Bo tlgd toan cao cap hp1 clc qtl47

môn toán kinh tế phần học kỳ đầu tiên về các phần liên quan đến các chương trình Căn cứ vào Điều 670 BLDS 2005": 1. Trong trường hợp người lập di chúc có để lại một phần di sản dùng vào việc thờ cúng thì phần di sản đó không được chia thừa kế và được giao cho một người đã được chỉ định trong di chúc quản lí để thực hiện việc thờ cúngnếu người được chỉ định không thực hiện đúng di chúc hoặc không theo thỏa thuận của những người thừa kế thì những người thừa kế có quyền giao nhận di sản dùng vào việc thờ cúng cho người

TÀI LIỆU HỖ TRỢ HỌC TẬP

KHÓA 47 MÔN TOÁN CAO CẤP HP1

HỌC KỲ 1 - NĂM HỌC 2022 – 2023

(Lưu hành nội bộ)

MỤC LỤC

PHẦN 1: ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT

Chương 2: Đạo hàm, vi phân của hàm một biến

Chương 3: Đạo hàm, vi phân của hàm một biến

Chương 4: Hàm nhiều biến

Chương 5: Phương trình vi phân

Chương 6: Ứng dụng trong kinh tế

PHẦN 2: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN 3: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

TÀI LIỆU HỖ TRỢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP HP1

DÀNH CHO CÁC LỚP CHẤT LƯỢNG CAO HỌC KỲ 1

NĂM HỌC 2022 – 2023 - PHẦN I: ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT

1 Tên môn học: TOÁN CAO CẤP HP1

2 Số tín chỉ: 2 tín chỉ (gồm 30 tiết lý thuyết và 0 tiết thảo luận)

3 Mục tiêu môn học:

Cung cấp cho sinh viên các kiến thức cơ bản của Giải tích một biến và nhiều biến để có thể hiểu và vận dụng khi học tiếp các môn khác như: Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Kinh tế vi mô, Kinh tế vĩ mô, … và một số các môn chuyên ngành cũng như nhằm trang bị một số kỹ năng tính toán theo yêu cầu chung đối với sinh viên đại học ngành quản trị luật

3.1 Về kiến thức:

Môn học trang bị cho sinh viên các vấn đề lý thuyết và rèn luyện các kỹ năng tính

toán Giải tích toán học cơ bản theo yêu cầu chung đối với sinh viên khối ngành kinh tế

Từ đó môn học giúp cho sinh viên có thể hiểu và vận dụng khi học tiếp các môn khác

như: Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Kinh tế vi mô, Kinh tế vĩ mô, …

3.2 Về kỹ năng:

Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng thực hiện các phép tính đạo hàm, tích phân, vi phân (hàm một một biến hoặc nhiều biến); kỹ năng thiết lập bài toán cực trị hàm nhiều biến không ràng buộc và có ràng buộc

3.3 Về thái độ:

Giúp sinh viên thấy được tầm quan trọng của toán học không chỉ với Khoa học Tự nhiên mà còn ứng dụng trong phân tích kinh tế

4 Phương pháp giảng dạy:

- Giảng lý thuyết trên lớp, cho ví dụ minh họa, hướng dẫn giải bài tập

- Yêu cầu sinh viên đọc tài liệu, làm bài tập về nhà

- Yêu cầu sinh viên làm bài tập trên lớp, các bài toán nhanh để rèn luyện khả năng tư duy và sự nhanh nhạy

- Sử dụng máy chiếu kết hợp viết bảng, đặt câu hỏi gợi mở, đặt tình huống có vấn đề cho sinh viên thảo luận nhóm để đưa ra cách giải quyết

- Yêu cầu sinh viên làm việc với giáo trình và tài liệu tham khảo

- Yêu cầu sinh viên nghiên cứu, làm việc trên các phần mềm: Matlab, Mathematica; sử dụng máy tính bỏ túi; tìm hiểu cách làm trang web, quay video, tóm tắt nội dung môn học, trình bày bằng ngôn ngữ tiếng Anh… theo nhóm để tăng cường các kỹ năng mềm

