Khai thác và phát triên tỉnh chất của lũy thừa bậc 2 (Tiếp nối SKKN đạt loại c cấp TP năm học 2014 2015) MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Sơ đồ khai thác tíiili chất lũy thừa bậc hai trong SKKN 1 2 năm học 2014[.]
Khai thác phát triên tỉnh chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại c cấp TP năm học 2014 - 2015) MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Sơ đồ khai thác tíiili chất lũy thừa bậc hai SKKN 1-2 năm học 2014-2015 I - ĐẠT VẤN ĐÈ 1) 2) 3) 4) 5) Lý chọn đê tài Phạm vi đề tài Thời gian thực đề tài Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 4 4 II - GIẢI QUYẾT VAN ĐÈ 1) Quá trình chuân bị 2) Quá trình thực Khắc sâu BDT kép Sử dụng hang bất thức (I): a2 + b2> 2ab 13 Ẩ -*3 5 z /TT\ z x2 J Sư dụng hăng bat đăng thức (II): (a + b) > 4ab Sử dụng BĐT (III): 2(a2 + b2) > (a + b)2 III - KÉT QUẢ THựC HIỆN ĐÈ TÀI 1) Kết 2) Bài học kinh nghiệm Sơ ĐỎ KHAI THÁC BĐT (I) (SKKN năm học 2014 -2015) 14 17 18 b+cc+ab+a2 x3(y + z) ,y3(z + x) z3(x + y) 1.1.1 —- + Tìm GTNN của: -T (>’ + -■) V (- + *) —- + ,■ 3—- VỚI X, y, z > :(x + y) n I A -I- R'l2 > Khai thác phát triên tỉnh chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại c cấp TP năm học 2014 - 2015) PHẢN I: ĐẬT VẤN ĐÈ 1- Lý chọn đề tài Tại đại hội toàn qnốc lần thứ IX Đáng cộng sân Việt Nam đà khăng định: “Giáo dục đảo tạo phải có đổi nâng cao chất lượng toàn diện nội dưng phương pháp dạy học Phát huy tư khoa học sáng tạo, lực tự học , ựr nghiên cứu học sinh” Sự phát triên mạnh mè cùa cách mạng khoa học cùa công nghệ thơng tin đại tốn học đà có tác dụng sâu sac lình vực cùa xà hội lồi người Chính vi vậy, chiến lược người nay, nhà nước ta COI trọng đặc biệt việc nâng cao toàn diện giáo dục cho học sinh Đặc biệt nhà nước ta chi thị giáo dục ln đề cao bồi dường học sinh giịi học sinh có khiếu, bồi dường nhàn tài trường phị thịng Tốn học nội dung quan trọng còng tác bồi dường phát triên lực cho học sinh lả học sinh giói Trong chương trình Tốn lớp, Cuốn sách Đại số có tính chất: Luỳ thừa bậc hai cùa số.Nắm chắc, hiêu sàn tính chất này, học sinh áp dụng dược vào nhiều toán Bất đăng thức Phạm vi chọn đề tài NỘI dung cùa bải viết bân Sáng kiến kinh nghiệm tòi chi trình bày việc khai thác tính chất: Luỳ thừa bậc hai cùa số khơng âm Biến đơi thành Bất dăng thức kép hương dẫn học sinh sù dụng Các tốn bàn Sáng kiến kinh nghiệm chọn lọc đủ dạng loại Đại số hình học giúp học sinh sử dụng tốt Bất dăng thức Đặc biệt tòi sâu vào biện pháp khai thác phát triên sữ dụng Bất đăng thức: (a -b) 2> Tuỳ theo mức độ dạy cho học sinh đại trà học sinh giỏi Thòi gian thực - Các năm học 2014-2015; 2015-2016; 2016-2017 Đoi tượng nghiên cứu Học sinh lớp 8A1, 9A1 - Trường THCS Phương Liệt Các phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu sách tham kháo - Tòng hợp nội dung nghiên cứu theo dạng chuyên đề - Trong trình nghiên cứu phương pháp thực tiễn gồm: + Phương pháp điều tra + Phương pháp thực nghiêm + Phương pháp nêu vấn đề + Phương pháp phàn tích tịng họp Khai thác phát triên tỉnh chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại c cấp TP năm học 2014 - 2015) II GIAI QUYẾT VẤN ĐÈ Quá trình chuẩn bị Khào sát thực tế: Sau kill nhận lớp, tòi dành thời gian làm quen VỚI lớp, tình hình học tập cùa em Đánh giá sơ trình độ nhận thức cùa học sinh qua bải kiêm tra chất lượng Tìm phương pháp giảng dạy thích hợp VỚI đối tượng + Giáo viên nghiên cứu nội dung cùa SGK lớp 8, SGK lớp 9, hệ thống bải tập lien quan đến bất đăng thức từ lớp đến lớp đặc biệt lả lớp lớp + Hệ thống lại tập dạng loại, sâu chuỗi kiến thức lại VỚI tạo thành hệ thống tập phát triển tư vừng + Sau dạng loại, có chốt kiến thức khắc sâu phương pháp + Phương pháp dạy học phải tạo điều kiện cho học sinh học tập trãi nghiệm, phát triên lực