Đang tải... (xem toàn văn)
Bài báo trình bày một mô hình toán về dòng thấm không ổn định trong bờ sông trong vùng chịu ảnh hưởng triều, bao gồm hai phương trình đạo hàm riêng với hai lời giải giải tích nhận được từ phương pháp phân ly biến số và phương pháp toán tử phức, cùng với hai lời giải số nhận được từ phương pháp sai phân hữu hạn ẩn.
KHOA HỌC CƠNG NGHỆ NGHIÊN CỨU DỊNG THẤM KHƠNG ỔN ĐỊNH TRONG BỜ SƠNG: CÁC LỜI GIẢI GIẢI TÍCH VÀ TOÁN SỐ Huỳnh Thanh S ơn Trường Đại học Bách Khoa – Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Tóm tắt:Bài báo trình bày mơ hình tốn dòng thấm khơng ổn định bờ sơng vùng chịu ảnh hưởng triều, bao gồm hai phương trình đạo hàm riêng với hai lời giải giải tích nhận từ phương pháp phân ly biến số phương pháp toán tử phức, với hai lời giải số nhận từ phương pháp sai phân hữu hạn ẩn Kết từ lời giải so sánh thông qua số ví dụ số Từ khóa: bờ sơng, dòng thấm khơng ổn định, phương trình tuyến tính hóa, lời giải giải tích, lời giải số Summary:The paper presents a mathematical model for unsteady seepage in riverbank in tidal zone including two different partial differential equations with two analytical solutions obtained by the variable separation method and the complex operator method, and two numerical solutions obtained by the implicit finite difference method A comparison of these solutions is showed through some numerical examples Keywords:riverbank, unsteady seepage, linearized equation, analytical solution, numerical solution GIỚI THIỆU* Xói lở bờ sơng tượng phổ biến sông giới, gây nhiều thiệt hại vật chất đơi nhân mạng Có nhiều ngun nhân gây xói lở bờ sơng dòng chảy sơng, dòng thấm bờ sơng, sóng gió tàu thuyền, xây dựng cơng trình bờ sông, khai thác cát sông, … Bài báo tập trung vào dòng thấm bờ sơng, điều kiện mực nước sông thay đổi bị ảnh hưởng triều đồng sông Cửu Long Trong phần tiếp theo, sau thiết lập phương trình đạo hàm riêng cấp hai mơ tả dòng thấm khơng ổn định, hai cách tuyến tính hóa trình bày hai phương trình dòng thấm khác Bằng cách áp dụng phương pháp tốn thích hợp nhận hai Ngày nhận bài: 13/12/2017 Ngày thông qua phản biện: 02/02/2018 Ngày duyệt đăng: 02/3/2018 lời giải giải tích hai lời giải số từ hai phương trình tuyến tính hóa nói M ột số ví dụ số so sánh kết lời giải trình bày phần cuối báo M ột số kết nghiên cứu thí nghiệm dòng thấm trình bày báo CÁC MƠ HÌNH TỐN 2.1.Thiết lập phương trình Theo lý thuyết nước đất, dòng thấm thứ nguyên (theo phương nằm ngang x) môi trường đồng chất, đẳng hướng, không biến dạng, rò rỉ khơng có mư a bổ sung mặt đất, cột nước đo áp H(x,t) diễn tả phương trình Boussinesq kết hợp với giả thiết Dupuit1: H K H H t n x x (1) n (%) độ rỗng, K (m/s) độ dẫn suất thủy lực mơi trường TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 43 - 2018 KHOA HỌC (1) CƠNG NGHỆ viết dạng: H K H t 2n x 2 (2) (2) phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến, cần