5 Phương pháp đánh giá:

Dựa trên thang điểm 10 với trọng số các điểm thành phần như sau:

− Hình thức kiểm tra giữa kì: Tự luận

− Hình thức thi cuối kì: Tự luận

6 Nội dung chi tiết môn học:

1.3 Hàm một biến số

1.3.1 Một số khái niệm 1.3.2 Biểu diễn hàm số 1.3.3 Hàm hợp

1.3.4 Hàm ngược 1.3.5 Hàm đơn điệu 1.3.6 Một số hàm sơ cấp cơ bản 1.3.7 Hàm sơ cấp, các hàm sơ cấp thường gặp

1.4 Giới hạn hàm số

1.4.1 Định nghĩa lân cận, điểm tụ 1.4.2 Định nghĩa giới hạn hàm số 1.4.3 Cách tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa 1.4.4 Giới hạn một phía

1.4.5 Các tính chất cơ bản của giới hạn 1.4.6 Dạng vô định

1.4.7 Một số công thức tính giới hạn 1.4.8 Vô cùng bé, vô cùng lớn 1.4.9 Bài tập về tính giới hạn 1.5 Giới hạn hàm số

1.5.1 Định nghĩa hàm số liên tục 1.5.2 Liên tục trái, liên tục phải 1.5.3 Hàm gián đoạn

1.5.4 Tính chất hàm số liên tục 1.5.5 Các định lý về hàm số liên tục 1.5.6 Bài tập về hàm số liên tục

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM, VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Thời lượng: 6 tiết lý thuyết và 0 tiết thảo luận Nội dung Chương 2 gồm 4 phần:

2.1 Đạo hàm

2.1.1 Định nghĩa đao hàm

2.1.2 Đạo hàm phải, đạo hàm trái

2.1.3 Ý nghĩa của đạo hàm

2.3.6 Khai triển Maclaurin

2.3.7 Ứng dụng của công thức Taylor, Maclaurin

2.4 Ứng dụng của đạo hàm

2.4.1 Quy tắc L’Hospital

2.4.2 Khảo sát cực trị

2.4.3 Ví dụ và bài tập

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

Thời lượng: 5 tiết lý thuyết và 0 tiết thảo luận Nội dung Chương 3 gồm 4 phần:

3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định

3.1.1 Khái niệm nguyên hàm 3.1.2 Định nghĩa tích phân bất định 3.1.3 Các tính chất cơ bản

3.3.4 Tính chất hàm khả tích 3.3.5 Định lý giá trị trung bình 3.3.6 Công thức Newton – Leibniz 3.3.7 Các phương pháp tính tích phân xác định 3.3.8 Phương pháp tính tích phân phân thức hữu tỷ 3.3.9 Ví dụ và bài tập ứng dụng

3.4 Tích phân suy rộng

3.4.1 Tích phân suy rộng loại 1

3.4.2 Tích phân suy rộng loại 2

3.4.3 Ví dụ và bài tập

CHƯƠNG 4: HÀM NHIỀU BIẾN

Thời lượng: 5 tiết lý thuyết và 0 tiết thảo luận Nội dung Chương 4 gồm 4 phần:

4.1 Khái niệm hàm nhiều biến

4.1.1 Không gian n

R

4.1.2 Tập mở, tập đóng

4.1.3 Định nghĩa hàm số n biến

4.2 Giới hạn, liên tục của hàm nhiều biến

4.2.1 Định nghĩa giới hạn hàm số n biến 4.2.2 Ví dụ

4.2.3 Giới hạn bội, giới hạn lặp 4.2.4 Định nghĩa liên tục của hàm nhiều biến

4.3 Đạo hàm, vi phân của hàm nhiều biến

4.3.1 Số gia 4.3.2 Định nghĩa đạo hàm riêng 4.3.3 Đạo hàm riêng của hàm hợp 4.3.4 Định nghĩa vi phân hàm nhiều biến 4.3.5 Điều kiện cần và đủ để hàm khả vi 4.3.6 Vi phân toàn phần

