Một luận văn của học viên cao học trường Đại học KHTN - ĐHQG TPHCM về đề tài VÀNH CHIA MAL'CEV-NEUMANN. Luận văn được trình bày theo đúng quy định, đầy đủ các mục theo yêu cầu về Luận văn Thạc sĩ của trường. Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: - Chương 1: Trình bày định nghĩa, một số ví dụ và tính chất về nhóm được sắp thứ tự. - Chương 2: Trình bày cấu trúc vành chia Mal'cev-Neumann, dựa vào [7, Chapter 3] và mô tả chuỗi tâm giảm trong vành chia Mal’cev-Neumann của một nhóm tự do không xyclic trên một trường. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích về hình thức trình bày một Luận văn Thạc sĩ nói chung và về chuyên môn Đại số nói riêng cho các bạn học viên.
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ MAI
VÀNH CHIA MAL’CEV-NEUMANN
LUẬN VĂN THẠC SĨ
TP Hồ Chí Minh - Năm 2021
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VŨ THỊ MAI
VÀNH CHIA MAL’CEV-NEUMANN
Ngành: Đại số và Lý thuyết sốMã số Ngành: 8 46 01 04
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS MAI HOÀNG BIÊN
TP Hồ Chí Minh - Năm 2021
Trang 3Lời cam đoan
Tôi cam đoan luận văn thạc sĩ ngành Đại số và Lý thuyết số, với đề tài Vànhchia Mal’cev-Neumann là công trình khoa học do Tôi thực hiện dưới sự hướngdẫn của PGS TS Mai Hoàng Biên.
Những kết quả nghiên cứu của luận văn hoàn toàn trung thực và chính xác.
Học viên cao học
Vũ Thị Mai
Trang 4Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô đã giảng dạy cho lớp cao học Đại số vàLý thuyết số khóa 2019 Các thầy, cô đã dạy bảo và tạo điều kiện thuận lợi chotôi trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên tôitrong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn.
Tp.HCM, ngày 15 tháng 08 năm 2021Tác giả
Vũ Thị Mai
Trang 5Mục lục
1.1 Định nghĩa và tiêu chuẩn cho nhóm được sắp thứ tự 11
1.2 Một số ví dụ 13
1.3 Sự chia lớp Archimedean trong nón dương 16
1.4 Dãy tập con được sắp thứ tự tốt trong nón dương 18
2 Vành chia Mal’cev-Neumann 232.1 Xây dựng vành chia Mal’cev-Neumann 23
2.2 Chuỗi tâm giảm trong vành chia Mal’cev-Neumann của nhómtự do trên trường 26
Trang 6TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN
Tên đề tài luận văn: Vành chia Mal’cev-NeumannNgành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số ngành: 8 46 01 04
Họ tên học viên cao học: Vũ Thị MaiKhóa đào tạo: 2019-2021
Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Mai Hoàng Biên
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1 TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN:
- Chương 1: Trình bày một số kiến thức về nhóm được sắp thứ tự.
- Chương 2: Trình bày cấu trúc vành chia Mal’cev-Neumann dựa trên [7,Chapter 3] và mô tả chuỗi tâm giảm trong vành chia Mal’cev-Neumann củamột nhóm tự do không xyclic trên một trường (kết quả này được thực hiệnchung với học viên Phan Lê Phi Lâm, dưới sự hướng dẫn của PGS TS MaiHoàng Biên và là mục cuối của bài báo đính kèm trong phụ lục).
2 NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN VĂN: Mô tả chuỗi tâm giảmtrong vành chia Mal’cev-Neumann của một nhóm tự do không xyclic trên mộttrường Kết quả này được thực hiện chung với học viên Phan Lê Phi Lâm (dướisự hướng dẫn của PGS TS Mai Hoàng Biên) và là mục cuối của bài báo đínhkèm trong phụ lục.
