Luận văn thạc sĩ khoa học: Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh biến điệu lên hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm)

Sự giam cầm điện tử và phonon trong các hệthấp chiều làm tăng độ linh động của điện tử và dẫn đến những các phản ứng khác biệtđối với các tác nhân bên ngoài sóng điện từ, từ trường ....

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ VIỆT PHƯƠNG

Chuyên ngành: Vật ly lý thuyết & vật lý toán

Mã số: 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HƯỚNG DAN KHOA HỌC: TS ĐINH QUOC VƯƠNG

Hà Nội — 2012

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu và khám phá các tính chất của các hệ

thấp chiều như: hố lượng tử, siêu mạng pha tạp, siêu mạng hợp phan, hồ lượng tử,

chấm lượng tử ngày càng được chú trọng Sự giam cầm điện tử và phonon trong các hệthấp chiều làm tăng độ linh động của điện tử và dẫn đến những các phản ứng khác biệtđối với các tác nhân bên ngoài ( sóng điện từ, từ trường )

Việc chuyền từ hệ bán dẫn khối sang các hệ bán dẫn thấp chiều đã làm thay đôihầu hết các tinh chất của điện tử Ở bán dẫn khối, các điện tử có thé chuyên động trongtoàn mang tinh thé, nhưng ở các hệ thấp chiều chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn.Tuỳ thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thê mà chuyền động tự do của các hạt tải (điện tử,

lỗ trống ) bi giới hạn mạnh theo một, hai, hoặc cả ba chiều trong không gian mạngtinh thé Hạt tải chi có thé chuyên động tự do theo hai chiều (hệ hai chiều, 2D) hoặcmột chiều (hệ một chiều, 1D), hoặc bị giới han theo cả 3 chiều (hệ không chiêu,0D).[1-6] Việc chuyền từ hệ vật liệu có cấu trúc ba chiều sang hệ vật liệu có cấu trúc

thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính

chất vật lý của vật liệu như: tính chất quang, tính chất động (tán xạ điện tử-phonon, tán

xạ điện tử - tạp chất, tán xạ bề mặt, v.v ) Nghiên cứu cầu trúc cũng như các hiệntượng vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cau trúc thấp chiều đã làm thay đôiđáng kể nhiều đặc tinh của vật liệu và làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn macác hệ điện tử chuẩn ba chiều không có [7-14]

Hồ lượng tử là hệ hai chiều khi mà điện tử và có thé cả phonon bi hạn chế theomột chiều, chỉ chuyền động tự do theo một chiều Chính sự hạn chế chuyển động này

đã làm cho các hiệu ứng vật lý, các tính chat vật lý trong hồ lượng tử khác nhiều so với

bán dẫn khối

Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ mạnh cao tần

(laser) lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng thì đáng chú ý trong đó

có hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong hồ lượng tử Bàitoán này đã được giải quyết đối với bán dẫn khối và một phần lý thuyết hấp thụ phituyến trong hồ lượng tử hình chữ nhật gần đây đã được nghiên cứu nhưng chưa tính

2

đến ảnh hưởng của phonon giam cam mà mới chỉ dé ý đến sự giam cầm của điện tử.Khi tính lượng tử và sự giam cầm tăng lên thì không thể bỏ qua ảnh hưởng của phonongiam cầm Bởi vậy trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phituyến sóng điện từ mạnh biến điệu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử có kề đến

ảnh hưởng của phonon giam cầm và tính toán cụ thé cho trường hợp hấp thụ gan

ngưỡng và khảo sát kết quả thu được đối với hồ lượng tử AlAs/GaAs/AlAs

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

e Mục đích:

- Nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hấp thụ phi tuyến sóng điện từmạnh biến điệu biên độ bởi điện tử giam cầm trong hồ lượng tử ( trường hợp tán xạđiện tử - phonon âm).