4.3.7 Định nghĩa vi phân cấp cao

4.4 Cực trị của hàm nhiều biến

4.4.1 Khái niệm cực trị địa phương, cực trị toàn cục 4.4.2 Điều kiện cần của cực trị địa phương

4.4.3 Điều kiện đủ của cực trị địa phương 4.4.4 Quy tắc tìm cực trị không điều kiện 4 4.5 Định nghĩa cực trị có điều kiện 4.4.6 Các phương pháp tìm cực trị có điều kiện 4.4.7 Bài tập

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Thời lượng: 2 tiết lý thuyết và 0 tiết thảo luận Nội dung Chương 5 gồm 4 phần:

5.1 Các khái niệm cơ bản

5.2 Phương trình vi phân cấp 1

5.3 Phương trình vi phân cấp 2

CHƯƠNG 6: ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Thời lượng: 4 tiết lý thuyết và 0 tiết thảo luận Nội dung Chương 5 gồm 4 phần:

6.1 Hàm biên tế

6.2 Độ co giãn

6.3 Tối ưu hóa các hàm kinh tế phụ thuộc một biến

6.4 Độ co dãn riêng phần và hàm biên tế

6.5 Tối ưu hóa các hàm kinh tế phụ thuộc nhiều biến

LƯU Ý Nội dung chi tiết môn học được đính kèm bằng file bài giảng

PHẦN 2: CÂU HỎI LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

A Câu hỏi, bài tập ôn tập và hệ thống kiến thức

lim6

x x

x x

1 lim

lim arcsin 1 2

x

x x

ln cos lim

ln 1

x

x x

3 0

9limsin

1 sin coslim

lim sin

x x

2 1

tan

x

x x

1 cos 2

x

x x

x x

2

2 lim

1

x x

x x

1 tan

lim

1 sin

x x

x

x x



2 0

ln 1 2 sin lim

1 sin

x x

cot 2

x

x x

1

x x

x x e

cos lim

x x

x x

-1 2 1

2 2

x

x x

e

x x

5 1

1 1

x x

x x

16 16

4 4 16

3 9

4; 4 8

x x

x x

0 1

3 5 0

x

x x

x x

cos 0 1

1 0 3

2,037 1

;2,037 1 e





4 Tính giá trị gần đúng của thể tích hình lập phương cạnh a 2, 001cm

5 Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

 theo lũy thừa của x 1 đến bậc 5

9 Khai triển hàm f x  1 ln 1 x theo lũy thừa của x 1 đến bậc 5

10 Khai triển đa thức    5  4  3

dương của x x ; 2

11 Khai triển hàm f x ln cos x theo lũy thừa của x đến bậc 4

12 Khai triển hàm f x  3 x theo lũy thừa của x 1 đến bậc 5

  theo lũy thừa của x 4 đến bậc 6

14 Khai triển hàm f x   1 sin x12 theo lũy thừa của x đến bậc 4

15 Khai triển đa thức   3 2

q x x  x  x theo lũy thừa nguyên dương của x 1

16 Khai triển đa thức   3 2

q x x  x  x theo lũy thừa nguyên dương của x 2

17 Khai triển Maclaurint hàm f x e 2 x x 2 đến 3

1

x dx x

x dx

dx x



1

x dx x



1 3

23 Tính các tích phân sau:

1

3

2 1

x dx x

2 1

x dx

3 1 1

x dx x

3 4

x dx

x dx

1

x dx

0, 4 2 2



2 2

sản phẩm thì để bán hết số sản phẩm trên, xí nghiệp chỉ có thể bán với giá tối đa là bao nhiêu?