3 CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰCTIỄN HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤCNGHIÊN CỨU:
Trang 7TẬP THỂ CÁN BỘ HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN CAO HỌC
XÁC NHẬN CỦA CƠ SỞ ĐÀO TẠOHIỆU TRƯỞNG
Trang 8THESIS INFORMATION
Thesis title: Mal’cev-Neumann Division RingsSpeciality: Algebra and Number TheoryCode: 8 46 01 04
Name of Master Student: Vu Thi MaiAcademic year: 2019-2021
Supervisor: Assoc.Prof Ph.D Mai Hoang BienAt: VNUHCM - University of Science
1 SUMMARY:
- Chapter 1: Present some knowledge about ordered groups.
- Chapter 2: Present the structure of the Mal’cev-Neumann division ringbased on [7, Chapter 3] and describe the lower central series in the Mal’cev-Neumann division ring of a noncyclic free group on a field (this result wasdone jointly with student Phan Le Phi Lam, under the guidance of As-soc.Prof Ph.D Mai Hoang Bien and is the last section of the article attachedin the appendix).
2 NOVELTY OF THESIS: Describe the lower central series in the Neumann division ring of a noncyclic free group on a field This result was donejointly with student Phan Le Phi Lam (under the guidance of Assoc.Prof Ph.DMai Hoang Bien) and is the last section of the article attached in the appendix.
Mal’cev-3 CAPPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE:
Trang 9SUPERVISOR Master STUDENT
UNIVERSITY OF SCIENCEPRESIDENT
Trang 10Mở đầu
Vành chia được xem là trường mà phép nhân chưa chắc giao hoán Mộttrong những cách hiểu về một lớp vành nào đó là đi xây dựng các ví dụ về nó.Ví dụ đầu tiên về vành chia không giao hoán được xây dựng vào năm 1843 bởiHamilton Kể từ đó tới nay, có nhiều cách xây dựng vành chia không giao hoánnhư vành chia chuỗi xoắn, vành chia generic, Một trong những ví dụ vành chiaquan trọng là vành chia Mal’cev-Neumann.
Các phần tử của vành chia Mal’cev-Neumann được xây dựng dựa trên chuỗilũy thừa hình thức và chuỗi Laurent, được giới thiệu lần đầu tiên bởi Haln vàonăm 1907 Sau đó, vào các năm 1948 và 1949, Mal’cev [1] và Neumann [2] đãtổng hợp lại và xây dựng nên một cấu trúc không giao hoán Sử dụng cấu trúcnày, Mal’cev và Neumann đã độc lập chứng minh được rằng vành nhóm của mộtnhóm thứ tự trên một vành chia có thể được nhúng vào một vành chia.
Kể từ đó, vành Mal’cev-Neumann được ứng dụng nhiều trong nghiên cứutính chất của vành chia và các đề tài liên quan Đến năm 1983, Lorenz [3] đãkhởi đầu việc nghiên cứu vành nhóm Mal’cev-Neumann trên một vành tùy ý.Một số kết quả về vành Mal’cev-Neumann có thể được tìm thấy trong các bàibáo [4], [5] và [6].
Nội dung chính của luận văn gồm các phần sau:
Chương 1: Trình bày định nghĩa, một số ví dụ và tính chất về nhóm được sắpthứ tự.
Trang 11MỞ ĐẦU
Chương 2: Trình bày cấu trúc vành chia Mal’cev-Neumann, dựa vào [7, ter 3] và mô tả chuỗi tâm giảm trong vành chia Mal’cev-Neumann của mộtnhóm tự do không xyclic trên một trường.
Chap-Trong đó kết quả về mô tả chuỗi tâm giảm trong vành chia Mal’cev-Neumanncủa một nhóm tự do không xyclic trên một trường được thực hiện chung với họcviên Phan Lê Phi Lâm (khóa 29 Đại số và Lý thuyết số), dưới sự hướng dẫn củaPGS TS Mai Hoàng Biên và là mục cuối của bài báo đính kèm trong phụ lục.
Trang 12Chương 1
Nhóm được sắp thứ tự
Về mặt tập hợp, vành chia Mal’cev-Neumann bao gồm các chuỗi hình thứccủa một nhóm được sắp thứ tự trên một vành cơ sở Do đó, để thuận tiện choviệc trình bày cấu trúc vành chia Mal’cev-Neumann ở Chương 2, chương này sẽtrình bày định nghĩa cũng như một số ví dụ và tính chất của nhóm được sắpthứ tự Đối với nhóm aben G, ta viết phép toán như phép cộng và kí hiệu 0 làphần tử đơn vị Còn nếu G là một nhóm và không có chú thích gì thêm thì taviết phép toán trên G như phép nhân kí hiệu phần tử đơn vị của G là 1.