tự học cho học sinh Tôi thực đề tài VỚI lớp 8A1, 9A1 Thời gian thực tháng Kháo sát kết quâ trước thực liệu sau: xếp loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 8A1 Lớp 9A1 30% 28% 38% 43% 27% 22% 5% 7% Trước thực đề tài: việc chứng minh bất đăng thức gặp vị khó khăn, học sinh khơng biết vận dụng kiến thức đè chứng minh bất đăng thức, khơng khí học tập trầm đơn điệu, học sinh giói chán nân, có ý thức quan xem nhẹ học tập, COI thường thiếu ý chí vươn lên 2) Quá trình thực hiện: A KHÁC SÂU BẤT ĐẢNG THỨC KÉP: a2 + b2> ílỌ>2ab l/.Tính chất lũy thừa bậc hai “Bình phương số đền không âm” A >0 VA Suy rộng : (a- b)2> với Va, b eR Đây hang bất đăng thức quen thuộc mà việc ứng dụng cùa giài tập Đại số Hình học có hiệu q : a2 2 b2 2ab b) > 4ab (a - b) = a - 2ab + b > o b2 (I) (II) (III) Dấu xây a = b Cã ba Bất đăng thức nêu lên ý nghía quan hệ giừa tơng hai số VỚI tích cùa chúng VỚI tịng bình phương hai số Chứng minh Bất đằng thức (I), (II), (III) BDT (I): a2 + b2 > 2ab Oa2- 2ab + b2 > o (a - b)2 > (đúng) Dấu “=” xây a = b BĐT (II): (a + b)2 > 4ab o a2 + 2ab + b2 - 4ab > Oa2- 2ab + b2 > o (a - b)2 > (đúng) Dấu “=” xây a = b BĐT (III): „2 , ,2 (a + b)2 2a2 + 2b2 > a2 + 2ab T b2 Oa2 - 2ab + b2 > o (a - b)2 > (đúng) Dấu “=” xây a = b Tòng hợp ba Bàt đăng thức (I), (II), (III) tạo Bàt đăng thức kép: Khai thác phát triên tỉnh chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại c cấp TP năm học 2014 - 2015) a2 + b2> (g+/)i>2ab Dan “=” xây a = b B CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG I/.Sừ dụng hang bất thức (I): a2 + b2>2ab *Ấp dung BĐT (II) : a2 + b2> 2ab vào đai số Bài toán 1: Cho số a, b, c, X thoâ điều kiện x+a+b+c=7 X2 + a2 + b2 + c2 = 13 Chứng minh : < X < — Giãi: Áp dụng BĐT (I) : a2 + b2 > 2ab Do : ( a2 + b2 + c2 ) > 2ab T 2ac + 2bc 3( a2 + b2 + c2 ) > ( a + b + c )2 (*) Mặt khác :(l)a + b + c = 7- x (2) a2 + b2 + c2 = 13 - X2 Thay vào (*): 3(13 - X2) > (7 - x)2 4x2-14x + 10 < »2(x-l)(x-|) xyz Giãi : Áp dụng BĐT (I) ta có : a2 + b2 > 2ab Do : X4 T y4 > 2x2y2 , „4 n, 2 y T z > 2y z 4.4.í22 z + X > 2z X o 2( X +y +z )> 2(x y +yz +zx ) Áp dụng bât đăng thức (I) (1) „2,12 I ,22 ->,„.2„ X y T V z > 2xy z ,22 , „2 y z T X z > 2yz X ™2„2 I „2, 2„ oí„2,, Z X T X y > 2zx y o 2( x2y2 T y2z2 + X2Z2) > 2xyz( X + y + z ) Từ (1), (2) suy ra: X4 T y4 + z4 > xyz (đpcm) (2) Bài tốn 3: Cho ba so a, b, c, d thồ điền kiện: a + b + c + d = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 > Giải: Áp dụng bất đẳng thức (1): a2 + b2 > 2ab ta có : a2 + b2 > 2ab a2 + b2 > 2ab 2 c + b > 2cb a2 + d2 > 2ad 2 d + c > 2dc b2 +d2 > 2db Cộng theo vê bât đăng thức ta được: 3(a2 + b2 + c2 + d2) > (ab + be + cd + ac T ad T bd) o 4(a2 + b2 + c2 + d2) > (a + b + c + d )2 = 22 = a2 + b2 + c2 + d2 > (đpcm) Dấn “= ”xảy a = b = c = d= - "Áp dung BĐT (I) : a2 + b2> 2ab vào hình hoc 4-Bài toán 4: Trong tứ giác lồi ABCD VỚI diện tích s có diêm thô điền kiện : OA2 + OB2 + oc2 + OD2 = 2S Chứng minh rang: ABCD lả hình vng nhận o tâm Ap dụng BĐT (1): a2 + b2 > 2ab o ab < — ( a2 T b2) Ta có : s < — ( Si T S? + S3 + S4 ) OS < OA.OB + OB.OC + OC.OD + OD.OA < ị ị ( OA2 + OB2 + oc2 + 2 2 2 2 OD + OA + OB + oc + OD ) = ị( OA + OB2 + oc2 + OD2) = ị.2S = s ' Ta thấy điều chi xây BĐT trờ thành đăng thức, nghía phải có: J OA 1OB - OB1ƠC; oc 1OD- OD1 OA [OA = OB = oc = OD ABCD hình vng nhận o làm tàm 5.Bài toán 5: Cho đoạn thăng AB đường thăng d song song VỚI Tìm diêm M (M d nam khác phía đối VỚI AB ) cho tia MA, MB tạo VỚI đường thăng d thành AMCD có diện tích nhó Giải: Gọi c D giao diêm cùa tia MA MB VỚI đường thăng D Diện tích AMCD = S; MH MK đường cao cùa AMAB AMCD Đặt MH = x; AB = a;HK = 11 Do AB // CD => AMAB đồng dạng AMCD AB _ MH _ X CD _ a(x + /?) CD ~ MK ~ x + h ~ X _ a (x + hý2 a X2 -2hx + h2 a , T-x_ AZ