tuyến tính hóa trước giải Có hai cách tuyến tính hóa phương trình (2) Cách thứ thay cột nước H đứng riêng dấu ngoặc vế phải (1) cột nước trung bình Hm , từ dẫn đến phương trình tuyến tính hóa đơn giản sau đây: H H E t x (3) KH m n (4) với E thường gọi hệ số dẫn mực nước Cách tuyến tính hóa thứ hai thực cách thay thế: U ( x, t ) H ( x, t ) (5) Lấy đạo hàm hai vế (5) theo t, nhận được: U H 2H t t (6) (6) tuyến tính hóa cách thay H đứng riêng bên vế phải Hm , từ đó: H U t 2H m t 2.2.Lời giải giải tích tốn số phương trình (3) Phương trình (3) giải với điều kiện biên sau đây: (i) Tại biên bờ sông(x = 0), điều kiện biên mực nước sông giả sử thay đổi theo hàm sin với chu kỳ To, tần số góc = 2/Tovà nửa biên độ Hˆ : H ( 0, t ) H m Hˆ sin(t ) (9a) H KHm H t n x hay Trong phần sau, bốn lời giải giải tích tốn số từ hai phương trình (3) (8) trình bày (7) Hm chiều sâu trung bình,độ lệch pha (để hiệu chỉnh hàm H(0,t) gần với mục nước sông đo được, cần thiết) (ii) Tại biên xa bờ sơngtrong khối đất (x +), nơi dòng thấm khơng bị ảnh hưởng mực nước sơng, cột nước thấm có giá trị khơng đổi: H( ,t) = Hm (9b) 2.2.1 Lời giải giải tích phương trình (3) Phương trình (3) có dạng phương trình truyền nhiệt hệ số truyền nhiệt hệ dẫn mực nước E Lời giải tổng quát (3) tìm thấy nhờ dùng phương pháp phân ly biến số 2, cách đặt: H(x,t) = X(x).T(t) (10) Thay (5) (7) vào (2), nhận được: X Tlà hai hàm số biến có dạng: U 2U E t x T(t) = e-iωt (11a) X(x) = X o e -i x (11b) (8) Trong thực tế, bờ sơng nghiêng thẳng đứng Tuy nhiên để giảm bớt mức độ phức tạp lời giải giải tích, xét trường hợp mái thẳng đứng Nếu bờ sơng nghiêng khơng nhiều lấy gần bờ có mái thẳng đứng trung bình với Xovàlà hai thơng số cần xác định i số phức vớii2 = -1 Lấy đạo hàm bậc hai theo x đạo hàm bậc theo t (10) được: TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 43 - 2018 KHOA HỌC H = X.T' t đóX’’(x) đạo hàm bậc hai X (x)và T’(t) đạo hàm bậc T(t) Từ (11a) (11b) ta có: 2 H = X .T x X = - δ X T' = - i T and - i ±(1+i)r x (1 - i)r x X(x) = X o e = X oe hay: δ = i / C Từ đó: δ = ± (1 + i) ω / 2C ± (1 + i)r (12) với r / 2C (13) X(x) = X oe ± rx e mirx (14) Thay (14) (11a) vào (10): H (x,t)= e -it X o e ± rx e mirx hay: Thay biểu thức vào (3) sau đơn giản, nhận được: CÔNG NGHỆ - i t rx H(x,t)= X o e± rx e (15) Với e-iθ = cosθ - isinθ , (15) trở thành: H(x,t)= Xoe± rx cos ωt ± rx -isinωt ± rx (16) Từ (16) ta có hai lời giải phương trình (3), nhiên lời giải tương ứng với trường hợp H(x,t) tăng với x (nghĩa trường hợp ứng với e+ rx) bị loại Cuối cùng, ta nhận lời giải giải tích phương trình (3) tương ứng với phần ảo (16) kết hợp với điều kiện biên (i) (ii) trên: (11b) trở thành: H x , t H m Hˆ exp x .sin t x 2E 2E 2.2.2 Lời giải số phương trình (3) Phương trình(3) giải dùng phương pháp sai phân hữu hạn với sơ đồ hoàn toàn ẩn (sai phân tiến theo thời gian sai phân trung tâm theo không gian) Biểu thức sai