1.1Định nghĩa và tiêu chuẩn cho nhóm đượcsắp thứ tự
Định nghĩa 1.1 Ta nói một nhóm G là nhóm được sắp thứ tự nếu nó có thểđược sắp thứ tự toàn phần sao cho x < y kéo theo xz < yz và zx < zy với mọi
x, y, z ∈ G.
Ta viết (G, <) để biểu thị nhóm G được sắp thứ tự bởi thứ tự toàn phần <.Mệnh đề 1.2 trình bày một điều kiện đủ cho nhóm được sắp thứ tự.
Trang 13y−1x = x−1y−1 ∈ P, tức là hoặc x < y hoặc y < x Vậy quan hệ < là quan hệthứ tự toàn phần trên G Cuối cùng, với mọi x, y, z ∈ G, nếu x < y thì x−1y ∈ P,và do đó
Trang 14CHƯƠNG 1 NHÓM ĐƯỢC SẮP THỨ TỰ
Trường hợp khi G là nhóm aben, ta có P = {x ∈ G : x > 0} Do đó ta thườnggọi tập con gồm tất cả các phần tử lớn hơn đơn vị của nhóm thứ tự (G, <) lànón dương của thứ tự<trên G(hay ngắn gọn là nón dương trên G) Ta cũng sửdụng ba tính chất trong Mệnh đề 1.2 làm tiêu chuẩn cho nón dương Như vậy,nhóm G được sắp thứ tự khi và chỉ khi ta có thể xây dựng được một nón dươngtrên G (tức là một tập con P của G thỏa ba điều kiện trong Mệnh đề 1.2) Taviết (G, P ) để biểu thị nhóm G được sắp thứ tự bởi thứ tự toàn phần có nóndương P.
1.2Một số ví dụ
Các tập hợp số có thể được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ thứ tự thôngthường Do đó, nhóm nhân các số thực dương R+ và các nhóm cộng Z, Q, Rcho ta những ví dụ đầu tiên về nhóm được sắp thứ tự Ngoài ra,
Ví dụ 1.4 (1) Cho H là nhóm con của nhóm được sắp thứ tự G Khi đó H
cũng là một nhóm được sắp thứ tự với thứ tự được thừa hưởng từ G.(2) Nhóm xyclic vô hạn G = {xn : n ∈Z} có thể được sắp thứ tự với thứ tự xác
định bởi
xm < xn ⇔ m < n.
Nón dương của thứ tự này trên G là P = {xn : n > 0}.
(3) ChoI là một tập sắp thứ tự toàn phần và {Gi}i∈I là một họ các nhóm đượcsắp thứ tự Khi đó, tổng trực tiếp G =L
Gi cũng là nhóm được sắp thứ tựvới thứ tự xác định bởi
Trang 15CHƯƠNG 1 NHÓM ĐƯỢC SẮP THỨ TỰ
tự Dễ dàng kiểm tra được nón dương của thứ tự từ điển trên L
Z là tậphợp tất cả các phần tử có dạng ai1 + ai2+ · · · + ain, trong đó aij ∈Z với mọij, ai1> 0 và i1< i2< · · · in trong I.
Phần còn lại của mục này sẽ trình bày hai ví dụ quan trọng cho nhóm đượcsắp thứ tự, đó là lớp các nhóm aben không xoắn và lớp các nhóm tự do Nhắclại rằng một nhóm G được gọi là nhóm không xoắn nếu mọi phần tử khác 1 của
nón dương của bất kì thứ tự nào trên G đều phải chứa x hoặc chứa x−1, và dođó chứa cả x và x−1 (vì yxy−1= x−1), điều này là không thể.
Với lớp các nhóm aben, ta có kết quả tốt hơn.
Định lý 1.6 Một nhóm aben G có thể được sắp thứ tự nếu và chỉ nếu G khôngxoắn.
