HỒ CHÍ MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG PHÉP BIẾN ĐỔI COPULA VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUẢN TRỊ RỦI RO Mã số: CT-1906-121 Chủ nhiệm đề tài: LÊ PHƯƠNG TP... Một sốứng dụng cụ thể của co
Copula và định lý Sklar
Khái niệm Copula được Abe Sklar đưa vào xác suất thống kê từ năm 1959. Nhưng trong khoảng hơn 2 thập kỉ trở lại đây, do nhu cầu quản lí và đo lường rủi ro tài chính lí thuyết copula mới được phát triển mạnh mẽ.
Mặc dù các loại copula n-biến vớin ≥ 2 được định nghĩa và nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem các sách chuyên khảo [2, 7]), đề tài này chỉ tập trung nghiên cứu về copula hai biến Vì vậy, chúng ta chỉ đưa ra định nghĩa cho copula hai biến. Định nghĩa 1.1 Copula (hai biến) là hàm số C : [0,1] 2 →Rthỏa mãn các tính chất
(iii) (2-tăng) với mọi x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈[0,1] với x 1 ≤x 2 và y 1 ≤y 2 ,
Nhận xét 1 Chúng ta có thể suy ra từ Định nghĩa 1.1 rằngC : [0,1] 2 →[0,1] và C là không giảm theo mỗi biến Thật vậy, với mọi x 1 , x 2 , y ∈ [0,1] thỏa mãn x 1 ≤x 2 , ta có
Vì vậy C(x, y) là không giảm theo biến x Tương tự, C(x, y) là không giảm theo biến y Mặt khác, với mọi x, y ∈[0,1], ta có
C(x, y)≤C(1, x) =x≤1. Điều đó có nghĩa là C : [0,1] 2 →[0,1].
Tầm quan trọng của copula trong lĩnh vực xác suất thống kê được đề cập trong định lý Sklar Trong phạm vi đề tài, chúng ta chỉ phát biểu một trường hợp riêng của định lý này cho các copula hai biến. Định lí 1.1 (Định lý Sklar [2, 7]) Cho H(x, y)là phân phối hỗn hợp với các phân phối biên F 1 (x), F 2 (y) Khi đó tồn tại một copula C sao cho
H(x, y) =C(F 1 (x), F 2 (y)) với mọi x, y ∈R∪ {±∞} Nếu F 1 , F 2 là liên tục, thì copula C tương ứng với
H là duy nhất và được xác định bởi
Copula được biết đến nhiều nhất là copula độc lập được cho bởi công thức Π(x, y) =xy với mọix, y ∈[0,1]. Đây là copula được sử dụng để mô tả sự độc lập của các biến ngẫu nhiên. Một số ví dụ khác về copula là chặn dưới Fréchet-Hoeffding
W(x, y) := (x+y−1) + và chặn trên Fréchet-Hoeffding
M(x, y) := x∧y, với x∧y = min{x, y} và x + = max{x,0} Hình 1.1 minh họa dạng đồ thị của ba loại copula này.
Các chặn Fréchet-Hoeffding đóng vai trò quan trọng trong tính sắp thứ tự (một phần) trên tập hợp tất cả các copula Điều này được thể hiện trong định lý sau.