31 Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa lần lượt là

a Tìm hàm doanh thu cận biên

b Tại Q 0 590,khi Q tăng lên 1 đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị

c Tính giá trị doanh thu biên tại Q 0 610 và giải thích ý nghĩa

33 Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q 30 L L;  0

a Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động

b Tại L 0 144, nếu L tăng lên 1 đơn vị, sảng lượng sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị?

34 Cho hàm chi tiêu C Y aYb; 0 a1,b0 ; Y0

a Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cận biên

b Ý nghĩa kinh tế của hệ số a là gì?

vị L bằng 2 đô và giá sản phầm là P=4 Hãy lập hàm lợi nhuận K L, 

a Tính hệ số thay thế của K cho L

b Cho biết chi phí đơn vị vốn wK 5, chi phí đơn vị lao động wL 3 Tính mức sử

dụng tối ưu vốn và lao động để đạt mức sản lượng cho trước Y 0 30000

44 Cho nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc vào giá như sau:

a Xác định Q Q1, 2 sao cho tổng lợi nhuận là lớn nhất

b Xác định chi phí biên cho từng mặt hàng tối ưu tìm được ở câu a

c Hai mặt hàng này có thay thế cho nhau được không?

B Câu hỏi, bài tập nâng cao

1 Tính giới hạn

3 0

lim

1

x x

sin

x x

8 Tính   2

1 0

1 2

tan

x

x x

1 3

1 lnlim x

26 Tìm giới hạn lim

n x x

x e

xe e

31 Cho các phát biểu sau:

1

0

1 lim 1

1

x

x L

sin

x

x L

34 Tìm

2 2

lim 1

x x

x L

1 lim

1

x x

lim

x x x

1 2 ln sin

x

x L

ln 1

x

x L

cot

x

x L

1 cos2

x

x x

coslim

sin 2

x x

liên tục và có đạo hàm tại x  0

c yx x liên tục và có đạo hàm tại x  0

d Cả ba câu trên đều đúng

54 Với giá trị nào của m thì hàm số    

7 5

7

ln 1 3 0

a Không tồn tại b 0 c 2 d 8/3

56 Cho f x  x2 Ta có:

60 Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng:

a f liên tục tại x thì f khả vi tại 0 x 0 b f khả vi tại x thì f liên tục tại 0

c f liên tục nhưng không khả vi tại x  0 d Các câu trên đều sai

14 3 0

x

f x x

63 Hàm số f x  x sinx

a Liên tục và khả vi tại 0

b Có giới hạn tại 0 nhưng không khả vi tại 0

c Khả vi tại 0 nhưng không có giới hạn tại 0

d Liên tục nhưng không khả vi tại 0

64 Cho hàm số  

2

2 2

x x

cos

x dx x

cos

x dx x

76 Tìm 1 6

ln

x d

cos5sin 5

c z có điểm dừng nhưng không có cực trị

d z có hai cực đại và hai cực tiểu

110 Một giảng viên trẻ của trường Đại học Luật TP Hồ Chí Minh chuẩn bị sắm sửa thiết

bị điện tử cho gia đình mình nhân dịp Tết đến Với số tiền là P0 trong túi, người giảng viên này định đến cửa hàng Điện Máy Xanh để mua một cái ti vi với giá P1 và một cái tủ lạnh mới với giá P2 Tuy nhiên, bằng những phân tích kỹ lưỡng, người giảng viên này phát hiện được lợi ích của mình khi mua 2 thiết bị trên sẽ tuân theo một hàm lợi ích theo giá mua là U P P 1 , 2P P1 2 K P1 1 K P2 2 Biết rằng P K K0, 1, 2 là những hằng số dương đã biết K1P K0, 2P0 Hỏi giảng viên này sẽ mua ti vi và tủ lạnh với giá bao nhiêu để đạt được lợi ích cực đại?

b Tính chi phí biên tại mức sản lượng Q 0 150 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được

112 Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là Q d 1000 5 P Tính hệ số co dãn của cầu theo giá của mức giá là 140 đơn vị và nêu ý nghĩa

113 Cho hàm sản xuất 2 3

Q L L L Hãy xác định mức sử dụng lao động để sản lượng tối đa

114 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Biết hàm cầu của xí nghiệp

định mức sản lượng Q và giá bán tương ứng sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

115 Giả sử giá thành để sản xuất x cặp quần jean được cho bởi hàm

C và giải thích ý nghĩa Giá trị này dự báo điều gì?

