Lời giải chi tiết 7 bài tập của Bài 1 Tính đơn điệu và cực trị của hàm số thuộc Chương 1 của SGK Toán 12 (Tập một) Chân trời sáng tạo.
Trang 1HÀM SỐ
§1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
! Giải chi tiết các bài tập trong sách Toán 12 Chân trời sáng tạo
BÀI 1 (trang 13) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở hình sau
x y
-1
3
2
O
4 5
a)
x y
-1
3 4
O -1 -3
-2
3 1
b)
Lời giải.
a) • Hàm số đồng biến trên các khoảng(0; 2)và(4; 5), nghịch biến trên các khoảng(−1;0)và(2; 4)
• Hàm số có
– x = 2là điểm cực đại vì y(x) < y(2)với mọix ∈ (0;4) \ {2}, yCĐ= y(2) = 2;
– x = 0là điểm cực tiểu vìy(x) > y(0)với mọi x ∈ (−1;2) \ {0},yCT= y(0) = −1;
– x = 4là điểm cực tiểu vìy(x) > y(4)với mọi x ∈ (2;5) \ {4}, yCT= y(4) = −1
b) • Hàm số đồng biến trên các khoảng(−3;−1)và(1; 3), nghịch biến trên khoảng(−1;1)
• Hàm số có
– x = −1là điểm cực đại vìy(x) < y(−1)với mọix ∈ (−3;1) \ {−1}, yCĐ= y(−1) = 3;
– x = 1là điểm cực tiểu vìy(x) > y(1)với mọi x ∈ (−1;3) \ {1},yCT= y(1) = −1
BÀI 2 (trang 13) Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau
a) y = 4x3+ 3x2− 36x + 6;
b) y =x
2− 2x − 7
x − 4 .
Lời giải.
a) Xét hàm số y = 4x3+ 3x2− 36x + 6
Tập xác định:D = R
Ta có y0= 12x2+ 6x − 36;y0= 0 ⇔ x =3
2 hoặcx = −2 Bảng biến thiên:
1
Trang 2y0
y
−∞
58
−111 4
−111 4
+∞
Vậy hàm sốy = 4x3+3x2−36x+6đồng biến trên các khoảng(−∞;−2)và
µ3
2; +∞
¶
, nghịch biến trên khoảng
µ
−2;32
¶
; hàm số có một điểm cực đại làx = −2, một điểm cực tiểu làx =3
2 b) Xét hàm sốy = x
2− 2x − 7
x − 4 .
Tập xác định:D = R \ {4}
Ta có y0=(2x − 2)(x − 4) − (x
2− 2x − 7) (x − 4)2 =x
2− 8x + 15 (x − 4)2
Vì(x − 4)2> 0với mọi x ∈ R \ {4}nêny0cùng dấu vớix2− 8x + 15
Ta có y0= 0 ⇔ x2− 8x + 15 = 0 ⇔ x = 5hoặcx = 3
Bảng biến thiên:
x
y0
y
−∞
4
−∞
+∞
8
+∞
Vậy hàm sốy =x
2− 2x − 7
x − 4 đồng biến trên các khoảng(−∞;3)và(5; +∞), nghịch biến trên các khoảng(3; 4)và(4; 5);
hàm số có một điểm cực đại làx = 3, một điểm cực tiểu làx = 5
BÀI 3 (trang 13) Tìm cực trị của các hàm số sau
a) y = 2x3+ 3x2− 36x + 1;
b) y = x
2− 8x + 10
x − 2 ;
c) y =p−x2+ 4
Lời giải.
a) Xét hàm sốy = 2x3+ 3x2− 36x + 1
Tập xác định:D = R
Ta có y0= 6x2+ 6x − 36;y0= 0 ⇔ x = 2hoặcx = −3
Bảng biến thiên:
x
y0
y
−∞
82
−43
+∞
Trang 3Vậy hàm số đạt cực đại tại x = −3, giá trị cực đại là y(−3) = 82; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là
y(2) = −43
b) Xét hàm số y =x
2− 8x + 10
x − 2 .
