Luận văn thạc sĩ khoa học: Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang)

Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang.. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong siêu m

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ HƯƠNG

LUẬN VAN THAC SĨ KHOA HOC

Hà Nội — 2012

ĐẠI HỌC QUOC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYÊN THỊ HƯƠNG

Chuyén nganh: Vat ly ly thuyét va vat ly toan

Mã số: 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Dinh Quốc Vương

Hà Nội — 2012

MỤC LỤC

CHUONG 1 TONG QUAN VE SIÊU MẠNG HOP PHAN VÀ BÀI TOÁN HAP THU

SÓNG ĐIỆN TỪ YEU BỞI ĐIỆN TU GIAM CAM TRONG BAN DAN KHOI KHI CÓMAT SONG ĐIỆN TỪ MẠNH (SG 1S 1 1E 1215111 2111111111 11111111111 re 4

1 Tống quan về siêu mạng hợp phan 22 2+s+E++Ee£zEerszrersrree 4

1.1 Khái niệm về siêu mang hợp phần 2 - 2 52+£££E+EezEeEzEerszed 4

1.2 Hàm sóng và phô năng lượng của điện tử giam câm trong siêu mạng

2 Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện

tử giam cầm trong bán dẫn khối ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang) 7

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối 72.2 Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối 72.3.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện

II)891:141'HHÁÃaIIAaaaaaaaiaaadtŸŸŸẲÕỒỐ 11

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TU VÀ HE SO HAP THU SÓNG

ĐIỆN TỪ YEU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CAM TRONG SIÊU MẠNG HOP PHAN DƯỚIANH HUONG CUA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CO KE DEN HIỆU UNG GIAM CAM

CUA PHONON (TRUONG HOP TAN XA ĐIỆN TU-PHONON QUANG) 14

1 Hamiltonian của hệ điện tử giam câm- phonon giam cam trong siêu mang

2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng

hop phần có kê đến sự giam cầm của phonon -2- 2 + 2+s+sz+x+z+zx+zszs+ 15

3 Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng

của sóng điện từ mạnh có kê đên hiệu ứng giam câm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang) - - - «set 31

Chương 3 TINH TOÁN SO CHO SIÊU MẠNG HOP PHAN GaAs - Aly,3Gay,7AS

VA BAN LUAN - 5 St 1E 1E 11112121121 21121211 2111121111 2111121112111 2111 1 re 44

2 Bar ôn nndaidẳăđăääiả.a4434Ả

KET LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tàiChúng ta đang sống trong một thé ky mà trên thé giới đang tích cực nghiên cứu

và chuẩn bị cho ra đời một ngành công nghệ mới, hứa hẹn sẽ lap đầy mọi nhu cau trongcuộc sông của con người, đó là công nghệ nanô Chính xu hướng này làm cho vật lý

bán dẫn thấp chiều ngày càng dành được nhiều sự quan tâm nghiên cứu

Việc chuyền từ hệ các bán dẫn khối thông thường sang các hệ thấp chiều đã

làm thay đôi hầu hết tinh chất của điện tử Ở ban dẫn khối các điện tử chuyên độngtrong toàn mạng tỉnh thể ( cấu trúc 3 chiều), nhưng ở hệ thấp chiều chuyên động củađiện tử bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai, ba trục toạ độ Phổ nănglượng của hạt tải bị gián đoạn theo các phương này Chính sự lượng tử hoá phổnăng lượng này đã làm thay đổi cơ bản các đại lượng của hệ như: hàm phân bố, mật

độ trạng thái, và do đó làm thay đôi tính chất của hệ điện tử Nghiên cứu cau trúccũng như các hiện tượng vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cấu trúc thấpchiều đã làm thay đổi đáng ké nhiều đặc tính của vật liệu Đồng thời, cau trúc thấpchiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà các hệ điện tử chuẩn bachiều không có Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra cáclinh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện

đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang- điện tử nói

riêng.

Ngày nay, cùng với sự phát triển của vật lý chất rắn và một số công nghệhiện đại, người ta đã chế tạo ra các cấu trúc hai chiều- hồ lượng tử, các cấu trúc mộtchiều- dây lượng tử, hay các cấu trúc không chiều- điểm lượng tử, với những thông

số phù hợp với mục đích sử dụng Từ những cấu trúc này người ta lại có thé chế tao

ra những cấu trúc thấp chiều khác Siêu mang hợp phần được tạo thành từ một cấutrúc tuần hoàn các hồ lượng tử trong đó khoảng cách giữa các hồ lượng tử đủ nhỏ

dé có thé xảy ra hiệu ứng đường ham Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đôi

cơ bản phổ năng lượng của điện tử, làm cho siêu mạng có một số tính chất chú ý màbán dẫn khối thông thường không có [1-13]

Tính chất quang của bán dẫn khối cũng như trong các hệ thấp chiều đã được nghiên

cứu [14-18] Loại bai toán về sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh (bức xạ laser) lên hấp

thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hệ bán dẫn thấp chiều đã được công bố

khá nhiều Tuy nhiên, trong các công trình này, các tác giả mới chỉ xem xét đến ảnh hưởngcủa điện tử giam cầm trong các hệ thấp chiều, bỏ qua ảnh hưởng của phonon giam cầm.

Do đó trong luận văn này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu và giải quyết dé tài “Anh

hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam camtrong siêu mang hop phan có kể đến hiệu ứng giam cam của phonon (trường

hợp tan xạ điện tử - phonon quang)"

Về phương pháp nghiên cứu

Đối với bài toán về ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện

từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mang hop phần có ké đến hiệu ứng giam

cầm của phonon ( trường hợp tán xạ điện tử -phonon quang) có thể sử dụng nhiềuphương pháp khác nhau như phương pháp Kubo — Mori, phương pháp chiếu toán

tử, phương pháp tích phân phiém hàm, phương pháp phương trình động lượng tử,phương pháp ham Green kết hợp với việc sử dụng một sỐ phần mềm hỗ trợ

Trong dé tài nghiên cứu này, tôi đã sử dụng các phương pháp và trình tự tiến

hành như sau:

- Sử dung phương pháp Phương trình động lượng tử dé tinh toán hệ số hấp

thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới

sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có ké đến hiệu ứng giam cầm của phonon

- Str dụng chương trình toán học Matlab dé đưa ra tính toán số và đồ thị sự phụthuộc của hệ số hấp thụ vào các thông số của siêu mạng hợp phần

GaAs/AlosGag+zAs.

Bé cục luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Tổng quan về siêu mạng hợp phần và bài toán hấp thụ sóng điện

từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh

Chương 2: Phương trình động lượng tử và hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởiđiện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có

kê đến hiệu ứng giam cầm của phonon ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang)

Chương 3: Tính toán số cho siêu mang hợp phần GaAs / Ai, ,Ga,,As và ban luận

Kết quả chính thu được trong luận văn là:

Dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm thì hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện

tử giam cầm trong siêu mang hợp phan phụ thuộc phức tạp vào nhiệt độ của hệ, các tham

số đặc trưng cho cấu trúc của siêu mang hợp phan, biên độ, tần số của sóng điện từ yếu và

của bức xạ laser Các tính toán cũng chỉ ra răng các quang phô của hệ số hấp thụ phi tuyếntrong trường hợp phonon bị giam cầm rất khác so với trường hợp phonon không bị giam

cam Phonon giam cầm gây ra sự thay đổi vị trí đỉnh cộng hưởng và xác suất xảy ra cộnghưởng lớn hơn so với trường hợp phonon không bị giam cầm

CHƯƠNG 1

TONG QUAN VE SIÊU MẠNG HỢP PHAN VÀ BÀI TOÁN

HAP THU SÓNG ĐIỆN TỪ YEU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẢM TRONG

BÁN DẪN KHÓI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH

1 Tống quan về siêu mạng hợp phần

1.1 Khái niệm về siêu mạng hợp phầnSiêu mang hợp phan là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn haichiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày dj, ký hiệu là A, độ rộng

vùng cắm hẹp ES (vi du như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dan mỏng có độ dày d;

ký hiệu là B có vùng cắm rộng bà (ví dụ AlAs) Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô

hạn đọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên) Trong thực tế tồntại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới dạng B/A/B/A , và độ rộng rào thé đủ hẹp dé cáclớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ sung vào thế mang tinh thể Khi đó,điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyên từ lớp bán dẫn vùng cắm hẹp nàysang lớp bán dẫn có vùng cam hep khác Do đó, điện tử ngoài việc chịu anh hưởngcủa thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thé phụ Thế phụ này

được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của

hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rấtnhiều so với hăng số mạng Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản

phổ năng lượng của điện tử Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện

tử chuẩn hai chiều

1.2 Hàm sóng và phố năng lượng của điện tử giam cam trong siêu mạnghop phan

Các tinh chat vật ly của siêu mạng được xác định bởi pho điện tử cua chúngthông qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàncủa mang tinh thé và thé phụ tuần hoàn trong siêu mạng Phố năng lượng của điện

tử trong siêu mạng hợp phần có dạng

#,(K,]= 2A A(cosk,4+cosk 4) (1.1)

Trong biểu thức (1.1), A là độ rộng của vùng mini; d=d¡+d; là chu kỳ siêu

mạng; k,, ky là các véc tơ xung lượng của điện tử theo hai trục tọa độ x,y trong mặt

phăng siêu mạng Phổ năng lượng của mini vùng có dang:

Trong công thức (1.3), do là độ rộng của hồ thé biệt lập; U, = Ae, + Ae, là độ

sâu của hồ thế biệt lap; Age, = le’ — z| là độ sâu của hồ thế giam giữ điện tử được

là

xác định bởi cực tiêu của hai vùng dẫn của hai bán dẫn A và B; Aé, = le" — Dài

độ sâu của hồ thé giam giữ lỗ trống được xác định bởi hiệu các cực đại của các khe

é,(k)= Sant Ste — A,cos(k,4) (1.4)

A(r)=Ae, +As, là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng lượng

hai bán dẫn Như vậy, thé của siêu mạng bằng tông năng lượng chênh lệch của các

vùng dan Ae, và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị Ae, của hai lớp bán dẫn

kế tiếp Vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng, trong khi đó biên

độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mạng tinh thé Do đó,ảnh hưởng của thế tuần hoàn trong siêu mạng chỉ thê hiện ở các mép vùng năng lượng

Tại các mép của vùng năng lượng, quy luật tán sắc có thé xem là dạng bậc hai, phổnăng lượng có thê tìm thấy trong gần đúng khối lượng hiệu dụng Đối với các vùngnăng lượng dang hướng không suy biến, phương trình Schrodinger có dạng:

i

Om" A’y(r) + A(r)y(r) = Ey(r)

Vi A(r) là tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử y(r) có dang ham Blockthỏa mãn điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế va hang rao thế Ham sóngtổng cộng của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúngliên kết mạnh) có dạng

y(r) = T992 + ky) [exp (ik W, (z —md ) (1.5)

m=l

Trong đó, Lx, Ly là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; đ và Ng là chu kỳ và

số chu kỳ siêu mạng hợp phần; Ự, (z) là hàm sóng của điện tử trong hồ cô lập.

1.3 Sự giam cam của phonon trong siêu mang hợp phan

Phonon bị giam cầm trong siêu mạng hop phan thi phổ năng lượng củaphonon chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, chuyền động của phonon bị giớihạn theo trục z làm ảnh hưởng đến thừa số dạng và hằng số tương tác điện tử -phonon So với trường hợp phonon không bị giam cầm thì trường hợp giam cầm bịlượng tử hóa và thêm chỉ số giam cầm của phonon m khi đó thừa số dạng và hằng

số tương tác được biéu diễn băng biéu thức:

mr N.d * mee Lệ

+ (=), ỰƯ„(<— jd)w,(z—jd)je * dz: Thừa so dạng điện tửnn L

trong siêu mạng hợp phan, d: chu ky của siêu mạng

2 27ze”h 1 1 `

+ |CŒ | = mene } Hang sô tương tác điện tử-; —

aE (TM) I Kn Xo

L

phonon cho trường hợp tan xa điện tử - phonon quang.

Vo: Thé tich chuan hoa (chon V2 =1)

£: Hang sô điện.

+„ : Độ điện thẩm cao tần

Yo: Độ điện thẩm tĩnh.

2 Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện

tử giam cầm trong bán dẫn khối ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang)

2.1 Hamiltonian của hệ điện tir-phonon trong bán dẫn khối

Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:

+ C : hằng số tương tác điện tử - phonon.

2.2 Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khốiPhương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:

Tính toán các số hang trong về phải của (1.9) rồi tiến hành giải phương trình

vi phân ta thu được:

«arf, eon, m0 9 oer He é he )(t t') 4 fades

+|m; ;@(N, +1)—m;0)N, |xexp '(z, &,, +ho,)(t-1') le Jaap |Pq q Pp q | me?,

sa 2] [aAt,)ái, } = ox a (sino/—sinQ/) + “224 (sin t'-sinQ,1) mQ; mQ;

eE q eE q ;

J = | 2 Jexp(isQ,t')exp(—ilQ,1) x

=> (& mQ: 7 1 [ea ma; 7 p( 1 ) p( 1 )

SB (eBid \ 7 [€E24 cau |

x J ø2 J o2 ex imQ t' exp(—iPy 1ã mQ? ì 4 Eat piimQ,t')exp(—if Qt) Q t

Đặt a =S24, ay= “Sen thì mQ, m2

” ea ‘dana | Š 3 (aa) (a.4)2, (a.2)2, (a:2)x

xexpfi[(s —DQ, + (m— ƒ)©, ]r}exp{—i(G©, + m©,) —r)}

Thay kết quả này vào (1.5) và đưa vào thừa số: e ®“*) (8—›”0) xuất hiện do

giả đoạn nhiệt của tương tác ta có:

TS nề ly » J/(a4)1,(44)2„(4:4)4, (a;a)xexp{i [(=DO,+ứn— ?)6,]r}

1s, f=

P p-d

(oes, +o}ee ty é „ =0, — shQ, mhQ, + ihổÌ(t n)|¬

[ ù + i L L * +

tịm, ;ứ )N; +l)—n.ứ wn, expe ah ha shQ, — mñ©, + ind)(t 9)

-[ 1 WN, = ntt V0, + ero] “(6 &, — he — shQ, — mhQ, p+q p+q + ind)(1 r)|

p+q pt+q

_ In, %®W,+l)~n .( ow, |xe0| (6, , ~€, +h — shQ, —mhQ ;+ð)( =r)Ï

(1.13)

(1.13) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của

điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ E(t) va Ex(t) Ta giai

(1.13) bang phuong phap xấp xi gan ding lap, ta xem n- ()>nz„ ta được:

10

7@=! SP "

hay: /Œ)=—— A0)n, ch = pn.(t) = =e To Ap) + 2h > pr (t)mc m © mc m= P

Thực hiện các phép biến đổi và tính toán ta được:

on sex [pia - nạ(N- +1)| ae

Jứ)=— - A(t) + my GÌ "` 0,470, | 1a a 4)

«lias fa eal adp+q P q

[7 (Ga an laca)+ 2, ,(a¡4)1„,Ía:4 Ïrsin[@©, + 72,4]

xôi —— ho shQ, mo.) |p+q P

(aq) x| 6(6,,, 8, + he, +O, ñ©,) ð(2„, &, + he, + RÒ, + RQ, +pt+q pt+q

Thực hiện chuyền tông thành tích phân và tính toán các số hạng của (1.20) ta được:

D, , 1 m = ay N.— -ÍN; + 1) Som xexp| — Som K, | Som | (1.21)

"On 4| 4 kT 2k,T | °\ 2k,T

+ Tinh toán tương tự như trên ta được:

lag — lyr i’ pq

H.„= > h jn ø(N,+1)~ navi, | 5 (s42) sứ +o

1 mn, a,* 2_ 4 *2 |

= a| N,-(N, +1]exp Su | exp] —S || 2 Sia} " ` Sun | (1.22)Qn wr 4 {oa a k,T 2k„T | ñ 2k„T

+ Sử dụng (1.21) và (1.22) thay vào biểu thức của hệ số hap thụ ta được:

_ 16hz`e°Q,ø, tenet =- la, =D,¡)~2(Hu,=H,.,)+26

NTE VẤn» ho : (1.23)

1

+ F(A -AL, + A, 4 i.)

Biểu thức (1.23) là hệ số hap thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dan khối

Kết quả này sẽ được sử dụng đề so sánh với hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử

giam cầm trong siêu mạng hợp phần được nghiên cứu trong các chương tiếp theo

13

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LUONG TU VÀ HỆ SO HAP THU SÓNG ĐIỆN TỪ

YEU BỞI ĐIỆN TU GIAM CAM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHAN DƯỚI

ANH HUONG CUA SÓNG ĐIỆN TỪ MANH CO KE DEN HIỆU UNG GIAM

CAM CUA PHONON (TRUONG HOP TAN XA DIEN TU-PHONON QUANG)

1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm- phonon giam cầm trong siêumạng hợp phần

Điện tử khi bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần sẽ bị lượng tử hoá Gọi z

là trục lượng tử hoa Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mang

: Toán tử sinh, hủy điện tử giam cam ở trạng thái nD ).

+b ,bmg? Oma | Toán tử sinh hủy phonon giam cam ở trang thái |m.4 )

+ p_: Xung lượng của điện tử trong mat phẳng vuông góc với trục của siêumạng hợp phần

+ ø : Tân sô của phonon quang.

2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng

hợp phân có kê đên sự giam cầm của phonon

Gọi n 5 O=(a, a ) là số điện tử trung bình tai thời điểm t.

Về phải của phương trình trên có 3 số hang, ta lần lượt tinh từng số hạng:

=8(P,—~-A0))a}, 4,5 —€,(B, -—AW)az, a„„ =0 he he np a, PL

Tiếp tục chuyển , —> n' taco:

+) he, bb qm at » C,, alm Hạ CA, P tay a Py là 4 +b) |mq, N3,N4,P ¡ qm + t

Về phải của phương trình trên có 3 số hang Ta lần lượt tính từng số hang:

-Số hạng thứ nhất:

17

(sht3), = >» Cia TN I ns CÁ; Dom, Pạ— 5 na q (b,, + Dia, )) 7?1,gn ›n

-Yc ¬- mái 114 L N4,P,+q, Hạ.P mái m.—4) mq ;

— 2, Gali Ao cụ nu p2-4, bya (By, +8, 4 )) }Nx q,,m 2

xex 8 - =8 -hœ (f—r;)— ie { p —p ÌAq)áải (2.17) Pir h MP, Ny P2 2 m'c; P, P, 1 1 ,

Thay (2.17) vào (2.6) ta được:

xexp aE 5 E55, ~he, nh : [adn

—(-1) > Cc, am Ny C) (a: Bon, " (o, 5 + Du, )), 7

Hạ ,đ

_SC 1m (a: " 1 :) x= mq 3 13-P\—Mq, NoPi-q, \ mq may f mdf,

1 q,,m °

i

x exp “6, = 5 Eng, HO, (0-6) + ¬ q JAC dt, be (2.18)

Đối với số hạng thứ nhất và thứ ba của (2.18) ta đổi chi số g, >-q,, đốivới số hạng thứ hai và thứ tư của (2.18) ta đổi chỉ số 4¡—>đg,,đ@ „ —>@, và

a lata - (0 _- ; ; -(a", a be AC _ be )) xnp, "PL mig) mq) m,naq fy n,pit+q, n.pit+q, M-q\ m~qd_ mq \ ty

eile ¬ -€- +he, \(t~4)- le Mih n,py+qy HPỊ

m Toh

(ar, 5a; 5 (b,5 Ð —(a’7_a—b (b„„ +o, ] x HP, =4 "n,P.:-q_ q1 mq) m,—-q b n PL n PL m,q bà —đL mq) b

so ile =e - ho, [(r~t,)== _.NP NsP\- dy

h mM Cù

- a’ „4; (b the, Jb : an AU 4 tb;,)) xn Pd n ›D¡ dị m,~qI mg | m,—q b n Py n PL m -q m, mq) by

-enli[z " +h@, |(—!,)= ie 4, Alt, ms (2.19)nop) N.P\-4)

Do tính đối xứng mạng tinh thé nên ta có thé thay q > - và @ —>Œ) 7

Khi đó phương trình (2.19) được viết lại dưới dạng:

xexp T2; - -€- +h@, |(L~1,)= ie 4, A(t, dt, —AL Pit4i “mới me)

Ta xét thé véc tơ của trường điện từ trong trường hợp tôn tại hai sóng điện từ

: Sóng điện từ mạnh ( laser) E\ (t) va sóng điện từ yếu E› (t).

E(t) = Ei0)+ E2(t) = Eai sin(Q, t) + Eo sin(Q, r)=

Cc t

Ap dung khai trién: exp(+izsing) = » I (oe

xexp|i[(s1)O, +(m — ƒ)O, |thexp[ -i(sQ, + m©, )(t mp )]

Thay vao biéu thitc (20) ta duge:

«expt 5, ~ E53 I ha shQ, — mhQ., vind (-1)|| (2.22)

Biểu thức (2.22) là phương trình động lượng tử trong siêu mạng hop phantrong trường hợp điện tử bị giam cầm khi có mặt của hai sóng điện từ E (t) và Ex(t) có biên độ và tần số lần lượt là Eoi, Eo, Q,, Q).

Dé giải phương trình (2.22) một cách tổng quát rất khó khăn nên ta sử dụngphương pháp xấp xi gân đúng lặp bằng cách cho:

nụ rh (0, +I]—mụ, + N

2.23

#„„ —#,„ the, —shQ, —mhQ, + ihd (2.23)",P¡T4i "PL

Vi điện tử bi giam cầm đọc theo trục z trong siêu mạng hợp phần nên ta chỉ

xét vectơ dòng hạt tai trong mặt phẳng (x,y) là J L (t)

n,PỊ NPY MPL

=_— N cos(Q7)— oo" cos(Q,t) + N “<P pn @)

np,

(2.24)

26

J, (ag )Jou (219, ) Jn (4241 ]J„., (a:a.

"| 5g —s,„ theo, —shO, —mhQ, +ihổ `

J,(aq,)J, (ad )J, (224, Jy, (4241) ee?

(E56, the, —shQ, — mhQ, — ihỗ

xở| 2, -—e,„ the, —shO, —mhO |n,p irq, np,

Ta thực hiện đôi biến P.>P.-dI_ rồi sau đó lại tiếp tục đôi q, >-4;:.s—>—s, m—>—m cho số hạng đầu của (2.28) ta được:

29