Luận văn thạc sĩ khoa học: Ảnh hưởng của trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử (tán xạ điện tử - Phonon âm)

Tính hệ số hap thụ sóng điện từ trong hồ lượng tử bởi điện giam cầm trong hồ lượng tử khi có mặt trường bức xa LLaS€T...- --- 2225 S3 *Erirerrrrrsrerrrerree 30 CHUONG 3.. Kết quả trong b

ĐẠI HỌC QUOC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DOAN THỊ THANH NGAN

LUAN VAN THAC SI KHOA HOC

Hà Nội- 2011

ĐẠI HỌC QUOC GIA HA NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đoàn Thị Thanh Ngan

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân

Hà Nội - 2011

MỤC LỤC

CHUONG 1 GIỚI THIỆU VE HO LƯỢNG TU VA BÀI TOÁN VE HAP

THU SÓNG ĐIỆN TỪ YEU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BAN DAN KHOI KHI

CÓ MAT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER) -2-22©55cccccccrrrserxee 4

1 GIỚI THIỆU VỀ HỒ LƯỢNG TỬ 2© £++£+EE+EE£EE+EE£EEtEEEEzrerrxerreee 4

1.1 Khái niệm về hố lượng tử 2-2 ©5£++2+EE£EEt2E2EE2EEE717112112117111 211 rxeeU 4

1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hồ lượng tử: 5

2 HAP THU SÓNG ĐIỆN TỪ YEU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BAN DAN KHOI

KHI CO MAT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER) - 2-2 ss£xz+Ezrxerxeez 6

2.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối 62.2 Tính mật độ dòng và hệ số hấp thụ -2¿- 2: 52 5¿2£x2E+tEx+erxezrxerresree 10

CHUONG 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TU VÀ BIEU THỨC GIẢI

TÍCH CUA HE SO HAP THU SÓNG ĐIỆN TỪ YEU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CAM

TRONG HO LƯỢNG TỬ KHI CÓ MAT TRƯỜNG BUC XA LASER 19

1 Phương trình động lượng tử của điện tử giam cầm trong hồ lượng tử khi có mặt

Nai SONG oo eee ồ— 19

2 Tính hệ số hap thụ sóng điện từ trong hồ lượng tử bởi điện giam cầm trong hồ

lượng tử khi có mặt trường bức xa LLaS€T - - 2225 S3 *Erirerrrrrsrerrrerree 30

CHUONG 3 TÍNH TOÁN SO VA VE DO THI KET QUÁ LÝ THUYET CHO

HO LƯỢNG TU’ GaAs/ GaASAL 0o cccccccccscssesssssessessesseessessessessssssessessesssssssseeseess 44

1 Tinh toán số và vẽ đồ thị cho hệ số hap thụ @ cho trường hop hồ lượng tử

€7 67 700 ố 44

2 Thảo luận các kết ð 8108:0120 47

KẾT LUẬN -5- 5252 E<SEEEEE2211271271211211211211211 2111111111111 1xx erre 49

TÀI LIEU THAM KHẢO 2 2 2 S%9SE£2E2EE£EEEEEEZEEEEEEEEEEEEEErrkrrkerkrrex 50

PHU LỤC -22222+22221122222211112221111222T111 2.111 0 eerne 51

DANH MỤC HÌNH VE

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ sé hap thụ vào nhiệt độ T 45Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ sé hap thụ vào cường độ sóng điện từ mạnh

D0) Q.00 00000 0n ng n n TH HH HE TH nn ng TH nu nh cv ra 45

Hình 3.3: Sự phụ thuộc của hệ SỐ hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ mạnh

(12 eden eee ene teeta eee eee ene ene snes eaten 46

Hinh 3.4: Su phu thudc cua hé sỐ hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ

Hình 3.5: Sự phụ thuộc của hệ SỐ hấp thụ vào độ rộng hồ lượng tử L 47

Trong khi ở ban dẫn khối, các điện tử có thé chuyển động trong toàn mang

tinh thé (cấu trúc 3 chiều) thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị

giới hạn nghiêm ngặt doc theo một (hoặc hai, ba) hướng tọa độ nao đó Phổ nănglượng của các hat tải trở nên bị gián đoạn theo phương này Sự lượng tử hóa phốnăng lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đôi cơ bản các đại lượng của vật liệu như:hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tương tác điện tử - phonon Nhưvậy, sự chuyên đổi từ hệ 3D sang hệ 2D, 1D đã làm thay đổi đáng ké những tính

chat vật ly của hệ [9+ 20]

Trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, các công trình về sự ảnh hưởng củasóng điện từ mạnh lên sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu khánhiều Thời gian gần đây cũng đã có một số công trình nghiên cứu về ảnh hưởngsóng điện từ Laser lên hấp thụ phi tuyến sóng điện tử yếu từ bởi điện tử giam cầmtrong các bán dẫn thấp chiều Tuy nhiên, đối với hố lượng tử, sự ảnh hưởng của

trường bức xạ Laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm vẫn còn làmột vấn đề mở, chưa được giải quyết Do đó, trong luận văn này, tôi chọn vấn đề

nghiên cứu của mình là “Anh hưởng cua trường bức xạ Laser lên hap thụ sóng điện

từ yếu bởi điện tử giam cam trong hồ lượng tử (trường hợp tán xạ điện tử - phononâm)”.

Về phương pháp nghiên cứu: Chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp

lý thuyết khác nhau để giải quyết bài toán hấp thụ sóng điện từ như như lý thuyết

hàm Green, phương pháp phương trình động lượng tử Mỗi phương pháp có một

ưu điểm riêng nên việc áp dụng chúng như thế nào còn phụ thuộc vào từng bài toán

cụ thể Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình độnglượng tử Từ Hamilton của hệ trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai xây dựng

phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm, áp dụng phương trình động

lượng tử dé tính mật độ dòng hạt tải, từ đó suy ra biéu thức giải tích của hệ số hapthụ Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấpchiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định

Vệ đôi tượng nghiên cứu: Đôi tượng nghiên cứu của luận văn là câu trúc

bán dẫn thấp chiều thuộc hệ hai chiều, đó là hố lượng tử

Kết quả trong bài luận văn là đã đưa ra được biéu thức giải tích của hệ sốhấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong hồ lượng tử khi có mặt

trường bức xạ Laser Biểu thức này chỉ ra rằng, hệ số hấp thụ phụ thuộc phi tuyến

vào cường độ sóng điện từ E,, phụ thuộc phức tap và không tuyến tính nào nhiệt

độ T của hệ, tần số Q của sóng điện từ và các tham số của hồ lượng tử (n, L) Kết

quả được đưa ra và so sánh với bài toán tương tự trong bán dẫn khối dé thay được

sự khác biệt Ngoài ra một phần kết quả tính toán trong luận văn đã được gửi đăngtại Tạp chí Khoa học công nghệ Quốc phòng

Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo vàphụ lục, luận văn được chia làm 3 chương, 8 mục, có 5 hình vẽ, tổng cộng là 56

trang:

Chương I: Giới thiệu về hố lượng tử và bài toán về hap thụ sóng điện từ yếu bởiđiện tử trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh (Laser)

Chương II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hap thụ

sóng điện yếu từ bởi điện tử giam cầm trong hồ lượng tử khi có mặt trường bức xạ

Laser.

Chương III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho hồ lượng tử GaAs/

GaAsAl

Trong đó chương II và chương III là hai chương chứa dung những kết qua chính

của khóa luận.

CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU VE HO LƯỢNG TU VÀ BÀI TOÁN VE HAP THU SÓNG ĐIỆN TỪ YEU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BAN DAN KHOI KHI

CÓ MAT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER)

1 GIỚI THIỆU VE HO LƯỢNG TỬ

1.1 Khái niệm về hồ lượng tử

Hồ lượng tử (Quantum well) là một cau trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều,

được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hang số mang xp xỉ bằng nhau, có cấu trúctinh thé tương đối giống nhau Tuy nhiên, do các chất khác nhau sẽ xuất hiện độlệch ở vùng hóa trị và vùng dẫn Sự khác biệt giữa cực tiểu vùng dẫn và cực đạivùng hóa trị của các lớp bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện

tử, làm cho chúng không thể xuyên qua mặt phân cách đề đi đến các lớp bán dẫn

bên cạnh Và do vậy trong cấu trúc hồ lượng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh,

chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các hồ thé lượng tử hai chiều được tạo bởi mặt di tiếpxúc giữa hai loại bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau Đặc điểm chung của các

hệ điện tử trong cấu trúc hố lượng tử là chuyên động của điện tử theo một hướng

nào đó (thường trọn là hướng z) bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lượng của điện tửtheo trục z khi đó bị lượng tử hoá, chỉ còn thành phần xung lượng của điện tử theohướng x và y biến đổi liên tục

Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hồ lượng tử do sự giam giữ điện tử làmật độ trạng thái đã thay đôi Nếu như trong cau trúc với hệ điện tử ba chiều, mật

độ trạng thái bắt dau từ giá tri 0 và tăng theo quy luật z””(với ¢ là năng lượng củađiện tử), thì trong hồ lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng tháibắt đầu tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy

luật khác z'”.

Các hồ thé có thé được xây dựng bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùmphân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD) Cặp bán dẫn trong

hồ lượng tử phải phù hợp dé có chất lượng cấu trúc hồ lượng tử tốt Khi xây dựngđược cấu trúc hồ thé có chất lượng tốt, có thé coi hồ thế được hình thành là hồ thé

vuông góc.

1.2 Phố năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hồ lượng tử

Xét phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hồ lượng tử Theo cơ họclượng tử, chuyển động của điện tử trong hồ lượng tử bị giới hạn theo trục của hồ

lượng tử (giả sử là trục z), do đó năng lượng cua nó theo trục z sẽ bi lượng tử hoá

và được đặc trưng bởi một sỐ lượng tử n nào đó £ (n=0,1,2)

Với giả thiết hé thế có thành cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger chođiện tử chuyên động trong hồ thế này ta thu được hàm sóng và phô năng lượng của

điện tử như sau:

Trong đó n = 1,2,3 là chỉ số lượng tử của phô năng lượng theo phương z

Dp = P L +) la vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vecto sóng cua

điện tử điện tử).

Với Y,,,: Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng Oxy

m: khối lượng hiệu dụng của điện tử;

L: Độ rộng của hồ lượng tử

p.: Hình chiếu của P trên mặt phẳng (x, y)

r.: Hình chiếu của z trên mặt phẳng (x, y)

NT yy ở sở Q ở r ae Py

Dp" TT" là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiêu z.

Như vậy phé năng lượng của điện tử bị giam cầm trong hồ lượng tử chỉ nhận

các giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong ban dẫn khối, phổ năng lượng

là liên tục trong toàn bộ không gian Sự gián đoạn của phố năng lượng điện tử làđặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trong các hệ thấp chiều nói chung và trong

hồ lượng tử nói riêng Sự biến đổi phổ năng lượng như vậy gây ra những khác biệt

đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong hồ lượng tử so với các mẫu khối

2 HAP THY SÓNG ĐIỆN TỪ YEU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BAN DAN KHOI

KHI CÓ MAT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH (LASER)

2.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối

Xét Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:

a-`,a là toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái | p )

b ,b là toán tử sinh, hủy phonon âm ở trạng thái | g)

p.q là xung lượng của điện tử va phonon trong bán dẫn

Từ Hamilton và môi liên hệ giữa các toán tử, sử dụng các hệ thức giao hoán, sau

một số phép biến đổi ta thu được:

© F(t) = es | b) E(P,) <(p; 7) +o, Ja" ooh mc

Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dang:

F=M(t).F° @=“ =M 'Œ@).F”()+MŒ)F”®

Thay vào phương trình không thuần nhất và giải ra nghiêm ta được:

NT, (= TàC Mere (0; + bà b; ), ~ (a‘ tp, -4 b (4, 4 + b zÌ), if

x0 (ogee \(r- ,)— (n:- Phe lamci,

(1.6) Thay (1.6) vào (1.3) ta được:

—|m„Œ)N-—m, a, +Đ]<eø| ho-\t r') Lake |

-exo fae = 2 J, (a.a)J, (a.a)J, (a:4)1, (a,4)x

xexp{i[Œ DQ, + (m— ƒ)©; ]t\ exp {-i(sQ, + mQ,)(t—-1)}

Thay kết quả nay vào (1.7) và đưa vào thừa số: e *“” (8-*0) ta có:

in on- pt _

xài C,É > J aay, aay,(aa, (c;4)x exp {i[(s — DQ, +(m— ƒ)©, }}

ot I,s,m, f =—0

P P-4 q

x [arb Œ)N, _H, ứXN- ane TT é- - —h@- — shQ, — mhQ, + ihd jf "|

il —e£- - tha - — shQ, —mhQ, +indle—1))-P pq |

_ n-(t')N- _n (LAN +p) TT

-h ŒQN-—n- -( "` - é- =h@ — shQ, ~ mh©, 3 -ind\t 0):p?q

+ bn WN _n, ứXN + nh - —&- —Ï@ - —shQ, —mhQ, sina -)))p+4 P -4q

(1.8)

(1.8) là phương trình động lượng tử cho ham phân bố không cân bằng của điện tử

trong bán dẫn khối khi có mặt hai song điện từ E:ứ) và E›ứ) Ta giải (1.8) bằng

phương pháp xấp xi gan đúng lặp, ta xem n (t) * np va tính các tích phan sau:

K, _ Í exo 1 (s; £ ho shQ, mhQ., + ind)(t -1)] dt'

exp{i[(s DQ, +(m— f)Q, |r'}

K, = Jsxpiile=n9 +(m- f)Q,]t'\dt'= [is =)0, + n=O]

Với các tích phân K, và K, đã tính ta được:

¬ m;()== IC: | Xe Meg) (49)su( 9) a b

— ce iN; —ng( (N +] car ng i(N- +1) )

xX —ễ———————————— -—

SP é- —€- -—Ï@- —shÖ, —mhQ, +ihổ e-—e- - +h@ - — shQ, — mhQ, +ihöP PY q P Pq _

aN, —mpuj(N +) [nial — ng (N- +)

mx - pn, (= ¬ IC | ti (a,a)J, (4:4) J, (a 1) Trin 24)

exp {i[kQ, +rO, ]r sp [ns-aN, —nz(N, +1) |

{ 1, (aa)J, (a) Jc, (4) Jn (tad) |

#& .—# +ho —shQ,T—mh(, thổ e .—e-+h@œ — shQ, — mhQ, + thổ

Luu ý chi lay phần thực của mật độ dòng 7Œ), ta có:

#5 pm (0=S=SIc 3 4/,(a4)1,(6,4)|[ns¿N, mW, +) |xx|[0u (&4)1,.„ (a)

-k,s,m,r=

m* P mĩ mr=~

: — —— cos[(kQ, + rQ,)t] p |, sin[(kQ, + rQ,)t]

Ft (a4)1 (s5) [tO,+rO,] £;„—e; +hø, —siQ, —mhQ, Oo) [kQ, + rQ, | "

[ta (tt) Jon (tad) +4, (54)1, (s4) [indo [e,, ~s, +o, ~ sO, - nO) |

12

oh pn-(t)=—— 1C P » -|nssN; ~mi( +0) m*—=" P MP [KO,+rO,] 4, (aa), (2.4) *

Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.10) ta thu được:

— — — ioe p+4 Pp N.+1JŒ)= mi n2”ci » 2N, —m5(N, +)mc k,s,mr=-œ [kQ, + rQ, | J,(a4)7„(a:4)

4 (4) (a) Id) (ea) PTA P+4 P 4 EU

-=| Foes (414) Foam (454) + Sou (419) Sine (424) |zsin[&©, + rQ, ye]

Thay (1.15) vào (1.16) ta được:

a= 870

cl 7x Ey

Ta tính số hang thứ nhất

13

Với thé vectơ trường sóng điện từ: A(t) = —2— cos Q,t + cos QQ.,t

Sử dụng tích phân: [sin(ax) cos(bx)dx = cos(a+b)x + 0s Oe với ạ? zp?

Ta tinh số hạng thứ hai Theo (1.17) ta có số hạng thứ hai có thành phan chứa

cos|(kQ, + rQ,, Jt] sẽ cho kết quả tích phân bằng 0 Do đó ta có:

Nx.

eh > = meE.2 > 2

——— > E, Q = ~

Ù, (&2 s„|a,4]*1, ,Íá.4„., (;4Ìl: -~£, +he ~ shQ, = mhQ, }.Pp†q P

Thay (1.19) vao (1.16) ta được hệ số hấp thụ:

a= Cc a E„ Lal, Dy na, —n(N, +) |v, (4:9) Jn (a:2)x

Giới hạn gần đúng của ham Bessel và sử dụng giả thiết |E,,|>>|E,,|ta cho r=1;k=0

(thoả mãn giả thiết kO, +rO, =Q, ta được:

xở(s; - —£; + le, — shO, — mh 2)

P+q

Trong công thức (1.22) dé thấy các thành phan ứng với sQ, +mQ, =0 tương hỗ triệt

tiêu Trong trường hợp khi O,,O, lớn so với năng lượng trung bình điện tử ( z;) thì

hàm ở trong (1.22) được viết lại là:

prq Pp 2m

2

ð(#;,;~e, + he, — shQ, —mhQ,) = s[ Ene sno, -nio,

1/2 sự cố

Từ đó ta tìm được thứ tự của (kO,,) theo các giá tri của q.

Sử dụng điêu kiện tân sô phonon O <<£p 1,2

ca mm > [mini n | >, mỹ” '(aa)2? (a.4)xd(¢ ,-€, + he, — shQ, - —mhO, )

mm mJ? (a,q) J? Ía,4)ð|s;.„ ~£; + ho, —shO, — mhQ, )

Xét trường hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu O, (m=1) và han chế gần

đúng bậc hai của hàm Bessel ta có:

œ ( 1 2k x x2 s(— a,q a4

J (x)= 1 m7 (a,g]J>| — | | 14+) —10) = 2 UP EeDI* 2U sJÈ 2(a:4) 2 2

Thay vào (1.24) ta được:

+, cos“Ø@+———>————— ———>———cœ'ø j2 « as vy} AmO)

Đây là biểu thức của hệ số hap thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bándẫn khối khi có mặt trường bức xạ Laser Biểu thức này sẽ được chúng tôi sử dung

dé so sánh với các kết quả tính toán hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam

câm trong hô lượng tử khi có mặt trường bức xạ Laser ở chương sau.

18

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LUONG TU VÀ BIEU THỨC GIẢI TÍCH

CỦA HỆ SÓ HÁP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YÊU BỞI ĐIỆN TỬ

GIAM CẢM TRONG HO LƯỢNG TỬ KHI CO MAT

lượng tử cho toán tử số hạt (hàm phân bồ electron)

Xét Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong hồ lượng tử khi có mặt sóngđiện từ dưới dạng hình thức luận lượng tử hóa lần thứ hai:

H =H,+U

a’ ,a_ : Toán tử sinh, hay điện tử ở trang thái nk).

C „Ca: Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái h

k,: Xung lượng của điện tử trong mặt phăng vuông góc với trục của hé

lượng tử.

q@ : Tân sô cua phonon âm.

q

A(t) : Thế vecto của trường điện từ.

I (4 )=Zƒsin( # ¬)sin( He l4z5 1, : Thừa số dạng điện tử trong hố nnh4a2— 04s Iz

lượng tử

£„„-: Nang lượng của điện tử trong hồ lượng tử

HnKỊ

19

Vo: Thẻ tích chuẩn hóa (chọn Vv, =1)

&: Hang số điện biến dang

Øø: Mat độ tinh thê

v,: Vận tôc truyên âm.

Gọi n —(t) =(a", a ) là số điện tử trung bình tai thời điểm t.

le De, G Fe he, | —=# li 1 Fe A aise, a’ a |nk

= » iG -£ io) a, a ð 6 .-a@.a 6 6 |-oee n + hc ME) nkị HH kik nukL nRịj TH ki ky

Vậy: (shl) =0 (2.2)

So hạng thứ 2: (s2), =( | đ;;,4„¡ Lhe.cic |) =0 (2.3)

4

20

Thay (2.3), oe vào (2.2) ta được:

lñ kiểu, kG? a a; |= a, an, 1C nd, tu tụ EG, inn, og

=a" (65 O -@-a - Ja - ca) (6 ở -@-a.- Ja, a6; =11 k2,k nkị mka} nk q 1m kik mkt nk_

+

=a) i, dg CỔ bk, đu; n, ¡,CÐ,, nỐi, 7,

lc;› cc JF eete; —C.C.C.= (6 cre Je; —cic-c- =0- -c-q nn qn đị a1 đị 4 Nd anh N ann 4 nd 1

Vậy: (sht2) =ho Fe, « ) (2.8)

22

(sht3) = a, Bn’? » C Linn (QE : (c; te.)yy sk 1 an ng k | +41 4 oe,

= » C1 hn, PACE )| a: Be in ca (c; +e) | ng ky +4, © ky

Án ki

=a" (6, My Oj k itd, a nỗ ae k; Ja, G (c, TC |- a k a oink kị a lu: ako (c; +e", Je Je; q

=4 -a „ c,(c, +e", 6 6 -a" «(4 O., -a ; a’, )a - €-—ny sk m, li q đị Ny Ng kok tay ny sk ¡ "ủy ky ky mukị m,k\ nko qy 4

=a" (6 6 -a a; Ja (55% 6) a -a.a-a (c +€`.)c-mk +4 (5 kk, m,k2 (` 4.4 -4 4 yk +4 m, ky m hy Ny, ko 1 qMk mk ci 4

Thay (2.7), (2.8), (2.9), (2.10) vào (2.6) ta được:

23

F .,.0) ~

it ot Ny ,k2 ny ky mc 2 F ki, Ny, ko al ed lg 7g — he (k -k,) )A@+ho,

% đA +? kids 5(A,+ Wks 141) (2.11)

ina on Bà, ¬ JAW +ho, pF 2 (0) (2.12)

Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt In F -(t)|, ,=0, ta dễ dang tính được nghiệmki Ny, ko „q

của phương trình thuần nhất trên có dạng:

Thay (2.14) vào (2.11), thay (2.12), (2.13) vào (2.15) và đồng nhất số hạng của(2.11) và (2.15) ta được kết quả sau:

0- 1 Fetal * sa Guts (SG, $s, Je :) » Oia Grey MeNg.) Ny

of flees th he —(k, _k eo}

mc

24

D.I a c c)) -),D.1.( Yat .a,|c +c |e) |x

|2, 4 sài (4 )\4, mk ytg, mykitg, 4 cat | mm `Ý£ m„,ki+4,~gị, mk \ oq a} af,mái 2 ns

- I - +€- Jc.) — - + xbề nụ (4 )\a ai, sân ae 4) A Ca G , - C I Ny (4 ) a, End ki -4, -q C C an 'N44) 2 ?

by N44) 13-4)

25

Đối với số hang thứ nhất và thứ ba của (2.18) ta đổi chi số g, =—g ,, đối với

số hạng thứ hai và thứ tư của (2.18) ta đổi chi số 4i = 4i và (n;,N,) —>(n,n) ta

được:

Ot HL ƒ far lễ az, Qiks (c„ shh độ, kg, (+2) J*

1

+ đà 4 (ca tet Jet, -Ìla`- - a ee xnkị nk \ Tại TH: nuki+g, nu t4, -g\ đi al},