Đến vớichương Hàm số, đồ thị và ứng dụng này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các“Ứng dụng của Hàm số bậc hai” không chỉ đối với Toán học mà còn đối với cácngành khoa học kỹ thuật khác
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận
Trong chương trình toán 10 bài Hàm số bậc hai tập trung chủ yếu vào các dạng toán xác định các yếu tố liên quan đến hàm số bậc hai như vẽ parabol, xác định tính đồng biến nghịch biến của hàm số, tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng Tuy nhiên các bài toán liên quan đến thực tế còn rất ít, chưa nhiều dạng toán cho các lĩnh vực khác như vật lí, hóa học, sinh học, kinh tế , chưa xây dựng được nhiều mô hình toán học sử dụng hàm số bậc hai.Vì vậy việc cung cấp nội dung phương pháp là hết sức cần thiết.
Thực trạng của vấn đề
Trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Tĩnh Gia 4, tôi nhận thấy học sinh khi đưa bài toán thực tế vào để hình thành khái niệm hàm số bậc hai thì các em hiểu vấn đề và rút ra được khái niệm hàm số bậc hai, học sinh vận dụng tốt khái niệm hàm số bậc hai để tìm các yếu tốt liên quan Tuy nhiên khi giải một số bài toán liên quan đến mô hình toán học sử dụng hàm số bậc hai như: Phương trình chuyển động của vật chuyển động thẳng biến đổi đều, phương trình chuyển động của vật ném xiên, bài toán kinh tế về doanh thu bán hàng thì các em lúng túng chưa biết vận dụng lý thuyết vào để giải quyết vấn đề Ngoài ra khi yêu cầu lấy ví dụ thực tế có thể dùng hàm số bậc hai để mô hình hóa bài toán thì hầu hết học sinh chưa làm được Do đó để phát huy được tư duy cho học sinh cần phải rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết bài toán thực tế và ngược lại đưa các bài toán thực tế vào toán học bằng cách sử dụng mô hình toán học.
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến việc sự dụng hàm số bậc hai có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học.
Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra những dạng toán thường gặp là gì ? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng hàm số bậc hai như thế nào trong việc giải quyết bài toán mà họ đã đặt ra ?
Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng hàm số bậc hai thì trước tiên ta phải “thiết lập được hàm số” Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây
Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.
Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến (Ở đây trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tính huống 1 biến).
Bước 3: Sử dụng công cụ hàm số bậc hai để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa
1 Định nghĩa: Hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức: y ax 2 bx c , trong đó x là biến số, , ,a b clà các hằng số và a 0
Tập xác định của hàm số bậc hai là .
+ Khi a0, b0, hàm số trở thành hàm số bậc nhất y bx c
+ Khi a b 0, hàm số trở thành hàm hằng y c
2 Đồ thị của hàm số bậc hai
I Khái niệm hàm số bậc hai
II Đồ thị của hàm số bậc hai
Nhận xét Cách vẽ Tính chất
III Vận dụng a) Đồ thị hàm số y ax a 2 , 0 là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ, có trục đối xứng là trục tung (là đường thẳng x0) Parabol này quay bề lõm lên trên nếu 0 a , xuống dưới nếu a0. b) Đồ thị hàm số yax 2 bxc,a0 là một parabol có:
+ Trục đối xứng là đường thẳng 2 x b
+ Bề lõm hướng lên trên nếu a0, hướng xuống dưới nếu a0.
+ Giao điểm với trục tung là M 0; c
+ Số giao điểm với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình ax 2 bx c 0 a0 a0
+ Khi a0, hàm số đồng biến trên khoảng ;
và nghịch biến trên khoảng
+ Khi a0, hàm số đồng biến trên khoảng
và nghịch biến trên khoảng
- Để vẽ đường parabol y ax 2 bx c ta tiến hành theo các bước sau:
1 Xác định toạ độ đỉnh
3 Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol;
4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai Định nghĩa: GTLN, GTNN của hàm số y f x
Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f x trên miền xác định D :
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f x trên miền xác định D :
TH 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc 2 trên Cho hàm số bậc hai:y ax 2 bx c a 0
đạt tại hoành độ đỉnh I 2 x b
đạt tại hoành độ đỉnh I 2 x b
TH 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc 2 trên 1 tập cho trước Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai, ta lập bảng biến thiên cho hàm số đó trên tập hợp đã cho Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên tập hợp đã cho.