Hình 1.1: Ba loại copula cơ bản. Định lí 1.2 (xem Định lý 2.2.3 trong [7]) Với mọi copula C và mọi x, y ∈ [0,1], ta có
Trong thống kê, chúng ta quan tâm đến copula thực nghiệm được hình thành từ mẫu quan sát như sau: Định nghĩa 1.2 Copula thực nghiệm Cˆ được định nghĩa bởi
2) ], trong đó χ A là hàm đặc trưng của tập hợp A, x i,t(j) (i = 1,2, j = 1,2) là thống kê thứ t j của biến thứ i và t 1 , t 2 ∈ {1, , T} Do đó, copula thực nghiệm là tỷ lệ các phần tử từ mẫu thỏa mãn x 1,t ≤x 1(t 1 ) và x 2,t ≤x 2(t 2 )
Cho {C k }1≤k≤K là một họ các copula Một tiêu chuẩn để lựa chọn được copula tốt cho nghiên cứu thực nghiệm là lựa chọn copula C k sao cho khoảng cách bậc hai từ C k đến copula thực nghiệm Cˆ là nhỏ nhất trong miền mà chúng ta quan tâm, trong đó khoảng cách bậc hai giữa hai copula được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.3 Khoảng cách bậc hai giữa hai copulaC 1 và C 2 trong một tập hợp (hữu hạn) điểm A ={a 1 , a 2 , , am} ⊂R 2 được xác định bởi d(C 1 , C 2 ) vu ut
Phép biến đổi copula
Để tìm được copula phù hợp với dữ liệu thực nghiệm cho trước đòi hỏi người làm nghiên cứu phải có hiểu biết về nhiều loại copula khác nhau Vì vậy các phương pháp tạo ra các copula mới luôn mở rộng khả năng ứng dụng của chúng trong nghiên cứu thực nghiệm.
Nhiều phương pháp khác nhau đã được đề xuất để xây dựng nên các copula mới Ví dụ, copula Archimede thông qua hàm sinh cộng tính (additive generators), copula elliptical qua phương pháp nghịch đảo (inversion method) và copula Marshall-Olkin qua hàm sống sót (survival functions) Các phương pháp này được đề cập đến trong các cuốn sách kinh điển về copula của Nelsen [7] và Durante và Sempi [2].
Một phương pháp nổi bật là thông qua việc biến đổi các copula đã biết để tạo nên các copula mới Ví dụ phương pháp tổng lồi (convex sums), tổng thứ bậc (ordinal sums) và chắp vá (patchwork) Vào năm 2015, Kolesárová và cộng sự [4] đã tìm kiếm tất cả các đa thức bậc hai P sao cho
(x, y)7→P(x, y, C(x, y)) là một copula với mọi copula C Sau đó, Wisadwongsa và Tasena [12] mở rộng kết quả này bằng cách xác định tất cả các đa thức bậc hai P thỏa mãn
(x, y)7→P(x, y, C 1 (x, y), C 2 (x, y)) là một copula khi C 1 , C 2 là các copula Từ kết quả chính trong bài báo [12], chúng ta có hệ quả sau:
Mệnh đề 1.3 (Wisadwongsa và Tasena [12]) ChoP là một đa thức hai biến bậc hai Hàm số
(x, y)7→P(C 1 (x, y), C 2 (x, y)) là một copula với mọi copula C 1 và C 2 khi và chỉ khi P có dạng
Gần đây, Tasena [11] tiến thêm một bước nữa trong việc xác định điều kiện của các đa thức P sao cho
(x, y)7→P(x, y, C 1 (x, y), , C n (x, y)) là một copula khi C 1 , C 2 , , C n là các copula bất kỳ (n ≥2) Tasena cũng mô tả cụ thể các phép biến đổi như vậy trong lớp các đa thức nhiều biến bậc hai.
Theo một hướng tiếp cận khác, một lớp các phép biến đổi copula hai biến được tìm thấy bởi Manstaviˇcius và Bagdonas [6] và Girard [3] Cụ thể, các tác giả này đã tìm được điều kiện cần và đủ cho hàm số f : [0,1]→R + sao cho
(x, y)7→C(x, y)f(1−x−y+C(x, y)) là một copula với mọi copula hai biến C Sau đó, Saminger-Platz và cộng sự [10] mở rộng kết quả này bằng cách tìm kiếm tất cả các hàm sốf : [0,1]→R + và các copula hai biến D sao cho
(x, y)7→D(C(x, y), f(C ∗ (x, y))) là một copula với mọi copula hai biến C, trong đóC ∗ (x, y) =x+y−C(x, y).
Mục tiêu và nội dung nghiên cứu
Tiếp nối nghiên cứu về phép biến đổi copula của các tác giả khác, trong đề tài này chúng tôi sẽ tìm hiểu về các phép biến đổi copula có dạng
(x, y)7→f(C 1 (x, y), C 2 (x, y)) trong đó C 1 , C 2 được giới hạn trong ba loại copula cơ bản: copula độc lập, chặn dưới Fréchet-Hoeffding và chặn trên Fréchet-Hoeffding Một số ví dụ về các phép biển đổi như vậy bao gồm tổng lồi và đa thức bậc hai P được mô tả trong Mệnh đề 1.3 Hiển nhiên, bằng cách giới hạn C 1 và C 2 trong số ba copula cơ bản, chúng ta có thể giảm điều kiện trênf so với Mệnh đề 1.3. Điều này giúp chúng ta có thể linh hoạt hơn trong việc lựa chọn các hàm f và vì thế ta có thể tạo ra nhiều loại copula hơn Chúng ta cũng sẽ xác định tất cả các phép biến đổi như vậy trong trường hợp f thuộc lớp các đa thức hai biến bậc hai Nội dung và các chứng minh sẽ được trình bày chi tiết trong Chương 2.
Xuyên suốt đề tài này chúng ta chỉ nghiên cứu về copula hai biến mà chúng ta sẽ gọi tắt là copula cho ngắn gọn.
Phép biến đổi copula dạng hàm hợp
Trong chương này chúng ta phát biểu và chứng minh các kết quả nghiên cứu chính của đề tài Mục tiêu của nghiên cứu là tìm điều kiện cần và đủ cho một hàm hai biến f sao cho hàm hợp của nó với hai trong ba loại copula cơ bản M, W và Π là một copula mới Các tiêu chuẩn này sẽ được sử dụng để xác định tất cả f ở dạng đa thức hai biến bậc hai Các kết quả nghiên cứu trong chương này đã được đăng tải trong bài báo [5].
Hàm hợp của M và W
Chúng ta bắt đầu với phép biến đổi copula cho chặn trên Fréchet-Hoeffding
M và chặn dưới Fréchet-Hoeffding W. Định lí 2.1 Cho f : [0,1] 2 →R Hàm số
C(x, y) := f(M(x, y), W(x, y)) là một copula khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn
(iii) với mọi x, y ∈[0,1] thỏa x≤y, hàm số t7→f(y,(y+t) + )−f(x,(x+t) + ) không giảm trong [y−1,0].
Nhận xét 2 Vì M(x, y)≥W(x, y) với mọi x, y ∈[0,1], giá trị củaf có thể xác định tùy ý trên tập hợp {(x, y) ∈ [0,1] 2 | x < y} Do đó, các điều kiện (i)−(iii) trong Định lý 2.1 chỉ quan tâm đến giá trị của f trong tập hợp {(x, y)∈[0,1] 2 |x≥y}.
Chứng minh Định lý 2.1 Ta có
Bước 1.Giả sử C là một copula.
- Với mọi x∈[0,1] và y= 1, ta có f(x, x) =C(x,1) =x.
- Với mọi x, y ∈[0,1] thỏa x≤y, ta có f(x,(2x−1) + ) +f(y,(2y−1) + )−2f(x,(x+y−1) + )
- Với mọi x, y ∈[0,1] và t 1 , t 2 ∈[y−1,0]thỏa x≤y và t 1 ≤t 2 , ta có
Do đóf thỏa mãn (i)−(iii).
Bước 2.Giả sử f thỏa mãn (i)−(iii) Chúng ta sẽ chứng minh rằng C là một copula.
Ta cũng có C(x,1) = C(1, x) =f(x, x) =x với mọix∈[0,1].
Chúng ta chỉ còn phải chứng minh rằngClà2-tăng, nghĩa làV C ([x 1 , x 2 ]× [y 1 , y 2 ])≥0với mọix 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈[0,1]thỏax 1 ≤x 2 và y 1 ≤y 2 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x 1 ≤y 1
Chúng ta xét ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: x 1 ≤x 2 ≤y 1 ≤y 2 Trong trường hợp này,
Trường hợp 2: x 1 ≤y 1 ≤x 2 ≤y 2 Trong trường hợp này,
Trường hợp 3: x 1 ≤y 1 ≤y 2 ≤x 2 Trong trường hợp này,
Vì vậyC là2-tăng Các lập luận trên cho thấy rằngC là một copula.
Hàm hợp của Π và W
Trong phần này chúng ta tìm tiêu chuẩn cho phép biến đổi copula cho copula độc lập Π và chặn dưới Fréchet-Hoeffding W. Định lí 2.2 Cho f : [0,1] 2 →R Hàm số
C(x, y) :=f(Π(x, y), W(x, y)) là một copula khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn
(ii) với mọi x, y ∈[0,1] thỏa x≤y, hàm số t7→f(yt,(y+t−1) + )−f(xt,(x+t−1) + ) không giảm trong [0,1].
Chứng minh Theo định nghĩa,
Bước 1.Giả sử C là một copula.
- Với mọi x∈[0,1] và y= 1, ta có f(x, x) =C(x,1) =x.
- Với mọi x, y, t 1 , t 2 ∈[0,1]thỏa x≤y và t 1 ≤t 2 , ta có
Do đóf thỏa mãn (i) và (ii).
Bước 2 Giả sử rằng f thỏa mãn (i) và (ii) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng C là một copula.
Bây giờ lấy x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ [0,1] bất kỳ thỏa x 1 ≤ x 2 và y 1 ≤ y 2 Do giả thiết (ii), ta có
Vậy C là 2-tăng Các lập luận trên cho thấy C là một copula.
Hàm hợp của M và Π
Trong phần này, chúng ta đưa ra một tiêu chuẩn đơn giản cho phép biến đổi copula cho chặn trên Fréchet-Hoeffding M và copula độc lậpΠ. Định lí 2.3 Cho f : [0,1] 2 →R Hàm số
C(x, y) :=f(M(x, y),Π(x, y)) là một copula khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn
(ii) f(x, x 2 ) +f(y, y 2 )≥2f(x, xy) với mọi x, y ∈[0,1] thỏa x≤y,
(iii) với mọi x, y ∈[0,1] thỏa x≤y, hàm số t7→f(y, ty)−f(x, tx) không giảm trong [y,1].
Bước 1.Giả sử C là một copula.
- Với mọi x∈[0,1] và y= 1, ta có f(x, x) =C(x,1) =x.
- Với mọi x, y ∈[0,1] thỏa x≤y, ta có f(x, x 2 ) +f(y, y 2 )−2f(x, xy)
- Với mọi x, y, t 1 , t 2 ∈[0,1]thỏa x≤y≤t 1 ≤t 2 , ta có
Bước 2 Giả sử rằng f thỏa mãn (i)−(iii) Chúng ta cần chứng minh rằng C là một copula.
Trước hết ta cóC(x,0) =C(0, x) =f(0,0) = 0 với mọix∈[0,1].
Ta cũng có C(x,1) = C(1, x) =f(x, x) =x với mọix∈[0,1].
Do đó chỉ cần chỉ ra rằng C là 2-tăng, nghĩa là V C ([x 1 , x 2 ]×[y 1 , y 2 ])≥0 với mọi x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ [0,1] thỏa x 1 ≤ x 2 và y 1 ≤ y 2 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x 1 ≤y 1
Có ba trường hợp sau có thể xảy ra.
Trường hợp 1: x 1 ≤x 2 ≤y 1 ≤y 2 Trong trường hợp này,
Trường hợp 2: x 1 ≤y 1 ≤x 2 ≤y 2 Trong trường hợp này,
Trường hợp 3: x 1 ≤y 1 ≤y 2 ≤x 2 Trong trường hợp này,
Do đóC là2-tăng nên C là một copula.
Phép biến đổi bậc hai
Các ánh xạ tuyến tính f(x, y) = αx+ (1−α)y với mọix, y ∈[0,1], trong đó α∈[0,1], thỏa mãn tất cả các điều kiện trong các Định lý 2.1, 2.2 và 2.3 Ánh xạ f thuộc dạng này chính là phép biến đổi tổng lồi đã được đề cập trong Chương 1 Một câu hỏi tự nhiên có thể đặt ra là các đa thức bậc hai f nào thỏa mãn các điều kiện của các định lý trên.
Trong phần này chúng ta sẽ tìm cách trả lời câu hỏi đó Cụ thể, chúng ta sẽ xác định tất cả các đa thức bậc hai f thỏa mãn các điều kiện của các Định lý 2.1 và 2.2 Chúng ta cũng tìm điều kiện đủ cho các đa thức bậc hai f thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3 Các phép biến đổi bậc hai này sẽ cung cấp cho chúng ta các lớp copula mới có thể dễ dàng tính toán trên thực tế.
Chúng ta bắt đầu với phép biển đổi bậc hai trên các chặn Fréchet- Hoeffding. Định lí 2.4 Cho P là một đa thức hai biến bậc hai Hàm số
C(x, y) :=P(M(x, y), W(x, y)) là một copula khi và chỉ khi P có dạng
P(x, y) =a(x 2 −xy) +b(y 2 −xy) +dx+ (1−d)y, trong đó
Ví dụ 2.1 CopulaC với một số lựa chọn củaa, b, dcó đồ thị được thể hiện trong Hình 2.1 Chú ý rằng nếu a =b = 0, thì đồ thị của C được cấu thành từ bốn mặt phẳng Bằng cách lựa chọn(a, b)6= (0,0), chúng ta có thể tạo ra độ cong cho đồ thị của C.
Hình 2.1: Phép biến đổi bậc hai trên M và W.
Chứng minh Định lý 2.4 Do P là một đa thức bậc hai, ta có
P(x, y) = ax 2 +by 2 +cxy+dx+ey+f, với a, b, c, d, e, f ∈R Rõ ràng P thỏa mãn Định lý 2.1 (i) khi và chỉ khi
(a+b+c)x 2 + (d+e)x+f =x với mọi x∈[0,1]. Điều này chỉ xảy ra khi a+b+c = f = 0 và d+e = 1 Vì vậy P phải có dạng
Chúng ta sẽ khai thác các điều kiện(ii) và(iii)trong Định lý 2.1 để tìm tất cả các bộ hệ số a, b, d.
Trước hết, ta tìm điều kiện cho các hệ số a, b, dsao cho g(t) :=P(y,(y+t) + )−P(x,(x+t) + ) là không giảm trên [y−1,0] với mọi 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 Điều đó tương đương với g 0 (t)≥0, trong đó g 0 (t) = ∂P
∂y(x,(x+t) + )χ (−x,+∞) (t). Ở đây χ A ký hiệu hàm đặc trưng của một tập con A⊂R.
∂y(y, y+t) = (b−a)y+ 2bt+ 1−d. Để g 0 (t)≥ 0 với mọi max{−y, y−1} < t < −x và 0≤ x ≤ y ≤ 1, điều kiện cần và đủ là
(min{1−d, b−a+ 1−d} ≥0, min{1−d, b−a+ 1−d, b−a 2 −b+ 1−d} ≥0. Điều kiện trên tương đương với
∂y(x, x+t) = (b−a)(y−x) + 2bt+ 1−d. Đểg 0 (t)≥0với mọi max{−x, y−1}< t