Chứng minh NếuGcó thể được sắp thứ tự thì theo Nhận xét 1.5 ta cóG khôngxoắn Ngược lại, giả sử G là nhóm aben và không xoắn Khi đó Z-môđun G cóthể được nhúng vào G1 = G ⊗ZQ Hơn nữa G1 trở thành Q-không gian véctơvới phép nhân ngoài là mở rộng của quy tắc (a ⊗Zx) · q = a ⊗Z(xq) (vớia ∈ A và
Trang 16CHƯƠNG 1 NHÓM ĐƯỢC SẮP THỨ TỰ
x, q ∈Q) Ta sẽ xây dựng nón dương P cho G1 bằng cách sử dụng ý tưởng củathứ tự từ điển Chọn một Q-cơ sở{gi : i ∈ I} choG1 và cố định một thứ tự toànphần <trên tập chỉ số I Ký hiệu phép toán trên G1 như phép cộng và đặt P làtập hợp tất cả các phần tử có dạng a1gi1 + · · · + angin, trong đó các aj ∈ Q với
mọi j, a1 > 0 và i1 < · · · < in trong I Khi đó P−1 là tập hợp tất cả các phần tửcó dạng b1gi1 + · · · + bmgim, trong đó các bk ∈Q với mọi k, b1 < 0 và i1 < · · · < im
trong I Dễ thấy P thỏa tiêu chuẩn của nón dương (ba tính chất trong Mệnhđề 1.2), và do đó G1 trở thành nhóm được sắp thứ tự Vậy G là nhóm được sắpthứ tự.
Trong phần cuối của mục này, ta sẽ xây dựng một thứ tự cho một nhómtự do G Muốn vậy, ta cần sử dụng Định lý Magnus-Witt về chuỗi tâm giảmcủa nhóm tự do (một chứng minh của định lý này được các tác giả trình bàytrong [9, pages 380-383]) Nhắc lại rằng, chuỗi tâm giảm của nhóm G, kí hiệu
G ⊇ G(1) ⊇ G(2)⊇ · · · được định nghĩa bởi G(1) = [G, G] (nhóm dẫn xuất) và
Ta kết thúc mục này với Định lý 1.8.
Định lý 1.8 Mọi nhóm tự do đều có thể được sắp thứ tự.
Chứng minh Giả sửGlà một nhóm tự do Xét chuỗi tâm giảm củaGnhư trongĐịnh lý Magnus-Witt Khi đó G(n)/G(n+1) là nhóm aben tự do nên nó có thểđược sắp thứ tự, tức là tồn tại một nón dươngPn trongG(n)/G(n+1) GọiP là tậpcon củaGgồm các phần tửg 6= 1thỏa mãn: nếu nlà số nguyên dương (duy nhất)
Trang 17nón dương trên G, ta chỉ còn cần chứng tỏ P · P ⊆ P Lấy g, h là các phần tửtrong P, với
1.3Sự chia lớp Archimedean trong nón dương
Định nghĩa 1.9 ChoG là một nhóm được sắp thứ tự với nón dương P Ta nóihai phần tử s và t trong P có quan hệ Archimedean, kí hiệu s ∼ t, nếu có các sốnguyên dương m, n sao cho s ≤ tm và t ≤ sn.
Trang 18CHƯƠNG 1 NHÓM ĐƯỢC SẮP THỨ TỰ
Nhận xét 1.10 Quan hệ Archimedean là một quan hệ tương đương trên P.Thật vậy, dễ thấy ∼ là phản xạ và đối xứng Nếu s ∼ t và t ∼ x thì tồn tại cácsố nguyên dương m, n, m0, n0 sao cho s ≤ tm, t ≤ sn, t ≤ xm0 và x ≤ tn0 Khi đó
s ≤ tm ≤ xm0m = xm0m và x ≤ tn0 ≤ (sn)n0 = sn0n, kéo theo s ≤ x, và do đó ∼ làbắc cầu.
Lớp tương đương của s ∈ P đối với quan hệ tương đương Archimedean, kíhiệu [s], được gọi là lớp Archimedean của s Bây giờ, ta xây dựng một thứ tựtoàn phần trên tập tất cả các lớp Archimedean của G.