Tập xác định:D = R \ {2}
Ta có y0=(2x − 8)(x − 2) − (x
2− 8x + 10) (x − 2)2 =x
2− 4x + 6 (x − 2)2 =(x − 2)
2+ 2 (x − 2)2
Vì(x − 2)2+ 2 > 0và(x − 2)2> 0nêny0> 0với mọix ∈ R \ {2}
Bảng biến thiên:
x
y0
y
−∞
+∞
−∞
+∞
Vậy hàm số không có cực trị
c) Xét hàm số y =p−x2+ 4
Tập xác định:D = [−2;2]
Ta có y0= −2x
2p
−x2+ 4=
−x p
−x2+ 4.
Vìp
−x2+ 4 > 0với mọix ∈ (−2;2)nên y0cùng dấu với−x
Ta có y0= 0 ⇔ −x = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên:
x
y0
y
0
2
0
Vậy hàm số đạt cực đại tạix = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2; hàm số không có cực tiểu
BÀI 4 (trang 13) Chứng minh rằng hàm sốy =2x + 1
x − 3 nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Lời giải.
Tập xác định:D = R \ {3}
Ta có y0= −7
(x − 3)2< 0với mọix ∈ R \ {3}
Vậy ynghịch biến trên từng khoảng xác định
BÀI 5 (trang 13) Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thứcf (x) = 0,01x3− 0, 04x2+ 0, 25x + 0, 44(tỉ USD) vớixlà số năm tính từ 2010 đến 2017 (0 ≤ x ≤ 17.)
(Theo
https://infographics.vn/interactive-xuat-khau-rau-qua-du-bao-bung-no-dat-4-ty-usd-trong-nam-2023/116220.vna) a) Tính đạo hàm của hàm số y = f (x)
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017
Lời giải.
a) Ta có f (x)xác định trên[0; 7];f0(x) = 0,03x2− 0, 08x + 0, 25
Trang 4b) Ta có 1
3f
0(x) = 0,09x2− 0, 24x + 0, 75 = (0, 3x − 0, 4)2+ 0, 59 > 0với mọix ∈ [0;7], hay f0(x) > 0với mọix ∈ [0;7]
Do đó f (x)đồng biến trên khoảng(0; 7)
Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017
BÀI 6 (trang 13) Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trụcOx Tọa độ của chất điểm tại thời điểmtđược xác định bởi hàm sốx(t) = t3− 6t2+ 9tvớit ≥ 0 Khi đóx0(t)là vận tốc của chất điểm tại thời điểmt, kí hiệuv(t);v0(t)là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểmt, kí hiệua(t)
a) Tìm các hàmv(t)vàa(t)
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?
Lời giải.
a) Theo giả thiết, ta có
v(t) = x0(t) = 3t2− 12t + 9;
a(t) = v0(t) = 6t − 12
b) Ta cóv0(t) = a(t) = 6t − 12 = 0 ⇔ t = 2
Bảng biến thiên:
t
v0(t) = a((t))
v(t)
9
−3
+∞
Do đó, hàm sốv(t)đồng biến trên khoảng(2; +∞), nghịch biến trên khoảng(0; 2)
Vậy trong khoảng thời gian từ2trở đi vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian từ0đến2vận tốc của chất điểm giảm
BÀI 7 (trang 13) Đạo hàmf0(x)của hàm số y = f (x)có đồ thị như hình sau
y = f0(x)
x
y
O
Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm sốy = f (x)
Lời giải.
Từ đồ thị của hàm sốf0(x)ta có bảng biến thiên
Trang 5f0(x)
f (x)
Vậy hàm số f (x)đồng biến trên các khoảng(−1;2)và(4; 5), nghịch biến trên các khoảng(−2;−1)và(2; 4); hàm số có một điểm cực đại làx = 2, hai điểm cực tiểu làx = −1vàx = 4
LIÊN HỆ
• Mọi thắc mắc về tài liệu này xin liên hệ Zalo 0816 462 821 (Division Ring).
• Nhận giải đáp các câu hỏi Toán 1-12, Toán Cao cấp đại cương và Toán Cao cấp chuyên ngành Đại số
qua Zalo trên (có tính phí).