3 So sánh giá C100 với giá thành để sản xuất sản phẩm thứ 101

116 Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q30 L L; 0

1 Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động MPL

2 Tại L 0 144, nếu L tăng thêm một đơn vị thì Q sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị?

3 Tại mức sử dụng lao động nào đó, nếu L tăng thêm 1%, hỏi sản lượng sẽ thay đổi bao nhiêu %?

118 Cho hàm cầu của một loại hàng hóa là Q d 6PP2 Tính hệ số co dãn tại P 0 5

và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được

119 Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn 5 3

121 Cho biết hàm tổng chi phí là   3 2

P  Q TC Q   Q  Q, trong đó P là giá và Q là sản lượng

1 Tính sản lượng và giá bán để tối đa hóa lợi nhuận

2 Tính và nêu ý nghĩa hệ số co dãn của cầu sản phẩm tại mức giá và sản lượng tối ưu?

3 Tìm giá bán để tối đa hóa sản lượng bán ra mà công ty không bị lỗ?

123 Cho biết hàm cầu ngược và hàm chi phí của một nhà độc quyền như sau:

200 ;

P Q TC Q Q (trong đó P là giá, Q là sản lượng)

1 Tìm mức sản lượng và mức giá để lợi nhuận cực đại

2 Tính hệ số co dãn của cầu tại mức tối đa hóa lợi nhuận

124 Cho hàm sản xuất 2 3

Q L L L Hãy xác định mức sử dụng lao động để sản lượng tối đa

Bài Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q1005 L L3, 0 và giá của sản phẩm là

sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất

126 Cho biết hàm tổng chi phí: TC Q Q3  9Q2  60Q 150,Q 0 Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí nhỏ nhất

127 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Biết hàm cầu là

mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

128 Cho hàm tổng lợi nhuận:   1 3 2  

3

mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất

129 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Biết hàm cầu là

2000

D

Q  P và hàm tổng chi phí TC Q Q2  1000Q 50 Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp

130 Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần

lượt là Q S P 200 và Q d  4200 P (P là đơn giá) Biết rằng giá bán của loại sản

phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là P 1 1600 Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế)

131 Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần

lượt là Q S P200 và Q d 4200P (P là đơn giá) Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là P 1 3200 Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế)

132 Cho hàm tiêu dùng (chi tiêu) phụ thuộc vào thu nhập như sau:

a Tìm hàm chi phí cân biên MC(Q)

b Tính chi phí trung bình AC(Q) tại Q 100

c Tính hệ số co dãn của TC(Q) theo Q tại Q 17.

134 Cho hàm sản xuất 2/ 3 

động tăng 10% hỏi sản lượng thay đổi bao nhiêu %

135 Cho hàm sản xuất 0,5

100

Q L , biết giá sản phẩm là P 4USD và giá thuê một đơn vị lao động p  L 2USD Hãy xác định mức sử dụng lao động để lợi nhuận thu được là tối đa

136 Tìm hàm chi phí cận biên cho biết hàm chi phí bình quân:AC Q  3Q 7 36

Q

137 Cho biết hàm tổng chi phí: TC Q Q3  5Q2  60 Q Hãy xác định mức sản lượng

Q để chi phí bình quân nhỏ nhất (với Q 0)

138 Cho biết hàm chi phí:   3 2

TC Q Q  Q  Q Q và hàm cầu Q 90 2  P

Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại

139 Cho biết hàm chi phí là   3 2

Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại