skkn cấp tỉnh nâng cao năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải quyết các bài toán cực trị h̀inh toạ độ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY

CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC GIẢI QUYẾTCÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Đỗ Thị ThủyChức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Quảng Xương II

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2024

MỤC LỤCTrang

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 17dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Các SKKN đã được Sở GD&ĐT Thanh Hóa xếp loại 20

1 MỞ ĐẦU1.1 Lí do chọn đề tài

Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toánlà hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán để nâng cao năng lực tư duy cho học sinh là hết sức cần thiết

Khoảng cách trong không gian là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 11 và nó luôn xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thihọc sinh giỏi hằng năm Để lĩnh hội kiến thức của phần này được dễ dàng thì đòihỏi người học phải có tư duy tốt các tính chất hình học thuần tuý trong không gian Đối với học sinh, đa số các em rất ngại học môn hình học, đặc biệt là môn hình học không gian Bởi vì, đây là môn học đòi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ và tính tư duy cao, không phải học sinh nào cũng học tốt được Đối với giáo viên, nếu người dạy không có tầm nhìn sâu rộng, khả năng bao quát, liên kết vớicác phần kiến thức toán học khác thì học sinh sẽ thấy rất nhàm chán, khó nâng cao được chất lượng học tập Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất sợ khi gặp những câu liên quan đến khoảng cách trong không gian, các em cảm thấy bế tắc, trừu tượng, thiếu tính thực tế, không có phương hướng để làm Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh không làm được phần này, về phần giáo viên cũng mong muốn truyền đạt đến học sinh một số phương pháp nhất định để các em không còn e ngại khi gặp các bài toán về khoảng cách trongkhông gian.

Với những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được,

tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến cho năm 2024 với nội dung: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải quyết các bài toán khoảng cách trong không gian”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Với việc nghiên cứu đề tài sẽ giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng họcsinh học ở mức độ khá, giỏi có thể giải được các bài toán về khoảng cách thôngqua các kiến thức hình học không gian ở lớp 11 mà các em đã học.

- Thông qua SKKN này sẽ bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹnăng giải toán, học sinh sẽ biết liên kết các nội dung kiến thức toán học vớinhau, có năng lực tư duy, tìm tòi sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bàitoán mới

- Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tốthơn kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong việc học môn HHKG.

- Hy vọng đề tài ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinhcó một cái nhìn toàn diện hơn về một lớp các bài toán khoảng cách trong khônggian.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Các bài toán khoảng cách trong không gian ở mức độ vận dụng trongcác đề thi.

- Các học sinh có trình độ khá, giỏi lớp 11 trường THPT Quảng Xương

II-1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS) - Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức một số tiết dạy).

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra của họcsinh và đối chứng).

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này thuộc phạm vi kiến thứchình học không gian lớp 11 theo chương trình mới, các ví dụ được tổng hợp từcác bài toán lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi các cấp

 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng   song song với nhau là

khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt thẳng

 

 ;  ;     

d a  d M  MH M 

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

   

 ;  ;   ;    , 

d   d a  d A  AH a  A a

iii) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

- Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

- Đường thẳng vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Về phía học sinh.

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán hình học lớp 11, tôi nhận thấy khidạy về các bài toán khoảng cách trong không gian, những câu ở mức độ nhậnbiết, thông hiểu đơn giản học sinh đều nắm được cách giải Tuy nhiên, khi gặpnhững câu vận dụng, vận dụng cao thì học sinh bị bế tắc, không định hướngđược cách giải Các câu dạng này, phần lớn là phức tạp và hầu như không nhìnthấy ngay được trên hình, đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt mới phát hiện đượcvấn đề để giải

Về sách giáo khoa.

Sách giáo khoa chỉ đưa ra các ví dụ về các câu khoảng cách ở mức độ đơn

giản, ít đề cập đến những câu vận dụng, vận dụng cao, vì vậy học sinh gặp rấtnhiều khó khăn khi đối mặt với những câu này trong các đề thi thử tốt nghiệphoặc thi học sinh giỏi Đặc biệt tài liệu chuyên sâu về dạng toán này ít, không hệthống, không chỉ rõ các dạng toán thường gặp, các hướng đề thi có thể ra

Về phía giáo viên.

Với sức ép của chương trình, qui chế chuyên môn, thời lượng thực hiệnchương trình sát sao, đã làm cho giáo viên chỉ đủ thời gian truyền tải các nộidung trong sách giáo khoa, ít có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phầnmở rộng chủ yếu ở các tiết phụ đạo, bồi dưỡng.

Trước khi tôi thực hiện đề tài này thì kết quả các bài kiểm tra chuyên đề“Khoảng cách trong không gian” của học sinh lớp 11 trong hai năm học liên tiếpcủa trường THPT Quảng Xương II được thể hiện qua bảng sau:

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các giải pháp: Trong giảng dạy tôi thực hiện như sau:

- Dùng hệ thống câu hỏi gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cũng nhưphương pháp tổng quát hóa bài toán.

- Khai thác, phát triển tính chất của bài toán tương tự.

- Ra đề toán theo hướng mở với kiểu câu phát hiện sáng tạo, học sinh cóthể trên cơ sở bài toán tổng quát tự mình tìm ra được những bài toán khác nhau

2.3.2 Nội dung: Tôi xin trình bày hai vấn đề lớn cùng một số ví dụ và các bàitập tự luyện

Vấn đề 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

 Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao

Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là

H Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên SHB Kẻ AK HB ta có:



Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích

bằng 2, AB 2,BC Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng 2 SBD và SAM cùng vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng

SSBK AMBK

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình chữ nhật ABCD có

hai đường chéo AC BD 2a Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng A AB tạo với đáy một góc '  60 Tính khoảng cách d B A BD  '; '  

Lời giải

Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD

Do A BD'   ABCD A H' ABCD Ta có: ' 1

A H  BD a (trong tam giác vuông đườngtrung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Dựng HM AB AB A HM'   A MH' 60+) Khi đó: tan 60 '

aHM  A H  HM 

Do: A D' / / 'B C B C' / /A BD'   d B A BD '; '  d C A BD ; ' 

Ta có: . 2 23

CD CBaCE

ad B A BD 

 Dạng 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên.

Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là

H Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD

là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết

SA a và SB tạo với đáy một góc 30 Gọi H là trung điểm của AD Tính

các khoảng cách sau:a) d H SBC ; b) d H SAC ; 

SBH    HB  SH  aHB aKhi đó: AB HB2  AH2 a 2

HFd H SBCHF SH  HE    .

b) Dựng HN  AC AC SHN, dựng HI SN  HI SAC

Dựng 2 2 2. 22

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy là tam giác đều cạnh a,

gọi I là trung điểm cạnh BC, đường thẳng A’C tạo với đáy một góc 60

A CA   AA AC  a

Dựng AI BC BC A AI'  và3

aAI 

Dựng AH A I'  d A A BC ; '   AH

AI AAaAH

Khi đó: d A ;   d A A Ix ; '  , Ix cắt AB tại trung điểm M và AB.

AK A Aad A A IKAE

 Nếu AB cắt   tại I thì ta có:    

 

d AAId BBI

d C SABCICHSABI

d H SABHI

Quay trở về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng bên.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD tâm O, SA2a 2 Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh OA, biết tam giác SBD vuông tại S Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

với trọng tâm G của tam giác ABC Biết mặt phẳng B C CB tạo với đáy một ' ' góc 60 Tính các khoảng cách:

a) d A A BC  ; '  b) d C ABB A ; ' ' 

aA G GE

GI A GGKA Id G A AB

Trong mặt phẳng A OM : kẻ OH A M

Ta có: ABA OM  (vì AB OM và ABA O ) Suy ra AB OH Vì OHA MOH ABB A 

d D ABB A   hOH 

 Dạng 4: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho đường thẳng  và mặt phẳng   song song với nhau Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến mặt phẳng   được gọi là khoảng cách giữađường thẳng  và mặt phẳng  

βαM

Ta có: 22

OA a  SO SA2  OA2 a 3Mặt khác d CD SAB ;  d D SAB ; 

d D SABDBd O SAB OB 

Dựng OEAB,OF SE ta có:

ADOE  a

Khi đó: d D SAB ;  2OF 2 SO OE2. 2 a 3

Ví dụ 9: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a Gọi M,

N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳngMNP và ACC' 

Lời giải

Ta có:

MN / /AC, NP / / A A' MNP / / ACC'A 'Gọi O là tâm hình vuông ABCD và I DO MN

Ta có: IO AC IO ACC'A'IO AA '

Do đó d MNP ; ACC'A '    d I; ACC'A'   IOLại có: IO OD BD a 2

Vấn đề 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Cách xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau.

Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b Gọi   là mặt

phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuônggóc của a trên  CD(SHC) SCH 60.

Vì a/ /  nên a a/ / ' Gọi N a ' b và   là mặt

phẳng chứa a và a’ Dựng đường thẳng  qua N vàvuông góc chung và MN là đoạn vuông góc chung của avà b.

Nhận xét:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

 Dạng 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau và vuông góc với nhau.

Phương pháp giải: Dựng đường vuông góc chung Khảo

sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính

khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC

thuộc bên khối chóp trong trường hợp d SC.

 Dựng hình: Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy là HCMặt khác: SCdd SHC

Gọi M  dHC, dựng MK SC khi đó MK là đoạn vuông góc chung của AC và SC

 Cách tính: Dựng HE SC khi đó MKMCMKMC.HEHE HC  HC

Xét tam giác vuông SHC ta có: 1 2 12 1 2 HE MK d d SC ; 

Dựng AH SD suy ra AH là đoạn vuông góc chung của ABvà SD

SA ABaSA  AB 

Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân AB = BC = 3a,

hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặtphẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60° Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B’C.

aB G GI

B G IIHB Cd AB B CIH

B G GCGKIHIHGK

Phương pháp giải : Dựng đường thẳng chứa a và song song với b (hoặc đường

thẳng chứa b và song song với a) để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau.

Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc mặt bên củakhối chóp trong trường hợp d không vuông góc với SC.

 Dựng hình: Tìm giao điểm C của cạnh bên SC và mặt đáy (giao điểm của

cạnh thuộc mặt bên và mặt đáy) Từ C ta dựng đườngthẳng xCy d

Khi đó d(d;SC) = d(d;(Sxy))

Gọi M  dHC d d M Sxy ( ;( ))Ta có :

 Chú ý: Để tính d(d;(Sxy)) ta có thể lấy bất kỳ điểm

nào thuộc d (không nhất thiết là điểm M) sao cho việc

quy đổi khoảng cách cần tìm về khoảng cách từ chân

đường cao H đến mặt phẳng (Sxy) dễ dàng nhất.

Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu

vuông góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và mặt phẳng đáy bằng 60 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

aB HHK

Do AA'/ / BB' d(AA';BC) d(AA';( ' ' )) B C C

(A;(B'C'CB)) 2 ( ;( ' ' )) 2

d  d H B C CB  HE

HK B HaHE

Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a 3, AC =

a, tam giác SBC là tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AC.

Lời giải

Gọi H là trung điểm của BC Ta có SH BC

Mặt khác (SBC) ( ABC) SH (ABC)Ta có :

BC  AB AC  a SH  BC aDựng Bx/ /AC d AC SB( ; )d AC SBx( ;( ))

( ;( ))

d C SBxd

Dựng : HK Bx HE, SK  HE(SBx)( ;( )) 2 ( ;( )) 2

ad  d H SBK 

Ví dụ 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Tính d là khoảng

BO BBaHB ACh BH

Ví dụ 15: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB.Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 45 Tính khoảng cách giữa 2

đường thẳng SA và BD.

Lời giải

d SA BD d BD SAx d H SAx

Dựng HEAx HE OA a  2Dựng HF SE HF (SAx)

Ví dụ 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có AB =

BC = a, A’B = a 3 Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách giữa hai

đường thẳng AM và B’C.

Lời giải

Ta có: AA' A B' 2 AB2 a 2Dựng Cx/ /AM khi đó

d AM B C d AM B Cx

( ;( ' )) ( ;( ' ))2

d M B Cxd B B Cx

( 'Cx) d(B;(B'Cx)) BF'

BFBBFB E

Lại có BE 2BP , trong đó

Ví dụ 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, SA(ABCD)

Biết AD = 2a, AB = BC = a và SD tạo với đáy một góc 30 Gọi K là trung điểm của

SD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AK.

Lời giải

  2

aSA ABCD  SD ABCD SDA  SA AD  Ta có: BAADBA (SAD)

BA SA

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tínhkhoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC 

Câu 3: (Thpt Cẩm Giàng 2 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC   Cạnh bên 60 SA vuông góc với đáy, SC 2a Tính

khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD 

Câu 4: (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình hộp ABCD A B C D     cóđáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O Hình chiếu vuông góc của A lênmặt phẳng  ABCD trùng với  O Biết tam giác AA C vuông cân tại A Tínhkhoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng ABB A .

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A.

AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM

Câu 6: (THPT Việt Đức Hà Nội 2023) Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy

ABC là tam giác vuông tại A với AC a 3 Biết BC hợp với mặt phẳngAA C C   một góc 30o và hợp với mặt phẳng đáy góc  sao cho sin 6

Gọi M N, lần lượt là trung điểm cạnh BB vàA C  Tính khoảng cách giữa MN

và AC.