Lời giải chi tiết 7 bài tập của Bài 1 Tính đơn điệu và cực trị của hàm số thuộc Chương 1 của SGK Toán 12 (Tập một) Chân trời sáng tạo.
Trang 1HÀM SỐ
§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
! Giải chi tiết các bài tập trong sách Toán 12 Chân trời sáng tạo.
BÀI 1 (trang 13) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở hình sau
Lời giải.
a) • Hàm số đồng biến trên các khoảng(0; 2)và(4; 5), nghịch biến trên các khoảng(−1;0)và(2; 4).
• Hàm số có
– x = 2là điểm cực đại vì y(x) < y(2)với mọix ∈ (0;4) \ {2}, yCĐ= y(2) = 2;
– x = 0là điểm cực tiểu vìy(x) > y(0)với mọi x ∈ (−1;2) \ {0},yCT= y(0) = −1;
– x = 4là điểm cực tiểu vìy(x) > y(4)với mọi x ∈ (2;5) \ {4}, yCT= y(4) = −1.
b) • Hàm số đồng biến trên các khoảng(−3;−1)và(1; 3), nghịch biến trên khoảng(−1;1).
• Hàm số có
– x = −1là điểm cực đại vìy(x) < y(−1)với mọix ∈ (−3;1) \ {−1}, yCĐ= y(−1) = 3;
– x = 1là điểm cực tiểu vìy(x) > y(1)với mọi x ∈ (−1;3) \ {1},yCT= y(1) = −1.BÀI 2 (trang 13) Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau
a) y = 4x3+ 3x2− 36x + 6;b) y =x
2− 2x − 7x − 4 .
Lời giải.
a) Xét hàm số y = 4x3+ 3x2− 36x + 6.Tập xác định:D = R.
Ta có y0= 12x2+ 6x − 36;y0= 0 ⇔ x =3
2 hoặcx = −2.Bảng biến thiên:
1
Trang 2Vậy hàm sốy = 4x3+3x2−36x+6đồng biến trên các khoảng(−∞;−2)và
µ32; +∞
, nghịch biến trên khoảng
;hàm số có một điểm cực đại làx = −2, một điểm cực tiểu làx =3
2.b) Xét hàm sốy = x
2− 2x − 7x − 4 .
Tập xác định:D = R \ {4}.Ta có y0=(2x − 2)(x − 4) − (x
2− 2x − 7)(x − 4)2 =x
2− 8x + 15(x − 4)2
Vì(x − 4)2> 0với mọi x ∈ R \ {4}nêny0cùng dấu vớix2− 8x + 15.Ta có y0= 0 ⇔ x2− 8x + 15 = 0 ⇔ x = 5hoặcx = 3.
Vậy hàm sốy =x
2− 2x − 7
x − 4 đồng biến trên các khoảng(−∞;3)và(5; +∞), nghịch biến trên các khoảng(3; 4)và(4; 5);
hàm số có một điểm cực đại làx = 3, một điểm cực tiểu làx = 5.
BÀI 3 (trang 13) Tìm cực trị của các hàm số saua) y = 2x3+ 3x2− 36x + 1;
b) y = x
2− 8x + 10x − 2 ;
c) y =p−x2+ 4.
Lời giải.
a) Xét hàm sốy = 2x3+ 3x2− 36x + 1.Tập xác định:D = R.
Ta có y0= 6x2+ 6x − 36;y0= 0 ⇔ x = 2hoặcx = −3.Bảng biến thiên:
Trang 3Vậy hàm số đạt cực đại tại x = −3, giá trị cực đại là y(−3) = 82; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là
y(2) = −43.b) Xét hàm số y =x
2− 8x + 10x − 2 .
Tập xác định:D = R \ {2}.Ta có y0=(2x − 8)(x − 2) − (x
2− 8x + 10)(x − 2)2 =x
2− 4x + 6
(x − 2)2 =(x − 2)2+ 2(x − 2)2 Vì(x − 2)2+ 2 > 0và(x − 2)2> 0nêny0> 0với mọix ∈ R \ {2}.Bảng biến thiên:
Tập xác định:D = [−2;2].Ta có y0= −2x
−x2+ 4=−xp
Vậy hàm số đạt cực đại tạix = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2; hàm số không có cực tiểu.
BÀI 4 (trang 13) Chứng minh rằng hàm sốy =2x + 1
x − 3 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Lời giải.
Tập xác định:D = R \ {3}.Ta có y0= −7
(x − 3)2< 0với mọix ∈ R \ {3}.
Vậy ynghịch biến trên từng khoảng xác định.
BÀI 5 (trang 13) Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tínhxấp xỉ bằng công thứcf (x) = 0,01x3− 0, 04x2+ 0, 25x + 0, 44(tỉ USD) vớixlà số năm tính từ 2010 đến 2017 (0 ≤ x ≤ 17.)(Theo https://infographics.vn/interactive-xuat-khau-rau-qua-
du-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam-2023/116220.vna)a) Tính đạo hàm của hàm số y = f (x).
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
Lời giải.
a) Ta có f (x)xác định trên[0; 7];f0(x) = 0,03x2− 0, 08x + 0, 25.
Trang 4b) Ta có 1
0(x) = 0,09x2− 0, 24x + 0, 75 = (0, 3x − 0, 4)2+ 0, 59 > 0với mọix ∈ [0;7], hay f0(x) > 0với mọix ∈ [0;7].Do đó f (x)đồng biến trên khoảng(0; 7).
Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
BÀI 6 (trang 13) Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trụcOx Tọa độ của chất điểm tại thời điểmtđược xácđịnh bởi hàm sốx(t) = t3− 6t2+ 9tvớit ≥ 0 Khi đóx0(t)là vận tốc của chất điểm tại thời điểmt, kí hiệuv(t);v0(t)làgia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểmt, kí hiệua(t).
b) Ta cóv0(t) = a(t) = 6t − 12 = 0 ⇔ t = 2.Bảng biến thiên:
Do đó, hàm sốv(t)đồng biến trên khoảng(2; +∞), nghịch biến trên khoảng(0; 2).
Vậy trong khoảng thời gian từ2trở đi vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian từ0đến2vận tốc củachất điểm giảm.
BÀI 7 (trang 13) Đạo hàmf0(x)của hàm số y = f (x)có đồ thị như hình sau.
y = f0(x)
xy
Trang 5• Mọi thắc mắc về tài liệu này xin liên hệ Zalo 0816 462 821 (Division Ring).
• Nhận giải đáp các câu hỏi Toán 1-12, Toán Cao cấp đại cương và Toán Cao cấp chuyên ngành Đại số
qua Zalo trên (có tính phí).