2.3.2 Các dạng toán cơ bản
DẠNG 1: Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học Các bước làm như sau:
Bước 1: Dựa vào giả thiết và các yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả dưới “dạng ngôn ngữ toán học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn Căn cứ vào các yếu tố bài ra ta chọn biến số, tìm điều kiện tồn tại, đơn vị
Bước 2: Dựa vào các mối liên hệ ràng buộc giữa biến số với các giả thiết của đề bài cũng như các kiến thức liên quan đến thực tế, ta thiết lập hàm số bậc hai Chuyển yêu cầu đặt ra đối với bài toán thực tiễn thành yêu cầu bài toán hàm số bậc hai
Bước 3: Dùng tính chất hàm số bậc hai để giải quyết bài toán hình thành ở bước 2 Lưu ý kiểm tra điều kiện, và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa.
DẠNG 2: Các bài toán thực tế đã mô hình hóa bằng một hàm số bậc hai. Thực hiện bước 3 của dạng 1.
2.3.3 Dạng 1: Các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học a) Các bài toán liên quan đến đời sống thực tế hàng ngày
Bài 1.[10- Tr 359] Trong một đám cháy rừng, các máy bay trực thăng cứu hộ được điều động để phun nước dập tắt các đám cháy Một chiếc trực thăng mang số hiệu VN-8650(H.1) đang bay ở độ cao
500m so với mặt đất, chuẩn bị phun nước vào một đám cháy rừng từ trên cao. Độ cao h m của vòi phun so với mặt đất tính theo thời gian t s kể từ lúc máy bay phun ra nước để dập lửa là một hàm số bậc hai Tại thời điểm 5 s sau khi nước phun thì nước tới được phía trên đám cháy đang bốc lửa cao 90m Khoảng thời gian để nước đi từ vòi phun đến đám cháy trên mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?
Chọn hệ trục Oth như hình vẽ( H.2) với gốc tọa độ O là vị trí trên mặt đất thẳng đứngvới trực thăng.
*Xét phương trình parabol P h t : at 2 bt c a , 0
*Theo giả thiết ta có S 0;500 và đi qua điểm
A Đỉnh S 0;500 của P nằm trên trục tung nên
Mặt khác, A 5;90 P a 16,4 Từ đây ta được phương trình
*Khi nước chạm đất ta được: 2
Vậy thời gian để nước đi từ vòi phun đến đám cháy trên mặt đất gần nhất với giá trị 5,5 s
Bài 2.[1-Tr15- SGK- KNTT&CS]
Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt
(H.3) Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26m là 20m.
Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc tọa độ, chân còn lại đặt trên tia Ox (H.4).
Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng y ax 2 bx. Đồ thị hàm số trên đi qua các điểm A 27;0 và
Từ đó, ta có hệ phương trình
Như vậy đồ thị hàm số có dạng y0,3577x 2 9,658x và có tọa độ đỉnh là
Vậy độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất) xấp xỉ 65,19 m.
Bài 3: [1- Tr16, SGK-KNTT&CS] Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà
Nội (H.5) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt
Hình 4 đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m Từ đó tớ tính ra được chiểu cao của cổng parabol đó là 12 m
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục
+ Thực nghiệm sư phạm là quá trình rất quan trọng nhằm làm sáng tỏ những vấn đề lí luận của đề tài ở trường THPT Tĩnh Gia 4, đồng thời kết quả thu được của thực nghiệm là cơ sở khoa học để xác định tính đúng đắn của đề tài.
+ Kết quả của việc thực nghiệm sư phạm sẽ cho biết được sự phù hợp của đề tài với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hiện nay. Sau một năm học 2023-2024 cho việc áp dụng cho đối tượng học sinh ở 4 lớp 10 của trường THPT Tĩnh Gia 4, trong đó có hai lớp thực nghiệm và hai lớp đối chứng Kết quả thực nghiệm được tiến hành một cách khách quan trên các lớp thực nghiệm và đối chứng Kết quả thu được như sau:
Lớp và số lượng học sinh tham gia thực nghiệm:
Lớp Sĩ số học sinh Tổng số học sinh
Lớp và số lượng học sinh đối chứng:
Lớp Sĩ số học sinh Tổng số học sinh
Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp đối chứng
Lớp SL Tốt Khá Đạt Chưa đạt
Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp thực nghiệm
Lớp SL Tốt Khá Đạt Chưa đạt
- Bản thân cần phải nắm vững về kiến thức chuyên môn và các kiến thức liên quan đến bài dạy, kiến thức liên môn Từ đó biết phân tích, phân loại các bài toán khác nhau để đưa vào bài dạy
- Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm, những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm hơn trong dự đoán và xử lí tình huống.
2.4.3 Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn
Việc đưa toán học vào giải quyết các bài toán thực tế không quá khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được Và có thể áp dụng được với tất cả các đối tượng học sinh, nhất là các em học tốt Nên tôi đã mang phổ biến trong tổ, các anh,chị em trong tổ cũng có nhiều góp ý quý báu và tôi đã mạnh dạn áp dụng vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại thành công
