Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang docx

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG  Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục  Mômen quán tính của mặt cắt ngang  Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản  Công thức ch

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA

MẶT CẮT NGANG

 Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một

trục

 Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Mômen quán tính của một số hình phẳng

đơn giản

 Công thức chuyển trục song song của

mômen quán tính

Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục

O

y

x x

F X

xdF S

ydF S

Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối

với một trục

âm hoặc dương.

S X =0, S y =0 thì trục x, y là trục trung tâm và đi

trọng tâm mặt cắt.

Giao điểm của 2 trục trung tâm là trọng tâm

của mặt cắt

S x

x C

y C

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Mômen quán tính của hình phẳng đối với một trục

F

2 X

dF x

J

dF y

tính của mặt cắt ngang đối với trục x,

y, có thứ nguyên là (chiều dài)4

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Mômen quán tính độc cực (mômen quán

tính đối với một điểm)

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Mômen quán tính ly tâm





F

xy xydF J

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Khi mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là

hệ trục quán tính chính Nếu hệ trục quán tính chính qua trọng tâm mặt cắt thì được gọi

là hệ trục quán tính trung tâm.

 Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt ta cũng có thể xác định được một hệ trục quán tính chính

 Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất kỳ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó thành một hệ trục quán tính chính

Mômen quán tính của một số hình

phẳng đơn giản

 Mặt cắt hình chữ nhật

12

hb J

3

y 

12

bh J

3

Mômen quán tính của một số hình

phẳng đơn giản

 Mặt cắt hình tam giác

12

bh J

3

Mômen quán tính của một số hình

phẳng đơn giản

 Mặt cắt hình tròn

2

R J

J

4y

x

4

4 P

D 05 ,

0 64

D J

J

D 1 ,

0 32

D J

Mômen quán tính của một số hình

4

4 4

4

1 05

, 0

1 64

2

1 1

, 0

1 32

32 32

J

D

D d

D J

P y

x

P

Bán kính quán tính

ix , iy: bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x

và trục y

F

J i

F

J i

y y

x x





i x  y 

2

1

D i

Công thức chuyển trục song song

của mômen quán tính

 Vấn đề: biết Jx, Jy, Jxy đối với hệ trục Oxy

Tìm JX, JY, JXY đối với hệ trục song song OXY

Y

a x

X

Công thức chuyển trục song song

của mômen quán tính

aS J

J

F a

aS 2

J J

F b

bS 2

J J

y x

xy Y

X

2 y

y Y

2 x

x X

Công thức chuyển trục song song

của mômen quán tính

J

F a

J J

F b

J J

xy Y

X

2 y

Y

2 x

X

 Nếu xy là hệ trục quán tính chính trung tâm, thì

F a

J J

F b

J J

Y X

2 y

Y

2 x

X

Công thức xoay trục của

Jxy) đối với hệ trục Oxy

 Tính mômen quán tính của

diện tích F đối với hệ trục

Ouv

Công thức xoay trục

của mômen quán tính

Gọi (u, v) là tọa độ của

điểm A trong hệ tọa độ Ouv,

ta có

u = xcos + ysin

v = -xsin + ycos (a)

Mômen quán tính đối với hệ

F

2 u

uvdF J

dF u

J

dF v

J

y x

uv

xy

2 y

2 x

v

xy

2 y

2 x

u

J J

J J

J 2 J

J

J

J 2 J

J

J

cos sin

cos sin

cos sin

cos

sin cos

sin

cos

sin sin

2 J

2 2

J

J 2

J

J J

2 J

2 2

J

J 2

J

J J

y x

xy

y x

y

x v

xy

y x

y

x u

sin cos

sin cos

Công thức xoay trục của mômen quán tính

xy

J J

J

2 2

y x

2 xy

2 y x

y x

J 4 J

J 2

1 2

J

J J

J 4 J

J 2

1 2

J

J J

Ví dụ 4.1

 Xác định trọng

tâm mặt cắt

a F

y

F y

i

i

i

i i c

3 2

1

a

J J

1

a

J J

Ví dụ 4.1

 Bán kính quán tính chính

a

a F

J

12

Ví dụ 4.2

Xác định trọng

tâm mặt cắt:

cm y

cm x

C

C

13,2

217,

Ví dụ 4.2

1

2 C

F x

F x

F y

2

2 C

F y

Ví dụ 4.2

 Để tính được mômen quán

tính ly tâm, trước tiên ta phải

tính mômen ly tâm của thép

góc đều cạnh đối với hệ trục

0 0

0 0

2

y

x y

sin2=sin900=1

Jx0y0=0 Jx y  990 , 4  23 , 5  33 , 45 cm4

Ví dụ 4.2

4

1 1 1

4325 ,

64

25 13

, 2 21

, 1 0

1 1 1 1

cm

x x

F b a J

6 , 206

38 ,

9 ) 68 ,

5 25

, 3 ( 45

,

33

2 2 2 2

cm

x

F b a J

Ví dụ 4.2

4

F X

F X

X J J 2133 cm

J  1  2 

4

F Y

F Y

Y J J 330 cm

J  1  2 

4

F XY

F XY

J  1  2 

271 x

2 J

J

J

2 2

Y X

Ví dụ 4.2

Trị số mômen quán tính đối với hệ trục

quán tính chính trung tâm

2

J 4 J

J 2

J

J J

2 XY

2 Y X

min

max

5 , 2171

2

271

4 330

2133 2

330 2133

Vậy trọng tâm mặt cắt có tọa

độ C(1,5a; 4a) Qua C lập hệ

trục trung tâm XCY, khi đó C1,

C đối với hệ trục XCY là

 a 2 a  C

a a 5 0

C1



 ,

, ,

a x

C

C

4

5 ,

1





Ví dụ 4.3

4

F X

F X

X J J 32 a

J  1  2 

4

F Y

F Y

4

F XY

F XY

XY J J 12 a

J  1  2 

Mômen quán tính chính

Ví dụ 4.3

Phương của hệ trục quán tính

chính trung tâm của mặt cắt

6

1a

17a

32

a12x

2J

J 2

J

J J

2 XY

2 Y X

4 2

4 4

4 4

a 85 10

a 65

38 2

a 12 4 a

17 a

32 2

a 17 a

32 J

,

,

min