Mệnh đề 1.11 Giả sử G là một nhóm được sắp thứ tự với nón dương P Khiđó tập hợp tất cả các lớp Archimedean của G là tập hợp được sắp thứ tự toànphần với thứ tự xác định bởi
[r] < [s] ⇔ rn < s với mọi n ≥ 1.
Chứng minh Đầu tiên ta chứng tỏ rằng quan hệ thứ tự < trong mệnh đề trênđược định nghĩa tốt Thật vậy, giả sử [r] < [s] và [r] = [a], khi đó rk < s với mọi
k ≥ 1 và r ≤ am, a ≤ rn với m, n nguyên dương nào đó Suy ra ai ≤ rni< s
với mọi i ≥ 1, tức là [a] < [s] Chứng minh tương tự ta cũng có nếu [r] < [s] và
[s] = [b] thì [r] < [b] Như vậy quan hệ thứ tự trên không phụ thuộc vào cáchchọn phần tử đại diện của các lớp Archimedean Dễ thấy < thỏa mãn các điềukiện của một thứ tự trên tập hợp tất cả các lớp Archimedean của G Ta chứngminh thứ tự này là toàn phần Thật vậy, giả sử [r], [s] là hai lớp Archimedeanphân biệt của G, khi đó r và s là các phần tử phân biệt trong P ⊆ G Do thứtự trên G là toàn phần nên ta có hoặc r < s hoặc s < r Nếur < s thì rn < s vớimọi n ≥ 1 (nếu ngược lại thì ta có r ∼ s kéo theo [r] = [s], mâu thuẫn), tức là
[r] < [s] Tương tự, nếu s < r thì ta cũng có [s] < [r].
Bổ đề 1.12 Lớp Archimedean của một tích là lớp của nhân tử lớn nhất trongtích đó, nghĩa là
[s1· · · sn] = [max{s1, · · · , sn}],
Trang 19CHƯƠNG 1 NHÓM ĐƯỢC SẮP THỨ TỰ
với mọi s1, · · · , sn ∈ P.
Chứng minh Thật vậy, do G được sắp thứ tự toàn phần nên tồn tại si =max{s1, · · · , sn}, khi đó s1· · · sn≤ sni và si≤ s1· · · sn (vì các sj đều lớn hơn1 ) Suy ra si∼ s1· · · sn, tức là [s1· · · sn] = [max{s1, · · · , sn}].
1.4Dãy tập con được sắp thứ tự tốt trong nóndương
Giả sử S là một tập con của tập được sắp thứ tự G Ta nói S là tập được sắpthứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của S đều có phần tử nhỏ nhất.
Bổ đề 1.13 Giả sử (G, <) là một tập được sắp thứ tự Với mọi tập con S của
G, các phát biểu sau là tương đương:(i) S được sắp thứ tự tốt.
(ii) S thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (nghĩa là, mọi dãys1≥ s2≥ s3 ≥ · · ·
trong S đều dừng).
(iii) Mọi dãy {s1, s2, s3, · · · } trong S đều chứa một dãy con {sn(1), sn(2), sn(3), · · · }
(trong đó n(1) < n(2) < n(3) < · · ·) sao cho sn(1)≤ sn(2)≤ sn(3)≤ · · ·.
Chứng minh Vì (iii) ⇒ (ii) và (ii) ⇒ (i) là hiển nhiên, nên ta chỉ cần chứngminh (i) ⇒ (iii) Xét dãy {s1, s2, s3, · · · }trong tập con được sắp thứ tự tốt S của
G Chọn n(1) sao cho sn(1) = min{si : i ≥ 1} Sau đó chọn n(2) > n(1) sao cho
sn(2) = min{si: i > n(1)}, Cứ tiếp tục như vậy ta thu được dãy con khônggiảm sn(1)≤ sn(2)≤ sn(3) ≤ · · ·.