- Tính toán số các kết quả lý thuyết cho hé lượng tử AlAs/GaAs/AlAs

e Đối tượng: hố lượng tử

e Phạm vi: Tính hệ số hap thụ phi tuyến sóng điện từ yêu (hap thụ gần ngưỡng)

3 Phương pháp nghiên cứu.

- Dé tính hệ số hap thụ phi tuyến sóng điện từ yếu trong hồ lượng tử có thé sửdụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp hàm Green, phương pháp tíchphân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử Trong luận văn này,

chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử để giải quyết.Đây là phương pháp được sử dụng nhiều khi nghiên cứu các hệ thấp chiều và cho hiệu

quả cao.[7-14] Từ Hamilton của hệ điện tử - phonon trong biểu diễn lượng tử hóa lầnhai, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử và phonon giam cầm trong hồlượng tử, sau đó áp dụng phương trình động lượng tử dé tính mật độ dòng hạt tải, cuối

cùng suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ

- Sử dụng phần mềm Matlab dé tinh số và vẽ đồ thị

4 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm có 3

chương:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về hồ lượng tử va bài toán về hệ số hấp thụ

sóng điện từ yêu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt trường bức xa

laser.

Chương 2: Phương trình động lượng tử và biéu thức giải tích của hệ số hấp thụsóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hồ lượng tử dưới ảnh hưởng của sóng

điện từ mạnh biến điệu có ké đến ảnh hưởng của phonon giam cầm (trường hợp tán xạ

điện tử — phonon âm).

Chương 3: Tính toán số và biện luận kết quả cho hồ lượng tử AlAs/GaAs/AlAs.Kết quả chính của luận văn được trình bay trong chương 2 và chương 3 Kết quảcho thấy hệ số hấp thụ ơ phụ thuộc phi tuyến vào cường độ sóng điện từ mạnh Eq), tần

36 sóng điện từ Qy ya Q2, phụ thuộc phức tap va không tuyến tính vào nhiệt độ T, độ

rộng hô L và các chỉ sô giam câm.

Chương 1

TONG QUAN VE HO LƯỢNG TU VÀ BÀI TOÁN HAP THU SÓNG

DIEN TU YEU BOI DIEN TU GIAM CAM TRONG BAN DAN

KHOI KHI CO MAT SONG DIEN TU MANH

1.1 Tổng quan về hồ lượng tử

1.1.1 Khái niệm về hỗ lượng tử

Hồ lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều,

được cau tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xi bằng nhau, có cấu trúc tinhthể tương đối giống nhau Tuy nhiên, do các chất khác nhau sẽ xuất hiện độ lệch ở

vùng hóa trị và vùng dẫn Sự khác biệt giữa cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trịcủa các lớp bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử, làm cho chúngkhông thể xuyên qua mặt phân cách dé đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh Và do vaytrong cau trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau

bởi các hồ thé lượng tử hai chiều được tạo bởi mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có

độ rộng vùng cắm khác nhau Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hồlượng tử là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó (thường trọn là hướng z)

bị giới hạn rất mạnh, phô năng lượng của điện tử theo trục z khi đó bị lượng tử hoá,chỉ còn thành phan xung lượng của điện tử theo hướng x và y biến đồi liên tục

Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hồ lượng tử do sự giam giữ điện tử làmật độ trạng thái đã thay đổi Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật độtrạng thái bat dau từ giá trị 0 va tăng theo quy luật £ 2 (với £ là năng lượng của điệntử), thì trong hồ lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái bắt đầutại một gia tri khác 0 nao đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy luật khác

1/2

é.

Các hố thé có thé được xây dựng bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùmphân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD) Cặp bán dẫn trong hồlượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hồ lượng tử tốt Khi xây dựng được

cau trúc hồ thế có chất lượng tốt, có thé coi hố thế được hình thành là hỗ thế vuông

góc.

1.1.2 Phố năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cam trong hỗ lượng tử

Theo cơ học lượng tử, chuyền động của điện tử trong hồ lượng tử bị giới hạntheo trục của hồ lượng tử (gia sử là trục z), do đó năng lượng của nó theo trục z sẽ bịlượng tử hoá và được đặc trưng bởi một sỐ lượng tử n nào đó £ (n0=0,1,2)

Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger chođiện tử chuyên động trong hồ thế này ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của

điện tử như sau:

„¿ (F) =Woes”* sin(p°2)

Với ÿ.Z0„ PB) bp, s2” (p?? + pi) Ở đây p? =7L xry n.DỊ 2m” Zz +L Zz L

Trong đó n = 1,2,3 là chỉ số lượng tử của phô năng lượng theo phương z

P = Dpit P là vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vectơ sóng của điện

tử ).

Với M4, ,: Hệ số chuan hóa hàm sóng trên mặt phẳng Oxy

m: khối lượng hiệu dụng của điện tử;

L : Độ rộng của hồ lượng tử

D ,: Hình chiếu của ÿ trên mặt phang (x, y)

ri: Hình chiếu của r trên mặt phẳng (x, y)

HE TY Q số ¬ gen ce m

p= TT : là các giá tri của vectơ sóng của điện tử theo chiêu z.

Nhu vậy phô năng lượng của điện tử bị giam cầm trong hồ lượng tử chỉ nhận cácgiá trị năng lượng gián đoạn theo phương điện tử bị giới hạn chuyên động, khônggiống trong ban dẫn khối, phố năng lượng là liên tục trong toàn bộ không gian Sugián đoạn của phô năng lượng điện tử là đặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trongcác hệ thấp chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng Sự biến đổi phổ năng

lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng ké trong tat ca tính chất của điện tử trong

hồ lượng tử so với các mẫu khối.

1.2 Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên sự hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tửgiam cầm trong bán dẫn khối (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm)

1.2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong bán dẫn khối

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:

+ Œ : hằng số tương tác điện tử - phonon

Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:

ih on) = (k;a, a)ot PP

nea, he o[-< Aw Jaa, +) o,bob, + YC, Gd y(b, +b , 9) (1.2)

(sh3), “2, C “((@a; 4; ) + (a'a, bì ) - (a*_.a.b ) — )

=LG Fiat F554 Prana hipaa | (1.5)q

Với Fo (= (ara, bi)

Vay phuong trinh (1.4) tro thanh:

_, On-(t)

ih——— = CL Lên n 4]

Hay 0 / 1.6 ay G2 CL Fig gaOt F540 Frag -Fijg a | (1.6)

Dé giải (1.8) cần tính F_—-(t) bang cách sử dụng phương trình động lượng tử cho nó:

¬ A

SG XN.+D~m.0)Ñ, |x exp a \—r Mi

P p+q prq

-|m;ứ YN —n, -()(N +1) |xexp HC „—£, he ~ shQ, =mhQ, +ihở\( _—

~|n,ứN, +1)- n(0N, | x exp n2 7p HO, —shQ, —mhQ, +ihö\( t—f' am

Voi ø= Ôi a= 2; n;()=(a;a;) PB “Pị, ; Nị =(bb,) 3 N,+1=(bjbt).

(1.10) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử

trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ E0) và E2(r) Ta giải (1.10) bằng

phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem H, ()~nz ta được:

Ta có hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả thiết

Trong trường hợp hap thụ 1 photon (m=+1) và hạn chế trong gan đúng bậc hai của

hàm Bessel ta thu được:

162°6°O,k,T

-ˆ sjx.E) pv, me 3Ì (5, ~,;.;)x

(pee Jee; | 6, +h@, —R©,)—ổ(2 „=6, 2 p+q pt + Ben, + RO, ) |

(1.16)

Go" | Oe, 8; + he, +O, —hQ,)—ổ(z,„„ — 6, the, + hQ, +hQ,)+4 p+q prq

+ổ(£;,„—£; + he, ~NQ, —RQ,)=ổ(,,-—e„ + Re, —RĐ, + RỘ,) |

Xét trường hợp hấp thụ gần ngưỡng tức thỏa mãn sào, + mhQ., — ha <<£

Don = : aS exp] - Sam Ki) Su (1.19)On) wr 4 2k„T 2k„T

+ Tính toán tương tự như trên ta được:

Han =>|S! | [nto ma maa) SA, +22)

"na 4m? Y” (ie

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TU VÀ HỆ SO HAP THU SÓNG ĐIỆN TỪ

YEU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẢM TRONG HO LƯỢNG TỬ DƯỚI ANH

HUONG CUA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIEN DIEU CÓ KE DEN HIỆU UNG

GIAM CAM CUA PHONON

2.1 Phuong trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong hồ lượng tử có kếdén sự giam cam của phonon.

Trong hồ lượng tử, chuyên động của electron va phonon bị giới hạn theo mộtchiều, các electron chỉ có thể chuyển động tự do theo 2 chiều còn lại Gia sử chiều bị

giới hạn hướng theo trục z Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong hồ lượng tử là:

+n, m: các chỉ sô lượng tử năng lượng của điện tử va phonon theo trục z.

+” ,a _ : Toán tử sinh, hủy điện tử giam cầmở trạng thái np).

_ : Toán tử sinh hủy phonon giam cầm ở trang thái lm, 1)

+ P, › 4 ¡: Vec-tơ sóng của electron và phonon trong mặt phẳng (x,y).

13

+ (P,.m) và (p, +g,.nm) là trạng thái của điện tử trước và sau khi tan xạ.

+ ø„: Tân sô của phonon âm.

+ A(t): Thế vecto của trường điện từ trong trường hợp tồn tai hai sóng điện từ E, (t)

và E(t).

E(t) = E:(t)+ E2(t) = Eo sin(Q,t) +Eo sin(Q,t) = _l ——

Cc t

Suy ra: A(t) = = cos(Q,t) + — cos(Q,t)

I", (=) _ 2) nimeos{ 2) +7/m+ psin( 2 | vn Nn( a :

tan xạ điện tử - phonon âm.

Trong đó Wạ,Ø,D ,ễ lần lượt là độ rộng, tiết điện, mật độ tinh thể, vận tốc truyền âm

và hăng sô điện biên dạng.

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hồ lượng tử có dạng:

ine (as a : H}) (2.2)

Dua biểu thức của Hamiltonian vào (2.2) ta được:

14

+), » Cog Tum (a L my a np Ona, + Pn )mg, nn ,py

Về phải của (2.3) có 3 số hang, ta lần lượt tinh từng số hang:

-V6i:F- _ (0= G _a -b ):Ny ›P1›12 P2 s4sI" "DỊ H.Py Mg],

Ta đi xây dựng biéu thức tính hàm F(t) bằng cách viết phương trình động lượng tử cho

ih HỊ;PỊ›H2 ›Dạ s41oY aa Yap, oe: a ta _b., p — Ä0)|a'-a- +he HP, HP,

Sho b°b + Cc r" Ga a - (b +b Ì (2.8)mq, MQ, mái 3174 L chát 1đ m, 4)ng oP) +41

Về phải của (2.8) có 3 số hang Ta lần lượt tinh từng số hang:

- Số hạng thứ nhất:

16

(shr3) -([« _a —b- Cc I", Cam a, (b,- +b" Ìt MP, ñạ.P¿ mq? h "_ mại PẠ›Hạ L HẠVP, + a, Py mq,

-Yc TH " ố )-naw mq 23 L MP) M3,P2-9 mq 14) m, ~đi t

_WC 1 Galce 4, (B„„ +), \b :) (2.11)nam Hi 1174 L "ạ¿.Pị tại MysPo 1đ m.,~đ\ mq t

Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta được:

OF - - - (t) —

— -{e - -é = — —p Jane, |e = on aml) +Ny, Po MP, m, Cc M +P) s2 Pa s4"

17

Fo @= CHỈ: ug re (2, 7, Jaane, lái (2.14)

Dé giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp biến thiênhằng số Đặt:

Thay (2.11) vào (2.12), thay (2.13), (2.14) vào (2.16) va đồng nhất số hạng của (2.12)

và (2.16) ta được kết quả sau:

_ C1, Gale ¬" M= Huy 7213 L M>P, Hạ:PạT4 mg (máy man Jf,

Tích phân 2 về của phương trình (2.17) và thay kết quả vào phương trình (2.15) tađược:

ôn - (t) ˆ[he =— C, Wn, (] jan (a as lỗ 5 tna )b,.:) sí h n.qa.m 4 a Py "PL 4 “ 4 1

NT _a -b (2 _ +b )) hsn.pit+q, n,pitq, mq mq) mq |

i

x offs, 50g, 7 Eng, NO ee 4, A(t, dt, š

+|(a*- a- ( - +b*- l; \ lat a bt AU : +b ) xMP MPL mại Hq—_ ma by n,pitq, N,pyitq, m-q Mig) mq, ty

nf - -€- +he, \(I~t — `.",PI†4+ NPL

M,C H

-lịa- -a- - (2 - +b* )b - N G AU - +b* )) xMP a, nPi-di ( mg, mái j mẽ |, np, nạp, mạ (m4, mai},

i ie ta

ance -8, , —R@, |(t=%, Fre! 4, A(t, dt, |.

l(a, a (2 _.- \b :) ar, _ pt ;Íb _ )) }xa (xu mp mi m—q\e mg, ma |,

x ex aE 5 82g the, (t=t; )—-' [ã, dapat, (2.20)p h np n Py dị me)

Toán tử sô hat của điện tu:

+

n — ( a-a-— 3 n.- - († q.- - q.- -n TC )= ( NP) HP ), , n sua, 2 )= G n.pitq, n.pitqy, ),

20

Toán tử số hạt của phonon: N = = (b: b- ); N +1= (b, bˆ )

f f

a đị Gq đị

Do tính đối xứng mạng tinh thê nên ta có thể thay q > ~q va OO;

Bỏ qua số hang chứa b, b )v và b; b; )Wa đị qị đị

Khi đó phương trình (2.20) được viết lại đưới dạng:

Jun, (an ; (S)N,—n, „.- (t,)(N; +1) )x",PI†4,

Ta xét thé véc tơ của trường điện từ trong trường hop tôn tại hai sóng điện từ : Song

điện từ mạnh biến điệu Ei(t) và sóng điện từ yếu E›().

ẻ, é, E,

-10A(t) _ ¬ ¬ :

— =¢@ sinQ7+é,sinQ,7+E,sinQ,¢ trong đó -y=-S=-.;y VỚI

Cc Ot ©; QQ; 20);

AQ, <<Q, , còn Q, là tân sô của sóng điện từ yêu.

Do AQ,<<Q, nên trong các tích phân theo thời gian khoảng một vai chu ki

sóng điện từ yếu, có thê coi cos(AQ,r) là hang số trong tích phân này và có thé đưa ra

ngoài tích phân.

Ta kí hiệu E,,cos(AQ, thoE E cos(AQ, T)=E,, E (r).

21

= > J, tăng: [án] exp(isQ,t, )exp(-ilQ,t) x

` J, [sues } wt ke (ikQ,t, )exp (-ifQ,r)

Đặt: ai(r) = sat = feria va do = a

Thay vào trên ta được:

m,c ,s,k,ƒ=— Cứ

on ion = » J (airq.V, (arg )J, (aq, )J, (aq, )x

xexp{i[ (s1)Q, +(k—f)Q, |r}exp[ -i(sQ, +42, )(r-1,) |

Thay vào biểu thức (2.21) ta được:

exp{ |; —£,„„ +ho, —shO, —khO, 4 ind |(t »)|| (2.23)h PL NSPi-Q

Biểu thức (2.23) là phương trình động lượng tử trong hồ lượng tử trong trường hop

điện tử và phonon bị giam cầm khi có mặt của hai sóng điện từ: sóng điện từ biến điệu

Ei() và sóng điện từ yếu E›0).

