SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾT
CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Quảng Xương II
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2024
Trang 2MỤC LỤC Trang
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 17dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Các SKKN đã được Sở GD&ĐT Thanh Hóa xếp loại 20
Trang 31 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài
Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán
là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán để nâng cao năng lực tư duy cho học sinh là hết sức cần thiết
Khoảng cách trong không gian là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 11 và nó luôn xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thihọc sinh giỏi hằng năm Để lĩnh hội kiến thức của phần này được dễ dàng thì đòihỏi người học phải có tư duy tốt các tính chất hình học thuần tuý trong không gian Đối với học sinh, đa số các em rất ngại học môn hình học, đặc biệt là môn hình học không gian Bởi vì, đây là môn học đòi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm
mỹ và tính tư duy cao, không phải học sinh nào cũng học tốt được Đối với giáo viên, nếu người dạy không có tầm nhìn sâu rộng, khả năng bao quát, liên kết vớicác phần kiến thức toán học khác thì học sinh sẽ thấy rất nhàm chán, khó nâng cao được chất lượng học tập Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất sợ khi gặp những câu liên quan đến khoảng cách trong không gian, các em cảm thấy bế tắc, trừu tượng, thiếu tính thực tế, không có phương hướng
để làm Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh không làm được phần này, về phần giáo viên cũng mong muốn truyền đạt đến học sinh một số phương pháp nhất định để các em không còn e ngại khi gặp các bài toán về khoảng cách trongkhông gian
Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được,
tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến cho năm 2024 với nội dung: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải quyết các bài toán khoảng cách trong không gian”
1.2 Mục đích nghiên cứu
- Với việc nghiên cứu đề tài sẽ giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng họcsinh học ở mức độ khá, giỏi có thể giải được các bài toán về khoảng cách thôngqua các kiến thức hình học không gian ở lớp 11 mà các em đã học
- Thông qua SKKN này sẽ bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹnăng giải toán, học sinh sẽ biết liên kết các nội dung kiến thức toán học vớinhau, có năng lực tư duy, tìm tòi sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bàitoán mới
- Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tốthơn kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong việc học môn HHKG
- Hy vọng đề tài ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh
có một cái nhìn toàn diện hơn về một lớp các bài toán khoảng cách trong khônggian
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
- Các bài toán khoảng cách trong không gian ở mức độ vận dụng trongcác đề thi
- Các học sinh có trình độ khá, giỏi lớp 11 trường THPT Quảng Xương
Trang 4II-1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài
- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS)
- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)
- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS)
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức một số tiết dạy)
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra của họcsinh và đối chứng)
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này thuộc phạm vi kiến thứchình học không gian lớp 11 theo chương trình mới, các ví dụ được tổng hợp từcác bài toán lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi các cấp
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng song song với nhau là
khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt thẳng
; ;
d a d M MH M
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng kia
; ; ; ,
d d a d A AH a A a
iii) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
- Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
- Đường thẳng vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Về phía học sinh.
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán hình học lớp 11, tôi nhận thấy khidạy về các bài toán khoảng cách trong không gian, những câu ở mức độ nhậnbiết, thông hiểu đơn giản học sinh đều nắm được cách giải Tuy nhiên, khi gặpnhững câu vận dụng, vận dụng cao thì học sinh bị bế tắc, không định hướngđược cách giải Các câu dạng này, phần lớn là phức tạp và hầu như không nhìnthấy ngay được trên hình, đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt mới phát hiện đượcvấn đề để giải
Về sách giáo khoa.
Trang 5Sách giáo khoa chỉ đưa ra các ví dụ về các câu khoảng cách ở mức độ đơn
giản, ít đề cập đến những câu vận dụng, vận dụng cao, vì vậy học sinh gặp rấtnhiều khó khăn khi đối mặt với những câu này trong các đề thi thử tốt nghiệphoặc thi học sinh giỏi Đặc biệt tài liệu chuyên sâu về dạng toán này ít, không hệthống, không chỉ rõ các dạng toán thường gặp, các hướng đề thi có thể ra
Về phía giáo viên.
Với sức ép của chương trình, qui chế chuyên môn, thời lượng thực hiệnchương trình sát sao, đã làm cho giáo viên chỉ đủ thời gian truyền tải các nộidung trong sách giáo khoa, ít có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần
mở rộng chủ yếu ở các tiết phụ đạo, bồi dưỡng
Trước khi tôi thực hiện đề tài này thì kết quả các bài kiểm tra chuyên đề
“Khoảng cách trong không gian” của học sinh lớp 11 trong hai năm học liên tiếpcủa trường THPT Quảng Xương II được thể hiện qua bảng sau:
Sốlượng Tỷ lệ
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 Các giải pháp: Trong giảng dạy tôi thực hiện như sau:
- Dùng hệ thống câu hỏi gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cũng nhưphương pháp tổng quát hóa bài toán
- Khai thác, phát triển tính chất của bài toán tương tự
- Ra đề toán theo hướng mở với kiểu câu phát hiện sáng tạo, học sinh cóthể trên cơ sở bài toán tổng quát tự mình tìm ra được những bài toán khác nhau
2.3.2 Nội dung: Tôi xin trình bày hai vấn đề lớn cùng một số ví dụ và các bài tập tự luyện
Vấn đề 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao
Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là
H Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên SHB
Trang 6Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích
bằng 2, AB 2,BC Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng 2 SBD
và SAM cùng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình chữ nhật ABCD có
hai đường chéo AC BD 2a Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng A AB tạo với đáy một góc ' 60 Tính khoảng cách d B A BD '; '
Lời giải
Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD
Do A BD' ABCD A H' ABCD
Ta có: ' 1
2
A H BD a (trong tam giác vuông đường
trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
a
AD HM AB a
Do: A D' / / 'B C B C' / /A BD' d B A BD '; ' d C A BD ; '
Trang 7Ta có: . 2 2
3
CD CB a CE
Dạng 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên
Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là
H Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên
HE SH
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD
là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết
a
HF d H SBC
HF SH HE .
b) Dựng HN AC AC SHN, dựng HI SN HI SAC
Trang 8Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy là tam giác đều cạnh a,
gọi I là trung điểm cạnh BC, đường thẳng A’C tạo với đáy một góc 60
AI AA a AH
Trang 9Quay trở về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng bên.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD tâm O, SA2a 2 Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh OA, biết tam giác SBD vuông tại S Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Trang 10với trọng tâm G của tam giác ABC Biết mặt phẳng B C CB tạo với đáy một ' ' góc 60 Tính các khoảng cách:
Trong mặt phẳng A OM : kẻ OH A M
Trang 11 Dạng 4: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau Khi đó khoảng
cách từ một điểm bất kì trên đến mặt phẳng được gọi là khoảng cách giữa
Cho hai mặt phẳng và song song với nhau, khoảng cách từ một điểm
bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa hai
Trang 12Ví dụ 9: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Vấn đề 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau
Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b Gọi là mặt
phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông
góc của a trên CD(SHC) SCH 60
Vì a/ / nên a a/ / ' Gọi N a ' b và là mặt
phẳng chứa a và a’ Dựng đường thẳng qua N và
vuông góc chung và MN là đoạn vuông góc chung của a
và b.
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng
còn lại
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại
Dạng 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau và vuông góc với nhau.
Phương pháp giải: Dựng đường vuông góc chung Khảo
sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính
Trang 13khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC
thuộc bên khối chóp trong trường hợp d SC
Dựng hình: Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy là HC
Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân AB = BC = 3a,
hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60° Tính khoảng cách giữa 2
Trang 14Phương pháp giải : Dựng đường thẳng chứa a và song song với b (hoặc đường
thẳng chứa b và song song với a) để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau
Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2
đường thẳng chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc mặt bên của
khối chóp trong trường hợp d không vuông góc với SC.
Dựng hình: Tìm giao điểm C của cạnh bên SC và mặt đáy (giao điểm của
cạnh thuộc mặt bên và mặt đáy) Từ C ta dựng đường
Chú ý: Để tính d(d;(Sxy)) ta có thể lấy bất kỳ điểm
nào thuộc d (không nhất thiết là điểm M) sao cho việc
quy đổi khoảng cách cần tìm về khoảng cách từ chân
đường cao H đến mặt phẳng (Sxy) dễ dàng nhất.
Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu
vuông góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và mặt phẳng đáy bằng 60 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Trang 15(A;(B'C'CB)) 2 ( ;( ' ' )) 2
d d H B C CB HE
8'
HK B H a HE
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a 3, AC =
a, tam giác SBC là tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AC.
Ví dụ 15: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 45 Tính khoảng cách giữa 2
đường thẳng SA và BD.
Lời giải
Trang 16Ví dụ 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có AB =
BC = a, A’B = a 3 Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách giữa hai
Ví dụ 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, SA(ABCD)
Biết AD = 2a, AB = BC = a và SD tạo với đáy một góc 30 Gọi K là trung điểm của
SD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AK.
Lời giải
Trang 17Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tínhkhoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC
Câu 3: (Thpt Cẩm Giàng 2 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC Cạnh bên 60 SA vuông góc với đáy, SC 2a Tính
khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD
Câu 4: (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình hộp ABCD A B C D cóđáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Hình chiếu vuông góc của A lênmặt phẳng ABCD trùng với O Biết tam giác AA C vuông cân tại A Tínhkhoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB A
Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A
AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM
Câu 6: (THPT Việt Đức Hà Nội 2023) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy
ABC là tam giác vuông tại A với AC a 3 Biết BC hợp với mặt phẳng
AA C C một góc 30o và hợp với mặt phẳng đáy góc sao cho sin 6
4
Gọi M N, lần lượt là trung điểm cạnh BB vàA C Tính khoảng cách giữa MN
và AC
Trang 18Câu 7: Cho tứ diện O ABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau,
OA a và OB OC 2a Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cáchgiữa hai đường thẳng OM và AB
Câu 8: (Sở Ninh Bình 2019) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuôngtại B, C , 60 AC 2, SA ABC, SA 1 Gọi M là trung điểm của AB.Tính khoảng cách d giữa SM và BC
Câu 9: (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho khối chóp tứ giác đều S ABCD có thể tích bằng
Câu 10: (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2023) Cho hình chóp S ABC
có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3, mặt bên SAB là tam giác cân với
Câu 12: (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C cócạnh bên bằng a 2, đáy ABC là tam giác vuông tại B BC a, 3,AB a Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt đáy là điểm M thoả mãn 3AM AC
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
- Sáng kiến kinh nghiệm này đã giúp cho tôi và các đồng nghiệp thực hiện tốtnhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duylogic kỹ năng phân tích, tổng hợp để đi đến một hướng giải đúng và thích hợpkhi gặp các bài toán khoảng cách trong không gian trong các kỳ thi
- Học sinh thấu hiểu phương pháp để có thể tự xây dựng một lớp các bài toántìm khoảng cách trong chương trình lớp 11 có cùng hướng giải
- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khá vàgiỏi 11 THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán
- Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số bài toán thường gặptương ứng các bài tập tự luyện Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong cácnăm học 2022-2023, 2023-2024 khi giảng dạy lớp 11, được học sinh đồng tình
và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải các bài toán khoảng cách trongkhông gian, vận dụng được vào trong các kỳ thi Các em hứng thú và đam mê