phân nút i vào thời điểm (n + 1) viết sau: H in 1 Hin H n 1 2H in 1 H in11 E i1 (18) t x Sau xếp lại, nhận phương trình đại số có dạng: Ai Hin11 Bi H in 1 Ci H in11 Di (19) (17) ma trận AX = B,trong đóAlà ma trận đường chéo với đường chéo chiếm ưu thế, X vec-tơ cột chứa giá trị chưa biết Hicần xác định thời điểm (n + 1), Blà vec-tơ cột chứa giá trị Hiđã biết thời điểm cũ n Hệ phương trình đại số giải dễ dàng nhờ thuật toán Thomas dành cho ma trận đường chéo 3 2.3Lời giải giải tích tốn số phương trình (8) Phương trình (8) giải với hai điều kiện biên sau đây: đó: Ai , Bi 2 , Ci , Di H in với E t2 (20) x Kết hợp với điều kiện H(0,t) đo bờ sông H(L,t) đo cách xa bờ sơng, ta có hệ phương trình đại số dạng (i) Tại biên bờ sông (x = 0), điều kiện biên mực nước sông giả sử thay đổi theo dạng hình sin với chu kỳ To: H(0,t) = Hm+ Hˆ sin(t ) (9a) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 43 - 2018 KHOA HỌC CƠNG NGHỆ Từ đó: U(0,t) = H2 = H m Hˆ sin(t ) 2.3.1Lời giải giải tích phương trình (8) Để giải phương trình (8) với điều kiện ban đầu (23), điều kiện biên (22) với điều kiện biên phức tạp (21), phương pháp toán tử phức (complex operator method) áp dụng Nội dung phương pháp tóm tắt sau 2: trước hết toán thực,ký hiệu T, biến đổi thành tốn phức có dạng (W) = (T) + i(S), (S) phần ảo i số phức với i2 = -1 Lời giải toán phức nhận nhờ phương pháp phân ly biến số có dạng W(x, t) = X(x).eit, sau T xác định phần thực lời giải phức: T(x,t) = ReW(x,t) Do điều kiện biên (21) chứa hai hàm tuần hoàn sin(t-) cos2(t-) nên lới giải thực T tìm cách đặt: = H m2 H mHˆ sin(t ) Hˆ sin2 (t ) ˆ sin(t ) Hˆ 1cos2(t ) = Hm 2HmH Hˆ Hˆ2 cos2(t ) 2HmHˆ sin(t ) 2 (21) = Hm (ii) Ở cách xa bờ sông khối đất (x +), dòng thấm khơng bị ảnh hưởng mực nước sơng, cốt nước thấm có giá trị không đổi: U(,t) = H 2m Hˆ 2 (22) Trong thực tế, khoảng cách xa vô hạntrên lý thuyết (x +)thường thay khoảng cách hữu hạn x = L, L khoảng cách đủ xa để khơng bị ảnh hưởng mực nước sơng (theo kinh nghiệm L 20 m đồng sông Cửu Long) T = - U + H 2m T1và T2sẽ xác định nhờ hai lần áp dụng phương pháp phân ly biến số Đối với điều kiện ban đầu (t = 0) tốn, Sau nhiều tính tốn giải tích phức tạp, tìm được: Hˆ thường giả sử rằngU(x,0) = H 2m (23) -x T1(x,t) = -2 H m Hˆ e Hˆ -x T2(x,t) = e E 2E sin(t x cos(2 t x E 2E ) 2 ) Từ (24), nhận lời giải cuối U ( x , t ) Hm2 U(x,t) = H m2 -x Hˆ + 2H m Hˆ e 2E Hˆ = T1 + T2 (24) sin(t x 2E Hˆ T1 T2 : ) - Hˆ -x e E cos(2 t x E 2 ) (25) 2.3.2Lời giải số phương trình (8) viết sau: Phương trình (8) giải số nhờ áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn với sơ đồ ẩn trình bày mục 2.2.2 Biểu thức sai phân nút i vào thời điểm (n + 1) Uin 1 Uin U n 1 2Uin 1 Uin11 E i 1 (26) t x Sau xếp lại, nhận biểu thức đại số sau: TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 43 - 2018 KHOA HỌC n 1 n 1 n 1 AU CU i i1 BU i i i i1 Di (27) với: Ai , Bi 2 , Ci , Di Uin