Bổ đề 1.14 Cho S, T là các tập con được sắp thứ tự tốt của một tập được sắpthứ tự toàn phần (G, <) Khi đó S ∪ T được sắp thứ tự tốt Nếu (G, <) là một
Trang 20t = min{a ∈ A : a ∈ T } (⊆ T), hơn nữa doGđược sắp thứ tự toàn phần nêns ≤ t
hoặc t ≤ s, tương ứng ta có s hoặc t là phần tử nhỏ nhất của A Với kết luậnthứ hai, giả sử phản chứng rằng U không là tập được sắp thứ tự tốt Theo Bổđề 1.13, tồn tại một dãy giảm ngặt
s1t1> s2t2 > · · ·
trong đó si ∈ S, ti ∈ T với mọi i Vì S được sắp thứ tự tốt nên dãy {s1, s2, · · · }
trong S có một dãy con không giảm sn(1) ≤ sn(2) ≤ sn(3) ≤ · · · Nếu có k sao cho
tn(k) ≤ tn(k+1) thì
sn(k)tn(k) ≤ sn(k+1)tn(k) ≤ sn(k+1)tn(k+1),
mâu thuẫn Do đó tn(1) > tn(2) > · · · Điều này trái với giả thiết rằng T đượcsắp thứ tự tốt Tóm lại U được sắp thứ tự tốt Bây giờ, lấy u ∈ U và giả sử cóvô hạn cặp đôi một phân biệt (s1, t1), (s2, t2), · · · (si ∈ S, ti ∈ T với mọi i) saocho u = siti với mọi i Nếu có i 6= j sao cho si = sj thì ti = s−1i u = s−1j u = tj,kéo theo (si, ti) = (sj, tj) Do đó ta có các si đôi một phân biệt Hơn nữa S
được sắp thứ tự tốt, nên dãy {s1, s2, · · · } trong S có một dãy con tăng ngặt
sn(1) < sn(2)< sn(3) < · · · Nếu tồn tại k sao cho tn(k)≤ tn(k+1) thì
sn(k)tn(k) ≤ sn(k+1)tn(k) ≤ sn(k+1)tn(k+1).
Mặt khác, ta lại có sn(k)tn(k) = u = sn(k+1)tn(k+1) Suy ra sn(k)tn(k)= sn(k+1)tn(k),hay sn(k) = sn(k+1), mâu thuẫn Do đó tn(1) > tn(2) > · · · Điều này trái với giảthiết rằng T được sắp thứ tự tốt.
Trang 21Bổ đề 1.16 Cho (G, P ) là một nhóm được sắp thứ tự và S là một tập con đượcsắp thứ tự tốt của P Đặt Sn = {s1· · · sn : si∈ S} với n ≥ 1, và S∞ = S
Sn ⊆ P.Khi đó
(1) S∞ được sắp thứ tự tốt, và
(2) mọi u ∈ S∞ chỉ nằm trong hữu hạn các Sn.
Chứng minh (1) Giả sử S∞ không được sắp thứ tự tốt Khi đó tồn tại một dãygiảm ngặt u1 > u2 > · · · trong S∞, trong đó ui = si1si2· · · sini với sij ∈ S.Khi đó [u1] ≥ [u2] ≥ · · · Ta chứng minh dãy các lớp Archimedean này dừng.Thật vậy, đặt si = max{si1, · · · , sini} ∈ S, thì [ui] = [si] (Bổ đề 1.12), và dođó [s1] ≥ [s2] ≥ · · · Vì {s1, s2, · · · } ⊆ S nên tồn tại si0= min{s1, s2, · · · },kéo theo dãy [s1] ≥ [s2] ≥ · · · dừng tại i0 Đặt U = min{[ui] : i ≥ 1} = [si0].Một cách chọn dãy giảm ngặt khác trong S∞, chẳng hạn u01 > u02 > · · ·, sẽdẫn tới lớp Archimedean U0 khác Vì mỗi lớp này đều có một phần tử đạidiện thuộc S và S được sắp thứ tự tốt, nên ta có thể giả sử dãy giảm ngặt
u1> u2> · · · ban đầu được chọn sao cho U là nhỏ nhất Bằng cách bỏ đimột số hữu hạn các ui, ta lại có thể giả sử rằng U = [ui] = [si]với mọi i ≥ 1.Đặt sU = min{s ∈ S : [s] = U } (tập {s ∈ S : [s] = U } không rỗng nên sU tồntại) Khi đó [sU] = [u1] nên có số nguyên dương m sao cho u1 ≤ sm
U Ta cũng