Thực hành Toán cao cấp - Chương 5: Bổ sung khái niệm cơ bản, một số ứng dụng của giải tích. Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: các khái niệm cơ bản trong giải tích; một số khái niệm trong giải tích cần biết; ôn luyện giới hạn, đạo hàm và tích phân;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Bộ mơn Khoa học Dữ liệu THỰC HÀNH TỐN CAO CẤP TÀI LIỆU PHỤC VỤ SINH VIÊN NGÀNH KHOA HỌC DỮ LIỆU Nhóm biên soạn: TS Hồng Lê Minh – Khưu Minh Cảnh – Hoàng Thị Kiều Anh – Lê Thị Ngọc Huyên – … TP.HCM – Năm 2019 Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu MỤC LỤC CHƯƠNG 5: BỔ SUNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH 3 Các khái niệm giải tích 1.1 Phép lặp để giải phương trình 1.2 Vector Một số khái niệm giải tích cần biết 2.1 Không gian hai chiều nhiều chiều 2.2 Các lân cận 4, 2.3 Các tiêu chuẩn đo khoảng cách (distance) 10 Ơn luyện giới hạn, đạo hàm tích phân 12 3.1 Giới hạn 12 3.2 Đạo hàm 14 3.3 Tích phân 17 BÀI TẬP CHƯƠNG 20 Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu CHƯƠNG 5: BỔ SUNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH Mục tiêu: - Các khái niệm bản, giới thiệu hàm nhiều biến - Các ứng dụng giải tích sống Nội dung chính: Các khái niệm giải tích 1.1 Phép lặp để giải phương trình Trong tính toán, phép lặp phương pháp kỹ thuật để giải phương trình Ví dụ sau liên quan đến số gọi Tỉ số Vàng (Golden Ratio) phép lặp for Python Vấn đề, cần giải phương trình sau: = √1 + Để giải phương trình trên, bước chọn nghiệm, nghiệm gọi nghiệm ban đầu Và tiếp tục trình lặp để tìm nghiệm xác Thực hành 1: Lặp để tìm nghiệm >>> x = >>> print (x) ………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào >>> x = math.sqrt(1+x) >>> print (x) ………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào >>> x = math.sqrt(1+x) >>> print (x) ………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào >>> x = math.sqrt(1+x) >>> print (x) Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu ………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào Sinh viên thực lệnh đến x không thay đổi cho biết cần lần thực phép gán: x = sqrt(x)………………………………? Thực hành 2: Lặp while để tìm nghiệm Chúng ta thử viết lệnh lặp để giải sau: >>> import math >>> x = >>> lap = >>> while (x != math.sqrt(x+1)): x = math.sqrt(x+1) lap = lap +1 # lưu ý: enter lần để thoát vòng lặp while >>> x ………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào >>> lap ………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào Từ đó, thấy qua bước lặp, x giá trị sau: 3, √1 + 3, + √1 + 3, + + √1 + 3, … x hội tụ số bước lặp (mặt khác sai số ngôn ngữ Python) Ở đây, gọi điểm hội tụ điểm cố định (fixed point) Thực hành 3: Giải phương trình hàm solve sympy Lưu ý: với sympy, giải phương trình = √1 + >>> import sympy as sp >>> from sympy import Symbol >>> x = Symbol('x') >>> sp.solve(x-sp.sqrt(1+x),x) Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu ………………………………………………… sinh viên điền giá trị vào 1.2 Vector Trong giải tích, hình học đại số, khái niệm vector khái niệm Một vector số để vị trí, hướng cung cấp thơng tin độ lớn vật tượng theo hướng Với không gian chiều, vector số gồm số Với không gian vector mặt phẳng Oxy chiều, vector số gồm số, thông thường, số giá trị x số sau giá trị y Gói numpy Python hỗ trợ xử lý vector với kiểu liệu numpy.array Thực hành 4: Các phép toán vector >>> import numpy as np >>> v1 = np.array([1., 2., 3.]) # tạo vector chiều >>> v2 = np.array([2., 1., 0.]) >>> v3 = v1 + v2 # cộng vector >>> v3 ……………………………………………… sinh viên điền kết vào Thực phép toán vector: >>> 3*v1 + 2*v2 ……………………………………………… sinh viên điền kết vào * Lưu ý: kiểu numpy.array khác với kiểu liệu list Python Thử nghiệm ví dụ sau (trên đối tượng list) >>> [1, 2, 3] + [2, 1, 0] ……………………………………………… sinh viên điền kết vào >>> 3*[1, 2, 3] + 2*[2, 1, 0] ……………………………………………… sinh viên điền kết vào Dễ dàng thấy, phép cộng list khơng phải phép cộng vector Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu Ghép nối (Concatenating) nhiều vector: >>> v4 = np.hstack([v1, v2]) ……………………………………………… sinh viên điền kết vào * Phép nhân vô hướng vector: >>> np.dot(v1, v2) ……………………………………………… sinh viên điền kết vào Tính toán giá trị sin vector: >>> angles = np.linspace(0, np.pi/2, 5) >>> angles ………………….……………………………………………… sinh viên điền kết vào >>> np.sin(angles) …………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào Tuy nhiên, hàm xử lý sin gói sympy khơng hỗ trợ việc tính tốn tồn vector chứa liệu Thử nghiệm: >>> import sympy as sy >>> sy.sin(angles) ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết (tên lỗi) Do đó, để sử dụng hàm sin sympy, viết đoạn chương trình lặp với vector xây dựng sẵn tạm thời: >>> from sympy import sin as sysin >>> angles = np.linspace(0, np.pi/2, 5) >>> sinangle = np.zeros(5) # tương đương >>> sinangle = np.array([0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0]) >>> len(angles) # kiểm tra kích thước/số chiều vector angles >>> for i in range(len(angles)): sinangle[i] = sysin(angles[i]) Thực hành Toán cao cấp - 2019 # lưu ý: phải enter lần để khỏi vịng for Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> sinangle ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào Lưu ý số lệnh tạo vector ma trận: Yêu cầu xử lý Lệnh Tạo vector* Tạo vector có n phần tử Tạo vector có n phần tử Tạo vector có n phần tử ngẫn nhiên từ đến Tạo vector rỗng có n phần tử np.zeros(n) np.ones(n) np.rand(n) np.empty(n) Tạo ma trận Tạo ma trận đơn vị np.eye(n) Tạo ma trận toàn np.zeros([n,m]) Tạo ma trận ngẫu nhiên np.rand(n,m) Tạo ma trận trống np.empty([n, m]) Tích vector ma trận np.dot( ma_tran1, ma_tran2) * ( Giả định thực thi lệnh >>> import numpy as np từ trước) Thực hành 5: Tính tổng tích ma trận vector Giả định gói thư viện numpy đưa vào hệ thống có tên np Dạng: ↔ ( , ) Minh họa thực Python: >>> import numpy as np >>> goc = np.pi/3 >>> A = np.array([ [np.cos(goc), -np.sin(goc)], [np.sin(goc), np.cos(goc)] ]) >>> V = np.array([1 , ]) >>> Y = np.dot(A, V) >>> Y ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu * Lưu ý 1: Tích ma trận với vector ma trận cần lưu ý đến thứ tự * Lưu ý 2: Không nên sử dụng dấu * thay cho phép toán dot Vì dấu * tính tốn tích phần tử (elementwise) mảng/ma trận thay cho phép nhân ma trận định nghĩa toán học * Lưu ý 3: Một số dạng toán học lệnh tương ứng Python - Tích vector - vector: = ∑ - Tích ma trận – ma trận: - Tích vector - ma trận: ↔ = = ∑" ! " #" ↔ =∑ ! ↔ = = ( , ) (!, #) ( , !) Một số khái niệm giải tích cần biết Dưới số khái niệm giải tích sinh viên cần biết 2.1 Không gian hai chiều nhiều chiều Như đề cập chương 1, khác với trục số chiều, không gian hai chiều gồm thành phần, thường đặt x y (hoặc u v) Ví dụ: tại, giới có khơng gian chiều x, y, z tính theo chiều thời gian có chiều! Theo đó, hàm số nhiều biến hiểu hàm số có khơng gian nhiều chiều Ví dụ: vị trí tàu lửa/xe lửa có biến (x,y, t) với x, y biến vị trí t thời gian cụ thể (có thể thêm z quan tâm đến độ cao tàu lửa) Đối với hệ thống học, số mơ hình lựa chọn thiết bị chiều với giá trị trạng thái thiết bị Khi đó, sử dụng vector nhiều chiều để biểu diễn Để thể hàm nhiều biến, sympy có biến hàm phải khai báo đối tượng Symbol 2.2 Các lân cận 4, Trong tính tốn, số khơng gian cần rời rạc hóa thành vị trí khơng gian Thông thường, người ta lưu vào thành bảng ma trận nhiều trường hợp lưới Với lưới đều, giải tích, vị trí có hai loại lân cận (neighbourhood) Đó lân cận (cịn gọi Moore neighborhood) lân cận (còn gọi lân cận Von Neumann neighborhood) Ngoài ra, số dạng lân cận khác sử dụng tùy theo ứng dụng cụ thể Ví dụ: lân cận hình tổ ong thường ứng dụng lĩnh vực truyền thơng/phát tín sóng điện thoại Hình bên minh họa lân cận: Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu Mỗi loại lân cận hỗ trợ giải tính tốn loại tốn khác đặc trưng tính tốn khoảng cách, đặc biệt có liên quan đến vị trí điểm mà quan điểm triết học biện chứng nơi có đối tượng có tương tác với nhau! Hình bên cho thấy với bán kính r=1 r=2 lân cận Von Neumann Moore khác số lượng điểm lân cận: Lân cận giải tích tảng ứng dụng y khoa (như việc loại bỏ tế bào ung thư…), ứng dụng ngập lụt (vị trí nước chảy đến),… ứng dụng tìm kiếm ảnh hưởng vật/hiện tượng có tính tự phát triển (là ứng dụng CA – Cellular Automata) như: lan truyền nhiệt, lửa cháy, vi khuẩn phát sinh, lan truyền khơng khí/nước ô nhiễm, sinh sôi nẩy nở vi khuẩn tượng xã hội đó… Với vector $⃗ = (&' , &( , … &) ), có phép tính vi phân sau: *$ = ( &) − &)-' &( − &' &, − &( , ,…, ) * * * Nghĩa vector tạo thành giảm chiều Thực hành 6: Tính toán đạo hàm vector liệu + Trường hợp dx cố định: >>> from numpy import diff >>> dx = 0.1 >>> y = [1, 2, 3, 4, 4, 5, 6] Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> dy = diff(y)/dx >>> dy ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào >>> z = np.array([1, 2, 3, 4, 4, 5, 6]) >>> dz = diff(z)/dx >>> dz ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào Sinh viên so sánh kết tính nhận xét: ………………………………………… + Trường hợp dx dãy số: >>> from numpy import diff >>> x = [.1, 2, 5, 6, 7, 8, 9] >>> y = [1, 2, 3, 4, 4, 5, 6] >>> dydx = diff(y)/diff(x) >>> print (dydx) ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào 2.3 Các tiêu chuẩn đo khoảng cách (distance) Từ việc xác định lân cận tiêu chuẩn không gian liên tục, có điểm ( , $ ) /( , $0 ) khoảng cách *( , /) điểm / xác định theo cách tiêu chuẩn sau: - - Với không gian Euclide: *( , /) = ( − )( + ($ − $0 )( Với lân cận 4, thực giống khoảng cách khối nhà hình bàn cờ (hay gọi khoảng cách Mahattan): *( , /) = | − | + |$ − $0 | Với lân cận 8: *( , /) = max (| − |, |$ − $0 |) Thực hành 7: Một số hàm xử lý phẳng (khơng gian Euclide) Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 10 Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> from sympy.geometry import * # Tạo điểm P1, P2, P3 P4 >>> P1 = Point(0, 0) >>> P2 = Point(3, 4) >>> P3 = Point(2, -1) >>> P4 = Point(-1, 5) # Tạo đoạn đường S1 S2: >>> S1 = Segment(P1, P2) >>> S2 = Segment(P3, P4) # Kiểm điểm thẳng hàng: >>> Point.is_collinear(P1, P2, P3) ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào # Độ dài đoạn đường S1 >>> S1.length ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào # Lấy trung điểm đoạn 2: >>> S2.midpoint ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào # Tính độ dốc đường S1 >>> S1.slope ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào # Tìm vị trí giao hai đoạn đường >>> S1.intersection(S2) ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào # Góc hai đoạn đường Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 11 Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> Segment.angle_between(S1, S2) ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào # Kiểm đoạn đường S1 có chứa điểm P3 hay không? >>> S1.contains(P3) ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào # Lập xem phương trình đường thẳng L1 qua điểm P1 P2: >>> L1 = Line(P1, P2) >>> L1.equation() ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào # Kiểm tính song song: >>> L1.is_parallel(S1) ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào >>> L1.is_parallel(S2) ………………………………….…………………………… sinh viên điền kết vào Ôn luyện giới hạn, đạo hàm tích phân 3.1 Giới hạn Thực hành 8: Bằng phương pháp đồ thị, cho biết giới hạn hàm số sau 678 →: ; ( ) Gợi ý: ' Hãy vẽ đồ thị hàm: ?@(A), ℎ( ) = Nhận định: giới hạn hai hàm >> from sympy import Symbol, solve, Derivative >>> x = Symbol('x') >>> f = -x**2+4*x-3 >>> d1=Derivative(f, x).doit() >>> cuctri = solve(d1) >>> cuctri [2] >>> A = cuctri[0] >>> d2 = Derivative(d1, x).doit() Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 14 Bộ môn Khoa học Dữ liệu >>> d2.subs({x:A}).evalf() ………………………………………………………………… sinh viên điền vào >>> x_min=0 >>> x_max=4 >>> f.subs({x:A}).evalf() ………………………………………………………………… sinh viên điền vào >>> f.subs({x:x_min}).evalf() ………………………………………………………………… sinh viên điền vào >>> f.subs({x:x_max}).evalf() ………………………………………………………………… sinh viên điền vào >>> # so sánh giá trị, ta thấy GTLN f(2)=1 Thực hành 10: Tìm diện tích cực lắp pin mặt trời sân phẳng có hình parabol Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nằm đồ thị parabol $ = $ = với giá trị số (như hình bên trên) ( đường thẳng Gợi ý: Điều cần tìm giá trị lớn hàm ( ) thể diện tích hình chữ nhật Phần khó tìm vị trí Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 15 Bộ mơn Khoa học Dữ liệu Giả định > 0, vị trí điểm hình chữ nhật 1, 2, (với vị trí thấp bên phải hình chữ nhật) theo 1( , ( ), ( , ), (− , ), (− , ( ) Từ đó, dễ dàng xác định diện tích hình chữ nhật hàm số: ( ) = (2 )( − () = −2 , +2 , Sử dụng đạo hàm để tính tốn giá trị lớn ( ) sau: 0= G( ) = −6 ↔ = ( ∈ [0, √ ] +2 Đó giá trị tới hạn hàm ( ) Chúng ta thử lại giá trị biên miền xác định Từ đó, sinh viên cho biết giá trị cực đại diện tích hình chữ nhật Code Python: Thực hành 11: Bài tốn Black Friday - Tìm giá tốt cho đợt giảm giá điện thoại iPhone 11 cuối năm Bạn muốn bán @ điện thoại Iphone 11 cho lợi nhuận cao Bộ phận nghiên cứu thị trường công ty cho thấy bán với giá $1500 bán 5000 giảm $100 cho điện thoại bán thêm 1000 Giả sử chi phí vốn cố định (chi phí khởi nghiệp) $2.000.000 tổng chi phí mua (chi phí biên) cho điện thoại $500 Tìm giá bán cho điện thoại ( ) tổng số điện thoại bán (@) để lợi nhuận tối đa Tìm lợi nhuận tối đa Gợi ý: Trước hết, ta chuyển sang tốn tìm giá trị lớn hàm lợi nhuận L( ), hàm phụ thuộc vào giá bán Khi đó: L( ) = @ − 2000000 − 500@ Theo mô tả trên, số điện thoại bán là: @ = 5000 + 1000 Thực hành Toán cao cấp - 2019 (1500 − ) 100 Trang 16 Bộ môn Khoa học Dữ liệu Lưu ý: Do giảm $100 bán thêm 1000 chiếc, nên giảm 1500 − 1000 ('NOO-A) 'OO bán thêm Thay @ vào hàm lợi nhuận: Ta cần tìm cực đại với L( ) = −10 ( + 25000 − 12000000 từ tới 1500 nên lấy đạo hàm: L′ ( ) = −20 + 25000 Do hàm đạt cực trị = 1250 Vì L′′ ( ) = −20 < nên đây, hàm đạt cực đại địa phương Ta có: L(0) = −12000000, L(1250) = 3625000 L(1500) = 3000000 Do đó, cực đại địa phương cực đại tồn cục Và lợi nhuận tối đa L = $3625000, đạt giá bán = $1250 Code Python: Gợi nhớ hàm cần sử dụng: - Hàm Derivative để tính đạo hàm, cụ thể số doit() Hàm solve để giải phương trình tìm cực trị Hàm subs để thay Hàm evalf để tính giá trị Đáp án: Giá trị $ lớn thu 3.625.000 (!?) 3.3 Tích phân Thực hành 12: Bài toán Cung - cầu Trên thực tế, nhu cầu giảm giá sản phẩm gia tăng Ngược lại, giá tăng, sản phẩm có nhiều thị trường Với đồ thị thể nhu cầu cung cấp theo hai đại lượng giá (p) số lượng sản phẩm bán (q) thể dễ dàng thấy nghịch biến Trong đồ thị đó, điểm cân (equilibrium) điểm (R ∗ , T∗ ) giao điểm hai xu hướng giá trị cân thị trường Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 17 Bộ môn Khoa học Dữ liệu Với T = *(R) hàm nhu cầu (hàm giảm), T = >(R) hàm cung cấp (hàm tăng) Từ đồ thị, dễ thấy để đạt đến trạng thái cân bằng, phân tích với lượng tiền “dư” (surplus) từ bên “cầu” (consumer) bên “cung cấp” (producer) sau: ]∗ ]∗ ]∗ ]∗ O O O O ]∗ ]∗ ]∗ ]∗ O O O O U?ề@ *ư Xê@ Z[@< = \ (*(R) − T∗ )*R = \ *(R)*R − \ T∗ *R = −T∗ R ∗ + \ *(R)*R Tương tự, cơng thức tính U?ề@ *ư Xê@ Zầ[ là: U?ề@ *ư Xê@ Zầ[ = \ _T∗ − >(R)`*R = \ T∗ *R − \ >(R)*R −= T∗ R ∗ − \ >(R)*R Lưu ý: đơn vị hai phép toán tiền Bài toán thực tế: Honda dự kiến bán xe SH 2019 Sau vài tháng thăm dò, Honda nhận quy luật sau: + Quy luật cầu: T = *(R) = −0.8R + 150, nghĩa giá (150-0.8) triệu bán xe/tháng (R = 1), (150-1.6) triệu tháng bán xe/tháng (tương ứng với R = 2),… Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 18 Bộ môn Khoa học Dữ liệu + Quy luật cung: T = >(R) = 5.2R, nghĩa xe SH bán Honda lợi nhuận 5.2 triệu đồng Các bạn sinh viên giúp: Xác định giá nên bán thị trường (trạng thái cân bằng) Vẽ đồ thị Tại thời điểm cân bằng, tổng số tiền người mua phải trả dư/cao (consumer surplus) Tại thời điểm cân bằng, tổng số tiền mà sản phẩm thu dư (producer surplus) Giải: Giải phương trình −0.8R + 150 = 5.2R tìm nghiệm R = 25, nghĩa cân tháng bán 25 xe với giá R = −0.8(25) + 150 = 130 triệu đồng Tổng số tiền người mua phải trả dư/cao (consumer surplus): (N \ (−0.8R + 150)*R − 130 × 25 = 250 cd?ệ[ O Tổng số tiền mà sản phẩm thu dư (producer surplus): (N 130 × 25 − \ 5.2R*R = 1625 cd?ệ[ O Sinh viên tự thể lệnh tính tốn Python! Thực hành 13: Bài tốn lợi nhuận đầu tư Một nhóm khởi nghiệp trình bày ý tưởng đầu tư máy sản xuất trà sữa sau: giá thành máy 650 triệu Mỗi năm máy giúp thu lợi 70 triệu từ năm thứ 2, năm tăng thêm triệu Biết tiền tăng 1.7% năm với lãi suất ngân hàng Với tư cách nhà đầu tư (shark), bạn có thấy ý tưởng khởi nghiệp có lợi nhuận hay khơng? Giải: Gọi t thời gian tính theo năm Trong tốn trên, t = thời điểm ban đầu, t=1 năm Giá trị thu lại năm đầu 70 triệu Thu nhập năm tăng thêm đồng Nghĩa tuân theo hàm F(t)=70+8(t-1)=62+8t Để tính giá trị đến năm thứ 8, có hai tổng tích phân sau: tổng lợi nhuận năm đầu tổng lợi nhuận từ năm đến năm ' fợ? @ℎ[ậ@ = \ 70k O -O.O'lm o *c + \(62 + 8c)k -O.O'lm *c ≈ 701,66 cd?ệ[ ' Giá trị thu lại cao so với giá máy nên xét riêng lợi nhuận bạn đồng ý đầu tư Sinh viên tự thể lệnh tính tốn Python! Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 19 Bộ môn Khoa học Dữ liệu BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 1: Trong tất hình chữ nhật có diện tích 100m2, hình có chu vi nhỏ nhất? Gợi ý: Trước hết, ta gọi ( > 0) chiều rộng hình chữ nhật, $($ > 0) chiều dài Lúc đó, diện tích hình $ = 100 Do đó, $ = 'OO A Chu vi hình chữ nhật =( ) = 2( + $) = p + Tiếp theo, ta có = G ( ) = − dương nên ta chọn = 10 (OO A1 = = 10 'OO A q = + 'OO A = −10 Tuy nhiên, nhận giá trị Vì =( ) xác định khoảng (0, ∞) nên khơng có giá trị tới hạn khác khơng có điểm đầu mút Liệu có cực tiểu, cực đại địa phương hay không = 10 Đạo hàm cấp = GG ( ) = sOO At =′′(10) > Do đó, có giá trị cực tiểu địa phương Do có giá trị tới hạn nhất, nên cực tiểu tồn cục Như vậy, hình chữ nhật có diện tích 100m2 hình vng 10x10 hình có chu vi nhỏ Sinh viên tự viết câu lệnh Python! Bài tập 2: Giả sử bạn muốn đến điểm A (nằm cát) từ đường gần (xem hình 6.1.5) Giả sử đường thẳng b khoảng cách từ A đến điểm C (C điểm gần tính từ A đến đường) Đặt & tốc độ bạn đường u, nhỏ &, tốc độ bạn cát Hiện bạn điểm D, cách C khoảng Tại điểm B (B điểm D C) bạn nên tách đường để băng qua cát cho thời gian đến A nhất? Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 20 Bộ môn Khoa học Dữ liệu Gợi ý: khoảng cách từ B đến C Ta cần tối thiểu tổng thời gian di chuyển Nhớ di chuyển với tốc độ không đổi, thời gian quãng đường chia vận tốc Gọi Ta di chuyển khoảng v/ với vận tốc &, sau / với vận tốc u Vì v/ = Pythagore, ta có / = √ ( +X ( , tổng thời gian di chuyển là: =( ) = Ta cần tìm giá trị nhỏ hàm = với w-A x + √A yz1 − , theo { Ta có: ' = = G( ) = − x + A {(√A yz1 ) u u (( ( +X ( ( =& +X ( ) = & ( u ( X ( = (& ( − u ( ) = Lưu ý ( ( uX √& ( −u ( khơng có biểu thức cuối có liên quan, ta quan tâm đến giá trị tới hạn [0, ] {z √x -{ nằm khoảng khơng Nếu có nằm này, ta tìm đạo hàm cấp 2: Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang 21 Bộ môn Khoa học Dữ liệu = GG ( X( )= u( ( +X ( ),/( Giá trị ln dương nên ln có cực tiểu địa phương điểm tới hạn, cực tiểu tồn cục Nếu giá trị tới hạn khơng nằm khoảng lớn Trong trường hợp giá trị nhỏ đạt điểm đầu mút Ta tính: =(0) = =( ) = & √ + X u ( +X ( u Rất khó để xác định giá trị nhỏ cách so sánh trực tiếp, giá trị &, u, X Dù vậy, ta tìm giá trị nhỏ Vì = GG ( ) > nên hàm = G ( ) ln tăng Ngồi ta, {z √x -{ , đạo hàm 0, với nhỏ giá trị tới hạn, đạo hàm âm Nghĩa =(0) > =( ) Như vậy, giá trị nhỏ đạt = Kết là, ta đường, chưa tới vị trí cách C khoảng {z √x -{ ta nên tiếp đến vị trí ta tách đường để vào cát, tiến đến A Còn ta qua vị trí ta cần tách đường để vào cát, tiến đến A Sinh viên tự viết câu lệnh Python! Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang 22 ... liệu CHƯƠNG 5: BỔ SUNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH Mục tiêu: - Các khái niệm bản, giới thiệu hàm nhiều biến - Các ứng dụng giải tích sống Nội dung chính: Các khái niệm giải tích. .. LỤC CHƯƠNG 5: BỔ SUNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN, MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH 3 Các khái niệm giải tích 1.1 Phép lặp để giải phương trình 1.2 Vector Một số khái. .. ∑ - Tích ma trận – ma trận: - Tích vector - ma trận: ↔ = = ∑" ! " #" ↔ =∑ ! ↔ = = ( , ) (!, #) ( , !) Một số khái niệm giải tích cần biết Dưới số khái niệm giải tích sinh viên cần biết 2.1