Luận văn thạc sĩ khoa học: Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm)

Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ mạnh cao tan lazer lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng thì đáng chú ý trong đó có hấp thụ phi tuyến s

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ LOAN

HAP THU PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MANH BIEN DIEU

Hà Nội — 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYÊN THỊ LOAN

HAP THU PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIEN DIEU

THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CÀM

TRONG SIÊU MẠNG HOP PHAN

(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CAN BỘ HƯỚNG DAN:PGS.TS NGUYEN VU NHÂN

Hà Nội - 2012

Lời cảm ơn

Trước hết tôi xin bay tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS Nguyễn Vũ Nhân Cảm ơn thay đã hướng dẫn chỉ bảo tôi trong suốt quá

trình thực hiện luận văn này.

Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong tô vật lý lý

thuyết, các thầy cô trong khoa vật lý, ban chủ nhiệm khoa vật lý trường Đạihọc khoa học tự nhiên đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong thờigian làm luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại

trường.

Đồng thời tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới các anh chị nghiên cứu

sinh, các bạn trong lớp cao hoc vật lý khóa 2010 -2012 đã đóng góp những ý

kiến quý báu và động viên tôi thực hiện luận văn này.

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới

gia đình tôi, những người thân yêu của tôi đã luôn động viên tạo điều kiệntốt nhất cho tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình hoàn thành

luận văn này.

Hà nội, ngày 20/11/2012

Học viên

Nguyễn Thị Loan

1.1: Tổng quan về siêu mạng hợp phần - -‹ - -==« 4

1.1.1: Khái niệm về siêu mạng hợp phần - ‹ - «<< 4

1.1.2: Phố năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu

mạng hợp phần «<< c= + + << s15 ssexse 5 1.2: Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên

độ bới điện tử giam cầm trong bán dẫn khối - 7 1.2.1: Sự hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử

giam cầm trong bán dẫn khối - - - << << << <<<s + =<2 7

1.2.2: Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn

1.2.3: Biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độbởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối - - - <- 15

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRINH ĐỘNG LƯỢNG TU VÀ BIEU THUC GIẢI TÍCH CHO HE SO HAP THU PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MANH BIEN DIEU THEO BIEN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CAM TRONG SIEU MANG HOP PHAN(TRUONG HOP TAN XA DIEN TU-PHONON ÂM) << n1 xe, 22

2.1: Hamiltonian tương tác của điện tử - phonon trong siêu mạng hợp

2.2: Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp

7 0 na .ề< 242.3: Tính hệ số hgấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởiđiện tử giam cầm trong siêu mang hợp phần - - - - 35CHUONG 3: TÍNH TOÁN SO VÀ BAN LUẬN 42

KET LUẬN <5 23331111315 111155 xe 46

Tài liệu tham khảo - <« =5 c5 S515 56555 48

I1) 0 0 e6 51

MỞ DAU

1 Ly do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, việc chế tạo và nghiên cứu các tính chất của các vật liệu có cấu trúc nano là vấn đề mang tính thời sự thu hút nhiều nhà khoa học hàng đầu trong nước và quốc tế tham gia nghiên cứu Trong

đó, bán dẫn thấp chiều là một điểm nóng trong các nghiên cứu hiện đại vì

khả năng ứng dụng rộng rãi trong đời sống và trong khoa học kĩ thuật, tạo ra

các linh kiện hiện đại siêu nhỏ, đa năng, thông minh.

Chính sự hạn chế chuyển động nay đã làm cho các hiệu ứng vật lý,các tính chất vật lý trong dây lượng tử khác nhiều so với bán dẫn khối

Khi các nguồn bức xạ cao tần ra đời đã mở ra một hướng nghiên cứu

mới về các hiệu ứng cao tần gây bởi tương tác của các trường sóng điện từcao tần lên bán dẫn siêu mạng Khi sóng điện từ cao tần (có tần số Q thỏamãn điều kiện Qr>>1, z: thời gian hồi phục xung lượng) tương tác với vậtliệu thì định luật bảo toàn xung lượng bi thay đôi do sự tham gia của photon

vào quá trình hấp thụ và phát xạ phonon (trong đối số của hàm Delta - Dirac

mô tả định luật bảo toàn khi Qr>>1, ngoải năng lượng electron, phonon con

có cả đại lượng liên quan tới năng lượng photon +/Q, ¡ là số nguyên) Kết

quả là hàng loạt các hiệu ứng mới xuất hiện - hiệu ứng cao tần Khi đó electron có thê tương tác với phonon và gây ra các hiệu ứng có bản chất mới

khác hoan toàn trường hop không có sóng điện từ cao tần (khi không có đạilượng liên quan tới năng lượng photon +/Q vào đối số của ham Delta -

Dirac).

Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ

mạnh cao tan (lazer) lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng

thì đáng chú ý trong đó có hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử

giam cầm trong siêu mang hợp phan Bài toán này đã được giải quyết vào

những năm 80 của thế ki XX đối với bán dẫn khối nhưng bài toán hấp thụ

phi tuyến sóng điên từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm

trong siêu mạng hợp phần vẫn bị bỏ ngỏ Bởi vậy trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu

theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phan có tính toán cụthé cho trường hop tán xa phonon - âm và khảo sát kết qua thu được đối vớisiêu mạng hợp phần GaAs - Alo.3Gao7As

2 Về phương pháp nghiên cứu:

- Dé tính hệ số hap thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong siêu manghop phần có thé sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp

hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình

động lượng tử Trong luận văn nay, chúng tôi sử dụng phương pháp

phương trình động lượng tử cho điện tử dé giải quyết Day là phương pháp

được sử dụng nhiều khi nghiên cứu các hệ thấp chiều và cho hiệu quả

cao[11,12,13,14,15].

- Sử dung phần mềm Matlab dé tính số và vẽ đồ thi.

3 Về mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

° Mục đích:

- Nghiên cứu sự hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo

biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mang hợp phan (trường hợp tán xạ

điện tử - phonon âm)

- Tính toán số các kết quả lý thuyết cho một loại siêu mạng hợp phần

GaAs - Alo3Gao7As

° Đối tượng: Siêu mạng hợp phần.

° Phạm vi: Tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh

biến điệu theo biên độ (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm).

4 Câu trúc của luận văn: Ngoài phân mở đâu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được chia làm 3 chương, 7 mục, 4 hình vẽ,

tổng cộng là 55 trang và 25 tài liệu tham khảo:

Chương 1: Giới thiệu về siêu mạng hợp phan và bài toán về hệ sốhấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối

Chương 2: Phương trình động lượng tử và biéu thức giải tích của hệ

số hap thụ phi tuyến sóng điện mạnh biến điệu theo từ bởi điện tử giam camtrong siêu mang hợp phan (trường hợp tán xạ phonon — âm)

Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phan GaAs

-AlosGao2As

Các kết quả chính của luận văn được chứa đựng trong chương 2 và chương

3 Trong đó, trên cơ sở phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu

mang hợp phan dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh theo biên độ với giảthiết tán xạ điện tử - phonon âm là chủ yếu, đã thu được hàm phân bố khôngcân bằng của điện tử và lấy nó là cơ sở tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóngđiện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạnghợp phần Phân tích sự phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính của hệ số

hap thụ vào cường độ điện trường Ep và tần số Q của sóng điện từ mạnh,

nhiệt độ T của hệ Ngoài ra, với sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ,

sự thay đổi biên độ sóng theo thời gian với tần số AQ cũng ảnh hưởng tới

hệ số hấp thụ Từ kết quả giải tích thu được, tính toán số và vẽ đồ thị chosiêu mạng hợp phần GaAs-AlesGag+As

1.1.1 Khái niệm về siêu mạng hợp phan

Siêu mạng hợp phân là vật liệu bán dan mà hệ điện tử có câu

trúc chuẩn hai chiêu, được câu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày dj,

ký hiệu là A, độ rộng vùng cam hẹp Es (vi dụ như GaAs) đặt tiếp xúc vớilớp bán dẫn mỏng có độ day d; ký hiệu là B có vùng cấm rộng Dã (ví dụ

AlAs) Các lớp mỏng nay xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mang

(hướng vuông góc với các lớp trên) Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới dạng B/A/B/A , và độ rộng rào thé đủ hẹp dé các lớp mỏng kế

tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bố sung vào thế mang tinh thé Khi đó, điện

tử có thé xuyên qua hang rào thế di chuyên từ lớp bán dẫn vùng cắm hẹpnày sang lớp bán dẫn có vùng cắm hẹp khác Do đó, điện tử ngoài việc chịu

ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một

thế phụ Thế phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các

cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với hằng số mạng Sự có mặt

của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của điện tử Hệđiện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện tử chuẩn hai chiều Cáctính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phô điện tử của chúng

thông qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế tuầnhoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng Từ sự tương

quan của đáy và đỉnh vùng cắm của bán dẫn tạo thành siêu mạng, ta có thê

phân biệt siêu mạng hợp phần làm ba loại

Loại I: được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cam

hoản toàn bao nhau (Siêu mang Al,Ga;_,As/GaAs gồm vai trăm lớp xen kẽ nhau bởi tỷ lệ pha tạp x đối với AI thay đổi từ 0,15 đến 0,35 và chu kỳ thay đổi từ 50A° đến 200A°) Trong siêu mạng này các tương tác giữa các hạt tải

từ các lớp riêng biệt chỉ xảy ra gitta các vùng năng lượng cùng loại.

Loại II: được tạo ra từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nam gần nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng một phần (siêu mạng

Ga,Ini.„As/ GaAsySb¡.y được tao ra năm 1977) Trong siêu mạng này có théxảy ra tương tac giữa các hạt tải nằm trong các vùng khác nhau, tức là điện

tử của bán dẫn nay tương tác với lỗ trong của bán dẫn kia.

Loại III: Siêu mạng hợp phần loại này được tạo ra từ một bándẫn thông thường và một bán dẫn khác với khe năng lượng bằng 0(zero -gap) Ngoài ra người ta còn có thé tạo ra siêu mang pha tạp hay siêu mang

"nipi" Siêu mạng loại này được tao ra bởi sự pha tạp lớp A loại n với lớp B

loại p.

1.1.2.Ph6 năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm

trong siêu mạng hợp phần

Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện

tử của chúng thông qua việc giải phương trình Schrodinger với thế năng baogồm thé tuần hoàn của mang tinh thé và thé phụ tuần hoàn trong siêu mạng.Bằng cách giải phương trình Schrodinger trong đó ta đưa vào thế tuần hoànmột chiều có dang hình chữ nhật ta thu được hàm sóng và phổ năng lượngcủa điện tử trong siêu mang hợp phan có dạng như sau:

10

é, (Kk, )=2A-A(cosk,d + cosk,d) (1.1)

Trong biéu thức (1.1), A là độ rộng của vùng mini; d=d¡+d; là chu kỳ

siêu mạng; k,, k, là các véc tơ xung lượng của điện tử theo hai trục tọa độ

x,y trong mặt phăng siêu mạng Phổ năng lượng của mini vùng có đạng:

E, (k)=<, —A„cosk đ (1.2)

A, là độ rộng của mini vùng thứ n, xác định bởi biểu thức:

exp {- 2m (d—dy) U,/# |

d—dy 2m’ (d—d,) U,/ i?

Trong công thức (1.3), do là độ rộng của hố thế biệt lập;

U, =Azø,+Az, là độ sâu của hồ thé biệt lập; Ae, =|zˆ— ¿| là độ sâu của hồ

thế giam giữ điện tử được xác định bởi cực tiểu của hai vùng dẫn của hai

bán dan A và B; Ae, = le" -e}| là độ sâu của hồ thé giam giữ lỗ trống được

xác định bởi hiệu các cực đại của các khe năng lượng giữa hai bán dẫn A và

A(r)=Az,+As, là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe

năng lượng hai ban dẫn Như vậy, thé của siêu mạng bang tổng năng lượng

chênh lệch của các vùng dẫn Ae, và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa

trị Ae, của hai lớp bán dẫn kế tiếp Như đã trình bày ở trên, vì chu kỳ của

siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng, trong khi đó biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mang tinh thé Do đó,

ảnh hưởng của thé tuần hoan trong siêu mạng chi thé hiện ở các mép vùngnăng lượng Tại các mép của vùng năng lượng, quy luật tán sắc có thể xem

là dang bậc hai, phố năng lượng có thé tim thấy trong gần đúng khối lượng

hiệu dụng Đối với các vùng năng lượng dang hướng không suy biến,

phương trình Schrodinger có dạng:

hi?

2m -A’y(r)+A(r)y(r)= Ey (r)

Vi A(r) la tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử y(r) có dạng ham

Block thỏa mãn điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hồ thế và hàng rào thế.Hàm sóng tong cộng của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần

(trong gần đúng liên kết mạnh) có dang[15]:

m=l

ol?) peg eL (ba ») Seven, (2-md) 05

Trong đó, Lx, Ly là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d và Nạ

là chu kỳ và số chu kỳ siêu mang hợp phan; y,(z)la hàm sóng của điện

tử trong hồ cô lập.

1.2 Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến

điệu theo biên độ trong bán dẫn khối.

1.2.1.Sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khốiViệc nghiên cứu hiệu ứng động của bán dẫn nói chung, cấu trúc hệ

thâp chiêu nói riêng cho ta nhiêu thông tin có giá trị về tính chât và các hiệu

12

ứng của hệ điện tử trong hệ bán dẫn thấp chiều Một trong những hiệu ứng

động được các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm quan tâm nghiên cứu đó là độ dẫn cao tần của bán dẫn và sự hấp thụ sóng điện từ trong các hệ vật liệu bán dẫn Ngay từ những thập niên cuối của thế kỷ trước, trên quan điểm cô điển, dựa vào phương trình động học Bolzmann, độ dẫn cao tần đã

được quan tâm nghiên cứu rộng rãi Trong các công trình đó, bài toán vật lý

được giới hạn trong miền tần số cô điển œ<<k7 (nhiệt độ cao), với giảthiết thời gian phục hồi xung lượng trung bình z của điện tử không phụ

thuộc vào tần số @ của sóng điện từ Khi sóng điện từ được truyền vào vật

ran thì có thé xảy ra các hiện tượng sau đây: sóng truyền qua, sóng phản xa,

sóng bị hấp thụ Sự khác nhau giữa sóng truyền trong chân không và truyền

trong vật ran thể hiện qua hằng số điện môi z¿và độ dẫn điệnơ Hang số

điện môi z›cho phép xác định gián tiếp độ xê dịch của dòng hạt tải; độ dẫn

điện o xác định khả năng của dòng thực mà điện trường gay ra.

Phổ hap thụ của bán dẫn rất phức tạp, gồm ba phần chính sau: chuyên

dịch trực tiếp từ vùng dẫn lên vùng hóa trị; chuyên dịch gián tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị và chuyển dịch nội vùng [1,6,9,7,8,17,18] Sự hấp thụ

do chuyền dịch trực tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị xuất hiện khi điện tử

vùng hoá trị hap thụ một photon có năng lượng lớn hơn độ rộng vùng cấm

và chuyền dịch lên vùng dẫn với vector sóng k gan như không thay đổi (do

vector sóng của photon coi là rất nhỏ) Khi đó, tại vùng hoá trị xuất hiện

vector sóng —k Sự hấp thụ này xảy ra đối với những chất bán dẫn có khe

vùng cam như InSb, InAs, GaAs, GaSb Hai loại hap thu do chuyén dichtrực tiếp và gián tiếp của điện tử từ vùng hoá trị lên vùng dẫn có thé đượctính trực tiếp bằng lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian[1,6,17] Tuynhiên, có thé sử dụng biểu thức của tensor độ dẫn điện đề tính những chuyển

dịch loại này Hệ số hấp thụ sóng điện từ chỉ phụ thuộc vào phần thực của

tensor độ dẫn điện Khi không xét tới tương tác điện tử-phonon cũng như bỏ

13

qua các tương tác khác, biểu thức phần thực độ dẫn điện có dạng giống như

xa phonon liên tục dé có thé chuyển dich từ trạng thái này sang trạng tháikhác Do đó, có thé coi chuyền dịch loại này là chuyên dịch liên tục giữa cáctrạng thái kế tiếp nhau[5,9,16] Ngoài các chuyên dịch nội vùng do tươngtác điện tử-phonon, điện tử tự do có thé chuyén dịch giữa các trang thai do

các tương tác khác như tương tac điện tt-ion nút mạng, điện tử-tạp

chất, [12,13,19,22], trong đó tương tác điện tử - phonon có đóng góp đáng

kể nhất đối với chuyên dich của điện tử tự do

Như đã phân tích ở trên, dù là hấp thụ do chuyên dịch giữa các vùng dẫn và vùng hóa trị hay hấp thụ do dịch chuyên nội vùng thì tương tác giữa hat tải và phonon có đóng góp đáng kế nhất đối với sự dịch chuyền của các

hạt tai tự do Điều này có nghĩa là khi điện tử chuyển động trong mạng tinhthể của bán dẫn chịu ảnh hưởng của sóng điện từ theo hướng làm tăng tốc,đồng thời chịu ảnh hưởng của dao động mạng tỉnh thể theo hướng cản trởchuyển động Với giả thiết, điện trường biến thiên mạnh là sóng điện từphăng và sự truyền sóng điện từ này dọc theo trục (giả thiết 0z) có cường độ

sóng điện từ giảm dần Đại /ượng đặc trưng cho quá trình giảm cường độ của sóng điện từ khi di sâu vào trong bán dan gọi là hệ số hấp thụ sóng điện

tu, ký hiệu a, (a), có dang[1,6,19,22,23,25]

14

z.(ø)=| Sốc JRez,(ø) 7)

Ở đây, NỈ là chiết suất tinh thé; c là vận tốc ánh sáng.

Khảo sát độ dẫn điện của vật liệu và hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh

do tương tác điện tử-phonon gây ra là một bài toán mang tinh chất kinh điểnnhưng rất quan trọng vì đây là các hiệu ứng xảy ra khi các vật liệu bán dẫn

có mặt trong các linh kiện hoạt động Dưới tác dụng của điện trường và từtrường, độ dẫn điện của hạt dẫn cho ta nhiều thông tin về tính chất chuyên

tải lượng tử Sự chuyên dịch của điện tử giữa vùng dẫn và vùng hoá trị như

đã trình bày ở trên có thể được khảo sát nhờ sử dụng lý thuyết phản ứng của

hệ dưới tác dụng của trường ngoài (điện trường, từ trường) Hệ số hấp thụ

tương ứng với chuyển dịch giữa vùng dẫn và vùng hoá trị là phức tạp, đặcbiệt khi xét tới các số hạng bậc cao (sóng điện từ mạnh, tần số cao)

Hệ số hấp thụ sóng điện từ tỷ lệ thuận với Reơ, vì vậy hệ số hap thụ ứuyến tinh sóng điện từ không phụ thuộc vào cường độ điện trường

E (ở đây ta chỉ tính đến số hạng bậc nhất của tensor độ dẫn cao tần) Trong

trường hợp sóng điện từ có cường độ mạnh cao tần, đóng góp của số hạng bậc cao vào tensor độ dẫn cao tần là đáng ké và phải được tính đến Khi đó

xuất hiện sự phụ thuộc phi tuyến của tensor độ dẫn cao tần vào cường độ

điện trường E, của sóng điện từ.Vì vậy, hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ

là đại lượng phụ thuộc phi tuyén vào cường độ điện trường E,

1.2.2.Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử

trong bán dẫn khối

Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn

khối khi có mặt trường sóng điện từ mạnh Ta có Hamilton của hệ điện tử

-phonon trong bán dẫn khối là:

H=H,+H,,+H._,, (1.8)

15

+ k+q là trang thai của điện tử trước va sau tan xạ; e(k)la nang

luong cua dién tu.

+ a; 1a, lần lượt là toán tử sinh va hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )

_1đAÚ) =

ng = E,(r)sin(Qr)

Eocos(AQ7)c cos(Qt) = EoŒ)c

Ta có AŒ)=aco (t) o o cos(Qr) — (1.10)

Từ đó ta suy ra Hamilton của hệ điện tử - phonon âm trong bán dẫn

khối là:

= „14.4 <= igi

q qk

4 =Ye[k-£A(0) a, + Dhabib +> Ca: -a,(b* +b.) (1.11)

Dé thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong ban dan

khối, sử dụng:(w) =7r(wÿ), với % là toán tử ma trận mật độ, (y) là kí

hiệu trung bình thống kê tại thời điểm t:

ih on ữ) =ihS (a'a,)=[[s¿a, HÌ (1.12)

Hay:

Ot

00 (la, So R-E A “a, +3 0e? +3 Giáp 8 ;áp (bị +b} ""=

Về phải của (1.13) có ba số hạng Ta lần lượt tính từng số hạng

vụy 0n) =(3s [f2 Áo Jeg d,Ổ,¿.— địa, 2.) =0 (1.14)

dy (sh3), -Í C; (a; a, Ory kg — q, ieee lễ +b” )

=XŒ, L- tai, iP), (apa; Tủ), +4 a,b.) + (az, a,b", ), |q

=G|-# tra OF gn gO* higig@ Ot his sO | (1.16)

Với F œ)= (a:a,-b-)kisk;›sq kị ky địy

k (t) i * *

^ = roe |F; ¿ Di n/: làm Faz | (1.17)

q

Trong đó, Ƒ; „ (r) =(a? a,b; ) Tương tự như trên, thiết lập phương

trình cho F.Kaka ;(t)va giải phương trình này thu được Fe (r) Thay

Fei (t) vào (1.17), thu d oc ph ong trình động 1 ong tử cho điện tử trong

sô của sóng điện từ Tham sô dương vô cùng bé 5 dua vào đê dam bao gia

thiết đoạn nhiệt Sử dụng phép gần đúng lặp liên tiếp:

n.(n)*n,: Ne = (t,) = nụ Ns (t,) = n, (1.19)

19

Đặt s-k =1, giải phương trình (1.18) thu được:

x (r)a 4 eE, (z)4 1 —ilOt› J J —

1.2.3 Biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn khối

Véc tơ mat độ dòng xác định bởi công thức:

Số hạng thứ ba giữ nguyên Số hạng thứ tư, đổi biến k —>—k, ta được:

x E (r\g E (r\g - nụ N.-n.|N.+l

D6 = m m2 ran 7 ; e(k+q)-2 (k)+0, -k2-i6

Số hang thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư trong biểu thức (1.23) lần

Chi xét phan thực hàm phức của mật độ dòng, thu được:

xöl| z(t -4)-e(k)+ho 102 |sin oa}

Hệ số hấp thu phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong ban dẫn khối

được viết dưới dạng quen thuộc : [16,23,24]

⁄ f £cos2Q/ —1 T 3

Nêu /=1, thì [sin’ Qrdt = | dt =—, do đó trong tông theo /

thì chỉ =1 mới có ý nghĩa Biéu thức mật độ dòng được viết lại:

— en Ey (r)J(t)=- "0 cosQt + 2S, arr “E(2N +1)(n, —n, (299

ta E81, [ EO oft 4) e(k) ho- kho |sinex]

(1.32)

Ta có: kẶn,,—n n = (k +q)n,, _—kn, -đn, , khi lấy tổng theo kdo

tính chất đối xứng của (k + q)n, +4 và kn, nên chúng triệt tiêu nhau Đôi biên

k+a—>k Tiếp theo, đổi —z > g, ta được:

số hap thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối viết lai:

gel) Sy lef (aw +1)q 2k "lamQ?

xở| e( +q)-«(k)+ho =n | (1.34)

Do N; >> 1 nên 2N.+1=2N., biểu thức (1.31) được viết lại:

23

‘Nake SEA (Eva) -( Re —kh@ |

0 ON _ Dn NG [Et fh +g)—e(k) +he, ~ kn)pvv, “

Biểu thức (1.36), là công thức tông quát tính hệ số hap thụ phi tuyến

sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối xét trường hợp tán xạ điện tử

-phonon âm Tiếp theo, xét sự hấp thụ sóng điện từ cho hai trường hợp giới

hạn gần ngưỡng và xa ngưỡng sóng điện từ

Hap thụ gần ng ống:

Đối với quá trình này, năng lượng của trường điện từ ngoài phải

thỏa mãn điều kiện: liner —h@ | £ (z là năng lượng trung bình chuyển động

nhiệt của electron), chỉ hạn chế hấp thụ một photon (k=1), coi ham phân bốtương ứng là hàm cân bằng, tức là:

— k?

n, =na©Xp| — 5_ r( Ti

ta được:

24

| Lol +q)-e(k)+ho kho |

at A, = > cos’ @exp| — + +ha, —-hOQ

pat 4 =>) “| mar —+ha, lu»

qk m

Ap dụng công thức giải tích: cosa =cos/đcosØ+sin /đsinØcosø, ta

được:

x 7 œ 2 œ Q- -Q m

Dat x = cosØ, va su dụng tinh chat ham Delta:

fo x— sa (9= 6,)m ly =1 khi -I<—-f (oes) <12k kq 2k kq

Nhu vậy, từ hàm phân bồ điện tử không cân bằng, tim được mật

độ dòng của điện tử trong bán dẫn khối Từ kết qua này, thu được biểu thứccủa hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối Biểu thức hệ sốhấp thụ sóng điện từ không những phụ thuộc phi tuyến vào cường độ điện

trường biến điệu E, (z) nhiệt độ T của hệ, tần số Q của sóng điện từ mà

còn phụ thuộc vào thời gian.

27

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRINH ĐỘNG LƯỢNG TU VÀ BIEU THỨC GIẢI TÍCH

CHO HE SO HAP THU PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MANH

BIEN DIEU THEO BIEN DO BOI DIEN TU GIAM CAM TRONG

SIEU MANG HOP PHAN (TRUONG HOP TAN XA DIEN TU-PHONON AM)

2.1.Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trong siêu mang

hợp phần

Siêu mạng hợp phần là loại vật liệu bán dẫn có cấu trúc điện tử chuẩn

hai chiều Do đó, phố năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phan bị

lượng tử hóa Biểu thức Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-phonon trongsiêu mang hợp phan khi có mặt trường sóng điện từ ngoài E(t) = Eosin(Oz)

+ k; qlatrang thái cua điện tử trước va sau tan xa;

+ e(k) là năng lượng cua điện tử.

+ ø-: Tân sô phonon âm.

a’ ;a : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thai |nnkị? nykị `

28

b , b.: Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái a)

+

[bbs |=|B; |=8,z |; |=|b0, =0

+ k.: Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với

trục của siêu mạng hợp phần.

+ A(t)la thế vector của trường điện từ xác định bởi biểu thức:

E(t) =e:sin(Bt) +e sin(B,t) = _1 840)

c Ot (2.2)

đọ

E =e i e i =(t) =e: sin(Ø#£) + e2 sin(Ø,7) 2Q? [7 sin Bp) + B sin,) |

“2on “—[O? sin(Øđ) + O”sin( 8,0)]=— Fin ft) +sin( Bt)

= asin A 2# kes| 5 =“ |

= ep sin[ A= At BAN og l = +f an *)- = eocos(AQMF) sin(Qr) 5

Do: AO=|B¡-B›l <<Q nên cos(AQt) biến đổi cực chậm so với

sin(Qt), do đó ta có thé coi cos(AQt) như một hăng số khi sin(Ot) thay đổi hay lấy tích phân theo t Như vậy, đề thuận tiện tính toán sau này, ta chuyên:

ecos(AQt) > eocos(AQr) = Eo(r)

=> E(t) = Eo(t)cos(O1)

Eo (z)cSuyra: A(t) =y (t) 0 cos(Qr) (2.3)

+ C là hang số tương tác điện tủ-phonon, phụ thuộc vào loại cơ

chê tán xạ.

29

với y,(z)la hàm sóng của trang thái thứ n trong hồ thế; đ là chu kỳ

siêu mạng; Nụ là số chu kỳ siêu mang hợp phan

+ Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phan có dạng :

2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần

Tương tự như cách làm đối với bán dẫn khối, để xây dựng phương

trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần chúng tôi sử dụngphương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt (hàm phân bố điện

tử) Na = (a; EAs ): [3]

30