23

Dé giải phương trình (2.23) một cách tổng quát rất khó khăn nên ta sử dụng phươngpháp xấp xỉ gần đúng lặp bằng cách cho:

ne (t,) np p, Van, sua ,;Ú;)* nạ ,Pi‡4

Đặt: u=l—-s>l=ut+s VỚI u:—co+-+00

Ey 5g, En, +ho — shQ, —khQ, +ihd

2.2 Tính hệ số hap thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hồ lượng tir

khi có mặt trường bức xạ Laser.

24

Vì điện tử bị giam cầm đọc theo trục z trong hé lượng tử nên ta chỉ xét vectodòng hat tải trong mặt phăng (x,y) là J, (t)

M,C, >

2

nye°E,(r) Nye En

=- cos(€/}— cos(Q.t + „ (t) (2.25) mQ, ( ) mQ, ( ) 1, "Db pin „

Nong độ hat tai trong hé lượng tu là: nạ = » ns (t)

nap,N- —Nu'p, +4, (N, +1) nu, (N, +I)—Hø số, N,

J (-a(7) 4.) ys (a (7) 4.) J ( ang, )J ( arq,)

=J (a(z)4.)J,„(a(z)4.)J (aoq.) J, (a2q,)

Thay vào (2.27) ta được

eh ¬— — cP lym (mz = exp{-i i[uQ, +rQ, |t\—

m, 2 Patina, OF nin ma Yes L „2 uQ, + r©, mà

_ _ J,(ai(z)q,)J,,,(ar(z) 9, )J,(a2q, Ì2,.,(a›a

exp{-i[uQ, + rQ, ]r} = cos] (uQ, + rQ, Jt |—isin[ (u©, +72, )v |

Ta chi lấy phan thực của mật độ dòng va lưu ý trong phan thực còn có thành phan

chứa cos [ (uQ, +7Q, r] khi lay tich phan thi cho két qua bang 0 nén ta dugc:

26

+f J, (C7), ) Jou (@() 4.) (Gos ]M (oa) +

J,(a:(7) 4.) Ja (@(2)4s)Je (42d Jur (24) [x

x| nisi (N, +I]~mz.N, lồ By 5g —,y, he, —shO, —khQ, |+

+] nei, ~inns, (N, +1) oles ~6, the, — shO, —kho, | (2.29)

Ta thực hiện đổi biến Dị —>P.-q, rồi sau đó lại tiếp tục đổi 4i —>-q., Ss—>—%,

k —>—k cho số hạng đầu của (2.29) ta được:

2

eh ¬— xe 2 mực +o sin [ (uQ, +7rQ, al

— - =—— C | |I".|—tr x tư, ” m, 2 mq mm [ L 2s uQ, + rQ, :

|e, (v, +1) = rina N; |B] 8,5, - 62 2 he, +shQ, + kno, | +

cua biéu thức trên ta được:

° Š sin| (uQ, + rO, )¿ |

u,S,k,r=—œ uQ, + rQ,

x

+J, (a (r)4.)1 (a (z)4.]2, (4:4.)1, (aoq.) |x

<P, | Me.i.sa.N, — Mn, (w, +1) lol 2, GE xg, +he, —shQ, —khQ ||

2

eh ¬— me mựr zea sin| ( (uQ, +rQ, )t |-_(t)= I”,

mM, Py, Ằ= ©) mM, v2, Coal “ (= L 2s uQ, +rA, 4.

xử, (a (7)q.)J, (a4 |3 (“(z)4.)2, (aoq,)+J, (a (z)4.)1 (aoq.) |

x| mo, (X,+1)-mzz.2,N, Jol e,; - —£,„ the ~shO, —khQ || (2.31)HP +4 nD)

Hệ số hap thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hồ lượng tử khi cómặt trường bức xạ laser được cho bởi biểu thức:

Trong tổng theo k, r ta chỉ giữ lại những số hạng thoả mãn uQ, + 71rQ,, =2, và

uQ, + 71rQ,, =—-Q., Ta tính tong đó bang cách chi giữ lai 2 số hạng: Số hạng ứng với

Thay (2.35) va (2.32) vào (2.31) ta được biéu thức hệ số hap thụ sóng điện từ yếu: