Ứng dụng Phép biến đổi Copula trong Quản trị Rủi ro

Hàm hợp của Π và W

Trong phần này chúng ta tìm tiêu chuẩn cho phép biến đổi copula cho copula độc lập Π và chặn dưới Fréchet-Hoeffding W.

Phép biến đổi bậc hai

Chúng ta cũng tìm điều kiện đủ cho các đa thức bậc hai f thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3. Các phép biến đổi bậc hai này sẽ cung cấp cho chúng ta các lớp copula mới có thể dễ dàng tính toán trên thực tế. Chúng ta bắt đầu với phép biển đổi bậc hai trên các chặn Fréchet- Hoeffding.

CopulaC với một số lựa chọn củaa, b, dcó đồ thị được thể hiện trong Hình 2.1. Tiếp theo, ta tìm điều kiện cần và đủ cho các biến đổi đa thức bậc hai trên copula độc lập và chặn dưới Fréchet-Hoeffding. Cuối cùng, chúng ta tìm một điều kiện đủ cho phép biến đổi bậc hai trên chặn trên Fréchet-Hoeffding và copula độc lập.

Chúng ta có một số ví dụ về copula tạo ra bởi các phép biến đổi bậc hai trên M vàΠ trong Hình 2.3. Vì vậy chúng ta chỉ cần xét trường hợp (2.12) trong phần còn lại của chứng minh. Trước hết ta tìm điều kiện cho các hệ số a, b, d sao cho điều kiện (iii) trong Định lý 2.3 được thỏa mãn.

Kết hợp các điều kiện trên, ta suy raP thỏa mãn Định lý 2.3(iii)khi và chỉ khi. Tiếp theo, ta tìm một điều kiện đủ cho các hệ sốa, b, dsao cho điều kiện (ii) trong Định lý 2.3 được thỏa mãn, nghĩa là.

Đo lường rủi ro

Quy trình quản trị rủi ro thường bao gồm 4 bước cơ bản: nhận biết rủi ro; đo lường rủi ro; quản lý rủi ro; kiểm soát và xử lí rủi ro.

Các phương pháp ước lượng VaR

Nguyên tắc tính VaR của phương pháp RiskMetrics tương tự với nguyên tắc tính VaR của phương pháp phương sai – hiệp phương sai. Hơn nữa, nó còn giúp ta quan tâm được đến những sự kiện quan trọng có thể gây ảnh hưởng tiêu cực đến giá trị của danh mục đầu tư. Phương pháp Monte Carlo tạo ra các giá trị nhân tạo của một biến xác suất bằng cách sử dụng một máy tạo phân phối ngẫu nhiên giống nhau trong đoạn [0,1] và sử dụng các cấu trúc phân phối xác suất liên kết với các biến ngẫu nhiên này.

Hơn nữa, bên cạnh các mô hình phân tích có thể dự báo hành vi của những nhà đầu tư qua suất sinh lợi kỳ vọng, dự báo rủi ro bằng các chỉ báo phương sai hay độ lệch chuẩn thì với yêu cầu hiện nay đòi hỏi có một mô hình có khả năng dự báo mức độ dao động của các chuỗi thời gian. Để ước tính VaR, chúng ta có thể nghiên cứu phân phối của chuỗi lợi tức danh mục đơn biến hoặc phân phối hai biến của vectơ (X1,t, X2,t). Để xử lí được mô hình hai biến, chúng ta phải xác định hai mô hình: một mô hình cho phân phối của từng biến và một mô hình cho copula có điều kiện.

Tiêu chuẩn để lựa chọn copula có thể được đánh giá bằng khoảng cách bậc hai giữa copula ước tính và copula thực nghiệm theo như Định nghĩa 1.3. Sau khi ước tính mô hình tổng thể, chúng ta có thể mô phỏng từ copula ước lượng để có ước lượng về sự phân phối của vectơ ηt+1. Bởi vì ước lượng mô hình và mô phỏng từ copula có thể rất cồng kềnh trong tính toán, chúng ta chỉ ước lượng mô hình một lần cho mỗi 50 quan sát.

Điều này có nghĩa là chúng ta sử dụng cùng một mô phỏng copula cho mỗi 50 quan sát, nhưng ở mỗi quan sát mới, chúng ta cập nhật ước lượng VaR bởi vì ước lượng phương sai đã được cập nhật theo mô hình (3.1). Mô hình copula có điểm mạnh nhất là cho phép xác định VaR danh mục rất chính xác mà không cần quan tâm đến phân phối của các tài sản trong danh mục. Trong khi các phương pháp cổ điển để ước lượng VaR không thể tách khỏi giả thiết tính phân phối chuẩn của các tài sản trong danh mục.

Bằng cách tiếp cận copula, giả thiết này cũng sẽ được bỏ qua, vì phương pháp copula chỉ quan tâm đến phân phối đồng thời của các chuỗi tài sản. Giống như các phương pháp tính VaR truyền thống, mô hình sử dụng copula vẫn chỉ được tiến hành phân tích trong môi trường kinh tế bình thường (không tồn tại trường hợp xấu nhất). Ngoài ra, việc sử dụng copula để ước lượng VaR phải thông qua rất nhiều bước: xác định phân phối biên bằng mô hình AR – GARCH, lựa chọn mô hình tổng, ước lượng tham số copula từ phần dư chuẩn hóa, mô phỏng Monte Carlo mẫun quan sát cho dạng Copula tìm được, sắp xếp các quan sát, tìm VaR.

On Some Bivariate Copula Transformations

In another direction, a class of bivariate copula mappings was found by Manstaviˇcius and Bagdonas [7] and Girard [8]. We also classify all such transformations in the case thatf belongs to the class of quadratic polynomials. Throughout the paper, we will only consider bivariate copulas, which will be called copulas for brevity.

In Section 2, we provide the basic definitions and properties of copulas that will be used later on. Although one can also consider n-variate copulas for any n≥2 (see [1, 3]), we only give the definition for bivariate copulas, which are the objects we are concerned with in this paper. Here we only recall a special version of this theorem for bivariate copulas, which are what we are concerned with.

The most well-known copula should be the independence copula, which is given by Π(x, y) =xy for all x, y∈[0,1]. The Fr´echet-Hoeffding bounds play an important role in the (partial) concordance order on the set of all copulas. Our aim is to establish necessary and sufficient conditions on a bivariate function f such that its compositions with each two of three well-known copulas M,W, and Π are new copulas.

This subsection provides the criteria for copula transformations of the independence copula Π and the Fr´echet-Hoeffding lower bound W. In this last subsection, we introduce a simple criteria for copula transformations of the Fr´echet-Hoeffding upper bound M and the independence copula Π. This kind of f is associated with the convex sum transformations mentioned in the introduction section.

These quadratic transformations provide us new classes of copulas which are easy to compute in practice. Next, we find necessary and sufficient criteria for quadratic transformations on the independence copula and the Fr´echet-Hoeffding lower bound. Finally, we introduce a sufficient condition for quadratic transformations on the Fr´echet- Hoeffding upper bound and the independence copula.

First, we search for conditions on the coefficients a, b, d such that condition (iii) of Theorem 3.4 is satisfied. Next, we derive a sufficient condition on the coefficients a, b, dsuch that condition (ii) of Theorem 3.4 is satisfied.