với Kết hợp với điều kiện biên U(0,t) đo bờ sông U(L,t) đo cách xa bờ sơng, ta có hệ phương trình đại số dạng ma trận AX = B trình bày mục 2.2.2 Sau tìm giá trị Ui, giá trị E CÔNG NGHỆ t x (28) tương ứng Hi xác định theo (5) SO S ÁNH CÁC LỜI GIẢI GIẢI TÍC H VÀ TỐN S Ố Bảng trinh bày tóm tắt lời giải tìm thấy để tiện so sánh Bảng 1.Tóm tắt lời giải tìm H x , t H m Hˆ exp x .sin t x 2E 2E (Lời giải giải tích (3)) -x Hˆ U(x,t) = H + H m Hˆ e 2 m 2E Hˆ -x sin(t x ) e 2E E cos(2 t x E 2 ) (Lời giải giải tích (8)) 1 n 1 Bii = H i1+ 2Ci,HCini1= -D,i Di = H in , E.t / x AAi H =in- ,B (Lời giải số (3)) n 1 , B = n1+ 1 2 , C n 1 = - , AAU ii =i- ii i CU BU i i1i Di Di = Uin (Lời giải số (8)) Để xem xét khác biệt lời giải, số ví dụ số thực với thông số sau đây: Hm = 10 m;K = 2.10-5 m/s; n = 0,35 ; To = 24 h; Hˆ = 0,5 m; =0 1,0 m and 1,5 m Các hình 1, trình bày việc so sánh kết Có thể thấy khác biệt lời giải nhỏ gia tăng biên độ triều tăng Trong ví dụ trên, Hˆ = 1,5 m (giá trị lớn nửa biên độ triều TP HCM đồng sông Cửu Long), khác biệt lớn cột nước H vào khoảng 0,1 m So với chiều sâu nước trung bình Hm = 10 m, khác biệt khoảng 1%, số bỏ qua tính tốn dòng thấm bờ sông KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Một khảo sát chi tiết dòng thấm khơng ổn định bờ sơng mực nước sơng thay TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 43 - 2018 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ đổi thực Ví dụ số cho thấy bỏ qua khác biệt lời giải Trong thực tế, chọn lời giải giải tích lời giải số ứng với phương trình (3) để sử dụng đơn giản chúng Ngồi ra, áp dụng trực tiếp số liệu đo đạc mực nước sông biên sơng (x = 0) vào mơ hình tốn số nên kết tính cột nước thấm H bờ sông phù hợp dùng lời giải giải tích bị hạn chế điều kiện biên x = phải hàm tuần hoàn túy Trong tương lai, toán mở rộng cho trường hợp bờ sông mái nghiêng với phức tạp mặt toán học phù hợp thực tế TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Bear J (1979),Hydraulics of groundwater Mc Graw-Hill Book Co., USA 2 James G (1993), Advanced modern engineering mathematics Addison-Wesley Publising Co., England 3 Vreugdenhil C B (1989),Computational hydraulics Springer-Verlag, Germany TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 43 - 2018 ... thay TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ THỦY LỢI SỐ 43 - 2018 KHOA HỌC CƠNG NGHỆ đổi thực Ví dụ số cho thấy bỏ qua khác biệt lời giải Trong thực tế, chọn lời giải giải tích lời giải số ứng với phương... H vào khoảng 0,1 m So với chiều sâu nước trung bình Hm = 10 m, khác biệt khoảng 1%, số bỏ qua tính tốn dòng thấm bờ sông KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Một khảo sát chi tiết dòng thấm khơng ổn định bờ. .. =in- ,B (Lời giải số (3)) n 1 , B = n1+ 1 2 , C n 1 = - , AAU ii =i- ii i CU BU i i1i Di Di = Uin (Lời giải số (8)) Để xem xét khác biệt lời giải, số ví dụ số thực với thông số sau