Bài giảng tối Ưu hóa trong giao thông vận tải (huỳnh văn tùng cb)

CHƯƠNG 1. Quy hoạch tuyến tính............................................................................ 6 1.1. Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính............................... 6 1.1.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất...................................................................... 6 1.1.2. Bài toán vận tải.............................................................................................. 7 1.1.3. Bài toán cắt vật liệu....................................................................................... 8 1.2. Mô hình toán của bài toán quy hoạch tuyến tính................................................. 9 1.2.1. Dạng tổng quát.............................................................................................. 9 1.2.2. Dạng chính tắc, dạng chuẩn tắc.................................................................... 9 1.2.3. Một số quy tắc đưa bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát về dạng chính tắc................................................................................................................ 11 1.2.4. Ẩn cơ bản, phương án cực biên.................................................................. 12 1.3. Một số tính chất của bài toán quy hoạch tuyến tính.......................................... 14 1.3.1. Cơ sở giải tích lồi........................................................................................ 14 1.3.2. Một số tính chất của bài toán quy hoạch tuyến tính.................................... 15 1.4. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình học........ 15 1.4.1. Biểu diễn hình học tập phương án.............................................................. 15 1.4.2. Phương pháp hình học................................................................................. 15 1.5. Phương pháp đơn hình....................................................................................... 17 1.5.1. Cơ sở lý luận của phương pháp................................................................... 17 1.5.2. Bảng đơn hình............................................................................................. 19 1.5.3. Thuật toán đơn hình.................................................................................... 19 1.5.4. Phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát26 1.6. Bài toán quy hoạch tuyến tính chứa tham số ở hàm mục tiêu........................... 30 1.6.1. Mở đầu........................................................................................................ 30 1.6.2. Phương pháp giải........................................................................................ 30 1.7. Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu............................................................ 37 1.7.1. Hai ví dụ dẫn nhập...................................................................................... 37 1.7.2. Định nghĩa cặp bài toán đối ngẫu................................................................ 39 1.7.3. Các tính chất của cặp bài toán đối ngẫu...................................................... 42 Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) lOMoARcPSD|2935381 Bộ môn Toán – Trường ĐH.GTVT TP. Hồ Chí Minh Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải –2021 4 1.7.4. Quan hệ của cặp bài toán đối ngẫu............................................................. 44 1.7.5. Các dạng bài tập.......................................................................................... 44 BÀI TẬP CHƯƠNG 1................................................................................................ 51 CHƯƠNG 2. Bài toán vận tải.................................................................................... 61 2.1. Các khái niệm về bài toán vận tải...................................................................... 61 2.1.1. Phát biểu bài toán vận tải (btvt).................................................................. 61 2.1.2. Mô hình toán học của bài toán vận tải........................................................ 61 2.1.3. Bài toán vận tải cân bằng thu phát.............................................................. 62 2.1.4. Bài toán vận tải dạng bảng, dạng ma trận................................................... 62 2.1.5. Bảng phân phối........................................................................................... 63 2.2. Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải đóng ....................................................... 64 2.2.1. Các khái niệm.............................................................................................. 64 2.2.2. Các tính chất của bài toán vận tải............................................................... 64 2.2.3. Một số phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu............................... 65 2.2.4. Cơ sở của thuật toán thế vị.......................................................................... 68 2.2.5. Thuật toán thế vị chi tiết.............................................................................. 70 2.3. Các trường hợp đặc biệt của bài toán vận tải..................................................... 73 2.3.1. Bài toán vận tải không cân bằng thu phát................................................... 73 2.3.2. Bài toán vận tải có hàm mục tiêu cực đại................................................... 75 2.3.3. Bài toán vận tải có ô cấm............................................................................ 77 2.3.4. Bài toán vận tải có hạn chế khả năng thông qua......................................... 79 2.4. Bài toán điều tàu rỗng........................................................................................ 84 2.4.1. Phát biểu bài toán........................................................................................ 84 2.4.2. Mô hình toán ............................................................................................... 85 2.4.3. Phương pháp giải........................................................................................ 86 2.5. Bài toán vận tải chứa tham số ở hàm mục tiêu.................................................. 88 2.5.1. Mô hình toán học........................................................................................ 88 2.5.2. Phương pháp giải........................................................................................ 88 BÀI TẬP CHƯƠNG 2................................................................................................ 91 CHƯƠNG 3. Sơ đồ mạng PERT............................................................................... 94 3.1. Giới thiệu........................................................................................................... 94 3.2. Các khái niệm cơ bản về đồ thị.......................................................................... 95 3.2.1. Đồ thị có hướng........................................................................................... 95 3.2.2. Đồ thị vô hướng.......................................................................................... 95 3.2.3. Một số dạng đồ thị đặc biệt......................................................................... 96 Downloaded by EBOOKBKMT VMTC (nguyenphihung1009@gmail.com) lOMoARcPSD|2935381 Bộ môn Toán – Trường ĐH.GTVT TP. Hồ Chí Minh Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải –2021 5 3.3. Sơ đồ mạng PERT............................................................................................. 97 3.3.1. Các định nghĩa............................................................................................. 97 3.3.2. Các bước lập sơ đồ mạng PERT................................................................. 99 3.4. Các chỉ tiêu thời gian trên sơ đồ mạng PERT................................................. 100 3.4.1. Thời điểm sớm nhất, thời điểm muộn nhất của một sự kiện..................... 100 3.4.2. Cách ghi các tham số tại một sự kiện........................................................ 100 3.4.3. Thời gian dự trữ của sự kiện và công việc................................................ 100 3.4.4. Đường găng............................................................................................... 101 3.5. Sơ đồ mạng PERT kèm theo trục thời gian..................................................... 103 BÀI TẬP CHƯƠNG 3.............................................................................................. 104 CHƯƠNG 4. Quy hoạch động................................................................................. 106 4.1. Những nội dung cơ bản.................................................................................... 106 4.1.1. Bài toán dẫn (bài toán phân phối sản phẩm)............................................. 106 4.1.2. Các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động............................................. 107 4.1.3. Quá trình nhiều giai đoạn.......................................................................... 108 4.1.4. Xây dựng phương trình hàm..................................................................... 109 4.1.5. Sơ đồ tính toán.......................................................................................... 110 4.2. Áp dụng sơ đồ mạng PERT giải một số bài toán trong thực tế có dạng bài toán quy hoạch động....................................................................................................... 111 4.2.1. Sơ đồ mạng PERT..................................................................................... 111 4.2.2. Bài toán phân phối sản phẩm (bài toán dẫn)............................................. 112 4.2.3. Một bài toán quy hoạch nguyên................................................................ 114 4.2.4. Ứng dụng quy hoạch động trong giao thông vận tải................................. 115 4.2.5. Bài toán phân phối công suất của các nhà máy điện................................. 117 BÀI TẬP CHƯƠNG 4.............................................................................................. 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................

Quy hoạch tuyến tính

Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính

1.1.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất a) Phát biểu bài toán: Một xí nghiệp muốn sản xuất 2 loại sản phẩm S 1 và S 2 bằng 3 loại nguyên liệu N N 1 , 2 và N 3 Nguyên liệu để sản xuất một sản phẩm mỗi loại được thống kê theo bảng sau:

Nguyên liệu S 1 S 2 Nguyên liệu dự trữ

Tiền lãi (triệu đồng/sp) 5 8

Hãy phân tích và lập mô hình toán cho bài toán tìm kế hoạch sản xuất sao cho xí nghiệp thu tiền lãi lớn nhất với những hạn chế về nguyên liệu như trên và thỏa mãn yêu cầu số sản phẩm S 2 không quá 3 lần số sản phẩm S 1 Giả sử mọi sản phẩm sản xuất ra đều tiêu thụ được hết

Nhận xét: Việc phân tích và lập mô hình toán, hai vấn đề quan trọng nhất là xác định được các ẩn số và mục tiêu của bài toán Trong bài toán trên, các tham số cần tìm là

“số lượng sản phẩm S 1 và S 2 ” cần sản xuất Khi đã biết số lượng sản phẩm mỗi loại cần sản xuất thì việc thực hiện sản xuất theo quy trình là dễ dàng Mục tiêu của bài toán là “xí nghiệp thu tiền lãi lớn nhất” b) Mô hình toán: Gọi x x 1 , 2 tương ứng là số đơn vị sản phẩm S 1 , S 2 cần sản xuất Tổng tiền lãi thu được: 5x 1 8x 2 (triệu đồng)

Mô hình bài toán: Tìm vector x( , )x x 1 2 sao cho

Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải – 2021

1.1.2 Bài toán vận tải a) Phát biểu bài toán: Cần vận chuyển một loại hàng hóa từ hai kho chứa hàng (trạm phát) A 1 và A 2 tới ba nơi tiêu thụ (trạm thu) B B 1 , 2 và B 3 Khả năng cung cấp hàng hóa ở mỗi kho, nhu cầu cần sử dụng hàng ở mỗi nơi tiêu thụ và cước phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ mỗi trạm phát tới mỗi trạm thu được cho trong bảng sau:

Hãy phân tích và lập mô hình toán cho bài toán tìm kế hoạch vận chuyển sao cho thoả mãn tối đa yêu cầu bài toán (hoặc các trạm phát hết hàng, hoặc các trạm thu nhận đủ hàng) và có tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất b) Mô hình toán: Gọi x ij là lượng hàng hóa cần vận chuyển từ trạm phát A i đến trạm thu B j (i 1,2;j 1,2,3 )

Tổng chi phí vận chuyển là:

Tổng lượng hàng vận chuyển đi khỏi trạm phát:

Tổng lượng hàng vận chuyển đến trạm thu:

Nhận xét: Tổng nguồn cung  a i 100 < tổng nhu cầu  b j 120 Do đó để thỏa mãn tối đa yêu cầu bài toán thì các trạm phát phải phát hết hàng

Mô hình bài toán: Tìm ma trận x   x ij 2 3

1.1.3 Bài toán cắt vật liệu a) Phát biểu bài toán: Người ta cần cắt những thanh sắt dài 7m thành 100 đoạn, mỗi đoạn dài 2m; 200 đoạn, mỗi đoạn dài 2,5m; 150 đoạn, mỗi đoạn dài 3m Hãy phân tích và lập mô hình toán cho bài toán tìm phương án cắt sắt sao cho tổng số sắt thừa là ít nhất Cho rằng số lượng các thanh sắt dài 7m hiện có là rất lớn b) Mô hình toán:

Lập bảng liệt kê các cách cắt một thanh 7m

Gọi x j là số thanh sắt dài 7m được cắt theo cách j j( 1, ,6)

Mô hình bài toán: Tìm vector x( , , )x 1 x 6 sao cho

Mô hình toán của bài toán quy hoạch tuyến tính

Qua các mô hình toán trong ba ví dụ mục 1.1, ta thấy rằng mô hình toán của bài toán quy hoạch tuyến tính (qhtt) có dạng tổng quát như sau:

(1.1) là hàm mục tiêu , ký hiệu là f x( ) hay Z

(1.2) là hệ ràng buộc cơ bản (hay hệ ràng buộc chung )

(1.3) là các ràng buộc phụ ( ràng buộc biến )

 Vector x( , , , )x x 1 2 x n thoả các ràng buộc (1.2) và (1.3) được gọi là một phương án của bài toán

 Phương án x * ( , , )x 1 x n làm cho hàm mục tiêu f min hoặc f max được gọi là một phương án tối ưu (patu) của bài toán Phương án tối ưu cũng còn gọi là nghiệm của bài toán.

 Giải một bài toán qhtt là tìm patu (nếu có) của bài toán đó hoặc chỉ ra rằng bài toán không có patu Trong trường hợp bài toán có patu thì ta nói bài toán giải được , ngược lại ta nói bài toán không giải được

1.2.2 Dạng chính tắc, dạng chuẩn tắc a) Dạng chính tắc:

Bài toán qhtt dạng chính tắc là bài toán có dạng:

 (1.4) Đặc trưng của dạng chính tắc là:

1) Các ràng buộc cơ bản đều là các phương trình.

2) Các ẩn số đều không âm.

Hệ ràng buộc của bài toán dạng chính tắc có thể viết lại dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính:

Dạng ma trận của bài toán qhtt dạng chính tắc là:

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc là bài toán có dạng chính tắc và thoả mãn hai điều kiện sau:

2) Ma trận hệ số của hệ ràng buộc cơ bản chứa ít nhất một ma trận đơn vị cấp m

Ví dụ 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính sau đay có dạng chính tắc :

Ví dụ 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây có dạng chuẩn tắc :

1.2.3 Một số quy tắc đưa bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát về dạng chính tắc

Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát luôn đưa được về dạng chính tắc bằng các quy tắc sau đây:

  , ta đưa vào ẩn phụ x n  1 0 để cho 1

  , ta đưa vào ẩn phụ x n  1 0 để cho 1

4) Nếu có x j 0 thì đổi biến: x j   x j 0

5) Nếu có x j  (x j có dấu tùy ý) thì đặt: x j x j x j ; x j 0,x j 0

Ví dụ 1.3 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

Hãy chuyển bài toán qhtt trên về dạng chính tắc sao cho hàm mục tiêu có tính chất min và các số ở vế phải trong hệ ràng buộc chung phải không âm

Nhận xét: Xuất phát từ ràng buộc biến, ta thấy rằng x 4 chưa được đề cập nên nó chưa xác định dấu, x 2 0 Bài giải chi tiết như sau: Đặt x 2  x 2 , x 2 0; x 4 x 4 x 4 ;x 4 0,x 4 0

Bài toán có dạng chính tắc cần tìm là:

Lưu ý: Trong một số tài liệu, người ta định nghĩa bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc là bài toán có dạng:

 (1.6) Áp dụng quy tắc 3 trong mục 1.2.3 ta chính tắc hóa bài toán (1.6), thì bài toán thu được có dạng chuẩn tắc (theo định nghĩa trong tài liệu này).

Ví dụ 1.4 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Dạng chính tắc của nó là:

Bài toán cuối cùng này có dạng chuẩn tắc

1.2.4 Ẩn cơ bản, phương án cực biên a) Đối vớibài toán dạng chuẩn tắc:

 Ẩn cơ bản (acb) của một phương trình trong hệ ràng buộc chung của bài toán dạng chuẩn tắc là ẩn chỉ có trong phương trình đó với hệ số bằng 1 và không có trong phương trình khác của hệ ràng buộc chung

 Đối với bài toán qhtt dạng chuẩn tắc thì trong mỗi phương trình của hệ ràng buộc luôn có ít nhất một ẩn cơ bản

 Một phương án mà các ẩn không cơ bản đều bằng 0 được gọi là phương án cực biên (pacb)

Ví dụ 1.5 Xét bài toán qhtt có dạng chuẩn tắc sau:

  Ẩn cơ bản trong các phương trình 1, 2, 3 trong hệ ràng buộc chung tương ứng là:

Phương án cực biên: x (0) (x 1  x 2  x 3 0,x 4 15,x 5 10,x 6 20) b) Đối vớibài toán dạng tổng quát: (tham khảo)

Gọi X là một phương án của bài toán qhtt dạng tổng quát (1.1), (1.2) và (1.3)

 Nếu X làm thỏa mãn với dấu đẳng thức ( ) thì phương án X được gọi là làm thỏa mãn chặt ràng buộc tương ứng.

 Nếu X làm thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực sự ( , )  thì phương án X được gọi là làm thỏa mãn lỏng ràng buộc tương ứng.

 Phương án X được gọi là phương án cực biên nếu không thể tìm được hai phương án khác nhau X X 1 , 2 sao cho 1 2

 Xét phương án cực biên X ( , , )x 1 x n Ẩn x j được gọi là ẩn cơ bản nếu x j 0 Định lý:

1) Phương án X của bài toán qhtt (1.1), (1.2) và (1.3) là phương án c ực biên khi và chỉ khi X làm thỏa mãn ít nhất n ràng buộc chặt, trong đó phải có n ràng buộc chặt có ma trận hệ số tạo thành hệ n vector cột độc lập tuyến tính (n là số ẩn của bài toán)

2) Phương án cực biên có tối đa m thành phần dương (m là số ràng buộc chung của bài toán)

Ví dụ 1.6 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính sau

Chứng minh rằng vector x (0) (4,0,0, 2) là phương án cực biên của bài toán đã cho

Giải Thay x (0) (4,0,0, 2) vào tất cả các ràng buộc của bài toán, ta có:

Vector x (0) thỏa tất cả các ràng buộc của bà toán Vậy x (0) là một phương án Phương án x (0) làm thỏa mãn chặt 4 ràng buộc (1), (2), (3) và (4) Số ràng buộc chặt đúng bằng số ẩn của bài toán Ma trận hệ số của 4 ràng buộc này có định thức là:

Suy ra hệ các vector cột tương ứng độc lập tuyến tính

Vậy x (0) là phương án cực biên của bài toán.Ẩn x 1  4 0 là ẩn cơ bản.

Một số tính chất của bài toán quy hoạch tuyến tính

1.3.1 Cơ sở giải tích lồi a) Các khái niệm:

 Tập lồi: Tập S  n được gọi là tập lồi nếu tập tất cả các điểm trên đoạn thẳng nối hai điểm x y, tùy ý trong S đều thuộc S , nghĩa là:

 Tổ hợp lồi, đa diện lồi: Giả sử x 1 , ,x k là k điểm của n Điểm x được gọi là m ột tổ hợp lồi của k điểm trên nếu có bộ số ( , , ) 1  k  k  ,  1    k 1 sao cho x 1 x 1    k x k Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của k điểm x 1 , ,x k được gọi là đa diện lồi sinh bởi hệ k điểm x 1 , ,x k

 Điểm cực biên: Điểm x 0 S được gọi là điểm cực biên của tập lồi S nếu nó không là điểm trong của một đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt trong S

 Quy ước: Tập hợp rỗng và tập hợp chỉ có một phần tử được xem là các tập lồi b) Các định lývề tập lồi:

1) Giao các tập lồi là tập lồi.

2) Nếu S là tập lồi thì S chứa mọi tổ hợp lồi của một họ điểm bất kỳ trong S

3) Đa diện lồi là một tập lồi

1.3.2 Một số tính chất của bài toán quy hoạch tuyến tính Định lý 1: (tính lồi của tập phương án)

1) Tập hợp các phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính là tập lồi

2) Tập hợp các phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính là tập lồi Định lý 2: (điều kiện tồn tại phương án cực biên tối ưu)

Nếu tập các phương án của bài toán qhtt là không rỗng và là đa diện lồi thì bài toán đó có ít nhất một phương án cực biên tối ưu Định lý 3: (điều kiện có phương án tối ưu) Điều kiện cần và đủ để bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu là tập hợp các phương án của bài toán đó khác rỗng và hàm mục tiêu bị chặn.

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình học

1.4.1 Biểu diễn hình học tập phương án a) Nửa mặt phẳng:

Trong mặt phẳng xy, đường thẳng axby c 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng trái dấu nhau (một nửa là tập hợp các điểm ( , )x y thỏa axby c 0, nửa còn lại sẽ thỏa axby c 0) b) Biểu diễn hình học tập phương án:

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến:

Trong mặt phẳng x x 1 2 , ta xác định các nửa mặt phẳng thỏa các ràng buộc của bài toán (1.7) (ràng buộc chung và ràng buộc biến) Khi đó giao của các nửa mặt phẳng này chính là tập phương án của bài toán (1.7)

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính (1.7)

Bước 1: Biểu diễn tập phương án H

Bước 2: Biểu diễn các đường mức Đặt ( m ) :c x 1 1 c x 2 2 m (với m là tham số thực) Đường thẳng ( m ) được gọi là đường mức (hay đường đồng mức – là tập hợp các điểm mà hàm f nhận cùng giá trị m) Các đường mức là các đường thẳng song song nhau Do đó khi vẽ các đường mức, người ta thường vẽ chính xác một đường thẳng ( ) 0 gọi làđường chuẩn để làm phương, các đường khác chỉ cần vẽ song song ( ) 0

Bước 3: Xác định khoảng biến thiên của m và kết luận bài toán

Tìm giá trị của m tại các điểm cực biên, dựa vào hình vẽ để xác định khoảng biến thiên của tham số m Nếu tập phương án là bị chặn thìtồn tại m m 1 , 2 sao cho với mọi m thỏa m 1  m m 2 , đường mức ( m ) sẽ cắt tập phương án

Lưu ý: Có thể sử dụng phương pháp trượt ( m ) sao cho luôn song song với ( ) 0 Nếu đi theo chiều vector pháp tuyến n( , )c c 1 2 mà ( m ) :

- Cắt tập phương án H tại một điểm cuối cùng thì điểm đó là phương án tối ưu và ( ) f x đạt giá trị lớn nhất

- Cắt tập tập phương án H tại một đường thẳng cuối cùng thì tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng đó và trong tập H là các phương án tối ưu, f x( ) đạt giá trị lớn nhất

- Luôn cắt tập phương án H thì không bài toán ( )f x max không tồn tại phương án tối ưu. Đi theo chiều ngược chiều n( , )c c 1 2 , các kết luận tương tự nhưng đối với bài toán ( ) min f x 

Ví dụ 1.7 Giải bài toán qhtt bên bằng phương pháp đồ thị

Giải Biểu diễn tập phương án H (phần tô màu

E F Đường ( m ) cắt tập phương án H khi và chỉ khi 5  m 21

Kết luân: f max 21 đạt được tại x 1 5,x 2 4 min 5 f   đạt được tại x 1 0,x 2 5

Ví dụ 1.8 Giải bài toán qhtt sau bằng phương pháp đồ thị:

Giải Biểu diễn tập phương án H (phần tô màu

Nhận xét: Tập phương án trong ví dụ này là không bị chặn (phía x 2  ) Đường mức ( m ) : 3x 1 2x 2 m

C    m Đường ( m ) cắt tập phương án H khi và chỉ khi   m 13

Kết luân: f max 13 đạt được tại x 1 3,x 2 2; Không tồn tại f min

Phương pháp đơn hình

1.5.1 Cơ sở lý luận của phương pháp a) Khái niệm phương pháp đơn hình:

Xuất phát từ một phương án cực biên ban đầu x (0) ( , , )x 1 0 x n 0 nào đó, ta xây dựng tiêu chuẩn để đánh giá xem phương án đó đã tối ưu hay chưa Nếu nó chưa phải là patu thì biến đổi nó để thu được một phương án cực biên mới x (1) ( , , )x 1 1 x 1 n tốt hơn (theo nghĩa giá trị hàm mục tiêu giảm đối với f x( )min và tăng đối với

( ) max f x  ) Quá trình này được lập lại chừng nào còn có khả năng thực hiện sự di chuyển ấy và vì số phương án cực biên là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước lặp sẽ thu được patu của bài toán, hoặc sẽ kết luận bài toán không có patu b) Tiêu chuẩn tối ưu:

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc sau:

Trong đó, x 1 , ,x m là m ẩn cơ bản

Phương án cực biên ban đầu là: x (0) ( , , , ,0, 0)b b 1 2 b m

Lấy một phương án x * ( , , )x 1 * x * n tùy ý của bài toán (P)

   gọi là số liệu kiểm tra của ẩn x j Dễ thấy rằng j 0

  nếu x j là ẩn cơ bản

Như vậy nếu      j 0, j m 1,n thì f x( ) 0  f x( ) * , nghĩa là x (0) là phương án tối ưu Định lý 1: (tiêu chuẩn tối ưu)

Xét một phương án cực biên x * tùy ý, có các số liệu kiểm tra tương ứng là , 1, j j n

  Ta có   j 0 với mọi ẩn cơ bản x j

(1) Nếu   k 0 với mọi x k là ẩn không cơ bản thì x * là phương án tối ưu duy nhất

Ta gọi là phương án cực biên tối ưu

(2) Nếu có   k 0 với x k là ẩn không cơ bản và tồn tại a i k 0 0 thì bài toán có phương án tối ưu khác ngoài x * Định lý 2: (dấu hiệu bài toán không giải được)

Nếu với một phương án cực biên nào đó, tồn tại một   j 0 0 mà a ij 0  0, i thì ta có thể tìm được một dãy phương án mà trên đó hàm mục tiêu giảm vô hạn, nghĩa là bài toán không giải được Định lý 3: (dấu hiệu bài toán có phương án tốt hơn)

Nếu với một phương án cực biên nào đó mà với mỗi   j 0 đều tồn tại ít nhất một a ij 0 thì có thể tìm được mộtphương án cực biên tốt hơn.

Xét bài toán qhtt dạng chuẩn trong trường hợp f x( )min

Chọn một phương án cực biên ban đầu và lập bảng tương ứng có dạng sau được gọi là bảng đơn hình :

TT Hệ acb số Ẩn cơ bản

… … … … j m c x j m b m a m 1 a m 2 … a ms … a mn  m Dòng kiểm tra  j  1  2 …  s …  n

 x j r là ẩn cơ bản của phương trình thứ r trong hệ dàng buộc

 c j r ở cột hệ số của acb x j r trong hàm mục tiêu

  a (chỉ tính với a is 0,s là chỉ số của cột ứng với   s 0 lớn nhất)

Xét bài toán chuẩn tắc trong trường hợp f x( )min

Bước 1: Chọn phương án cực biên ban đầu và lập bảng đơn hình tương ứng

Bước 2: (Kiểm tra tính tối ưu của phương án)

Nếu    j 0, j thì phương án tối ưu

(1) Nếu   k 0 với mọi x k là ẩn không cơ bản thì phương án tương ứng là phương án tối ưu duy nhất

(2) Nếu có   k 0 với x k là ẩn không cơ bản và tồn tại a i k 0 0 thì bài toán có vô số phương án tối ưu

Bước 3: (Kiểm tra bài toán không giải được)

Nếu có   j 0 0 mà a ij 0   0, i 1,m thì bài toán không có phương án tối ưu Nếu với mỗi   j 0 đều có ít nhất một a ij 0 thì chuyển sang bước 4

Bước 4: (Chọn ẩn đưa vào, xác định ẩn đưa ra khỏi hệ ẩn cơ bản)

     , khi đó ẩn x s được đưa vào hệ ẩn cơ bản, cột chứa x s gọi là cột xoay

Giả sử min0 min is i r i a is b

   , khi đó ẩn x j r bị loại khỏi hệ ẩn cơ bản, dòng r được gọi là dòng xoay Phần tử a rs (giao giữa dòng xoay và cột xoay) được gọi là phần tử trục

Bước 5: (Biến đổi bảngđơn hìnhđể thu được phương án cực biên mới mới tốt hơn) Bảng đơn hình mới có cấu trúc như bảng cũ, dòng đầu tiên không có gì thay đổi (do đó trong quá trình giải, các bảng được kẻ nối tiếp nhau và sử dụng chung một dòng đầu)

 Cột ẩn cơ bản: thay j r x (ẩn ra) bởi x s (ẩn vào), các ẩn cơ bản khác được giữ nguyên

 Cột hệ số: thay c s cho c j r , giữ nguyên các hệ số khác

 Dòng xoay: chia mỗi giá trị trên dòng xoay (gồm b r , a rj , j1,n) cho phần tử trục a rs

 Cột xoay: trong bảng mới có a rs 1,a is 0,ir

 Các phần tử trên các dòng còn lại được tính như sau:

, ij rs rj is , , i rs r is i ij rs rs a a a a b a b a b a i r j s a a

Lưu ý: Trường hợp f x ( )  max thì ta đổi dấu hàm mục tiêu để thu được bài toán tương đương g x ( )   f x ( )  min

Ví dụ 1.9 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Giải.Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng chuẩn tắc.

Phương án cực biên ban đầu là: x(x 1 x 2 x 3 x 5 0,x 4 15,x 6 12,x 7 8) Bảng đơn hình:

Kết luận: Trong bảng 3 có   j 0 với mọi x j là ẩn không cơ bản nên bài toán có phương án tối ưu duy nhất là:

Giải Đưa bài toán về dạng chuẩn tắc

Phương án cực biên ban đầu là:

TT Hệ số acb Ẩn cơ bản Ph án -5 5 -9 3 0 0 0

Trong bảng 3, có    2 1 0 mà a 12 0,a 22 0,a 32 0,a 42 0 nên bài toán không có phương án tối ưu

 Tìm tập hợp tất cả các patu của bài toán trên

Giải Đưa bài toán về dạng chuẩn tắc

Phương án cực biên ban đầu là:

TT Hệ số acb Ẩn cơ bản

Dòng kiểm tra  j 0 0 0 0 -3 -1 Trong bảng 3 có    j 0, j nên bài toán ban đầu có phương án tối ưu là:

Mặt khác, trong bảng 3 có   3 0 (ứng với x 3 không là ẩn cơ bản) mà có

23 5 / 6 0, 33 1/ 3 0 a   a   Do đó bài toán còn có patu khác x (1) Ẩn x 3 vào thay cho ẩn x 2 ra (vì có  2  6  3 21), ta có bảng 4 sau:

Trong bảng 4 có    j 0, j nên bài toán ban đầu có phương án tối ưu là:

Vậy bài toán có vô số các patu Tập hợp tất cả các patu của nó là:

Lưu ý: Giả sử x (1) , ,x ( ) N là N phương án tối ưu khác nhau của bài toán qhtt (P) nào đó Khi đó theo tính lồi của tập phương tối ưu thì tổ hợp lồi: X  1 x (1)    N x ( ) N , với  1 , , N [0,1], 1    N 1 cũng là phương án tối ưu của bài toán

(P) a) Chứng minh vector x (0) (2,0,0,18,0) là một phương án cực biên của (P) b) Xuất phát từ x (0) , hãy giải (P) bằng phương pháp đơn hình c) (Tham khảo) Tìm tập phương án tối ưu của bài bài toán (P)

Giải a) Thay x (0) (2,0,0,18,0) vào các ràng buộc của bài toán, ta có:

 Vector x (0) thỏa tất cả các ràng buộc của bà toán Vậy x (0) là một phương án Phương án x (0) là thỏa mãn chặt 5 ràng buộc từ (1) đến (5) Số ràng buộc chặt đúng bằng số ẩn của bài toán Ma trận hệ số của 5 ràng buộc này có định thức là:

Suy ra hệ các vector cột tương ứng độc lập tuyến tính

Vậy x (0) là phương án cực biên của (P) b) Dạng chính tắc của bài toán:

  Thay x (0) (2,0,0,18,0) vào hệ ràng buộc của bài toán chính tắc, ta được:

Biến đổi hàng của ma trận liên kết ( | )A B để thu được các cột đơn vị tương ứng

Xuất phát từ x (0) , ta lập bảng đơn hình sau:

Trong bảng 3 có    j 0, j nên bài toán ban đầu có patu là:

(1) (0,14,4,0,0) x  ; f min  f x( (1) ) 44 c) Trong bảng 3 có   5 0 (ứng với x 5 không là ẩn cơ bản) mà có a 15 3 / 5 0 Do đó bài toán còn có patu khác x (1) Ẩn x 5 vào thay cho ẩn x 6 ra, ta có bảng 4 sau:

Dòng kiểm tra  j -1 0 0 -2 0 0 -2 Trong bảng 4 có    j 0, j nên bài toán ban đầu có patu là:

(2) (0,16,8,0,10) x  , f min  f x( (2) ) 44 Tập hợp tất cả các patu của nó là:  X ( ) :    [0,1] 

1.5.4 Phương pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát a) Bài toán M: Xét bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng tổng quát (gọi là bài toán gốc ) Đưa bài toán gốc về bài toán chính tắc có dạng:

 Nếu có b i 0 0 thì nhân hai vế của phương trình thứ i 0 của hệ ràng buộc với (–1)

 Bây giờ ta đưa bài toán chính tắc về bài toán chuẩn tắc (gọi là bài toán M ) như sau: Trong hệ ràng buộc chung, nếu ở phương trình nào đó chưa có ẩn cơ bản thì cộng vào phương trình đó một ẩn không âm mới có hệ số bằng 1, ký hiệu là ( 1,2, ) x n k  k  gọi là ẩn giả , đồng thời phải cộng thêm vào hàm mục tiêu một lượng là M x n k  , trong đó M 0 lớn tuỳ ý

Bài toán M có dạng chuẩn tắc nên áp dụng phương pháp đơn hình để giải

 Ta viết   j A j M B j , dòng kiểm tra được tách thành hai dòng chứa A j và B j

 Do M là số dương lớn tuỳ ý cho nên người ta quy ước:

 Các số liệu ở hai dòng trong dòng kiểm tra có thể tính độc lập.

 Một ẩn giả x n k  nào đó sau khi bị đưa ra khỏi cột ẩn cơ bản thì sẽ không bao giờ trở lại cột này Do đó trong bảng đơn hình ta bỏ các cột chứa ẩn giả b) Quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán M:

 Nếu bài toán M không có phương án tối ưu thì bài toán gốc cũng không có phương án tối ưu

 Nếu bài toán M có phương án tối ưu mà trong đó có ít nhất một ẩn giả nhận giá trị dương thì bài toán gốc không có patu

 Nếu bài toán M có phương án tối ưu và tất cả các ẩn giả đều bằng không thì bài toán gốc cũng có phương án tối ưu; bỏ các ẩn giả và ẩn phụ (nếu có) trong phương án tối ưu của bài toán M , ta thu được phương án tối ưu của bài toán gốc

 Đưa bài toán về dạng chính tắc:

 Đưa bài toán chính tắc về bài toán M:

 x j 0, j1,2,3; x 4 0,x 5 0 là hai ẩn phụ x 6 0,x 7 0 là hai ẩn giả

TT Hệ số acb Ẩn cơ bản Phương án

 Kết luận: Trong bảng 3 có    j 0, j nên phương án

( 15 / 2, 0, 1, 0, 7 / 2, 0) x x  x  x  x x  x  x  là phương án tối ưu của bàn toán M Trong phương án này có ẩn giả

6 7 / 2 0 x   nên bài toán gốc không có phương án tối ưu

Lưu ý: Trong quá trình giải, ta có thể viết trực tiếp bài toán M mà không cần viết bài toán dạng chính tắc.

Ví dụ 1.14 Giải bài toán qhtt bên:

 Đưa bài toán về dạng chính tắc:

 Đưa bài toán chính tắc về bài toán M:

7, , ,8 9 10 x x x x là 4 ẩn phụ ; x 11 0 là ẩn giả

Phương án cực biên ban đầu là: x(0,0,0,0,7,1,4,2)

TT Hs acb Ẩn cơ bản Ph án

 Kết luận: Trong bảng 3 có    j 0, j nên phương án

( 4, 0, 2, 0, 1, 5, 0, 0) x x  x  x  x x  x  x  x  x  là phương án tối ưu của bàn toán M Trong phương án này có tất cả các ẩn giả bằng 0 nên bài toán gốc có phương án tối ưu là:

1.6 Bài toán quy hoạch tuyến tính chứa tham số ở hàm mục tiêu (tham khảo)

Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

Với mỗi bài toán quy hoạch tuyến tính – còn gọi là bài toán gốc , tương ứng duy nhất một bài toán qhtt đối ngược với nó – còn gọi là bài toán đối ngẫu Hai bài toán qhtt này tạo thành một cặp bài toán qhtt đối ngẫu nhau, tính chất của bài toán này có thể được khảo sát thông qua tính chất của bài toán kia Nhiều quy trình tính toán hay phân tích các biến kinh tế được hoàn thiện khi xem xét cặp bài toán trên trong mối liên quan chặt chẽ của chúng, mang lại lợi ích trong việc giải quyết các vấn đề phát sinh từ thực tế Chúng ta xét hai ví dụ dẫn nhập sau đây

1.7.1 Hai ví dụ dẫn nhập a) Bài toán sản xuất đá xây dựng (bài toán gốc):

Một doanh nghiệp A sản xuất 3 loại đá dùng cho xây dựng Giá bán một đơn vị đá loại I, loại II và loại III tương ứng là 90 triệu đồng, 140 triệu đồng và 50 triệu đồng Tài sản chủ yếu của doanh nghiệp gồm 6300 m 2 mặt bằng, 54 thiết bị (giả sử cùng loại và có chất lượng như nhau) và 5 thùng thuốc nổ trong kho để sử dụng cho một tháng

Số thiết bị cần thiết để sản xuất 1 đơn vị đá loại I, II và III tương ứng là 9 chiếc,

4 chiếc và 4 chiếc Diện tích mặt bằng mà 1 đơn vị đá loại I, II và III chiếm chỗ tương ứng là 900 m 2 , 500 m 2 và 500 m 2 Đặc biệt, để sản xuất 1 đơn vị đá loại II cần 1 thùng thuốc nổ

Bài toán đặt ra là: mỗi tháng, doanh nghiệp phải sản xuất bao nhiêu đơn vị đá mỗi loại để tổng doanh thu lớn nhất ?

Giải Gọi x x x 1 , , 2 3 tương ứng là số đơn vị đá loại I, II, III cần sản xuất trong một tháng

Mô hình toán: Tìm vector x( , , )x x x 1 2 3 sao cho

Giải bài toán này bằng phương pháp đơn hình, sau 4 bảng ta thu được phương án tối ưu là:

( 2, 5, 4) x  x  x  x  , với f max  f x( ) 1080 *  Như vậy doanh nghiệp cần phải sản xuất 2 đơn vị đá loại I, 5 đơn vị đá loại II và

4 đơn vị đá loại III Khi đó doanh thu tối đa đạt được là 1080 triệu đồng b) Bài toán cho thuê cơ sở sản xuất (bài toán đối ngẫu):

Doanh nghiệp A nói trên có chủ trương chuyển hướng hoạt động sang lĩnh vực khác sau vài tháng nữa, vì vậy từ nay đến lúc đó họ cân nhắc giữa việc tiếp tục sản xuất theo kế hoạch đã lập và việc cho doanh nghiệp B thuê lại cơ sở sản xuất Tất nhiên, giá cho thuê toàn bộ cơ sở sản xuất phải không dưới 1080 triệu đồng/tháng, nếu không được vậy thì tiếp tục sản xuất

Bài toán đặt ra là: nếu cho thuê toàn bộ cơ sở thì cần định giá cho thuê 1 thiết bị,

100 m 2 mặt bằng và giá bán 1 thùng thuốc nổ là bao nhiêu để cho tổng giá thuê của doanh nghiệp B là thấp nhất, đồng thời thỏa mãn yêu cầu của doanh nghiệp A.

Giải Gọi y 1 là giá cho thuê 1 thiết bị, y 2 là giá cho thuê 100 m 2 mặt bằng và y 3 là giá bán 1 thùng thuốc nổ Để sản xuất 1 đơn vị đá loại I, cần 9 chiếc, 900 m 2 mặt bằng Giá bán là 90 triệu đồng Do đógiá cho thuê cơ sở này để xản suất 1 đơn vị đá loại I không được nhỏ hơn

Tương tự: Điều kiện cho thuê cơ sở này để xản suất 1 đơn vị đá loại II:

4y 5y y 140 (2) Điều kiện cho thuê cơ sở này để xản suất 1 đơn vị đá loại III:

4y 5y 50 (3) Mục tiêu của doanh nghiệp B là: giá thuê toàn bộ co sở là thấp nhất

Từ các điều kiện (1) đến (4), ta có mô hình của bài toán là:

Giải bài toán này bằng phương pháp đơn hình, sau 3 bảng ta thu được phương án tối ưu là:

( 0, 10, 90) y  y  y  y  , với Hai bài toán trên đây là một ví dụ về một cặp bài toán đối ngẫu của bài toán qhtt

1.7.2 Định nghĩa cặp bài toán đối ngẫu

Từ hai bài toán dẫn nhập và các các bài thực tế, người ta đưa ra các định nghĩa tổng quát về bài toán đối ngẫu như sau: Định nghĩa 1:

( ) j j min f x  c x   Bài toán đối ngẫu

 y i  0 Định nghĩa 3: Cặp ràng buộc đối ngẫu

Cặp ràng buộc đối ngẫu (hay cặp điều kiện đối ngẫu ): là cặp ràng buộc có dạng bất đẳng thức. Định nghĩa 4: Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng

Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng là cặp bài toán đối ngẫu mà các ràng buộc chung và ràng buộc biến tương ứng đều có dạng bất đẳng thức

Lưu ý: Nếu A là ma trận hệ số trong hệ ràng buộc chung của bài toán gốc thì A T là ma trận hệ số trong hệ ràng buộc chung của bài toán đối ngẫu, nghĩa là vế trái trong ràng buộc thứ j của bài toán đối ngẫu là tích vô hướng giữa cột thứ j của ma trận A với vector y( , , )y 1 y j T

Cách nhớ quy tắc dấu : gốc  đối ngẫu

Ràng buộc chung  ràng buộc biến: cùng chiều

Ràng buộc biến  ràng buộc cung: ngược chiều

Ràng buộc chung  ràng buộc biến: ngược chiều

Ràng buộc biến  ràng buộc cung: cùng chiều

Ví dụ 1.17 Viết bài toán đối ngẫu cho bài toán quy hoạch tuyến tính gốc sau và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu Cặp bài toán đối ngẫu nào là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng và không đối xứng

Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải – 2021 a) f x( )  x 1 7x 3 3x 4 max b) f x( ) 5 x 1 3x 2 min

Giải a) Bài toán đối ngẫu

Các cặp ràng buộc đối ngẫu

4 0 x  y 1 9y 2  y 3 3 Đây là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng b) Bài toán đối ngẫu

Các cặp ràng buộc đối ngẫu

3 0 x  y 1 y 2 5y 3 3y 4 0 Đây là cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng

1.7.3 Các tính chất của cặp bài toán đối ngẫu

Tính chất 1: Bài toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu lại chính là bài toán gốc.

Tính chất 1 khẳng định vai trò bình đẳng của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu Bởi vậy, có thể gọi các bài toán qhtt này là cặp bài toán đối ngẫu (mà không cần phải phân biệt đâu là bài toán gốc, còn đâu là bài toán đối ngẫu)

Tính chất 2(định lý đối ngẫu yếu)

Với mọi phương án x của bài toán gốc (bài toán f max) và với mọi phương án y của bài toán đối ngẫu (bài toán g min), ta luôn có f x( )g y( )

Hơn nữa, nếu tồn tại hai phương án x của bài toán gốc và y của bài toán đối ngẫu sao cho f x( ) g y( ) thì x là phương án tối ưu của bài toán gốc và y là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

Về mặt ý nghĩa kinh tế, có thể lập luận để lý giải tính chất này như sau: Với mọi phương án định giá nguyên liệu thì “tổng chi phí (phía muốn mua) phải bỏ ra để mua các đơn vị nguyên liệu đó không bao giờ thấp hơn được tổng lợi nhuận mang lại khi dùng các đơn vị nguyên liệu đó để sản xuất ra sản phẩm và tiêu thụ chúng trên thị trường”

A  a a a là hàng thứ i của ma trận A

A  a a a là chuyển vị cột thứ j của ma trận A

Xét cặp bài toán đối ngẫu

Từ dãy bất đẳng thức cuối cùng, ta suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ 1.18 Xét cặp bài toán đối ngẫu sau:

Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu

Bằng các phương pháp đã học, ta có được:

Tính chất 3: (Định lý đối ngẫu mạnh)

Xét một cặp bài toán đối ngẫu bất kỳ, nếu bài toán này có phương án tối ưu thì bài toán kia cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng bằng nhau

Tính chất 4: (Định lý độ lệch bù)

Giả sử x và y tương ứng là phương án của bài toán gốc ( f max) và đối ngẫu (gmin)

Khi đó x và y là tối ưu khi và chỉ khi:

Chứng minh tính chất 4 Đặt ( ), 1,

 Giả sử x và y là hai phương án tối ưu của bài toán gốc và đối ngẫu, theo định lý đối ngẫu mạnh ta được g y( ) f x( ) 0 Do đó từ (2) ta thu được (1)

 Giả sử có (1), từ (2) suy ra g y( ) f x( ) 0 Theo tính chất 2, suy ra x và y là hai patu của bài toán gốc và đối ngẫu

1.7.4 Quan hệ của cặp bài toán đối ngẫu Định lý: Đối với một cặp bài toán đối ngẫu, bao giờ cũng xảy ra một trong ba trường hợp sau :

1) Cả hai bài toán cùng không có phương án, hiển nhiên cả hai bài toán đều không có phương án tối ưu

Bài toán vận tải

Các khái niệm về bài toán vận tải

2.1.1 Phát biểu bài toán vận tải (btvt)

Cần vận chuyển một loại hàng hoá từ m kho (nơi sản xuất hay trạm phát) ký hiệu là A 1 , ,A m đến n nơi tiêu thụ (trạm thu) ký hiệu là B 1 , ,B n Biết rằng lượng hàng ở trạm phát A i là a i 0 (đơn vị hàng) và yêu cầu hàng ở trạm thu B j là b j 0 (đơn vị hàng) Cho biết chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ A i đến B j là c ij (đơn vị cước phí) với i1, ;m j 1,n

Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng sao cho thoả mãn tối đa nhu cầu của các nơi (tức là hoặc các trạm thu nhận đủ hàng hoặc các nơi sản xuất phát hết hàng) và có tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất

2.1.2 Mô hình toán học của bài toán vận tải

Gọi x ij 0 là lượng hàng hóa cần vận chuyển từ trạm phát A i đến trạm thu B j Khi đó ta có:

Tổng chi phí vận chuyển bằng

Lượng hàng vận chuyển khỏi trạm A i i ( 1, )m là:

Lượng hàng vận chuyển tới trạm B j (j1, )n là:

Mô hình toán của bài toán vận tải là:

Tìm ma trận x( )x ij m n  , sao cho:

0 ; 1, ; 1, (4) m n ij ij i j n ij i j m ij j i ij f x c x x a i m x b j n x i m j n

Bài toán vận tải (1)(4) là bài toán quy hoạch tuyến tính nên ta có thể dùng các khái niệm của bài toán quy hoạch tuyến tính như: hàm mục tiêu, phương án, phương án tối ưu,…, và áp dụngphương pháp đơn hình để giải Tuy nhiên do cấu trúc đặc biệt của bài toán vận tải và do số lượng ẩn lớn nên ta có phương pháp giải riêng hiệu quả hơn

2.1.3 Bài toán vận tải cân bằng thu phát

Bài toán vận tải cân bằng thu phát (hay bài toán vận tải đóng ) là bài toán vận tải có tổng cung bằng tổng cầu, tức là:

  , khi đó các điều kiện (2) và (3) là các đẳng thức

Mô hình toán học của bài toán vận tải cân bằng thu phát là: Tìm ma trận x    x ij m n  , sao cho

0 ; 1, ; 1, (4) m n ij ij i j n ij i j m ij j i ij f x c x x a i m x b j n x i m j n

2.1.4 Bài toán vận tải dạng bảng, dạng ma trận

Các số liệu của btvt được cho dưới dạng bảng như sau:

Khi đó bộ ba ( , , )A B C được gọi là dạng ma trận của btvt

Ví dụ 2.1 Cho bài toán vận tải cân bằng thu phát

Trên cơ sở bảng số liệu của bài toán, nếu trạm B j nhận hàng của trạm A i thì lượng hàng x ij 0 sẽ được ghi vào ô có cước phí c ij hay ô ( , )i j , ta gọi ô này là ô chọn hay ô cơ bản Nếu trạm B j không nhận hàng của trạm A i (tức là x ij 0) thì ô ( , )i j chỉ ghi cước phí c ij , ô này được gọi là ô loại Bảng số liệu này được gọi là bảng phân phối hàng hóa của bài toán vận tải, có dạng sau:

Ví dụ 2.2 Bảng phân phối của btvt trong ví dụ 2.1

Các ô loại: (1,1), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3) Đây là bài toán cân bằng thu phát (tổng phát = tổng thu = 450) nên tất cả các trạm phát phải phân phối hết hàng và tất cả các trạm thu đều nhận đủ hàng

Tổng chi phí vận chuyển cho phương án này là f x( ) 2110 1 

Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải đóng

 Chu trình: là một dãy các ô khép kín trong bảng phân phối:

( , ),( , ) ,( , ), ,( , )i j i j i k j k i j và thỏa 2 tính chất sau

1) Trên một hàng (hay trên một cột) hoặc không có ô nào hoặc có đúng 2 ô trên chu trình

2) Hai ô liên tiếp của chu trình phải ở trên một hàng hay trên một cột

Một số dạng chu trình thường gặp:

 Phương án cực biên: là phương án mà các ô chọn không chứa chu trình

 Một phương án cực biên có đúng m n 1 ô chọn được gọi là phương án cực biên không suy biến Một phương án cực biên có ít hơn m n 1 ô chọn gọi là phương án cực biên suy biến

Ví dụ 2.3 Phương án x 1 trong ví dụ 2.2 là phương án cực biên suy biến (vì có số ô chọn     5 m n 1 6)

2.2.2 Các tính chất của bài toán vận tải

Tính chất 1: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu

Tính chất 2: Trong một phương án cực biên tùy ý, số ô chọn không vượt quá

Tính chất 3: Tong một phương án cực biên không suy biến, với mỗi ô loại bất kỳ sẽ có duy nhất một chu trình với một số ô chọn

2.2.3 Một số phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu a) Phương pháp chi phí nhỏ nhất(phương pháp min –cước):

Nội dung của phương pháp chi phí nhỏ nhất là phân phối lượng hàng tối đa lần lượt vào các ô có chi phí nhỏ nhất Phương pháp gồm hai bước sau:

Bước 1: Chọn ô có cước phí nhỏ nhất, giả sử ô ( , )r s (nếu có nhiều ô có cước phí bằng nhau nhỏ nhất thì chọn tùy ý một trong số các ô đó) Phân phối vào ô ( , )r s lượng hàng tối đa: x rs min{ , }a b r s

Bước 2: Nếu x rs a r b s thì ‘tạm xoá’ dòng r và cột s

Nếu x rs a r b s thì ‘tạm xoá’ dòng r, trạm thu B s còn thiếu lượng hàng là s r 0 b a 

Nếu x rs b s a r thì ‘tạm xoá’ dòng s, trạm phát A r còn thừa lượng hàng là r s 0 a  b

Trở lại bước 1 (trừ các ô đã ‘tạm xoá’). b) Phương pháp góc tây bắc:

Phân phối luợng hàng tối đa bằng x 11 min{ , }a b 1 1 vào ô (1,1) (ô ở góc tây bắc) Sau đó ‘tạm xóa’ dòng 1 (nếu A1 phát hết hàng) hay cột 1 (nếu B1 nhận đủ hàng) Tiếp tục phân phối hàng trong bảng còn lại c) Phương pháp Vogel (Fogel):

Phương pháp Vogel cho ta một phương án cực biên khá tốt, theo nghĩa nó rất gần với phương án tối ưu Tuy nhiên so với hai phương pháp trên thì nó phức tạp hơn

Ta gọi độ lệch cước phí của một dòng (cột) là giá trị tuyệt đối của hiệu hai cước phí nhỏ nhất liên tiếp trên cùng dòng (cột) đó Phương pháp Vogel được trình bày theo các bước sau:

Bước 1: Chọn dòng r có độ lệch cước phí lớn nhất trong m dòng; chọn cột s có độ lệch cước phí lớn nhất trong n cột Phân phối vào ô ( , )r s lượng hàng tối đa: min{ , } rs r s x  a b

Bước 2: Thực hiện lại bước 1 sau khi đã “xóa” dòng (hết hàng) hoặc cột (nhận đủ hàng)

Tiếp tục quá trình cho đến khi phân phối xong toàn bộ

Ví dụ 2.4 Tìm phương án cực biên ban đầu bằng phương pháp chi phí nhỏ nhất, phương pháp góc tây bắc và phương pháp Vogel cho bài toán vận tải sau:

Giải a) Phân phối hàng theo p hương pháp chi phí nhỏ nhất

  là một phương án cực biên không suy biến

Tổng chi phí vận chuyển cho phương án này là f x( ) 74511  b) Phân phối hàng theo p hương pháp góc tây bắc

  là một phương án cực biên không suy biến

Tổng chi phí vận chuyển cho phương án này là f x( ) 890 2  c) Phân phối hàng theo p hương pháp Vogel

Dòng: max{1,1,1,1,1} 1 , cả năm dòng cùng có độ lệch lớn nhất bằng 1

Cột: max{1,1,1,2} 2 , đạt được tại cột 4

Kết hợp phương pháp chi phí nhỏ nhất, ta chọn ô (1,4) để phân phối hàng đầu tiên, lượng hàng tối đa là 40 Ta có bảng sau:

Dòng: max{1,1,1,1} 1 , cả bốn dòng (còn lại) cùng có độ lệch lớn nhất bằng 1 Cột: max{2,1,1,2} 2 , đạt được tại cột 1 và cột 4

Chọn ô (2,1) để phân phối tiết theo

Cứ tiếp tục như thế, ta thu được phương án cự biên không suy biến:

; f x( ) 690 3  x 3 cũng là phương án tối ưu của bài toán

2.2.4 Cơ sở của thuật toán thế vị

Xét bài toán vận tải đóng

0 ; 1, ; 1, m n ij ij i j n ij i j m ij j i ij f x c x x a i m x b j n x i m j n

Xét bài toán ( )P thu được từ ( )P bằng cách thay cước phí c ij bởi cước phí ij ij i j c c  u v với u v i , j tùy ý (i 1, ;m j 1,n) a) Định lý 1: Hai hàm mục tiêu của bài toán ( )P và ( )P chỉ sai khác một hằng số

Do đó phương án tối ưu của hai bài toán vận tải này là trùng nhau.

Chứng minh: Gọi x( )x ij m n  là một phương án tùy ý của bài toán ( )P , và ( )F x là hàm mục tiêu của bài toán ( )P

( ) ( ) m n m n ij iijj ij i j ij i j i j m n m n n m ij ij i ij j ij i j i j j i m n i i j j i j

  là một hằng số b) Hệ thống thế vị: Xét phương án cực biên x( )x ij m n  không suy biến Bộ gồm m n số  u 1 , ,u m ; , ,v 1 v n  thoả c ij   u i v j 0 với mọi ô chọn ( , )i j được gọi là hệ thống thế vị ứng với phương án x Số u i gọi là thế vị của hàng thứ i, số v j gọi là thế vị của cột thứ j

Phương án x( )x ij m n  không suy biến nên có m n 1 ô chọn nên có m n 1 phương trình c ij   u i v j 0, trong khi đó số ẩn là m n : u 1 , ,u m ; , ,v 1 v n nên sẽ có một ẩn tự do Vậy để tìm hệ thống thế vị  u 1, ,u m ; , ,v 1 v n  ta làm như sau: cho một thế vị nào đó một giá trị tuỳ ý (thông thường cho u 1 0) và tìm m n 1 thế vị

Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải – 2021 còn lại theo m n 1 phương trình : c ij   u i v j 0 với ( , )i j là ô chọn

Trường hợp phương án cực biên là suy biến thì ta chọn thêm một số ô loại để có đủ m n 1 ô, sao cho chúng không tạo thành chu trình

Số   ij c ij  u i v j được gọi là lượng kiểm tra của ô ( , )i j c) Định lý 2: (tiêu chuẩn tối ưu)

Nếu hệ thống thế vị  u 1, ,u m ; , ,v 1 v n  tương ứng với phương án x( )x ij m n  thỏa mãn hai điều kiện:

Thì x( )x ij m n  là phương án tối ưu của bài toán

Chứng minh: Ta có giá trị mục tiêu của bài toán ( )P là:

( ) m n ij ij ij ij ij ij 0 i j ij là ô chon i j là ô loai

(vì với ( , )i j là ô chọn    ij 0; với ( , )i j là ô loại x ij 0) Gọi x    x ij m n  là một phương án tuỳ ý của bài toán ( )P Do x là phương án nên x ij  0, ( , )i j và    ij 0, ( , )i j (giả thiết)

Vậy x( )x ij m n  là phương án tối ưu của bài toán ( )P Theo định lý 1,

( ) ij m n x x  cũng là phương án tối ưu của bài toán ( )P

Ví dụ 2.5 Tính các thế vị và kiểm tra tính tối ưu của phương án trong ví dụ 2.4:

Lượng kiểm tra   ij c ij  u i v j ;  

Có     34 1 0 nên phương án chưa tối ưu

2.2.5 Thuật toán thế vị chi tiết

Bước 1: Tìm phương án cực biên ban đầu (đủ m n 1 ô chọn)

Trong trường hợp số ô chọn bằng m n 2 ô (phương án suy biến) thì ta lấy một ô loại tùy ý để làm ô chọn sao cho nó cùng với các ô chọn không chứa chu trình

Bước 2: Xây dựng hệ thống thế vị tương ứng bằng cách giải hệ:

Bước 3: Kiểm tra tính tối ưu của phương án

Tính ma trận lượng kiểm tra   ij với   ij c ij  u i v j

Nếu    ij 0 ( , )i j thì phương án là tối ưu

Nếu có   ij 0 thì chuyển sang bước 4

Bước 4: Xây dựng phương án mới

 Chọn ô điều chỉnh ( , )r s với   rs min     ij : ij 0 

 Tìm chu trình điều chỉnh đi qua ô điều chỉnh và một số ô chọn Đánh dấu +, – liên tiếp xen kẻ nhau trên các ô của chu trình điều chỉnh, ô điều chỉnh ( , )r s luôn mang dấu +

 Tìm lượng điều chỉnh : qmin  x ij : với ô ( , )i j có dấu – 

 Tìm phương án mới x    x ij m n  theo công thức: ij ij ij ij x x x q x q

,( , )i j không thuộc chu trình điều chỉnh ,( , )i j có dấu +

,( , )i j có dấu – Thuật toán quay lại bước 2

Ví dụ 2.6 Giải bài toán vận tải sau sao cho các trạm phát phải phát hết hàng và có tổng cước phí vận chuyển là nhỏ nhất:

Giải Tổng phát = tổng thu = 290 Phân phối hàng theo phương pháp chi phí nhỏ nhất, ta có bảng phân phối 1 sau:

Hệ thống thế vị: 1 0 i j ij u u v c

Lượng kiểm tra :   ij c ij  u i v j ;

Có     23 4 0 nên phương án trong bảng 1 chưa tối ưu Chọn ô điều chỉnh là ô (2,3), vẽ chu trình điều chỉnh và tính được lượng điều chỉnh qmin{10,58} 10

, có    ij 0 ( , )i j Bài toán có phương án tối ưu là:

Ví dụ 2.7 Giải bài toán vận tải sau sao cho các trạm phát phải phát hết hàng và có tổng cước phí vận chuyểnlà nhỏ nhất:

Giải Tổng phát = tổng thu = 300 Phân phối hàng theo phương pháp chi phí nhỏ nhất, ta có bảng phân phối 1 sau:

Nhận xét: Số ô chọn trong bảng 1 bằng 6   m n 1 7 Phương án trong bảng 1 là suy biến Bổ sung ô loại (1,1) làm ô chọn (sao cho ô này cùng với các ôn chọn không chứa chu trình)

Hệ thống thế vị:  u 10; u i v j c ij , với ( , )i j là ô chọn

Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải – 2021 Ô điều chỉnh là ô (1,4), lượng điều chỉnh qmin{60,80} 60

Các trường hợp đặc biệt của bài toán vận tải

2.3.1 Bài toán vận tải không cân bằng thu phát a) Định nghĩa: Bài toán vận tải không cân bằng thu phát (còn gọi là bài toán vận tải mở) là bài toán vận tải có tổng cung và tổng cầu khác nhau, tức là

  thì các trạm phát sẽ phát hết hàng, tức là

  thì các trạm thu sẽ nhận đủ hàng, tức là

 b) Áp dụng thuật toán thế vị giải bài toán vận tải mở: Để giải bài toán vận tải không cân bằng thu phát, ta phải đưa nó về bài toán đóng và sau đó giải bài toán đóng tương ứng theo thuật toán thế vị Các bước làm như sau:

Bước 1: Đưa về bài toán vận tải đóng:

  thì ta thêm một trạm thu giả B n  1 với nhu cầu giả

  thì ta thêm một trạm phát giả A m  1 với nguồn hàng giả

Bước 2: Giải bài toán vận tải đóng tương ứng bằng thuật toán thế vị

 Khi tìm phương án cực biên ban đầu thì các ô gi ả được phân phối hàng sau cùng

 Phương án tối ưu của bài toán vận tải đóng cũng là phương án tối ưu của của bài toán vận tại mở, theo phương án này thì bao giờ cũng có ít nhất một ô giả được phân phối hàng Điều đó có nghĩa là trạm phát tương ứng còn dư hàng không phát hết (hoặc trạm thu tương ứng không nhận đủ hàng theo yêu cầu)

Ví dụ 2.8 Giải bài toán vận tải sau với yêu cầu các trạm phát phải phát hết hàng và có tổng cước phí vận chuyển là nhỏ nhất:

Giải Tổng phát  900  tổng thu  1200 nên thêm trạm phát giả A4 với nguồn cung giả nhu bằng 300 đơn vị hàng Phân phối hàng theo phương pháp chi phí nhỏ nhất, các ô giả có cước phí bằng 0 và được phân phối sau cùng

Lượng kiểm tra :   ij c ij  u i v j ;  

  Ô điều chỉnh là ô (2,3), lượng điều chỉnh qmin{100;350} 100

Theo phương án này, trạm thu B4 còn thiếu 300 đơn vị hàng

2.3.2 Bài toán vận tải có hàm mục tiêu cực đại

Bài toán vận tải với f min thì c ij là cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ trạm phát A i đến trạm thu B j

Bài toán vận tải với f max thì c ij là lợi nhuận có được khi vận chuyển một đơn vị hàng từ trạm phát A i đến trạm thu B j Áp dụng thuật toán thế vị giải bài toán f max theo các bước sau :

Bước 1: Tìm phương án cực biên ban đầu: phân phối hàng theo phương pháp lợi nhuận lớn nhất (ưu tiên ô có lợi nhuận lớn nhất)

Bước 2: Hệthống thế vị tương ứng như bài toán f min

Bước 3: Tính lượng kiểm tra   ij c ij  u i v j

Nếu    ij 0 ( , )i j thì phương án là tối ưu

Nếu có   ij 0 thì chuyển sang bước 4

Chọn ô điều chỉnh ( , )r s với   rs max     ij : ij 0 

Các công việc còn lại làm như bài toán f min

Ví dụ 2.9 Giải bài toán vận tải sau sao cho các trạm thu phải nhận đủ hàng và có tổng lợi nhuận là lớn nhất :

Giải Tổng phát  tổng thu 650 Phân phối hàng theo phương pháp lợi nhuận lớn nhất Bảng 1:

Lượng kiểm tra :   ij c ij  u i v j ;  

  Ô điều chỉnh là ô (2,3), lượng điều chỉnh qmin{165;5} 5

Bài toán có phương án tối ưu là:

2.3.3 Bài toán vận tải có ô cấm a) Định nghĩa ô cấm: Trong thực tế, đôi khi ta không thể vận chuyển hàng trên một số tuyến đường vì một số lý do khách quan nào đó, chẳng hạn: đường quá xấu, đường quá xa, chi phí vận chuyển trên tuyến đường này quá lớn, đường có trạm thu phí giao thông, bão lũ, khủng bố, …

Nếu không thể vận chuyển hàng từ trạm phát A i đến trạm thu B j vì một lý do khách quan nào đó thì ô ( , )i j tương ứng được gọi là ô cấm b) Các bước giải:

Nếu f min, đặt tại các ô cấm một cước phí bằng M (M 0, lớn tùy ý) Nếu f max, đặt tại các ô cấm một lợi nhuận bằng M (M 0, lớn tùy ý)

Bước 2: Áp dụng thuật toán thế vị giải bài toán M Gọi phương án tối ưu của bài toán này là ( )x M

 Nếu trong x M( ) có các thành phần ứng với ô cấm đều bằng 0 thì bài toán ban đầu có phương án tối ưu cũng chính là x M( )

 Nếu trong x M( )có ít nhất một thành phần ứng với ô cấm khác 0 thì bài toán ban đầu không có phương án tối ưu

Ví dụ 2.10 Giải bài toán vận tải chứa ô cấm sau sao cho các trạm phát phải phát hết hàng và có t ổng cước phí là nhỏ nhất :

Giải Tổng phát  tổng thu 200 Phân phối hàng theo phương pháp min cước, các ô cấm có cước phí M (M 0, lớn tùy ý) và được phân phối sau cùng

Lượng kiểm tra :   ij c ij  u i v j

  Ô điều chỉnh là ô (1,1) ; lượng điều chỉnh qmin{50;20;25} 20

Phương án tối ưu của bài toán M là:

Phương án này không có vận chuyển hàng qua ô cấm nên đó cũng là phương án tối ưu của bài toán ban đầu; f min  f x( *) 4155

2.3.4 Bài toán vận tải có hạn chế khả năng thông qua a) Định nghĩa: Xét bài toán vận tải cân bằng thu phát , f min như các phần trước đã trình bày Vì một số lý do như: đường hẹp, đông người; cầu yếu;… nên lượng hàng vận chuyển qua các ô này bị hạn chế, nghĩa là lượng hàng x ij cần vận chuyển từ trạm phát A i đến trạm thu B j phải thỏa mãn điều kiện 0 x ij d ij Số d ij 0 được gọi là khả năng thông qua của tuyến đường ( , )i j b) Mô hình toán: Tìm ma trận x( )x ij m n  sao cho

0 ( , ) (3) m n ij ij i j n ij i j m ij j i ij ij f x c x x a x b x d i j

Nhận xét: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu Đối với bài toán vận tải có hạn chế khả năng thông qua, do điều kiện (3) nên bài toán có thể không có phương án tối ưu c) Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm phương án cực biên ban đầu (đủ m n 1 ô chọn)

Phân phối hàng theo phương pháp chi phí nhỏ nhất Ô có cước phí nhỏ nhất đầu tiên sẽ phân phối một lượng hàng tối đa bằng x ij min{ , , }a b d i j ij ,…

Sau khi phân phối hết các ô trong bảng mà x( )x ij m n  không thỏa điều kiện (1) và (2) thì lập bài toán M như sau:

Bài toán M : Thêm trạm phát giả A m  1 và trạm thu giả B n  1 với các số liệu:

  ; ở các ô giả này có cước phí bằng M (M 0, lớn tùy ý), khả năng thông qua là vô hạn; riêng tại ô (m1,n1) có cước phí bằng 0

Phân loại ô trong bảng phân phối: Ô ( , )i j trong bảng phân phối thuộc một trong 3 loại như sau:

Biểu diễn các loại ô : ô loại 1 ô loại 2 ô loại 3 c ij ( )d ij c ij ( )d ij c ij ( )d ij

Bước 2: Tìm hệ thống thế vị tương ứng phương án trong bước 1

Nếu số ô loại 1 nhỏ hơn m n 1 thì bổ sung thêm một số ô loại 2 hoặc loại 3 để làm ô loại 1 sao cho đủ m n 1 ô loại 1 và chúng (ô loại 1 và ô bổ sung) không chứa chu trình

Giải hệ phương trình: 1 0 i j ij u u v c

Bước 3: Kiển tra tính tối ưu của phương án

Tính ma trận lượng kiểm tra ( ) ij với   ij c ij  u i v j

 Hiển nhiên các ô loại 1 sẽ có   ij 0

 Nếu   ij 0 với mọi ( , )i j là ô loại 2 và   ij 0 với mọi ( , )i j là ô loại 3 thì phương án đã tối ưu

 Nếu có   ij 0 với ( , )i j là ô loại 2 hoặc   ij 0 với ( , )i j là ô loại 3 thì phương án chưa tối ưu.Chuyển sang bước 4.

 Chọn ô điều chỉnh ( , )r s với   rs min     ij : ij 0  nếu ( , ) r s là ô loại 2, hoặc

 Tìm chu trình điều chỉnh đi qua ô điều chỉnh và một số ô loại 1 Đánh dấu +, –

Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải – 2021 liên tiếp xen kẻ nhau trên các ô của chu trình Nếu ô điều chỉnh là loại 2 thì nó mang dấu + và nếu ô điều chỉnh là loại 3 thì nó mang dấu -

 Tìm lượng điều chỉnh: qmin{ , }q q 1 2 , trong đó:

1 min ij q  x : với ô ( , )i j có dấu – 

2 min ij ij : q  d x với ô ( , )i j có dấu + 

 Tìm phương án mới x    x ij m n  theo công thức: ij ij ij ij x x x q x q

,( , )i j không thuộc chu trình điều chỉnh

Trường hợp 1: Không sử dụng bài toán M trong bước 1

Thuật toán quay lại bước 2 Sau một số hữu hạn bước sẽ thu được phương án tối ưu của bài toán ban đầu

Trường hợp 2: Sử dụng bài toán M trong bước 1

Sau bước 4, nếu có x m  1, 1 n   thì ta bỏ hàng giả và cột giả, thuật toán quay lại bước 2

Sau bước 4, nếu có x m  1, 1 n   thì ta giữ nguyên hàng giả và cột giả, thuật toán quay lại bước 2 Tiếp tục quá trình, nếu tới tận phương án tối ưu của bài toán M mà

0 x m  1, 1 n   thì bài toán đã cho không có phương án tối ưu

Ví dụ 2.11 Giải bài toán vận tải f min sao cho các trạm phát đều phát hết hàng, có ma trận phát ( )a ij , ma trận thu ( )b ij , ma trận cước phí ( )c ij và ma trận khả năng thông qua ( )d ij lần lượt như sau:

Giải Ta có:  a i  b j 160 Phân phối hàng theo phương pháp chi phí nhỏ nhất, có bảng 1:

Số ô loại 1 bằng 5  m n 1 Đây là pacb không suy biến

Có hai ô loại 3 là : (1,2) và (2,1)

Chọn ô điều chỉnh (1,2) , lượng điều chỉnh: qmin{ , } 25q q 1 2 

Có   ij 0 với ( , )i j là ô loại 1 ; ij 0

  với ( , )i j là ô loại 2; và   ij 0 với ( , )i j là ô loại 3

Vậy bài toán có phương án tối ưu là :

Ví dụ 2.12 Giải bài toán vận tải f min sao cho các trạm phát đều phát hết hàng, có ma trận phát, ma trận thu, ma trận cước phí và ma trận khả năng thông qua lần lượt như sau:

Phân phối hàng theo phương pháp chi phí nhỏ nhất:

Trong bảng 1, có dòng 2 và cột 3 không thỏa điều kiện (1) và điều kiện (2) nên thêm trạm phát giả A4 và trạm thu giả B4 với số liệu a 4 b 4   120 115 5  Ta thu được bài toán M

Số ô loại 1 bằng 6   m n 1 7, bổ sung ô (1,1) làm ô loại 1

 , với ( , )i j là ô loại 1 Tính lượng kiểm tra :   ij c ij  u i v j

Chọn ô điều chỉnh (4,4), lượng điều chỉnh: qmin{ , } 5q q 1 2 

Trong phương án mới, có x 44   5 ở ô (m1,n 1) (4,4) nên bỏ hàng giả và cột giả Phương án thu được làm phương án xuất phát cho bài toán ban đầu, ta có bảng 2:

Có   ij 0 với ( , )i j là ô loại 1; ij 0

  với ( , )i j là ô loại 2; và ij 0

Vậy bài toán có phương án tối ưu là :

Bài toán điều tàu rỗng

Trong một kỳ kế hoạch của một công ty vận tải cần vận chuyển một số lượng hàng hóa đi qua N cảng, trong đó có m cảng thừa phương tiện và n cảng thiếu phương tiện sao cho m n N (trong trường hơp m n N thì sẽ có N m n cảng đủ phương tiện) Hãy lập sơ đồ vận hành (kế hoạch vận chuyển hàng hóa) sao cho thỏa mãn yêu cầu về số lượng hàng hóa cần vận chuyển và tổng số (tấn phương tiện chạy không hàng)(quãng đường phương tiện chạy không hàng) là nhỏ nhất

 Cảng thừa phương tiện là cảng mà tổng số tấn phương tiện đến lớn hơn tổng số tấn phương tiện đi

 Cảng thiếu phương tiện là cảng mà tổng số tấn phương tiện đến nhỏ hơn tổng số tấn phương tiện đi

 Cảng đủ phương tiện là cảng mà tổng số tấn phương tiện đến bằng tổng số tấn phương tiện đi

1000 tấn 1300 tấn Cảng A thiếu 300 tấn phương tiện

Cảng B thừa 200 tấn phương tiện

Ký hiệu A i i ( 1, )m là các cảng thừa phương tiện, B j (j 1, )n là các cảng thiếu phương tiện, và gọi:

 l ij là khoảng cách từ cảng A i đến cảng B j

 a i là số tấn phương tiện thừa của cảng A i

 b j là số tấn phương tiện thiếu của cảng B j

 x ij là số tấn phương tiện chạy không hàng từ A i đến B j

Mô hình toán: Tìm ma trận x   x ij m n

( 1, ) 0 m n ij ij i j n ij i j m ij j i ij f x l x x a i m x b j n x

 (*) Đây là bài toán tối ưu trong kinh tế có dạng bài toán vận tải cân bằng thu phát với hàm mục tiêu có tính chất min Trong đó các cảng thừa, cảng thiếu phương tiện tương ứng được coi là các trạm phát, trạm thu và khoảng cách được coi là cước phí

Bước 1: Xác định cảng thừa, thiếu phương tiện Xác định các số liệu a b i , j

Bước 2: Giải bài toán vận tải đóng với mô hình (*) Cần chú ý các cảng đủ phương tiện sẽ không tham gia vào bài toán tối ưu này

Bước 3: Lập sơ đồ vận hành

Nếu từ A đến B phương tiện chạy có hàng thì biểu diễn

Nếu từ A đến B phương tiện chạy không hàng thì biểu diễn

Ví dụ 2.14 Một công ty vận tải trong kỳ kế hoạch có luồng hàng như sau:

Cảng đi Cảng đến Khối lượng cần

Vận chuyển (tấn) Khoảng cách giữa hai cảng (hải lý)

Hãy lập sơ đồ vận hành tối ưu cho kỳ kế hoạch của công ty

Bước 1: Lập bảng sau để xác định cảng thừa, thiếu phương tiện

Cảng Tổng đến Tổng đi Lượng thừa Lượng thiếu

Bước 2: Giải bài toán vận tải f min tương ứng

Ta có: 20 90 45 25 40 110     Phân phối hàng theo phương pháp khoảng cách ngắn nhất

Lượng kiểm tra :   ij c ij  u i v j ;   290 130 0

  Ô điều chỉnh (1,1) ; lượng điều chỉnh q20

Vậy phương án trong bảng 2 là phương án tối ưu

Bước 3: Lập sơ đồ vận hành

TẬP CHƯƠNG 2

Sơ đồ mạng PERT

Dự án (project) là một tập hợp các hoạt động (activity) liên quan với nhau và phải được thực hiện theo một thứ tự nào đó cho đến khi hoàn thành toàn bộ các hoạt động Hoạt động được hiểu như là một việc đòi hỏi thời gian và nguyên liệu để hoàn thành

Trước đây để điều hành dự án, người ta thường dùng biểu đồ Gantt (Gantt bar chart), là một đồ thị gồm các đường kẻ ngang biểu thị điểm khởi công và kết thúc hoạt động Nhược điểm của biểu đồ là không xác định được quan hệ giữa các hoạt động, nên không áp dụng được cho các dự án lớn Các dự án lớn đòi hỏi đặt kế hoạch

(planning), điều hành thực hiện (scheduling) và kiểm tra (controlling) một cách hệ thống và hiệu quả, thậm chí phải tối ưu hóa hiệu quả (về thời gian và tiết kiệm nguyên liệu)

Vào những năm 1956 – 1958, hai phương pháp kế hoạch, điều hoành và kiểm tra dự án ra đời:

 Phương pháp đường găng (phương pháp tới hạn – Critical Path Method, viết tắt là CPM) được E.I du Pont de Nemous và công ty xây dựng của ông ta đưa ra

 Kỹ thuật xem xét và đánh giá dự án (Project Evaluation and Review Technique, viết tắt là PERT ) là kết quả nghiên cứu của một công ty tư vấn theo đặt hàng của hải quân Mỹ, dùng để điều hành các hoạt động nghiên cứu và phát triển chương trình tên lửa đối cực

Ngày nay, hai phương pháp này được coi là một, gọi là Phương pháp điều hành dự án (Project Scheduling Method) hoặc Phương pháp điều hành dự án PERT –

CPM, hoặc Phương pháp sơ đồ mạng lưới Nó được dùng để thực hiện rất nhiều kiểu dự án, như là: xây dựng, lập trình máy tính, sản xuất phim, vận động tranh cử chính trị, các cuộc phẫu thuật phức tạp,…

Phương pháp điều hành dự án PERT – CPM gồm ba bước (ba pha): kế hoạch, điều hành và kiểm tra

Pha kế hoạch: lập một sơ đồ mạng lưới, tương tự như một đồ thị có hướng Pha này tách dự án thành nhiều hoạt động riêng và định thời gian hoàn thành cho chúng Trong mạng, mỗi cung có hướng biểu diễn một hoạt động và cả sơ đồ mạng biểu thị mối quan hệ giữa các hoạt động Mỗi nút biểu thị một sự kiện (event), đánh dấu hoàn thành một số hoạt động là các cung đi vào nút, và bắt đầu các hoạt động ứng với các cung ra khỏi nút

Pha điều hành: có nhiệm vụ xây dựng biểu đồ thời gian, chỉ rõ thời điểm bắt đầu

Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải – 2021 và kết thúc của mỗi hoạt động và mối quan hệ giữa các hoạt động Điều quan trọng là phải tính chính xác các hoạt động tới hạn, tức là găng (critical), cần chú ý đặc biệt khi thực hiện, để toàn bộ dự án được hoàn thành đúng hạn

Pha kiểm tra: bao gồm việc sử dụng sơ đồ mạng lưới, và biểu đồ thời gian để theo dõi và báo cáo định kỳ tiến triển của dự án Nếu cần thì phải phân tích lại và xác định sơ đồ mới cho phần dự án còn lại

3.2 Các khái niệm cơ bản về đồ thị

 Đồ thị có hướng là bộ G X E( , ) hoặc ngắn là ( , )X E , trong đó :

X  x x x được gọi là tập các đỉnh

E là tập các cung có dạng: ( , )x x i j kể đến thứ tự của nó, nghĩa là ( , ) ( , )x x i j  x x j i với x x i , j X

 Biểu diễn hình học cung a( , )x x i j : x i a x j

 x i là đỉnh đầu, x j là đỉnh cuối của cung a,

 x i là đỉnh trước của x j và x j là đỉnh sau của x i Tập hợp các đỉnh trước và đỉnh sau của đỉnh x i lần lượt được ký hiệu là   1 ( )x i và ( ) x i

 Cung a được gọi là kề với các đỉnh x i và x j ,

 Hai đỉnh x i và x j được gọi là kề nhau

 Nếu x i  x j , nghĩa là đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau thì cung a( , )x x i j được gọi là khuyên

 Hai cung a và b được gọi là kề nhau nếu chúng có một đỉnh chung, và gọi là song song nếu chúng có hai đỉnh chung

 Dãy  [ , ,y 1 y m ],y k X được gọi là một đường đi từ đỉnh y 1 đến đỉnh y m nếu

 Một đường đi mà có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau được gọi là một chu trình

 Đồ thị vô hướng là bộ ( , )X E trong đó :

X  x x x được gọi là tập các đỉn h

E là tập các cạnh có dạng: ( , )x x i j không kể đến thứ tự của nó, nghĩa là ( , ) ( , )x x i j  x x j i với x x i , j X

 Biểu diễn hình học cạnh a( , )x x i j : x i a x j

 Một đồ thị vừa có cả cung và cạnh được gọi là đồ thị hỗn hợp

Lưu ý: Hai khái niệm cạnh và cung đôi khi chúng ta gọi chung là cung nếu không cần thiết phân biệt chúng

Hình 3.1 Đây là đồ thị có hướng

Hình 3.2 Đây là đồ thị vô hướng Chu trình: [ , , , , , , ]x x x x x x x 1 2 4 6 5 3 1

3.2.3 Một số dạng đồ thị đặc biệt

 Đồ thị có hướng ( , )X E được gọi là đồ thị đơn nếu E không có khuyên và không có cung song song cùng chiều

 Đồ thị ( , )X E (có hướng hoặc vô hướng) được gọi là đồ thị hữu hạn nếu X và E là các tập hữu hạn

 Đồ thị vô hướng ( , )X E được gọi là liên thông nếu ứng với mỗi cặp đỉnh i , j x x X luôn tồn tại ít nhất một đường đi từ x i đến x j Đồ thị có hướng được gọi là liên thông nếu đồ thị vô hướng tương ứng với nó (nhận được từ đồ thị có hướng nhưng không xét chiều trên mỗi cung) là liên thông.

 Đồ thị ( , )X E (có hướng, vô hướng hoặc hỗn hợp) được gọi là đồ thị có trọng số nếu mỗi cung ( , )x x i j của nó được gán một số không âm w ij w x x( , ) i j nào đó

Trong các bài toán thực tế, trọng số có thể là cước phí vận chuyển, khoảng cách, thời gian di chuyển, tải trọng tối đa trên mỗi cung đường,…

1) Đồ thị hình 3.1 là hữu hạn, liên thông, không phải đồ thị đơn (vì chúng có cung song song cùng chiều)

2) Đồ thị hình 3.2 là hữu hạn, liên thông, đơn

3) Hệ thống mạng lưới giao thông đường bộ tại TP HCM là một đồ thị hỗn hợp, hữu hạn, liên thông, có trọng số Trong đó: tập các đỉnh là các giao lộ (ngã 3, ngã 4,…); mỗi đoạn đường (nằm giữa hai giao lộ liên tiếp) là một cung hoặc cạnh và độ dài của nó là trọng số

3.3.1 Các định nghĩa a) Sơ đồ mạng PERT: là một đồ thị có hướng, đơn, liên thông, không chứa chu trình, có duy nhất một đỉnh mà không có cung đi vào (gọi là đỉnh đầu hay đỉnh khởi công) và một đỉnh mà không có cung đi ra (gọi là đỉnh cuối hay đỉnh kết thúc)

 Mỗi đỉnh biểu diễn một sự kiện

 Mỗi cung biểu diễn một công việc và thời gian thực hiện công việc đó

 Sơ đồ mạng PERT mô tả các yếu tố logic giữa sự kiện, công việc, thời gian thực hiện công việc của một dự án (một quá trình sản suất, một dự án đầu tư hay quá trình thi công một công trình)

Ví dụ 3.4 Đồ thị trong hình 3.3 sau là một sơ đồ mạng PERT Đây là đồ thị đơn, có hướng, hữu hạn, liên thông , không có chu trình; đỉnh 1 không có cung đi vào và đỉnh 6 không có cung đi ra a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9

Hình 3.3 b) Công việc: là hoạt động sử dụng thời gian, nhân lực và tài nguyên

Công việc ( , )i j được biểu diễn bởi cung

Thời gian thực hiện công việc

Quy hoạch động

Bài toán Quy hoạch tuyến tính có các hạn chế là hàm mục tiêu và các ràng buộc phải là tuyến tính; tập các phương án phải là tập lồi trong không gian n Để khắc phục các hạn chế đó, năm 1957 nhà khoa học Richad Bellman đã đưa ra phương pháp gọi là Quy hoạch động (qhđ) Khi gặp bài toán lớn mang tính tuần tự theo không gian hay theo thời gian, bài toán thường được chia thành nhiều giai đoạn, ta cần có quyết định cho mỗi một giai đoạn và từ đó cho ra quyết định cho cả quá trình Thường thì các giai đoạn lại có các vấn đề cần giải quyết giống nhau Quy hoạch động là cách giải bài toán lớn bằng cách phân ra các bài toán nhỏ có chung đặc điểm để giải.

Quy hoạch động là một trong những phương pháp tối ưu hiện đại, có phạm vi ứng dụng khá rộng rãi như: các quá trình kỹ thuật công nghiệp, tổ chức sản xuất, kế hoạch hóa kinh tế, vật lý, quân sự,… Đối tượng của quy hoạch động là các quá trình tối ưu nhiều bước, đặc biệt là các quá trình phát triển theo thời gian

4.1 Những nội dung cơ bản

4.1.1 Bài toán dẫn (bài toán phân phối sản phẩm)

Một doanh nghiệp cần bán 80 đơn vị sản phẩm A ra thị trường qua 4 giai đoạn Biết rằng nếu bán t đơn vị sản phẩm A trong giai đoạn j thì lợi nhuận đạt được sẽ là j ( )

R t được cho trong bảng sau

Hãy tìm kế hoạch bán hết 80 đơn vị sản phẩm A sao cho tổng lợi nhuận là lớn nhất Biết rằng số đơn vị sản phâm A bán ra trong mỗi giai đoạn là bội số của 20 t R t 1 ( ) R t 2 ( ) R t 3 ( ) R t 4 ( )

80 65 75 68 70 a) Phân tích và lập mô hình toán

Gọi x j là số đơn vị sản phẩm A cần bán ra trong giai đoạn j j( 1,2,3,4)

 Tổng số sản phẩm A bán ra trong 4 giai đoạn là 4

  Bài toán yêu cầu phải bán

Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải – 2021 hết sản phẩm A nên ta có: 4

 Mô hình học: tìm vector ( , , , )x x x x 1 2 3 4 sao cho

 (1) (bài toán ban đầu) b) Họ bài toán tổng quát

Khi đã bán x 1 sản phẩm A trong giai đoạn 1 thì số sản phẩm còn lại cần phải bán hết trong ba giai đoạn sau là (80x 1 ) sản phẩm Bài toán sau cũng cần giải quyết như bài toán ban đầu Như vậy sau mỗi giai đoạn ta thu được bài toán tối ưu tương tự nhau và chúng được lồng vào họ bài toán tổng quát với hai tham số k, Trong đó {1,2,3,4} k là số giai đoạn,  là số sản phẩm A cần bán ra trong k giai đoạn này, thỏa {0,20,40,60,80}

Mô hình toán của họ bài toán này là: tìm ( , , )x 1 x k sao cho

 (2) (họ bài toán tổng quát)

Nhận xét: Bài toán ban đầu (1) là một trường hợp riêng của bài toán (2) khi k 4 và

4.1.2 Các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động

Bài toán qhđ được chia làm nhiều giai đoạn (giai đoạn có thể là thời gian hoặc không gian, nhưng phải liên tục và nối tiếp nhau), mà trong đó từng giai đoạn ta chỉ tối ưu hóa một bước Tuy nhiên khi quy hoạch một quá trình nhiều giai đoạn, ở mỗi bước ta phải lựa chọn điều khiển trên cơ sở không chỉ xuất phát từ lợi ích nhỏ hẹp của chính bước đó mà từ lợi ích chung của toàn bộ quá trình Từ ý tưởng trên, quy hoạch động có những nguyên tắc cơ bản sau:

Nguyên tắc 1: Nguyên tắc đánh số các giai đoạn từ dưới lên Đối với giai đoạn cuối ta có thể làm cho nó tốt nhất mà không lo hậu quả Khi đó giai đoạn này trở nên ổn định và ta có thể xét giai đoạn trước đó, và cứ tiếp tục cho tới khi tìm được giai đoạn đầu của quá trình

Nguyên tắc 2: Thông số hóa bài toán Ở giai đoạn cuối ta chưa biết kết quả nên phải đặt giả thiết cho giai đoạn này, ứng với giả thiết đó ta tìm điều khiển tối ưu cho giai đoạn cuối cùng Các giai đoạn tiếp theo cũng tương tự Do đó điều khiển tối ưu sẽ phụ thuộc vào các thông số đặc trưng cho kết quả ở bước trước

Nguyên tắc 3: Nguyên tắc lồng

Lồng bài toán ban đầu vào một họ bài toán tổng quát hơn và do đó bài toán ban đầu là một trường hợp riêng của họ bài toán này

Họ bài toán nhờ có các thông số nên giải được Ta sẽ thử kết quả của bài toán với các thông số khác nhau cho tới lúc được thông số ứng với bài toán xuất phát thì dừng lại

Nguyên tắc 4: Nguyên tắc tối ưu (Bellman)

Dáng điệu tối ưu có tính chất là: dù trạng thái ban đầu và điều khiển ban đầu có dạng như thế nào thì điều khiển tiếp theo cũng là tối ưu đối với trạng thái thu được trong kết quả tác động những điều khiển ban đầu

Việc áp dụng nguyên tắc tối ưu và nguyên tắc lồng dẫn đến các phương trình hàm truy toán đối với giá trị tối ưu Nhờ những phương trình hàm thu được, cho phép chúng ta lần lượt lập ra các điều kiển tối ưu cho bài toán xuất phát Điều đáng quan tâm ở đây là bài toán tính toán điều khiển cả quá trình được chia ra thành một dãy các bài toán điều khiển đơn giản hơn cho các giai đoạn của quá trình

4.1.3 Quá trình nhiều giai đoạn

Xét một quá trình qhđ gồm n giai đoạn và đánh số bắt đầu từ giai đoạn cuối Sơ đồ tổng quát của qhđ có dạng:

Giai đoạn thứ k Giai đoạn cuối

Hình 4.1 Một quá trình qhđ gồm n giai đoạn Trong giai đoạn thứ k k( 1,2, , )n ta có:

 x k là biến điều khiển hay biến quyết định

 S k là trạng thái ban đầu của giai đoạn k Khi giai đoạn k kết thúc ta thu được trạng thái cuối S k  1 , đây cũng là trạng thái đầu cho giai đoạn k1 Trạng thái

S k  sẽ phụ thuộc vào trạng thái ban đầu S k và biến điều khiển x k , nghĩa là:

S  T S x (là một hàm số của hai biến S x k , k )

 R k R k  S x k , k  là hiệu quả (lợi nhuận, chi phí, khoảng cách,…)

 Hàm mục tiêu của cả quá trình là:  

Ví dụ 4.1 Xét lại bài toán dẫn trong mục 4.1.1

Xét giai đoạn đầu, ta có bảng sau:

Số sp A hiện có Biến điều khiển:

Số sp A bán ra Trạng thái cuối:

Số sp A còn lại Giá trị mục tiêu:

4.1.4 Xây dựng phương trình hàm

Xét một quá trình qhđ gồm n giai đoạn có sơ đồ và các ký hiệu trong mục 4.1.3 Gọi f S k ( ) k là giá trị mục tiêu tối ưu của k giai đoạn (từ giai đoạn k đến giai đoạn cuối), nó phụ thuộc vào trạng thái ban đầu S k

Giả sử đã có f k  1 (S k  1 ), khi đó giá trị mục tiêu của k giai đoạn sẽ là:

Tùy theo bài toán tối ưu là cực tiểu (chẳng hạn: chi phí) hoặc cực đại (chẳng hạn: lợi nhuận) mà ta có phương trình:

Các phương trình (4) và (5) được gọi là phương trình hàm của bài toán quy hoạch động

Ví dụ 4.2 Xét lại bài toán dẫn trong mục 4.1.1

Bài toán được đánh số theo quy hoạch động và có sơ đồ như hình vẽ sau: Đánh số giai đoạn của qhđ

Giai đoạn đầu Giai đoạn cuối

Giai đoạn thứ 2 Giai đoạn thứ 3 Lợi nhuận R 1 Lợi nhuận R 2 Lợi nhuận R 3 Lợi nhuận R 4 Ẩn số x 1 Ẩn số x 2 Ẩn số x 3 Ẩn số x 4

Hình 4.2 Mô hình bài toán dưới dạng quy hoạch động

Gọi f n ( ) là tổng lợi nhuận lớn nhất khi bán  sản phẩm A kể từ giai đoạn n đến giai đoạn cuối (với n1,2,3,4) (Ở đây, giai đoạn n được hiểu theo nguyên tắc đánh số của qhđ: n1 là giai đoạn cuối; n4 là giai đoạn đầu)

Ta đặt: f 0 (0) 0 (kết thúc quá trình bán sản phẩm A) Đây chính là thông số hóa của bài toán đối với giai đoạn cuối

Giá trị f 4 (80) chính là tổng lợi nhuận lớn nhất cần tìm của bài toán (1)

Tiêu đề	Tối ưu hóa trong Giao thông Vận tải
Tác giả	Ths. Huỳnh Văn Tùng, Ths. Trần Minh Quang, Ths. Trần Ngọc Hậu, Ths. Lê Thị Hồng Vân
Trường học	Trường ĐH GTVT TP. Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán kinh tế
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2021
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	124
Dung lượng	1,54 MB