta có (l + x)n =Cj)1 + Cj1x + C2x2+C3x3+ + C“xn Suy J(1 + x) dx = n + c^x + C2X2 + C3X3 + + c“xn jdx />2-1 >3 /-2 />11+1 Vậy s - c„ + ——CJj + ——Cắ + + — -1 n_3 >11+1 -2 >11+1 C11 - ———— 11 +1 11 + Bài Cho 11 e N* Chứng minh rằng: (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) Phân tích: vế trái có chứa phân số ta nghi đến việc sù dụng tích phân Tổng khơng đan dấu, ta sử dụng |(1 + x)n dx Giải (1) 01 1Í T 12,1 ^2 11x +|C11X —rnv11+1 X+ +-rCỈ> 11 11 1v 11A i-C? ịc2 11 1n (2) Bài Cho 11 G N Chứng minh răng: 2C1°1-^ 11 ^c223 11 cn2n+l _1 11 (ĐH Giao thông Vận tài - 1996) Phân tích: vế trái có chứa phân số, ta nghi đến việc sử dụng tích phàn Vì , X , , X 2n+1 ft4x A ,x sơ hạng cnơi có hệ sị nên ta biêt cận từ đên tòng đan dàn nên ta sữ 11 + dụng J(l-x)ndx Giải Xét (1 - x)n = c° - CJJX + C2X2 - C3X3 + + (-l)n c“xn (3) fI /-li /—,2 z-i3 / /-C>C> +C“)-íịc>ịc>ịc> +^-C” v ' y2 Từ đó, ta sừ dụng 2n + (1 c> Ặn l k+1 C*, cho ta 11+1 J J(l + x)"dx Giải Cách 1: Xét số hạng tòng quát vế trái k+1 Do đó, VỚI k = 0, 1,2, .,11 Ac*+-|c +-C:’+ +-^C”=ic*+C;:+C:’+ +C”)-f 4cỉ.+ịc2+—C:*+ +—!—C” n n n n nnnn n n n n n+1 ' /(2 11+1 ) n+1 n = 2“-j(l+x)ndx=2“- -l = (n-l)2 +l n+1 11+1 Cách 2: Xét (l+x)n=C>C^x+C2x2+C3x3+ +C"xn Lấy đạo hàm hai vế ta được: n(l+x)n =Cj1+2C2x+3C2x2+ +nCjỊxn’1 Từ (5) (6) suy ịc ' + |c ; + |c ’ + + -2-C ;; = n+1 (n-l)2n+1 11 + Bài Cho 11 e N* Chứng minh rằng: n —cl +—C^ +—c^+ 4- I +1 C:~ ~l C + c + C L T 211 2n 211 ■•• X7 211 2211 -1 211 + 211 (ĐH khối A - 2007) Giải Xét khai triền Nhận xét: Nến phải tính tổng c2+-j-C;+4ct,+■■■+- * ta xét _n 411 2n+l X (l+x)2n+(l-x)2n 2 2n 2n p(x)= -— -—=C2n+C2nx2+ +C2\2 z San tính tích phân j p(x)dx Cịn nến phải tính tổng ^-C°n + ^-C2n + -ịetn+ + C2” ta lại xét 2n+2 Q(x)=x.P(x)=C°2nx+C2nx3+ +C-x-1 -11 Sau tính tích phân |Q (x)dx Ta gặp dạng phần Bài Cho 11 e N* Chứng minh rằng: ?c2 + —CĨ +—cí 211 + 211 + 2n 2L Giải 211 _ /-0 , -1 , r,2 , -3 — ^211 ^211X ^2nx ^2nx /-211 _ ^211 211 +1 +1 211+1 ~ 211 211 211 -1 (9) J-1 I + cl II +L 211 211 dx -1 V + jc^x+lc?,, Z-.211 211+1 —- - +>7 nx 211 + 211 -1 ^211 - L 211 = +—CỈ -4-—C.Ỉ - 2C211 +cỊnx4 211 (10) 211 +1 3-11 +~L 211 ọ Từ (9) (10) suy 2C°n + |c|n + ệcị ọ o ~ 211+1 ^211 _ 211 +1 211 211 +1 3.2 Giải tốn tơ hợp dựa vào tích phân cho trước Đối VỚI dạng này, thơng thường càu có hai ý: ý thứ yêu cầu tính tích phân ý thứ hai chứng minh đăng thức tò họp tính tịng Khi đó, ta linh hoạt sử dụng ý trước đê làm ý saư Bài Cho 2 —- = x2dx Đồi cận x = => t = 1; X = => t = J lll+l (11) =1 n + Khi đó, I = 1ị tlldx 13 J ;1X3+C2X6+CỈX9 11 311 11x ]1x5+c3x8+cf1x11 ic2x3+|c;1X6+lc2x9 écn+lc^+^cỉ ““11X ì1 /''ill 311+3 „11 (12) ■11 2n+1 -1 pH _ z J- ^11 — 1\ Bài2 Cho neN b) Chứng minh răng: (ĐH Luật, ĐH Bách Khoa Hà NỘI - 1997) Giải , T dt a) Đặt t = - X => = xdx Đồi cận x = => t = 1; X = => t = f 11+1 (13) n dx = ị n+ Khi đó, I =-ị 11 211 H-0 -12 , -2 Cn-Qx + C'x (14) TC°n-7Cn + -Cn4Cn+ Từ (13) (14) suy 2(n+l) n 2(n+l) _ _ỉk Bài Cho 11 e N Ill 111-1 1, b) Chứng minh rằng: l-^-C^+-^C^-^-C^+ + ^ 6 í-l)n „„ (2n)!! c°= 2n+l n (2n+l)!! Giải n-1 du = - a) Đặt = I dx dv = dx Khi đó, 113 11-1 In dx 11-1 21 Do đó, ^ = 7^ 111-1 111-2 Io -n + 211-1 Suy In = Io = (15) b) Xét 1=1 (1-x2 I dx = |ÍCn - CQX2 + CQX4 - CQX6 + + (—l)n CnX2njdx "x-lc^+ịcẫx5-! 11 ov II 211 + (-1)" c!; 2n+l 11 (16) Từ (15) (16) suy _ Cn+4-Cn _ £^+ +-7—— n n n 2n+l 3.3 Tính tích phân hàm đa thức sau nhân thêm hàm số vắng Khi tốn cho mà số hạng tổng qt khơng phải lả —— C'k mà ——thì ta k+ phải nhàn thêm X vào hàm đa thức bân trước tính tích phân, cịn k —— c„ ta phâi nhàn thêm X vào hàm đa thức bàn trước tính tích phân, k+3 11 Bài Cho n e N Chứng minh răng: A > 11211+1 +1 (n + l)(n + 2) Phân tích: vế trái có chứa phân số, ta nghi đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cưối có hệ số —CỈ) ta phải nhàn thêm X vào hàm số bàn trước k+2 11 tính tích phàn Khi đó, ta sữ dụng Jx(l + x)n dx Giải Xét x(l + x)n = x(c„ + Cj\x + C2X2 + C3X3 + + c“xn ) 1 0 1 Jx(l + x)ndx = J(l + x)n+1 dx-J(l + x)ndx n+2 11 + /1 ụi+1 A (l + x) 11 + k+ 11 Jx(l + x)ndx = Jx^C® +cj1x + c^x2 + C3X3 + + CjỊxn jdx 0 = |(ci°1x + cj1x2 +C2X3 +cjx4 + + C“x11+1)dx _ i , 1^1 , 1^2 , , = 7Cnx +êCnX +yC;x + + ———C"x \2 11+2^ 11 + )Q 4c“4c“ + 4C“+'+rhc" (18) Từ (17) (18) suy icj + V;, + Iq; + + -L-CS 11 + 11211+1 +1 (n + l)(n + 2) Bài Cho 11 e N* Chứng minh rằng: Ịc? -ịc!,+-cỷ -+ C-I)'1 —ỉ—c:: =-—-1—11 11 2”3 ' ’ n + ” (n + l)(n + 2) Phân tích: vế trái có chứa phân số, ta nghi đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số —— Cn ta phải nhàn thêm X vào hàm số bàn trước k+2 11 tính tích phàn Vi tổng đan dấu nên ta sử dụng Jx( - x)11 dx Giải Xét x(l-x)11 = xic® -CJJX + C2X2 -C3X3 + + (-l)nc”xn j Đặt u = - X => du = -dx Đòi cận X = => u = 1; x = => u = „ _ fuii+l Khi đó, ix(l-x)ndx= i(l-u)undx= ——0 un+2 Ì ^n+1 (19) 11 + (n + l)(n + 2) Bài tập đề nghị Bài Cho 11 e N* Chứng minh rằng: gắn VỚI c“ nên sử dụng J(l- x)n dx HD: Vì tịng đan dân hệ sò *5* ' Bài Cho 11 e N Chứng minh răng: ,0 11 (-1)” -TC“+TT7C»- +(-l)”ci: n 11-1 11gắn VỚI C.0 nên sử dụng í (X -1 )n dx n + 1+ ’ HD: Vì tịng đan dàn hệ sị *5* ' Bài Cho 11 e N Chứng minh răng: /-ill ọ 11 + v 112 2C? +— CÌ22 +-C223 + +” ^ 11 11 11 V (ĐH Đà Nằng- 2001) HD: Sừ dụng |(1 + x)11 dx Bài Tính tổng: s = ịc° + ịcỈ! + ịc2 + + —c“ 11 + a) n+1 Bài Chứng minh rang: +I).c;; /1 , -\11+1 n ỉl+1 A i n+ n +y_Lci =3_l+y_Lrfek+1 ẾJk+l n+1 ỂỊk+l 2211+2 _ ^n+l I lẦTll+l n b) 11 k=ok+1 1 ẹk \nk+l 11 Bài Đặt s„ 11=1 + + + — + + — Chứng minh rằng: ■ 234n X c _ -1 a ) $11 b 1-2 , 1-3 ) Sn Cn Cn + Cn Cn 1-4 11 cnsn_i + CnSn_2 Bài Tính tổng s = ^4r + “Ặ + ^4r 1 Aị AỊ A^ 2-cJ, +-C.2 11 11 u 1_CJỈ , 11 THựC NGHIỆM Sư PHẠM Kết từ thực tiễn Trước dạy thực nghiệm, tòi tiến hành kháo sát ba lớp mà đâm nhiệm Qua kết quâ kháo sát, tòi thấy rang phần lớn học sinh khơng làm tốn nêu Học sinh không làm tất nhiên lý sau: T Hệ thống tập sách giáo khoa sách tập ứng dụng tích phân đè giãi tốn tơ họp khơng trình bày T Các kiến thức cùa Đại số tị họp chương trình lớp 11, học sinh đà quên + Học sinh chưa định hình cách giãi Tuy nhiên, trước bat đầu dạy thực nghiệm, tịi đà u cầu học sinh ơn tập lại kiến thức cùa Đại số tò hợp Trong giảng dạy, tòi hướng dẫn học sinh ti mi cách nhận biết tốn tị hợp vận dụng tích phân, phàn tích yếu tố có tốn đê từ đưa hàm lấy tích phân, cận cùa tích phân thay số tương ứng đê đến lời giãi Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giãi số tốn có sử dụng tích phân đê giãi em đà thận trọng tìm hàm lấy tích phân trình bày lời cho toán đặt Ket thực nghiệm Sáng kiến áp dụng năm học 2012-2013 Thực nghiệm sư phạm tiến hành nham mục đích kiêm nghiệm tính khả thi hiệu quà cùa đề tải Thực nghiệm sư phạm tiến hành lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường THPT sổ Bố Trạch, Quàng Binh + Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), áp dụng sáng kiến + Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến Sau dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, cịn khơng dạy thực nghiệm lớp 12A3, tòi cho cà lớp làm kiêm tra Với kết sau: 16 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết SKKNTvn '\^^xếp loại Đối tượiìg\^ Giịi Khá Tb Yếu Kém 12A1 10,9% 26,1% 34,8% 15,2% 13,0% 12A2 9,1% 22,7% 36,4% 18,2% 13,6% 12 A3 0% 0% 13,6% 25,0% 61,4% Vì đà nêu nên đa số em lớp 12A3 làm không được, chi tíiili tích phân Bải Cịn lớp 12A1, 12A2, em đà trang bị kiến thức phương pháp giài qưyết vấn đề nên phan lớn em biết cách làm Do đó, kết qưâ kiêm tra cho ta khác biệt giừa lớp dạy thực nghiệm lớp không dạy thực nghiêm Đe kiêm tra khảo sát 45 phút SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KIỀM TRA KHẢO SÁT THựC NGHIỆM TRƯỜNG THPT SÓ BÓ TRẠCH Thời gian ỉàm bài: 45phút Họ tên: Lóp: Ỉ2A Bài (2,0 điểm) Chứng minh rằng: I C20.12 2013 2013 +7L2013 + 2013 c 2013 2014 Bài (2,0 điểm) Tính tổng: S = ——-Cn -ỉ—c^ + —!—C2 - + (-1)11 ịc” 11 + n + 11 + Bài (4,0 điểm) Cho 11 e N* a) Tính tích phân J X (1 +x2 ) dx b) Chứng minh rằng' ~C^H—4—c2 + —C"+ +— C2— -D) cm ng 11111111 lang: n n n n 2(n+l) n 2(n+1) ' • /X Ẩ z Bài (2,0 điêm) Tìm hệ sô chứa X 2 khai triển ọii+1 c V1 Vx 4—77= , biết n số nguyên dương thỏa 2C„ +-— cjj + -—Cfl + + ——-C” = 11 + 6560 11 +1 Hướng dẫn: Bài Sừ dụng I (1 + x)2013 dx -1 Bài Sừ dụng Jx2 (x -l)11 dx _ _ ợ Bài a) Đặt u = + X b) Từ càu a), ta khai triển X (1+x2) tính tích phàn cà hai vế r " Ta lút gọn y sử dụngj(l + x)ndx _ Bài Sừ dụng Hl + x) dx Kết quả: Hệ số cần tìm 21